Лакунарность

редактировать

термин в геометрии и фрактальном анализе

Рисунок 1. Увеличение основных фрактальных паттернов в лакунарности слева направо.

Те же изображения, что и выше, повернутые на 90 °. В то время как первые два изображения выглядят практически так же, как и выше, третье выглядит иначе, чем исходное изображение без поворота. Эта особенность отражена в показателях лакунарности, перечисленных в верхней части рисунков, которые вычислены с использованием стандартной программы подсчета боксов биологической визуализации FracLac, Изображение.

Лакунарность, от латинского лакуна, означающая «разрыв» или «озеро», является специализированным термином в геометрии, относящимся к мере того, как паттерны, особенно фракталы, заполняют пространство, где паттерны, имеющие чем больше или больше промежутков, тем выше лакунарность. Помимо того, что лакунарность является интуитивной мерой пробелов, она может количественно определять дополнительные характеристики паттернов, такие как «инвариантность вращения» и, в более общем плане, неоднородность. Это проиллюстрировано на рисунке 1, где показаны три фрактальных модели. При повороте на 90 ° первые два достаточно однородных рисунка не изменяются, но третий, более неоднородный рисунок, изменяется и, соответственно, имеет более высокую лакунарность. Самое раннее упоминание этого термина в геометрии обычно приписывается Мандельброту, который в 1983 или, возможно, еще в 1977 году ввел его как, по сути, дополнение к фрактальному анализу. Анализ лакунарности теперь используется для характеристики паттернов в самых разных областях и, в частности, применяется в мультифрактальном анализе (см. Приложения).

Содержание

1 Измерение лакунарности
- 1.1 Лакунарность подсчета ячеек
  - 1.1.1 Вычисления с помощью подсчета ячеек
    - 1.1.1.1 Распределения вероятностей
  - 1.1.2 Интерпретация λ
    - 1.1.2.1 Взаимосвязь к фрактальной размерности
  - 1.1.3 Графическая лакунарность
  - 1.1.4 Лакунарность префактора
2 Приложения
3 Примечания
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Измерение лакунарности

Во многих паттернах или наборах данных лакунарность трудно ощутить или измерить количественно, поэтому для ее расчета были разработаны компьютерные методы. Как измеримая величина, лакунарность часто обозначается в научной литературе греческими буквами $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ или $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , но Важно отметить, что не существует единого стандарта и существует несколько различных методов оценки и интерпретации лакунарности.

Неточность подсчета ячеек

Рис. 2а. Рамки накладываются на изображение в виде фиксированной сетки.

Рисунок 2б. Рамки скользят по изображению с наложением узора.

Один хорошо известный метод определения лакунарности для узоров, извлеченных из цифровых изображений, использует подсчет прямоугольников, тот же самый важный алгоритм, который обычно используется для некоторых типов фрактальный анализ. Подобно просмотру предметного стекла через микроскоп с изменяющимся уровнем увеличения, алгоритмы подсчета прямоугольников рассматривают цифровое изображение со многими уровнями разрешения, чтобы изучить, как определенные характеристики изменяются в зависимости от размера элемента, используемого для проверки изображения. В основном расположение пикселей измеряется с использованием традиционно квадратных (т. Е. Прямоугольных) элементов из произвольного набора размеров $E {\ displaystyle \ mathrm {E}}$ $\Epsilon$ , обычно обозначаемых $ε {\ Displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ с. Для каждого $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ прямоугольник помещается последовательно по всему изображению, и каждый раз, когда он кладется, записывается количество пикселей, попадающих в прямоугольник. В стандартном блоке подсчета блок для каждого $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ в $E {\ displaystyle \ mathrm {E}}$ $\Epsilon$ размещается так, как если бы он был частью сетки, наложенной на изображение, так что блок не перекрывает сам себя, но в алгоритмах скользящего блока блок перемещается по изображению так, чтобы он перекрывал себя, а " Sliding Box Lacunarity »или SLac. На рисунке 2 показаны оба типа подсчета ящиков.

