Точечный процесс Пуассона

Визуальное изображение процесса точки Пуассона, начиная с 0, в котором приращения непрерывно и независимо со скоростью λ.

В вероятности, статистика и связанных полях точечный процесс Пуассона является типом случайного математического объекта, который состоит из точек, случайно в математическом анализе. Точечный процесс Пуассона часто называют просто процесс Пуассона, но его также называют случайной мерой Пуассона, полем случайных точек Пуассона или точкой Пуассона. поле . Этот точечный процесс имеет удобные математические свойства, благодаря которому он часто определяется в евклидовом пространстве и используется как математическая модель для кажущихся случайными процессами во многих дисциплинах. такие как астрономия, биология, экология, геология, сейсмология, физика, экономика, обработка изображений и телекоммуникации.

Процесс назван в честь франском языке математика Симеона Дени Пуассона Несмотря на то, что Пуассон никогда не изучал этот процесс. Его название происходит от того факта, что если набор случайных точек в некотором процессе области образует пуассоновский, то количество в конечном размере случайной величиной с распределением Пуассона. Этот процесс был обнаружен независимо и неоднократно в нескольких случаях, включая эксперименты по радиоактивному распаду, поступлению телефонных звонков и математике страхования.

Точечный процесс Пуассона часто определяется на вещественной линии, где он можно рассматривать как случайный процесс. В этой настройке он используется, например, в теории очередей для моделирования случайных событий, таких как прибытие покупателей в магазин, телефонные звонки на станции обмена или возникновение землетрясений, распределенные во времени. В плоскости точечный процесс, также известный как пространственный пуассоновский процесс, может представлять местоположение рассеянных объектов, таких как передатчики в беспроводной сети, частицы сталкиваются с детектором, или деревьями в лесу. В этом контексте процесс часто используется в математических моделях и связанных пространственных точечных процессах, стохастической геометрии, пространственной статистики и теории перколяции континуума. Точечный процесс Пуассона можно определить на более абстрактных пространствах. Помимо приложений, точечный процесс Пуассона сам по себе является объектом математического исследования. Во всех настройках точечный процесс Пуассона имеет свойство, заключающееся в том, что каждая точка стохастически независима от всех других точек в процессе, поэтому его иногда называют чисто или полностью случайным процессом. Несмотря на широкое использование в стохастической модели явлений, представленных в виде точек, внутренняя природа подразумевает, что он неадекватно использование явлений, в существует достаточно сильное взаимодействие между точками. Это вдохновило предложение о других точечных процессах, которые построены с помощью точечного процесса Пуассона, которые стремятся уловить такое взаимодействие.

Точечный процесс зависит от одного математического объекта, который, в зависимости от контекста, может быть константой, локально интегрируемой функцией или, в более общих настройках, мерой Радона. В первом константе, известная как скорость или интенсивность, представляет собой среднюю плотность точек в процессе Пуассона, расположенной в некоторой области пространства.. Результирующий точечный процесс называется однородным или стационарным точечным процессом Пуассона . Во втором случае точечный процесс называется неоднородным или неоднороднымточечным процессом Пуассона, и средняя плотность точек зависит от расположения нижележащего пространства. точечного процесса Пуассона. Слово точка часто опускается, но существуют другие пуассоновские процессы объектов, которые могут быть основаны на точечном процессе Пуассона, как линии и многоугольники..

