Раздача риса

В 2D-плоскости выберите фиксированную точку на расстоянии ν от начала координат. Создайте распределение двумерных точек с центром вокруг этой точки, где координаты x и y выбираются независимо от распределения Гаусса со стандартным отклонением σ (синяя область). Если R - расстояние от этих точек до начала координат, то R имеет распределение Райса.

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle \ nu \ geq 0}$, расстояние между опорной точкой и центром двумерного распределения`` масштаб ${\ displaystyle \ sigma \ geq 0}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в [0, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x ^ {2} + \ nu ^ {2})} {2 \ sigma ^ {2 }}} \ right) I_ {0} \ left ({\ frac {x \ nu} {\ sigma ^ {2}}} \ right)}$
CDF	${\ displaystyle 1-Q_ {1} \ left ({\ frac {\ nu} {\ sigma}}, {\ frac {x} {\ sigma}} \ right)}$ где Q 1 - Q-функция Маркума
Иметь в виду	${\ Displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {1/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}$
Дисперсия	${\ displaystyle 2 \ sigma ^ {2} + \ nu ^ {2} - {\ frac {\ pi \ sigma ^ {2}} {2}} L_ {1/2} ^ {2} \ left ({\ гидроразрыв {- \ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)}$
Асимметрия	(сложный)
Бывший. эксцесс	(сложный)

В теории вероятности, то распределение риса или райсовское распределение (или, реже, Ricean распределения) является распределением вероятности от величины циркулярно-симметричной двумерный нормальной случайной величины, возможно, с ненулевым средним (нецентральным). Он был назван в честь Стивена О. Райса (1907–1986).

• 1 Характеристика
• 2 свойства
  • 2.1 Моменты
• 3 Связанные дистрибутивы
• 4 Предельные случаи
• 5 Оценка параметров (метод инверсии Коая)
• 6 приложений
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 ссылки
• 10 Внешние ссылки

Функция плотности вероятности :

${\ displaystyle f (x \ mid \ nu, \ sigma) = {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x ^ {2} + \ nu ^ {2})} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) I_ {0} \ left ({\ frac {x \ nu} {\ sigma ^ {2}}} \ right),}$

где I 0 ( z) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

В контексте рисовского замирания распределение часто также переписывается с использованием параметра формы, определяемого как отношение вкладов мощности пути прямой видимости к остальным многолучевым путям, и параметра масштаба, определяемого как полная мощность, полученная в все пути. ${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {\ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle \ Omega = \ nu ^ {2} +2 \ sigma ^ {2}}$

Характеристическая функция распределения риса определяется как:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ chi _ {X} (t \ mid \ nu, \ sigma) = \ exp \ left (- {\ frac {\ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2 }}} \ right) amp; \ left [\ Psi _ {2} \ left (1; 1, {\ frac {1} {2}}; {\ frac {\ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}, - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t ^ {2} \ right) \ right. \\ [8pt] amp; \ left. {} + I {\ sqrt {2}} \ sigma t \ Psi _ {2} \ left ({\ frac {3} {2}}; 1, {\ frac {3} {2}}; {\ frac {\ nu ^ {2} } {2 \ sigma ^ {2}}}, - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t ^ {2} \ right) \ right], \ end {align}}}$

где - одна из конфлюэнтных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными, сходящаяся для всех конечных значений и. Выдается: ${\ Displaystyle \ Psi _ {2} \ влево (\ альфа; \ гамма, \ гамма '; х, у \ вправо)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ Psi _ {2} \ left (\ alpha; \ gamma, \ gamma '; x, y \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ alpha) _ {m + n}} {(\ gamma) _ {m} (\ gamma ') _ {n}}} {\ frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}},}$

куда

${\ displaystyle (x) _ {n} = x (x + 1) \ cdots (x + n-1) = {\ frac {\ Gamma (x + n)} {\ Gamma (x)}}}$

- растущий факториал.

Моменты

Первые несколько сырых моментов :

${\ displaystyle \ mu _ {1} ^ {'} = \ sigma {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {1/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ { 2})}$

${\ displaystyle \ mu _ {2} ^ {'} = 2 \ sigma ^ {2} + \ nu ^ {2} \,}$

${\ displaystyle \ mu _ {3} ^ {'} = 3 \ sigma ^ {3} {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {3/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}$

${\ Displaystyle \ му _ {4} ^ {'} = 8 \ sigma ^ {4} +8 \ sigma ^ {2} \ nu ^ {2} + \ nu ^ {4} \,}$

${\ displaystyle \ mu _ {5} ^ {'} = 15 \ sigma ^ {5} {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {5/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}$

${\ displaystyle \ mu _ {6} ^ {'} = 48 \ sigma ^ {6} +72 \ sigma ^ {4} \ nu ^ {2} +18 \ sigma ^ {2} \ nu ^ {4} + \ ню ^ {6} \,}$

