Сложенное нормальное распределение

Функция плотности вероятности . μ = 1, σ = 1
Кумулятивная функция распределения . μ = 1, σ = 1
Параметры	μ ∈ R(местоположение ). σ>0 (масштаб )
Поддержка	x ∈ [0, ∞)
PDF	$1\; \sigma \; 2\; \pi \; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; +\; 1\; \sigma \; 2\; \pi \; e\; -\; (x\; +\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$
CDF	$1\; 2\; [erf\; (x\; +\; \mu \; \sigma \; 2)\; +\; erf\; (x\; -\; \mu \; \sigma \; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; t\_dv\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\; +\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; t\_dv\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$
Среднее	$\mu \; Y\; =\; \sigma \; 2\; \pi \; e\; (-\; \mu \; 2/2\; \sigma \; 2)\; +\; \mu \; (1-2\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{Y\}\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{(-\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; /\; 2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\; \}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (1-2\; \backslash ,\; \backslash \; Phi\; (-\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\})\; \backslash \; right)\}$
Дисперсия	$\sigma \; Y\; 2\; знак\; равно\; \mu \; 2\; +\; \sigma \; 2\; -\; \mu \; Y\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{2\}\}$

сложенное нормальное распределение - это распределение вероятностей, связанное с нормальным распределением. Для нормально распределенной случайной величины X с средним μ и дисперсией σ, случайная величина Y = | X | имеет сложенное нормальное распределение. Такой случай может возникнуть, если записана только величина некоторой переменной, но не ее знак. Распределение называется «свернутым», потому что вероятностная масса слева от x = 0 свернута, принимая абсолютное значение. В физике теплопроводности сложенное нормальное распределение является фундаментальным решением уравнения теплопроводности на полупространстве; это соответствует наличию идеального изолятора на гиперплоскости через начало координат.

• 1 Определения
  • 1.1 Плотность
• 2 Свойства
  • 2.1 Режим
  • 2.2 Характеристическая функция и другие связанные функции
• 3 Связанные распределения
• 4 Статистический вывод
  • 4.1 Оценка параметров
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Плотность

функция плотности вероятности (PDF) определяется выражением

$f\; Y\; (x;\; \mu ,\; \sigma \; 2)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; +\; 1\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; e\; -\; (x\; +\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{Y\}\; (x;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; \{\; \backslash \; frac\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; +\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

для x ≥ 0 и 0 для всех остальных. Альтернативная формулировка дается следующим образом:

$f\; (x)\; =\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; e\; -\; (x\; 2\; +\; \mu \; 2)\; 2\; \sigma \; 2\; cosh\; \; (\mu \; x\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; cosh\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}$,

где cosh - косинус Гиперболическая функция. Отсюда следует, что кумулятивная функция распределения (CDF) определяется как:

$FY\; (x;\; \mu ,\; \sigma \; 2)\; =\; 1\; 2\; [erf\; (x\; +\; \mu \; 2\; \sigma \; 2)\; +\; erf\; (x\; -\; \mu \; 2\; \sigma \; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{Y\}\; (x;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; t\_dv\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{x\; +\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; t\_dv\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

для x ≥ 0, где erf () - это функция ошибок. Это выражение сводится к CDF полунормального распределения, когда μ = 0.

Среднее значение сложенного распределения тогда

$\mu \; Y\; =\; \sigma \; 2\; \pi \; exp\; \; (-\; \mu \; 2\; 2\; \sigma \; 2)\; +\; \mu \; erf\; (\mu \; 2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{Y\}\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

или

$\mu \; Y\; =\; 2\; \pi \; \sigma \; e\; -\; \mu \; 2\; 2\; \sigma \; 2\; +\; \mu \; [1\; -\; 2\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma )]\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{Y\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; sigma\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \}\}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; [1-2\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

где $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$- это функция нормального кумулятивного распределения :

$\Phi \; (x)\; =\; 1\; 2\; [1\; +\; erf\; \; (x\; 2)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; operatorname\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\})\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

Тогда дисперсия легко выражается через среднее значение:

$\sigma \; Y\; 2\; =\; \mu \; 2\; +\; \sigma \; 2\; -\; \mu \; Y\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{Y\}\; ^\; \{2\}.\}$

И среднее (μ), и дисперсию (σ) X в исходном нормальном распределении можно интерпретировать как параметры положения и масштаба Y в сложенном распределении.