Содержание

• 1 Обзор определений
  • 1.1 Распределение Пуассона количества точек
  • 1.2 Полная независимость
• 2 Однородный точечный процесс Пуассона
  • 2.1 Интерпретируется как подсчет процесса
  • 2.2 Интерпретируется как точечный процесс на реальном линии
    • 2.2.1 Ключевые свойства
    • 2.2.2 Закон больших чисел
    • 2.2.3 Свойство без памяти
    • 2.2.4 Упорядоченность и простота
    • 2.2.5 Характеристика Мартингейла
    • 2.2.6 Связь с другими процессами
    • 2.2.7 Ограничение до полуоси
    • 2.2.8 Приложения
    • 2.2.9 Обобщения
  • 2.3 Пространственная точка Пуассона процесс
    • 2.3.1 Приложения
  • 2.4 Определены в более высоких Измерения
  • 2.5 Точки распределены равномерно
• 3 Неоднородный точечный процесс Пуассона
  • 3.1 Определено на реальной линии
    • 3.1.1 Интерпретация процесса счета
  • 3.2 Пространственный процесс Пуассона
  • 3.3 В более высоких измеренийх
  • 3.4 Приложения
  • 3.5 Интерпретация функции интенсивности
  • 3.6 Проста я точка процесс
• 4 Моделирование
  • 4.1 Шаг 1: Количество точек
    • 4.1.1 Однородный случай
    • 4.1.2 Неоднородный случай
  • 4.2 Шаг 2: Размещение точек
    • 4.2.1 Однородный случай
    • 4.2.2 Неоднородный случай
• 5 Общий точечный процесс Пуассона
• 6 История
  • 6.1 Распределение Пуассона
  • 6.2 Открытие
  • 6.3 Ранние приложения
  • 6.4 История терминов
• 7 Терминология
• 8 Обозначение
• 9 Функционалы и меры момента
  • 9.1 Функционалы Лапласа
  • 9.2 Вероятностные производящие функционалы
  • 9.3 Моментная мера
  • 9.4 Уравнение Меке
  • 9.5 Факторная мера
• 10 Функция избегания
  • 10.1 Теорема Реньи
• 11 Операции точечного процесса
  • 11.1 Разбавление
  • 11.2 Суперпозиция
    • 11.2.1 Теорема суперпозиции
  • 11.3 Кластеризация
  • 11.4 Случайное смещение
    • 11.4.1 Теорема с ущербом
  • 11.5 Отображение
    • 11.5.1 Отображение теоремы
• 12 Аппроксимации с точечными процессами Пуассона
  • 12.1 Эвристика слипания
  • 12.2 Метод Штейна
• 13 Сходимость к Точечный процесс Пуассона
• 14 Обобщения точечных процессов Пуассона
  • 14.1 Случайные меры пуассоновского типа
  • 14.2 Точечные процессы Пуассона в более общих пространствах
  • 14.3 Точечный процесс Кокса
  • 14.4 Отмеченный точечный процесс Пуассона
    • 14.4.1 Теорема разметки
  • 14.5 Составной точечный процесс Пуассона
  • 14.6 Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций силой
• 15 См. Также
• 16 Примечания
• 17 Ссылки
  • 17.1 Специфические
  • 17.2 Общие
    • 17.2.1 Книги
    • 17.2.2 Статьи

Обзор определений

В зависимости от настройки, процесс имеет несколько эквивалентных определений, а также определений разной степени общности из-за множества функций и характеристик. Точечный процесс Пуассона может быть определен, изучен и использован в одном измерении, например, на реальной линии, где его можно интерпретировать как процесс подсчета или как часть модели массового обслуживания; в более высоких измерениях, таких как плоскость, где он играет роль в стохастической геометрии и пространственной статистике ; или в более общих математических пространств. Следовательно, обозначения, терминология и уровень математической строгости, используются для определения и изучения тогочечного процесса Пуассона и точечных процессов в целом, различаются в зависимости от контекста.

, несмотря на то, что используется точечный процесс Пуассона, два ключевых свойства: свойство, которое играет важную роль во всех условиях, в которых используется точечный процесс Пуассона. Эти два свойства не являются логически независимыми; действительно, независимость подразумевает распределение Пуассона количества точек, но не наоборот.

Распределение Пуассона количества точек

Точечный процесс Пуассона характеризует с помощью распределения Пуассона. Распределение Пуассона - это распределение вероятностей случайной величины $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$(называемой случайной величиной Пуассона) такой, что вероятность того, что $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$равно $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$определяется по формуле:

$P\; \{N\; =\; n\}\; =\; \Lambda \; nn!\; е\; -\; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\}\}$

где $n!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n!\}$обозначает $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$факториал и параметр $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$определяет форму распределения. (Фактически, $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$равно ожидаемому значению $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$.)

По определенным точечным процессом Пуассона обладает тем свойством, что количество точек в ограниченной области базового пространства процесса является распределенной величиной Пуассона.

Полная независимость

Рассмотрим набор непересекающихся и ограниченных подобластей нижележащего пространства. По определению, количество точек точечного процесса Пуассона в каждой ограниченной подобласти будет полностью независимым от всех остальных.

Это свойство известно под названиями, такими как полная независимость, полная независимость или независимое рассеяние, общее для всех точечных процессов Пуассона. Другими словами, отсутствует взаимодействие между различными регионами и точками в целом, что мотивирует процесс Пуассона, который иногда называют или полностью случайным процессом.

Однородный точечный процесс Пуассона

Если точечный процесс Пуассона имеет параметр вида $\Lambda \; =\; \nu \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; nu\; \backslash \; lambda\}$, где $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; nu\}$- мера Лебега (то есть присваивает наборам длины, площади или объема), а $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$- константа, тогда Точечный процесс называется однородным или стационарным точечным пуассоновским процессом. Параметр, называемый скорость или интенсивность, с ожидаемым (или средним) средним) точками Пуассона, используемая в некоторой ограниченной области, где скорость обычно используется в нижележащем пространстве есть одно измерение. Параметр $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$можно интерпретировать как среднее количество точек на некоторую единицу экстента, например length, area, объем или время, в зависимости от математического пространства, лежащего в основе, и это также называется средней плотностью или средней скоростью; см. Терминология.