и, в общем, сырые моменты даются

${\ displaystyle \ mu _ {k} ^ {'} = \ sigma ^ {k} 2 ^ {k / 2} \, \ Gamma (1 \! + \! k / 2) \, L_ {k / 2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2}). \,}$

Здесь L q ( x) обозначает многочлен Лагерра :

${\ displaystyle L_ {q} (x) = L_ {q} ^ {(0)} (x) = M (-q, 1, x) = \, _ {1} F_ {1} (- q; 1 ;Икс)}$

где - конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Когда k четно, исходные моменты становятся простыми полиномами от σ и ν, как в приведенных выше примерах. ${\ Displaystyle М (а, б, г) = _ {1} F_ {1} (а; б; г)}$

Для случая q = 1/2:

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {1/2} (x) amp; = \, _ {1} F_ {1} \ left (- {\ frac {1} {2}}; 1; x \ right) \\ amp; = e ^ {x / 2} \ left [\ left (1-x \ right) I_ {0} \ left (- {\ frac {x} {2}} \ right) -xI_ {1} \ left (- {\ frac {x} {2}} \ right) \ right]. \ end {align}}}$

Второй центральный момент, дисперсия, равен

${\ displaystyle \ mu _ {2} = 2 \ sigma ^ {2} + \ nu ^ {2} - (\ pi \ sigma ^ {2} / 2) \, L_ {1/2} ^ {2} ( - \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2}).}$

Обратите внимание, что указывает на квадрат многочлена Лагерра, а не на обобщенный многочлен Лагерра.${\ Displaystyle L_ {1/2} ^ {2} (\ cdot)}$${\ Displaystyle L_ {1/2} (\ cdot)}$${\ Displaystyle L_ {1/2} ^ {(2)} (\ cdot).}$

• ${\ Displaystyle R \ sim \ mathrm {Rice} \ left (| \ nu |, \ sigma \ right)}$если где и - статистически независимые нормальные случайные величины и - любое действительное число.${\ displaystyle R = {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$${\ Displaystyle Икс \ сим N \ влево (\ ню \ соз \ тета, \ сигма ^ {2} \ вправо)}$${\ displaystyle Y \ sim N \ left (\ nu \ sin \ theta, \ sigma ^ {2} \ right)}$${\ displaystyle \ theta}$
• Другой случай, когда исходит из следующих шагов:${\ Displaystyle R \ sim \ mathrm {Рис} \ left (\ nu, \ sigma \ right)}$

1. Сформировать имеющее распределение Пуассона с параметром (также средний, для Пуассона)${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}.}$

2. Генерирование, имеющие распределение хи-квадрат с 2 P + 2 степенями свободы.${\ displaystyle X}$

3. Установить ${\ displaystyle R = \ sigma {\ sqrt {X}}.}$

• Если тогда имеет нецентральное распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы и параметром нецентральности.${\ Displaystyle R \ sim \ operatorname {Rice} (\ nu, 1)}$${\ displaystyle R ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ nu ^ {2}}$
• If then имеет нецентральное распределение хи с двумя степенями свободы и параметром нецентральности.${\ Displaystyle R \ sim \ operatorname {Rice} (\ nu, 1)}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ nu}$
• Если тогда, т. Е. Для частного случая распределения Райса, заданного формулой, распределение становится распределением Рэлея, для которого дисперсия равна.${\ displaystyle R \ sim \ operatorname {Rice} (0, \ sigma)}$${\ displaystyle R \ sim \ operatorname {Rayleigh} (\ sigma)}$${\ displaystyle \ nu = 0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2} = {\ frac {4- \ pi} {2}} \ sigma ^ {2}}$
• Если то имеет экспоненциальное распределение. ${\ displaystyle R \ sim \ operatorname {Rice} (0, \ sigma)}$${\ displaystyle R ^ {2}}$
• Если then имеет обратное распределение Райса.${\ Displaystyle R \ sim \ OperatorName {Rice} \ left (\ nu, \ sigma \ right)}$${\ displaystyle 1 / R}$
• Сложенный нормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Райса.

При больших значениях аргумента полином Лагерра принимает вид

${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} L _ {\ nu} (x) = {\ frac {| x | ^ {\ nu}} {\ Gamma (1+ \ nu)}}.}$

Видно, что когда ν становится большим или σ становится малым, среднее значение становится ν, а дисперсия становится σ ².