Вычисления на основе подсчета ящиков

Данные, собранные для каждого $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , обрабатываются для вычисления лакунарности. Один показатель, обозначенный здесь как $λ ε {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon}}$ , находится из коэффициента вариации ( $CV {\ displaystyle {\ mathit {CV}) }}$ ${\ mathit {CV}}$ ), рассчитанное как стандартное отклонение ( $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ), деленное на среднее значение ( $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ ) для пикселей в блоке. Поскольку способ выборки изображения будет зависеть от произвольного начального местоположения, для любого изображения, выбранного в любом $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , будет некоторое число ( $G {\ displaystyle {\ mathit {G}}}$ ${\ mathit {G}}$ ) возможных ориентаций, каждая из которых обозначена здесь как $g {\ displaystyle {\ mathit {g}}}$ ${\ m athit {g}}$ , что данные могут быть собраны вместе, что может по-разному влиять на измеренное распределение пикселей. Уравнение 1показывает основной метод вычисления $λ ε, g {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ :

λ ε, g = (CV ε, g) 2 = (σ ε, г μ ε, g) 2 {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g} = (CV _ {\ varepsilon, g}) ^ {2} = \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ varepsilon, g} } {\ mu _ {\ varepsilon, g}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g} = (CV _ {\ varepsilon, g}) ^ {2} = \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ varepsilon, g }} {\ mu _ {\ varepsilon, g}}} \ right) ^ {2}}

(1)

Распределение вероятностей

Кроме того, некоторые методы сортируют количество пикселей, подсчитанных в распределение вероятностей, имеющее $B {\ displaystyle B}$ $B$ интервалы, и используйте размеры интервалов (массы, $m {\ displaystyle m}$ $m$ ) и их соответствующие вероятности ( $p {\ displaystyle p}$ $p$ ) для вычисления $λ ε, g {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ в соответствии с уравнениями от 2до 5:

μ ε знак равно ∑ я знак равно 1 В ми, ε пи, ε {\ Displaystyle \ му _ {\ varepsilon} = \ sum _ {i = 1} ^ {B} {m_ {i, \ varepsilon} p_ { я, \ varepsilon}}}

{\ displaystyle \ mu _ {\ varepsilon} = \ sum _ {i = 1} ^ {B} {m_ {i, \ varepsilon} p_ {i, \ varepsilon}}}

(2)

v ε = ∑ i - 1 B (mi, ε - μ ε) 2 пи, ε {\ displaystyle {\ mathit {v}} _ {\ varepsilon } = \ sum _ {i-1} ^ {B} {\ l eft (m_ {i, \ varepsilon} - \ mu _ {\ varepsilon} \ right) ^ {2} p_ {i, \ varepsilon}}}

{\ displaystyle {\ mathit {v}} _ {\ varepsilon} = \ sum _ {i-1} ^ {B} {\ left (m_ {i, \ varepsilon} - \ mu _ {\ varepsilon} \ right) ^ {2} p_ {i, \ varepsilon} }}

(3)

σ ε = v ε = ∑ i Знак равно 1 В ми, ε 2 пи, ε - μ ε 2 {\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} = {\ sqrt {{\ mathit {v}} _ {\ varepsilon}}} = \ sum _ {я = 1} ^ {B} {m_ {i, \ varepsilon} ^ {2} p_ {i, \ varepsilon} - \ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}}}

{ \ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} = {\ sqrt {{\ mathit {v}} _ {\ varepsilon}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {B} {m_ {i, \ varepsilon} ^ {2} p_ {i, \ varepsilon} - \ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}}}

(4)

λ ε Знак равно ∑ я знак равно 1 В ми, ε 2 пи, ε - μ ε 2 μ ε 2 знак равно σ ε 2 μ ε 2 {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {B} {m_ {i, \ varepsilon} ^ {2} p_ {i, \ varepsilon} - \ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}}} {\ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}} } = {\ frac {\ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}} {\ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ la mbda _ {\ varepsilon} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {B} {m_ {i, \ varepsilon} ^ {2} p_ {i, \ varepsilon} - \ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}}} {\ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}} {\ mu _ {\ varepsilon} ^ {2}} }}

(5)

Интерпретация λ

Лакунарность на основе $λ ε, g {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ оценивалась несколькими способами, в том числе с использованием вариации или среднего значения $λ ε, g {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ для каждого $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ (см. уравнение 6) и используя отклонение или среднее значение по всей сетке ds (см. уравнение 7).