Интерпретация как процесс подсчета

Однородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, может быть определен как процесс подсчета, тип случайного процесса, который можно обозначить как $\{N\; (t),\; t\; \ge \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; \{N\; (t),\; t\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \}\}$. Процесс подсчета представляет собой общее количество вхождений или событий, произошедших до $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\}$включительно. Процесс подсчета - это однородный процесс подсчета Пуассона со скоростью $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$если он имеет следующие три свойства:

• $N\; (0)\; =\; 0;\; \{\backslash \; textstyle\; N\; (0)\; =\; 0\; ;\}$
• имеет независимых приращений ; и
• количество событий (или точек) в любом интервале длины $t\; \{\backslash \; textstyle\; t\}$- случайная величина Пуассона с параметром (или средним) $\lambda \; t\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; t\}$.

Последнее свойство подразумевает:

$E\; [N\; (t)]\; =\; \lambda \; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; [N\; (t)]\; =\; \backslash \; lambda\; t.\}$

Другими словами, вероятность случайной величины $N\; (t)\; \{\backslash \; textstyle\; N\; (t)\}$, равное $n\; \{\backslash \; textstyle\; n\; \}$, определяется как:

$P\; \{N\; (t)\; =\; n\}\; =\; (\lambda \; t)\; nn!\; E\; -\; \lambda \; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; \backslash \; \{N\; (t)\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; lambda\; t)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; t\}.\}$

По процессу подсчета также можно определить, что разница во времени между событиями процесса подсчета является показательной со средним значением $1\; /\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 1\; /\; \backslash \; lambda\}$. Разница во времени между событиями или приходами известна как межприбытие или интервалраз

Интерпретируется как точечный процесс на реальной линии

Интерпретируется как точечный процесс , точечный процесс Пуассона может быть определен на вещественной, учитывая количество точек процесса в интервале $(a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a,\; b]\}$. Для однородного точечного процесса Пуассона реальной линии с параметром $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$, вероятность этого случайного числа точек, записанных здесь как $N\; (a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (a,\; b]\}$, что равно некоторому по счетному $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$определяется по формуле:

$P\; \{N\; (a,\; b]\; =\; n\}\; =\; [\lambda \; (b\; -\; a)]\; nn!\; E\; -\; \lambda \; (b\; -\; a),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (a,\; b]\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{[\backslash \; lambda\; (ba)]\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; (ba)\},\}$

Для некоторого положительного целого числа $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; k\}$однородный точечный процесс Пуассона имеет конкретное распределение, определяемое следующим образом:

$P\; \{\; N\; (ai,\; bi]\; =\; ni,\; i\; =\; 1,\dots ,\; k\}\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; k\; [\lambda \; (bi\; -\; ai)]\; nini!\; е\; -\; \lambda \; (bi\; -\; ai),\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (a\_\; \{i\},\; b\_\; \{i\}]\; =\; n\_\; \{i\},\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\; \backslash \}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{[\backslash \; lambda\; (b\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\})]\; ^\; \{n\_\; \{i\}\}\}\; \{n\_\; \{i\}!\}\}\; E\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; (b\_\; \{\; i\}\; -a\_\; \{i\})\},\}$

где действительные числа .

Другими словами, $N\; (a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (a,\; b]\}$- случайная величина Пуассона со средним значением $\lambda \; (b\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (ba)\}$, где $a\; \le \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; a\; \backslash \; leq\; b\}$. Кроме того, количества точек в любых двух непересекающихся интервалах, $(a\; 1,\; b\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\}\; ]\}$и $(a\; 2,\; b\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\}]\}$не зависит друг от друга, и это В контексте теории массового обслуживания можно рассматривать существующую точку (в интервале) как событие, но это отличается от слова событие в вероятности смысл теории. Отсюда следует, что $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lamb\; da\}$- ожидаемое количество поступлений, которые происходят в единицу времени.

Ключевые свойства

Предыдущее определение имеет две важные особенности, общие для точечных процессов Пуассона в целом:

• количество вступлений в каждом интервале имеет распределение Пуассона;
• количество вступлений в непересекающиеся интервалы являются независимыми случайными величинами.

Кроме того, у него есть третья особенность, связанная только с однородным пуассоном точечный процесс:

• распределение Пуассона числа приходов в каждом интервале $(a\; +\; t,\; b\; +\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a\; +\; t,\; b\; +\; t]\}$зависит только от длины интервала $b\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; ba\}$.

Другими словами, для любого конечного $t>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t>0\}$, случайная величина $N\; (а\; +\; т,\; б\; +\; т]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textsty\; le\; N\; (a\; +\; t,\; b\; +\; t]\}$не зависит от $t\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\}$, поэтому его также называют стационарным процессом Пуассона.