Режим

Режим распределения - это значение $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, для которого плотность максимальна. Чтобы найти это значение, мы берем первую производную плотности по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и устанавливаем ее равной нулю. К сожалению, закрытой формы нет. Однако мы можем записать производную лучше и в итоге получить нелинейное уравнение

$df\; (x)\; dx\; =\; 0\; \Rightarrow \; -\; (x\; -\; \mu )\; \sigma \; 2\; e\; -\; 1\; 2\; (x\; -\; \mu )\; 2\; \sigma \; 2\; -\; (Икс\; +\; \mu )\; \sigma \; 2\; е\; -\; 1\; 2\; (Икс\; +\; \mu )\; 2\; \sigma \; 2\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x)\}\; \{dx\}\}\; =\; 0\; \backslash \; Rightarrow\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; 0\}$

$x\; [e\; -\; 1\; 2\; (x\; -\; \mu )\; 2\; \sigma \; 2\; +\; e\; -\; 1\; 2\; (x\; +\; \mu )\; 2\; \sigma \; 2]\; -\; \mu \; [e\; -\; 1\; 2\; (x\; -\; \mu )\; 2\; \sigma \; 2\; -\; e\; -\; 1\; 2\; (x\; +\; \mu )\; 2\; \sigma \; 2]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; left\; [\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; [e\; ^\; \{-\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; -\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; 0\}$

$x\; (1\; +\; e\; -\; 2\; \mu \; x\; \sigma \; 2)\; -\; \mu \; (1\; -\; е\; -\; 2\; \mu \; x\; \sigma \; 2)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; left\; (1\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2\; \backslash \; mu\; x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; справа)\; =\; 0\}$

$(\mu \; +\; x)\; e\; -\; 2\; \mu \; x\; \sigma \; 2\; =\; \mu \; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; +\; x\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; \backslash \; mu\; -x\}$

$x\; =\; -\; \sigma \; 2\; 2\; \mu \; журнал\; \; \mu \; -\; x\; \mu \; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \}\; \{2\; \backslash \; mu\}\}\; \backslash \; log\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -x\}\; \{\backslash \; mu\; +\; x\}\}\}$.

Цагрис и др. (2014) из численного исследования показал, что когда , максимум достигается, когда $x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$, и когда $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$становится больше, чем $3\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; sigma\}$, максимум приближается к $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$. Конечно, этого следовало ожидать, поскольку в этом случае свернутая нормаль сходится к нормальному распределению. Чтобы избежать проблем с отрицательными отклонениями, предлагается возведение параметра в степень. В качестве альтернативы вы можете добавить ограничение, например, если оптимизатор выберет отрицательную дисперсию, значение логарифмической вероятности будет NA или что-то очень маленькое.

Характеристическая функция и другие связанные функции

• Характеристическая функция определяется как

$\phi \; x\; (t)\; =\; e\; -\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; +\; i\; \mu \; t\; \Phi \; (\mu \; \sigma \; +\; i\; \sigma \; t)\; +\; e\; -\; \sigma \; 2\; T\; 2\; 2\; -\; я\; \mu \; T\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma \; +\; я\; \sigma \; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; i\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; i\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; i\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; i\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\}$.

• Производящая функция момента определяется выражением

$M\; x\; (t)\; =\; \phi \; x\; (-\; it)\; =\; e\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; +\; \mu \; t\; \Phi \; (\mu \; \sigma \; +\; \sigma \; t)\; +\; e\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; -\; \mu \; T\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma \; +\; \sigma \; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (-it\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; +\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\}$.

• Кумулянтная производящая функция определяется как

$K\; x\; (t)\; =\; log\; \; M\; x\; (t)\; =\; (\sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; +\; \mu \; t)\; +\; log\; \; \{1\; -\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma \; -\; \sigma \; t)\; +\; e\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; -\; \mu \; t\; [1\; -\; \Phi \; (\mu \; \sigma \; -\; \sigma \; t)]\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; log\; \{M\_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; mu\; t\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; log\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lbrace\; 1-\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; -\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; справа)\; +\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; -\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\}\}$.

• Преобразование Лапласа задается формулой

$E\; (e\; -\; tx)\; =\; e\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; -\; \mu \; t\; [1\; -\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma \; +\; \sigma \; t)]\; +\; е\; \sigma \; 2\; T\; 2\; 2\; +\; \mu \; t\; [1\; -\; \Phi \; (\mu \; \sigma \; +\; \sigma \; t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; tx\}\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$.