λ ε, g ¯ = ∑ ε = 1 E λ ε, g E {\ displaystyle {\ overline {\ lambda _ {\ varepsilon, g}}} = {\ frac {\ sum _ { \ varepsilon = 1} ^ {\ mathrm {E}} \ lambda _ {\ varepsilon, g}} {\ mathrm {E}}}}

{\ displaystyle {\ overline {\ lambda _ {\ varepsilon, g}}} = {\ frac {\ sum _ {\ varepsilon = 1} ^ {\ mathrm {E}} \ lambda _ {\ varepsilon, g}} {\ mathrm {E}}}}

(6)

Λ g = ∑ g = 1 G λ ε, г ¯ G {\ Displaystyle \ Lambda _ {\ mathit {g}} = {\ frac {\ sum _ {{\ mathit {g}} = 1} ^ {\ mathit {G}} {\ overline {\ lambda _ {\ varepsilon, g}}}} {\ mathit {G}}}}

{\ displaystyle \ Lambda _ {\ mathit {g}} = {\ frac {\ sum _ {{\ mathit {g}} = 1} ^ {\ mathit {G}} {\ overline {\ lambda _ {\ varepsilon, g}}}} {\ mathit {G}}}}

(7)

Связь с фрактальной размерностью

Анализ лакунарности с использованием типов значений, описанных выше, имеет показали, что наборы данных, извлеченные из плотных фракталов, из паттернов, которые мало меняются при повороте, или из паттернов, которые являются однородными, имеют низкую лакунарность, но по мере увеличения этих характеристик, как правило, лакунарность увеличивается. В некоторых случаях было продемонстрировано, что фрактальные измерения и значения лакунарности коррелированы, но более поздние исследования показали, что эта взаимосвязь не выполняется для всех типов паттернов и мер лакунарности. Действительно, как первоначально предположил Мандельброт, лакунарность оказалась полезной для различения паттернов (например, фракталов, текстур и т. Д.), Которые разделяют или имеют схожие фрактальные измерения в различных областях науки, включая нейробиологию.

Графическая лакунарность

Другие методы оценки лакунарности на основе данных подсчета ячеек используют соотношение между значениями лакунарности (например, $λ ε, g {\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ) и $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ разными способами, отличными от указанных выше. Один из таких методов смотрит на график этих значений $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ vs $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ . Согласно этому методу, сама кривая может быть проанализирована визуально или наклон в $g {\ displaystyle {\ mathit {g}}}$ ${\ m athit {g}}$ может быть вычислен из $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ vs $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ линия регрессии. Поскольку они имеют тенденцию вести себя определенным образом для моно-, мульти- и нефрактальных паттернов соответственно, $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ vs $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ графики лакунарности использовались для дополнения методов классификации таких шаблонов.

Чтобы построить графики для этого типа анализа, сначала необходимо преобразовать данные подсчета ячеек, как в уравнении 9:

е λ ε, g = λ ε, g + 1 {\ displaystyle f \ lambda _ {\ varepsilon, g} = \ lambda _ {\ varepsilon, g} +1}

{\ displaystyle f \ lambda _ {\ varepsilon, g} = \ lambda _ {\ varepsilon, g} +1}

(9)

Это преобразование позволяет избежать неопределенные значения, что важно, поскольку однородные изображения будут иметь $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ при некотором $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ равном 0, так что невозможно найти наклон линии регрессии $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ vs $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ . При $f λ ε, g {\ displaystyle f \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ ${\ displaystyle f \ lambda _ {\ varepsilon, g}}$ однородные изображения имеют наклон 0, что интуитивно соответствует идее отсутствия инвариантности относительно вращения или трансляции и без пропусков.