Закон больших чисел

Величина $\lambda \; (bi\; -\; ai)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (b\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\})\}$можно интерпретировать как ожидаемое или среднее количество точек в интервале $(ai,\; bi]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a\_\; \{i\},\; b\_\; \{i\}]\}$, а именно:

$E\; \{N\; (ai,\; bi]\}\; =\; \lambda \; (би\; -\; ai),\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \backslash \; \{N\; (a\_\; \{i\},\; b\_\; \{i\}]\; \backslash \}\; =\; \backslash \; lambda\; (b\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\}),\}$

где $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; E\}$математически обозначает оператор ожидания. Другими словами, параметр $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$процесса Пуассона совпадает с плотностью точек. Более того, однородный точечный процесс Пуассона придерживается своей собственной формы (сильного закона) больших чисел. Более конкретно, с вероятностью один:

$lim\; t\; \to \; \infty \; N\; (t)\; t\; =\; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{N\; (t)\}\; \{t\}\}\; =\; \backslash \; лямбда,\}$

где $lim\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lim\}$обозначает предел функции, а $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- ожидаемое количество поступлений за единицу времени.

Свойство без памяти

Расстояние между двумя последовательными точками точечного процесса на реальной линии будет экспоненциальной случайной величиной с параметром $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$(или, что эквивалентно, означает $1\; /\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 1\; /\; \backslash \; lambda\}$). Это означает, что имеет свойство свойством без памяти : наличие одной точки, существующей в конечном интервале, не влияет на вероятность (существование) других точек, но это не свойство естественной эквивалентности, когда Пуассона определяется в пространстве с более высоких измерений.

Упорядоченность и простота

Точечный процесс со стационарными приращениями иногда называют упорядоченным или регулярным, если:

$P\; \{N\; (t,\; t\; +\; \delta ]>1\}\; =\; о\; (\delta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (t,\; t\; +\; \backslash \; delta]>1\; \backslash \}\; =\; o\; (\backslash \; delta),\}$

где используется небольшая нотация. называется простой точечный процесс, когда вероятность того, что любая из двух точек, совпадающих в одной и той же позиции на нижележащем пространстве, равна нулю. процесс прост, как в случае однородного точечного процесса Пуассона.

Характеристика Мартингейла

На вещественной прямой однородный точечный процесс Пуассона имеет связь с теорией мартингалы с помощью следующей характеристики: точечный процесс является однородным точечным процессом Пуассона тогда и только тогда, когда

$N\; (-\; \infty ,\; t]\; -\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (-\; \backslash \; infty,\; t]\; -\; t,\}$

- мартингейл.

Связь с другими процессами

В реальном масштабе времени пуассоновский процесс является типом непрерывного марковского процесса, известного как процесс рождения, частный случай процесса рождения-смерти (только с рождениями и нулевыми смертями). Были определены более сложные процессы со свойством Маркова, такие как Марковские процессы прихода, где процесс Пуассона является частным случаем.

Ограничено полупрямой

Если рассматривать однородный пуассоновский процесс только на полуоси $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$, который может быть Если $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\}$ представляет время, тогда результирующий процесс не является полностью инвариантным при переводе. В этом случае, согласно некоторым определениям стационарности, пуассоновский процесс больше не является стационарным.

Приложения

Было много применений однородного пуассоновского процесса на реальной прямой в попытке смоделировать происходящие на первый взгляд случайные и независимые события. Она играет фундаментальную роль в теории массового обслуживания, которая представляет собой поле вероятности подходящих стохастических моделей для представления случайного значения явлений. Например, клиенты, прибывающие и обслуживаемые, или телефонные звонки, поступающие на телефонную станцию, могут быть изучены с помощью методов теории очередей.

Обобщения

Однородный пуассоновский процесс на реальном прямом считается одним из простейших случайных процессов для подсчета случайного числа точек. Этот процесс можно обобщить по-разному. Одним из обобщенных результатов является расширение распределения времени между экспоненциальным процессом распределения других распределений, что такое улучшение как процесс обновления . Другое обобщение - определение точечного процесса Пуассона в пространствех высоких измерений, таких как плоскость.

Пространственный точечный процесс Пуассона

A пространственный процесс Пуассона - это точечный процесс Пуассона, модель на плоскости $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\}$. Для его математического определения сначала ограниченная, открытая или замкнутая (или, точнее, измеримая по Борелю ) область $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$плоскости. Количество точек точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$, используя в этой области $B\; \subset \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{\; 2\}\}$- случайная величина, обозначаемая $N\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (B)\}$. Если точка принадлежит однородному пуассоновскому процессу с параметром $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$, тогда вероятность $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$, в $точек\; в$ \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$$определяется выражением:

$P\; \{N\; (B)\; =\; n\}\; =\; (\lambda \; |\; B\; |)\; nn!\; E\; -\; \lambda \; |\; B\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (B)\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; lambda\; |\; B\; |)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; E\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; |\; B\; |\}\}$

где $|\; B\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; |\; B\; |\}$обозначает область $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$.