• Преобразование Фурье задается формулой

$f\; ^\; (t)\; =\; \varphi \; x\; (-\; 2\; \pi \; t)\; =\; e\; -\; 4\; \pi \; 2\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; -\; i\; 2\; \pi \; \mu \; t\; [1\; -\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma \; -\; i\; 2\; \pi \; \sigma \; t)]\; +\; e\; -\; 4\; \pi \; 2\; \sigma \; 2\; t\; 2\; 2\; +\; i\; 2\; \pi \; \mu \; t\; [1\; -\; \Phi \; (\mu \; \sigma \; -\; я\; 2\; \pi \; \sigma \; T)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (-2\; \backslash \; pi\; t\; \backslash \; right)\; =\; е\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\; -4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; i2\; \backslash \; pi\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; -\; i2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; i2\; \backslash \; pi\; \backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; Phi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; -\; i2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$.

• Когда μ = 0, распределение Y является полунормальным распределением.
• Случайная величина (Y / σ) имеет нецентральное распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы и нецентральность равна (μ / σ).
• Сложенное нормальное распределение также можно рассматривать как предел сложенного нестандартизованного t-распределения, когда степени свободы стремятся к бесконечности.
• Существует двумерная версия, разработанная Псаракисом и Панаретосом (2001), а также многомерная версия, разработанная Чакраборти и Мутуши (2013).
• Распределение риса является многомерное обобщение свернутого нормального распределения.

Оценка параметров

Есть е несколько способов оценки параметров свернутой нормали. Все они, по сути, являются процедурой оценки максимального правдоподобия, но в некоторых случаях выполняется численная максимизация, в то время как в других случаях выполняется поиск корня уравнения. Логарифмическая вероятность свернутой нормали, когда доступна выборка $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$размером $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, может быть записывается следующим образом

$l\; =\; -\; n\; 2\; log\; \; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; log\; \; [e\; -\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; +\; e\; -\; (xi\; +\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; log\; \{\backslash \; left\; [\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right]\}\}$

$l\; =\; -\; n\; 2\; log\; \; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; журнал\; \; [е\; -\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; (1\; +\; e\; -\; (xi\; +\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; e\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; log\; \{\backslash \; left\; [e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; mu\; \backslash \; right))\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}\}$

$l\; =\; -\; n\; 2\; log\; \; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; log\; \; (1\; +\; e\; -\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (x\_\; \{i\; \}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; log\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}$

В R (язык программирования) с использованием пакета Rfast можно получить MLE очень быстро (команда foldnorm.mle). В качестве альтернативы этому распределению подойдет команда optim или nlm. Максимизировать легко, поскольку задействованы два параметра ($\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$). Обратите внимание, что как положительные, так и отрицательные значения для $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$приемлемы, поскольку $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$принадлежит реальной линии. чисел, следовательно, знак не важен, потому что распределение симметрично относительно него. Следующий код записывается в R

свернутом <- function(y) { ## y is a vector with positive data n <- length(y) ## sample size sy2 <- sum(y^2) sam <- function(para, n, sy2) { me <- para[1] ; se <- exp( para[2]) f <- - n/2 * log(2/pi/se) + n * me^2 / 2 / se + sy2 / 2 / se - sum( log( cosh( me * y/se))) f } mod <- optim( c( mean(y), sd(y)), n = n, sy2 = sy2, sam, control = list(maxit = 2000)) mod <- optim( mod$par, sam, n = n, sy2 = sy2, control = list(maxit = 20000)) result <- c( -mod$value, mod$par[1], exp(mod$par[2])) names(result) <- c("log-likelihood", "mu", "sigma squared") result }

. Частные производные логарифмической вероятности записываются как

$\partial \; l\; \partial \; \mu \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; \mu )\; \sigma \; 2\; -\; 2\; \sigma \; 2\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nxie\; -\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; 1\; +\; е\; -\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; l\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mu\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{-2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{-2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}$

$\partial \; l\; \partial \; \mu \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; \mu )\; \sigma \; 2\; -\; 2\; \sigma \; 2\; \sum \; i\; =\; 1\; nxi\; 1\; +\; e\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; и\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; l\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mu\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\; \}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\}$

$\partial \; l\; \partial \; \sigma \; 2\; =\; -\; n\; 2\; \sigma \; 2\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 4\; +\; 2\; \mu \; \sigma \; 4\; \sum \; я\; =\; 1\; nxie\; -\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; 1\; +\; е\; -\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; l\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{\; i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}\}$

$\partial \; l\; \partial \; \sigma \; 2\; =\; -\; n\; 2\; \sigma \; 2\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 4\; +\; 2\; \mu \; \sigma \; 4\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nxi\; 1\; +\; е\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; l\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\; \}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_)\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}$.