Метод подсчета одного прямоугольника с использованием «скользящего» прямоугольника вычисляет лакунарность в соответствии с:

L (r) = ∑ i = 1 r 2 S i 2 Q (S i, r) (∑ я знак равно 1 г 2 S я Q (S я, г)) 2. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} (r) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {r ^ {2}} S_ {i} ^ {2} Q (S_ {i}, r)} {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {r ^ {2}} S_ {i} Q (S_ {i}, r) \ right) ^ {2}}}.}

{\ mathcal {L}} (r) = {\ frac {\ сумма _ {{i = 1}} ^ {{r ^ {2}}} S_ {i} ^ {2} Q (S_ {i}, r)} {\ left (\ sum _ {{i = 1} } ^ {{r ^ {2}}} S_ {i} Q (S_ {i}, r) \ right) ^ {2}}}.

( 10)

$S i {\ displaystyle S_ {i}}$ $S_ {i}$ - количество заполненных точек данных в поле, а $Q (S i, r) {\ displaystyle Q (S_ {i }, r)}$ $Q (S_ {i}, r)$ нормализованное частотное распределение $S i {\ displaystyle S_ {i}}$ $S_ {i}$ для блоков разных размеров.

Лакунарность префактора

Другой предложенный способ оценки лакунарности с использованием подсчета ячеек, метод префактора, основан на значении, полученном в результате подсчета ячеек для фрактальной размерности ( $DB {\ displaystyle D_ {B}}$ $D_{B}$ ). В этой статистике используется переменная $A {\ displaystyle A}$ $A$ из правила масштабирования $N = A ε DB {\ displaystyle N = A \ varepsilon ^ {D_ {B}}}$ ${\ displaystyle N = A \ varepsilon ^ {D_ {B}}}$ , где $A {\ displaystyle A}$ $A$ вычисляется из точки пересечения по оси Y ( $y {\ displaystyle {\ mathit {y}}}$ ${\ mathit {y}}$ ) линии регрессии ln-ln для $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ и либо количества ( $N {\ displaystyle N}$ $N$ ) блоков, в которых любые пиксели в них, иначе $m {\ displaystyle m}$ $m$ at $g {\ displaystyle g}$ $g$ . $A {\ displaystyle A}$ $A$ особенно зависит от размера изображения и способа сбора данных, особенно от используемого нижнего предела $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Окончательная мера рассчитывается, как показано в уравнениях с 11по 13:

A g = 1 eyg {\ displaystyle A_ {g} = {\ frac {1} {e ^ {{\ mathit {y}} _ {g} }}}}

A_ {g} = {\ frac {1} {e ^ {{{\ mathit {y}} _ {g}}}}}

(11)

A ¯ = ∑ g = 1 GA g G {\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ frac {\ sum _ {g = 1} ^ {G} A_ {g}} {G}}}

\ overline {A} = {\ frac {\ sum _ {{g = 1}} ^ {G} A_ {g}} {G}}

(12)

P Λ = ∑ g = 1 G (A g A ¯ - 1) 2 G {\ displaystyle P \ Lambda = {\ frac {\ sum _ {g = 1} ^ {G} {\ left ({\ frac {A_ {g}} {\ overline {A}}} - 1 \ right) ^ {2}}} {G}}}

P \ Lambda = {\ frac {\ sum _ {{g = 1}} ^ {G} {\ left ({{\ frac {A_ {g}} {\ overline A}}} - 1 \ right) ^ {2}}} {G} }

(13)

Приложения

Ниже приводится список некоторых областей, в которых лакунарность играет важную роль, а также ссылки на соответствующие исследования, иллюстрирующие практическое использование лакунарности.

Экология
Физика
Археология
Медицинская визуализация
Городской пространственный анализ
Сейсмические исследования
Стоматология
Пищевая наука

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

«Руководство пользователя FracLac».Онлайн-руководство по теории лакунарности и анализу с использованием бесплатного программного обеспечения для визуализации биологических объектов с открытым исходным кодом.