для некоторого конечного целого числа $k\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; k\; \backslash \; geq\; 1\}$, мы можем дать конечное распределение однородного точечного процесса Пуассона, сначала рассмотрев набор непересекающихся ограниченных борелевских (измеримых) множеств $B\; 1,\dots ,\; В\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; TextStyle\; B\_\; \{1\},\; \backslash \; точек,\; B\_\; \{k\}\}$. Число точек точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$, используя в $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{i\}\}$, может быть записывается как $N\; (B\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (B\_\; \{i\})\}$. Процесс затем однородной точки Пуассона с параметром $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$имеетерное распределение:

$P\; \{N\; (B\; i)\; =\; ni,\; i\; =\; 1,\dots ,\; k\}\; Знак\; равно\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; К\; (\lambda \; |\; В\; я\; |)\; nini!\; Е\; -\; \lambda \; |\; В\; я\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (B\_\; \{i\})\; =\; n\_\; \{i\},\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\; \backslash \}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; lambda\; |\; B\_\; \{i\}\; |)\; ^\; \{n\_\; \{i\}\}\}\; \{n\_\; \{i\}!\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; |\; B\_\; \{i\}\; |\}.\}$

Приложения

Согласно одному статистическому исследованию, положение базовых станций или мобильной связи в австралийском городе Сидней, изображенном выше, похоже на однородного точечного процесса Пуассона, тогда как во многих других городах по всему миру этого не происходит, требуются другие точечные процессы.

Пространственный точечный процесс Пуассона занимает видное место в прост ранственной статистике, стохастической геометрии и континуум p Теория эрколяции. Этот точечный процесс использования в различных физических науках, как модель, разработанная для обнаружения альфа-частиц. В последние годы используются для моделирования последних кажущихся неупорядоченных пространственных настроек некоторых сетей беспроводной связи. Например, были разработаны модели для сотовых или мобильных телефонных сетей, признанные в соответствии с принципом, что передатчики телефонной сети, известные как базовые станции, располагаются в соответствии с однородным точечным процессом Пуассона.

Определено в более высоких измеренийх

Предыдущий процесс однородной точки Пуассона распространяется на более высокие измерения, заменяя понятие площади (многомерным) объемом. Для некоторой ограниченной области $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$евклидова пространства $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$, если точки образуют однородный пуассоновский процесс с параметром $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$, тогда вероятность $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$очков существующий в $B\; \subset \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$определяется по формуле:

$P\; \{N\; (B)\; =\; n\}\; =\; (\lambda \; |\; B\; |)\; nn!\; Е\; -\; \lambda \; |\; B\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (B)\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; lambda\; |\; B\; |)\; ^\; \{n\}\}\; \{п!\}\}\; E\; ^\; \{\; -\; \backslash \; lambda\; |\; B\; |\}\}$

где $|\; B\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; |\; B\; |\}$теперь обозначает $d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$-мерный объем $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$. Кром е того, для набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств $B\; 1,\dots ,\; B\; k\; \subset \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; B\_\; \{k\}\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{\; d\}\}$, пусть $N\; (B\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (B\_\; \{i\})\}$обозначает количество точек $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$, используя в $я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{i\}\}$. Затем соответствующий однородный точечный процесс Пуассона с параметром $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$имеет конечное распределение:

$P\; \{N\; (B\; i)\; =\; ni,\; i\; =\; 1,\dots ,\; k\}\; Знак\; равно\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; К\; (\lambda \; |\; В\; я\; |)\; nini!\; Е\; -\; \lambda \; |\; В\; я\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (B\_\; \{i\})\; =\; n\_\; \{i\},\; я\; =\; 1,\; \backslash \; точки,\; k\; \backslash \; \}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; lambda\; |\; B\_\; \{i\}\; |)\; ^\; \{n\_\; \{i\}\}\}\; \{n\_\; \{i\}!\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; |\; B\_\; \{i\}\; |\}.\}$

Однородные точечные процессы Пуассона не зависят от положения нижележащего пространства через его параметр $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$, из чего следует, что это и стационарный процесс (инвариантный к переносу), и изотропный (инвариантный к вращению) случайный процесс.Как и в одномерном случае, однородный точечный процесс ограничен некоторым ограниченным подмножеством $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$, тогда в зависимости от определенных стационарности процесс больше не является стационарным.