Переход к гауссовскому приближению происходит следующим образом. Из теории функций Бесселя имеем

${\ displaystyle I _ {\ alpha} (z) \ rightarrow {\ frac {e ^ {z}} {\ sqrt {2 \ pi z}}} \ left (1 - {\ frac {4 \ alpha ^ {2}) -1} {8z}} + \ cdots \ right) {\ text {as}} z \ rightarrow \ infty}$

Итак, в большой области, асимптотическое разложение рисовского распределения: ${\ Displaystyle х \ ню / \ сигма ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x, \ nu, \ sigma) = {} amp; {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x ^ {2} + \ nu ^ {2})} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) I_ {0} \ left ({\ frac {x \ nu} {\ sigma ^ {2}}} \ right) \\ {\ text {is}} \\ amp; {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x ^ {2} + \ nu ^ {2})} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ pi x \ nu}}} \ exp \ left ({\ frac {2x \ nu} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \ left (1 + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {8x \ nu}} + \ cdots \ right) \\\ rightarrow {} amp; {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ nu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ { 2}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {x} {\ nu}}}, \; \; \; {\ text {as}} {\ frac {x \ nu} {\ sigma ^ {2 }}} \ rightarrow \ infty \ end {выровненный}}}$

Более того, когда плотность сосредоточена вокруг и из-за показателя Гаусса, мы также можем написать и, наконец, получить нормальное приближение ${\ textstyle \ nu}$${\ textstyle | х- \ ню | \ ll \ sigma}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {x} {\ nu}}} \ приблизительно 1}$

${\ displaystyle f (x, \ nu, \ sigma) \ приблизительно {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ nu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right), \; \; \; {\ frac {\ nu} {\ sigma}} \ gg 1}$

Приближение становится пригодным для ${\ displaystyle {\ frac {\ nu} {\ sigma}}gt; 3}$

Существует три различных метода оценки параметров распределения Райса: (1) метод моментов, (2) метод максимального правдоподобия и (3) метод наименьших квадратов. В первых двух методах интерес заключается в оценке параметров распределения ν и σ на основе выборки данных. Это можно сделать, используя метод моментов, например, выборочное среднее и стандартное отклонение выборки. Среднее значение выборки является оценкой μ 1 ^', а стандартное отклонение выборки - оценкой μ 2 ^1/2.

Ниже приводится эффективный метод, известный как «техника инверсии Коая». для решения оценочных уравнений на основе выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения одновременно. Этот метод инверсии также известен как формула фиксированной точки для отношения сигнал / шум. В более ранних работах по методу моментов обычно используется метод поиска корней для решения проблемы, что неэффективно.

Во-первых, отношение выборочного среднего к стандартному отклонению выборки определяется как r, т. Е.. Формула фиксированной точки для отношения сигнал / шум выражается как ${\ Displaystyle г = \ му _ {1} ^ {'} / \ му _ {2} ^ {1/2}}$

${\ displaystyle g (\ theta) = {\ sqrt {\ xi {(\ theta)} \ left [1 + r ^ {2} \ right] -2}},}$

где - отношение параметров, т. е., и определяется выражением: ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ nu} {\ sigma}}}$${\ Displaystyle \ кси {\ влево (\ тета \ справа)}}$

${\ displaystyle \ xi {\ left (\ theta \ right)} = 2+ \ theta ^ {2} - {\ frac {\ pi} {8}} \ exp {(- \ theta ^ {2} / 2) } \ left [(2+ \ theta ^ {2}) I_ {0} (\ theta ^ {2} / 4) + \ theta ^ {2} I_ {1} (\ theta ^ {2} / 4) \ вправо] ^ {2},}$

где и - модифицированные функции Бесселя первого рода. ${\ displaystyle I_ {0}}$${\ displaystyle I_ {1}}$

Обратите внимание, что это коэффициент масштабирования, связанный с: ${\ Displaystyle \ кси {\ влево (\ тета \ справа)}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$

${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ xi {\ left (\ theta \ right)} \ sigma ^ {2}. \,}$

Чтобы найти фиксированную точку,, из, выбирается начальное решение, которое больше, чем нижняя граница, которая есть и возникает, когда (Обратите внимание, что это распределение Рэлея). Это обеспечивает отправную точку для итерации, в которой используется функциональная композиция, и так продолжается до тех пор, пока не станет меньше некоторого небольшого положительного значения. Здесь, обозначает состав одной и той же функции,, раз. На практике мы связываем окончательное для некоторого целого числа в качестве неподвижной точки,, то есть. ${\ displaystyle \ theta ^ {*}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ theta} _ {0}}$${\ displaystyle {\ theta} _ {\ mathrm {нижний предел}} = 0}$${\ Displaystyle г = {\ sqrt {\ pi / (4- \ pi)}}}$${\ Displaystyle г = \ му _ {1} ^ {'} / \ му _ {2} ^ {1/2}}$${\ displaystyle \ left | g ^ {i} \ left (\ theta _ {0} \ right) - \ theta _ {i-1} \ right |}$${\ displaystyle g ^ {i}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ theta _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ theta ^ {*}}$${\ Displaystyle \ тета ^ {*} = г \ влево (\ тета ^ {*} \ вправо)}$

После нахождения фиксированной точки оценки и находятся с помощью функции масштабирования следующим образом: ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ кси {\ влево (\ тета \ справа)}}$

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ mu _ {2} ^ {1/2}} {\ sqrt {\ xi \ left (\ theta ^ {*} \ right)}}},}$

а также

${\ displaystyle \ nu = {\ sqrt {\ left (\ mu _ {1} ^ {'~ 2} + \ left (\ xi \ left (\ theta ^ {*} \ right) -2 \ right) \ sigma ^ {2} \ right)}}.}$

Чтобы еще больше ускорить итерацию, можно использовать метод поиска корней Ньютона. Этот конкретный подход очень эффективен.