Приравнивая первую частную производную логарифмического правдоподобия нулю, мы получаем хорошее соотношение

$\sum \; i\; =\; 1\; nxi\; 1\; +\; e\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\}\; \{\; 2\}\}\}$.

Обратите внимание, что у приведенного выше уравнения есть три решения, одно равное нулю и еще два с противоположным знаком. Подставляя указанное выше уравнение в частную производную логарифма правдоподобия по $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$и приравнивая ее к нулю, мы получаем следующее выражение для дисперсия

$\sigma \; 2\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; n\; +\; 2\; \mu \; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; \mu )\; n\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; 2\; -\; \mu \; 2)\; n\; =\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 1\; nxi\; 2\; n\; -\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\}\; \{n\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\}\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\; \{n\}\}\; -\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}$,

, которая является той же формулой, что и в нормальном распределении. Основное различие здесь заключается в том, что $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$не являются статистически независимыми. Вышеупомянутые отношения могут использоваться для получения оценок максимального правдоподобия эффективным рекурсивным способом. Начнем с начального значения для $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$и находим положительный корень ($\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$) последнего уравнения. Затем мы получаем обновленное значение $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$. Процедура повторяется до тех пор, пока изменение значения логарифмической вероятности не станет незначительным. Другой более простой и эффективный способ - выполнить алгоритм поиска. Запишем последнее уравнение более элегантно

$2\; \sum \; i\; =\; 1\; nxi\; 1\; +\; e\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; nxi\; (1\; +\; e\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2)\; 1\; +\; e\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; +\; N\; \mu \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\})\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; =\; 0\}$

$\sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nxi\; (1\; -\; е\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2)\; 1\; +\; e\; 2\; \mu \; xi\; \sigma \; 2\; +\; n\; \mu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{\; i\}\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; x\_\; \{i\}\; \}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; +\; n\; \backslash \; mu\; =\; 0\}$.

Становится ясно, что оптимизация логарифмической вероятности по двум параметрам превратилась в корневой поиск функции. Это, конечно, идентично предыдущему корневому поиску. Цагрис и др. (2014) обнаружили, что у этого уравнения есть три корня для $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, т.е. есть три возможных значения $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, удовлетворяющие этому уравнению. $-\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mu\}$и $+\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; mu\}$, которые представляют собой оценки максимального правдоподобия, и 0, что соответствует до минимальной логарифмической вероятности.

• Сложенное кумулятивное распределение
• Усеченное нормальное распределение

• Tsagris, M.; Beneki, C.; Хассани, Х. (2014). «О сложенном нормальном распределении». Математика. 2 (1): 12–28. arXiv : 1402.3559.
• Леоне ФК, Ноттингем, РБ, Нельсон Л.С. (1961). «Свернутое нормальное распределение». Технометрика. 3 (4): 543–550. DOI : 10.2307 / 1266560. HDL : 2027 / mdp.39015095248541. JSTOR 1266560.
• Джонсон Н.Л. (1962). «Сложенное нормальное распределение: точность оценки по максимальному правдоподобию». Технометрика. 4 (2): 249–256. doi : 10.2307 / 1266622. JSTOR 1266622.
• Нельсон Л.С. (1980). «Свернутое нормальное распределение». J Qual Technol. 12 (4): 236–238.
• Эландт Р.К. (1961). «Сложенное нормальное распределение: два метода оценки параметров по моментам». Технометрика. 3 (4): 551–562. DOI : 10.2307 / 1266561. JSTOR 1266561.
• Лин ПК (2005). «Применение обобщенного складчато-нормального распределения к мерам возможностей процесса». Int J Adv Manuf Technol. 26 (7–8): 825–830. doi : 10.1007 / s00170-003-2043-x.
• Psarakis, S.; Панаретос, Дж. (1990). «Свернутое t-распределение». Коммуникации в статистике - теория и методы. 19 (7): 2717–2734.
• Psarakis, S.; Панаретос, Дж. (2001). «О некоторых двумерных расширениях свернутого нормального и свернутого t-распределений». Журнал прикладной статистической науки. 10 (2): 119–136.
• Чакраборти, А.К.; Мутуши, К. (2013). «О многомерном сложенном нормальном распределении». Санкхья Б. 75 (1): 1–15.

• Случайное (ранее - виртуальные лаборатории): сложенное нормальное распределение