Точки распределены равномерно

Если однородные Точечный процесс определяет на реальной линии как математическая модель для возникновения некоторого явления, он имеет характерную линию черту, заключающуюся в том, что положения этих явлений или событий на реальной линии (часто интерпретируемой как время) будут равномерно распределены. Более конкретно, если событие происходит (в соответствии с этим процессом) в интервале $(a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a,\; b]\}$, где $a\; \le \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; a\; \backslash \; leq\; b\}$, то его местоположение будет однородной случайной величиной, определенным на этом интервале. Более того, однородный точечный процесс иногда называют однородным точечным процессором Пуассона (см. Терминология

Неоднородный точечный процесс Пуассона

График неоднородного точечного процесса Пуассона на реальном прямом прямом, событиях отмечены черными крестами, это свойство однородности распространяется на более высокие измерения в декартовых координатах, но не, например, в полярных координатах. зависящая от времени скорость $\lambda \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; (t)\}$задается функцией, отмеченной красным.

неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона (см. Терминологию ) - это точечный процесс Пуассона с параметром Пуассона, установленным как некоторый зависящий от местоположения функция Ent в базовом пространстве, на котором определен процесс Пуассона. Для евклидова пространства $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$это достигается введением локально интегрируемой положительной функции $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$, где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$- это $d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$-мерная точка, расположенная в $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$, так что для любой ограниченной области $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$($d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$-мерный) интеграл объема от $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$в области $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$конечно. Другими словами, если этот интеграл, обозначенный $\Lambda \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\}$, будет:

где $dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}$- это ($d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$-мерный) элемент объема, для любого набора непересекающихся ограниченных измеримых по Борелю множеств $B\; 1,\dots ,\; B\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; B\_\; \{k\}\}$, неоднородный процесс Пуассона с функцией (яркостью) $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$имеет конкретное распределение:

$P\; \{N\; (B\; i)\; =\; ni,\; i\; =\; 1,\dots ,\; k\}\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; k\; (\Lambda \; (B\; i))\; nini!\; е\; -\; \Lambda \; (B\; i).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (B\_\; \{i\})\; =\; n\_\; \{i\},\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\; \backslash \}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; Lambda\; (\; B\_\; \{i\}))\; ^\; \{n\_\; \{i\}\}\}\; \{n\_\; \{i\}!\}\}\; E\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\; (B\_\; \{i\})\}.\}$

Кроме того, $\Lambda \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\}$интерпретируется как ожидаемое количество точек процесса Пуассона, предназначенное в ограниченной области $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$, а именно

$\Lambda \; (B)\; =\; E\; [N\; (B)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; =\; E\; [N\; (B)].\}$

Определено на вещественной прямой

На вещественную прямой неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона имеет заднюю среднюю меру одномерным интегралом. Для двух действительных чисел $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; b\}$, где $a\; \le \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; a\; \backslash \; leq\; b\}$, обозначить с помощью $N\; (a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (a,\; b]\}$количество точек неоднородной пуассоновской процесс с функции функций $\lambda \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (t)\}$, происходящий в интервале $(a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a,\; b]\}$. Вероятность наличия $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$точек в указанном выше интервале $(a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; (a,\; b]\; \}$определяется по формуле:

$P\; \{N\; (a,\; b]\; =\; n\}\; =\; [\Lambda \; (a,\; b)]\; nn!\; E\; -\; \Lambda \; (a,\; b).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \backslash \; \{N\; (a,\; b]\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{[\backslash \; Lambda\; (a,\; b)]\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; E\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\; (a,\; b)\}.\}$

где среднее значение или мера интенсивности:

$\Lambda \; (a,\; b)\; =\; \int \; ab\; \lambda \; (t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; лямбда\; (t)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t,\}$

который m означает, что случайная переменная le $N\; (a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (a,\; b]\}$является случайной величиной Пуассона со средним значением $E\; \{N\; (a,\; b\; ]\}\; =\; \Lambda \; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; E\; \backslash \; \{N\; (a,\; b]\; \backslash \}\; =\; \backslash \; Lambda\; (a,\; b)\}$.

Особенностью одномерного параметра является то, что неоднородный Пуассоновский процесс можно преобразовать в однородный с помощью монотонного преобразования или отображения, что достигается с помощью обратного $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$.

Интерпретация процесса подсчета

Неоднородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, также иногда определяют как процесс счета. При такой интерпретации процесс, который иногда записывается как $\{N\; (t),\; t\; \ge \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; \{N\; (t),\; t\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \}\}$, представляет общее количество вхождений или событий, которые произошли до времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; t\}$включительно. Процесс счета называется неоднородным процессом счета Пуассона, если он имеет четыре свойства:

• $N\; (0)\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (0)\; =\; 0;\}$
• имеет независимых приращений ;
• $P\; \{N\; (t\; +\; h)\; -\; N\; (t)\; =\; 1\}\; =\; \lambda \; (t)\; h\; +\; o\; (\; з);\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; P\; \backslash \; \{N\; (t\; +\; h)\; -N\; (t)\; =\; 1\; \backslash \}\; =\; \backslash \; lambda\; (t)\; h\; +\; o\; (h);\}$и
• $P\; \{N\; (T\; +\; час)\; -\; N\; (t)\; \ge \; 2\}\; знак\; равно\; о\; (час),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; P\; \backslash \; \{N\; (t\; +\; h)\; -N\; (t)\; \backslash \; geq\; 2\; \backslash \}\; =\; o\; (h),\}$

где $o\; (h)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; o\; (h)\}$является асимптотическим или малой нотацией для $o\; (h)\; /\; h\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; o\; (h)\; /\; h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$as $h\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$. В случае точечных процессов с рефрактерностью (например, нейронных спайков) применяется более сильная версия свойства 4: $P\; (N\; (t\; +\; h)\; -\; N\; (t)\; \ge \; 2)\; =\; o\; (h\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (N\; (t\; +\; h)\; -N\; (t)\; \backslash \; geq\; 2)\; =\; o\; (h\; ^\; \{2\})\}$.

Из приведенных выше свойств следует, что $N\; (t\; +\; h)\; -\; N\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\; (t\; +\; h)\; -N\; (t)\}$- случайная величина Пуассона с параметром час (или среднее значение)

$E\; [N\; (t\; +\; h)\; -\; N\; (\; t)]\; знак\; равно\; \int \; tt\; +\; час\; \lambda \; (s)\; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [N\; (t\; +\; h)\; -N\; (t)]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{t\; +\; h\}\; \backslash \; lambda\; (s)\; \backslash ,\; ds,\}$

, что означает

$E\; [N\; (h)]\; =\; \int \; 0\; h\; \lambda \; (s)\; ds.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [N\; (h)]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{h\}\; \backslash \; lambda\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

Пространственный пуассоновский процесс

Неоднородный пуассоновский процесс, определенный в плоскость $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\}$называется пространственным пуассоновским процессом Он определяет функции параметров и ее интенсивностью мера путем выполнения поверхностного интеграла от ее функций по некоторой области. Например, его функция интенсивности (как функция декартовых координат $x\; \{\backslash \; textstyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; y\}$) может быть

$\lambda \; (Икс,\; Y)\; знак\; равно\; е\; -\; (Икс\; 2\; +\; Y\; 2),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; лямбда\; (х,\; у)\; =\; е\; ^\; \{-\; (х\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\},\}$

поэтому соответствующая мера интенсивности задаетсяралом поверхности

$\Lambda \; (B)\; =\; \int \; B\; e\; -\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; dxdy,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; е\; ^\; \{-\; (х\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y,\}$

где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$- некоторая ограниченная область на плоскости $R\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$.

В более высоких измерений

В плоскости $\Lambda \; (B)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Лямбда\; (B)\}$соответствует поверхностному интегралу, а в $R\; d\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$интеграл становится ($d\; \{\backslash \; textstyle\; d\}$-мерным) объемным интегралом.

Приложения

Когда реальная линия интерпретируется как время, неоднородный процесс используется в областях процессов подсчета и теории массового обслуживания. Примеры явлений, которые были представлены или проявляются как неоднородный точечный процесс Пуассона, включая:

• Цели, которые были забиты в футбольном матче.
• Дефекты в печатной плате

На плоскости процесса точки Пуассона важен в следующих дисциплинах стохастической геометрии и пространственной статистики. Мера этого точечного зависит от расположения нижележащего пространства, что означает, что его можно использовать для моделирования явлений с плотностью, которое отличается в некоторой области. Другими словами, явления могут быть представлены как точки, плотность которых зависит от местоположения. Эти процессы использовались в различных дисциплинах, включая изучение лососей и морских вшей в океанах, лесоводство и поисковые задачи.

Интерпретация функции интенсивности

Функция Пуассона $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$имеет интуитивную интерпретацию с элементом $dx\; \{\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$в бесконечно малом смысле: $\lambda \; (x)\; dx\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$- бесконечно малая вероятность точки процесса Пуассона существующий в области с объемом $dx\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$, расположенный в $x\; \{\backslash \; textstyle\; x\}$.

Например, с учетом однородной точки Пуассона процесса на небольшом интервале шириной $\delta \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; delta\}$приблизительно равна $\lambda \; \delta \; x\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; лямбда\; \backslash \; дельта\; x\}$. Фактически, такая интуиция - это то, как иногда вводят точечный процесс Пуассона и выводят его распределение.

Простой точечный процесс

Если точечный процесс Пуассона имеет меру интенсивности, которая является локально конечной и диффузной (или неатомарно), то это простой точечный процесс . Для простого точечного процесса вероятность того, что точка существует в одной точке или месте в нижележащем пространстве (состоянии), равна нулю или единице. Это означает, что это означает две вероятности одного момента точечного процесса Пуассона не совпадают по местоположению в нижележащем пространстве.