• Евклидова норма из двумерный циркулярно-симметричной нормально распределена случайного вектора.
• Райсовское замирание (для помех из- за многолучевого распространения ))
• Влияние ошибки прицеливания на стрельбу по мишеням.
• Анализ разнесения приемников в радиосвязи.

• Распределение Хойта
• Распределение Рэлея

• Абрамовиц, М. и Стегун, И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям, Национальное бюро стандартов, 1964; переизданные Dover Publications, 1965. ISBN   0-486-61272-4
• Райс С.О. Математический анализ случайного шума. Технический журнал Bell System 24 (1945) 46–156.
• И. Солтани Бозчалой и Мин Лян (20 ноября 2007 г.). «Подход на основе индекса плавности к выбору вейвлет-параметров при устранении шумов и обнаружении неисправностей». Журнал звука и вибрации. 308 (1–2): 253–254. Bibcode : 2007JSV... 308..246B. DOI : 10.1016 / j.jsv.2007.07.038. CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
• Ван, Донг; Чжоу, Цян; Цуй, Квок-Люн (2017). «О распределении модуля вейвлет-коэффициентов Габора и верхней границе безразмерного индекса гладкости в случае аддитивных гауссовских шумов: еще раз». Журнал звука и вибрации. 395: 393–400. DOI : 10.1016 / j.jsv.2017.02.013.
• Лю, X. и Ханзо, Л., Унифицированный анализ производительности точного BER асинхронных систем DS-CDMA, использующих модуляцию BPSK по каналам с замиранием, транзакции IEEE по беспроводной связи, том 6, выпуск 10, октябрь 2007 г., стр. 3504–3509.
• Аннамалай А., Телламбура К. и Бхаргава В.К., Характеристики разнесенного приемника с равным усилением в беспроводных каналах, IEEE Transactions on Communications, том 48, октябрь 2000 г., стр. 1732–1745.
• Эрдели, А., Магнус, В., Оберхеттингер, Ф. и Трикоми, Ф.Г., Высшие трансцендентные функции, том 1. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Шривастава, Х.М., Карлссон, П.В., Множественные гауссовские гипергеометрические ряды. Эллис Хорвуд Лтд., 1985 г.
• Sijbers J., den Dekker AJ, Scheunders P. и Van Dyck D., "Оценка максимального правдоподобия параметров распределения Rician", IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, № 3. С. 357–361, (1998).
• Варадараджан Д. и Халдар Дж. П., «Основа максимального минимизации для МР-изображений Rician и Non-Central Chi», IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 34, нет. 10. С. 2191–2202, (2015)
• ден Деккер, AJ, и Sijbers, J (декабрь 2014 г.). «Распределение данных на магнитно-резонансных изображениях: обзор». Physica Medica. 30 (7): 725–741. DOI : 10.1016 / j.ejmp.2014.05.002. PMID   25059432. CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
• Коай, К.Г. и Бассер, П.Дж., Аналитически точная схема коррекции для извлечения сигнала из МР-сигналов с зашумленной амплитудой, Журнал магнитного резонанса, том 179, выпуск = 2, стр. 317–322, (2006)
• Абди, А., Тепеделенлиоглу, К., Кавех, М., и Джаннакис, Г. Об оценке параметра K для распределения замираний Райса, IEEE Communications Letters, том 5, номер 3, март 2001 г., стр. 92– 94.
• Талукдар, К.К., и Лоуинг, Уильям Д. (март 1991 г.). «Оценка параметров распределения Райса». Журнал Акустического общества Америки. 89 (3): 1193–1197. Bibcode : 1991ASAJ... 89.1193T. DOI : 10.1121 / 1.400532. CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
• Бонни, Дж. М., Рену, Дж. П. и Занка, М. (ноябрь 1996 г.). «Оптимальное измерение амплитуды и фазы по данным MR». Журнал магнитного резонанса, серии B. 113 (2): 136–144. Bibcode : 1996JMRB..113..136B. DOI : 10,1006 / jmrb.1996.0166. PMID   8954899. CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )

• Код MATLAB для распределения Райса / Райса (PDF, среднее значение и дисперсия, а также создание случайных выборок)