Моделирование

Моделирование точечного процесса Пуассона на компьютере обычно выполняется в ограниченной области пространства, известной как моделирование, и требует двух шагов: надлежащего создания случайного числа точек и подходящего размещения точек случайным образом. Оба этих шага зависят от конкретного моделируемого процесса точки Пуассона.

Шаг 1: Количество точек

Количество точек $N\; \{\backslash \; textstyle\; N\}$в окне, обозначенном здесь $W\; \{\backslash \; textstyle\; W\}$, необходимо смоделировать, что выполняется с помощью (псевдо) - генерации случайного числа функция, способная моделировать случайные величины Пуассона.

Однородный случай

Для однородного случая с константой величиной $\lambda \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$, средней пуассоновской случайной величины $N\; \{\backslash \; textstyle\; N\}$установлен на $\lambda \; |\; W\; |\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; |\; W\; |\}$где $|\; W\; |\; \{\backslash \; textstyle\; |\; W\; |\}$- длина, площадь или ($d\; \{\backslash \; textstyle\; d\}$-мерный) объем $W\; \{\backslash \; textstyle\; W\}$.

Неоднородный случай

Для неоднородного случая $\lambda \; |\; W\; |\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; |\; W\; |\}$заменяется ($d\; \{\backslash \; textstyle\; d\}$-мерным) интегралом объема

$\Lambda \; (W)\; =\; \int \; W\; \lambda \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (W)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{W\}\; \backslash \; lambda\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$

Шаг 2. Размещение точек

второй этап требует случайного размещения $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$точек в окне $W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; W\}$.

Однородный регистр

Для в однородном случае в одном измерении все точки равномерно и независимо размещаются в окно или интервале $W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; W\}$. Для более высоких размеров в декартовой системе координат каждая система независимо размещается в окне $W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; W\}$. Если не используется подпространство декартового пространства (например, внутри единичной сферы или на поверхности единичной сферы), то точки не будут равномерно размещены в $W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; W\}$, и подходящее изменение координат (с декартовых).

Неоднородный случай

Для неоднородных можно использовать несколько различных методов в зависимости от характера функция $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$. Функция достаточно проста, могут быть сгенерированы независимые и случайные неоднородные (декартовы или другие) координаты точек. Например, моделирование точечного процесса в круглом окне может быть выполнено для изотропной функции напряжений (в полярных координатах $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; r\}$и $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; theta\}$), подразумевая, он является поворотным или независимым от $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; theta\}$, но зависит от $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; r\}$, альтернативным изменением в $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; r\}$, если функция интенсивности достаточно проста.

Для более сложных функций функций можно использовать метод прием-отклонение, который состоит из использования (или `` принятия '') только определенных случайных точек и без использования (или `` отклонения '') ') других точек на основе соотношения:

$\lambda \; (xi)\; \Lambda \; (W)\; =\; \lambda \; (xi)\; \int \; W\; \lambda \; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; (x\_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; Lambda\; (W)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; (x\_\; \{i\})\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{W\}\; \backslash \; lambda\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x.\}\}\}$

где $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\_\; \{i\}\}$- это точка, рассматриваемая для принятия или отклонения.

Общий точечный процесс Пуассона

Точечный процесс Пуассона может быть более обобщенным, что иногда называют общим точечным процессом Пуассона или общим общим Пуассона с С помощью меры Радона $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$, которая является локально конечной мерой. В общем, эта мера Радона $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$может быть атомарной, что означает, что несколько точек точечного процесса Пуассона могут существовать в одном и том же месте основного пространства. В этой ситуации количество точек в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$является случайной величиной Пуассона со средним значением $\Lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; (\{x\})\}$. Но иногда обратное, поэтому мера Радона $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$является диффузной или неатомной.

Точка процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$- это общий точечный процесс Пуассона с интенсивностью $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$, если он имеет два следующих количества свойств:

• точек в ограниченном наборе Бореля $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$- случайная величина Пуассона со средним числом $\Lambda \; (B)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\}$. Другими словами, обозначьте общее количество точек, используемых в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$на $N\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; (B)\}$, тогда вероятность случайной величины $N\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; (B)\}$равно $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$определяется по формуле:

$P\; \{N\; (B)\; =\; n\}\; =\; (\Lambda \; (B))\; nn!\; е\; -\; \Lambda \; (В)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \backslash \; \{\{N\}\; (B)\; =\; n\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{(\backslash \; Lambda\; (B))\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\; (B)\}\}$

• количество точек в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$непересекающиеся формы наборов Бореля $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$независимых случайных величин.

Мера Радона $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$сохрани свою предыдущую интерпретацию ожидаемого количества точек $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$, расположенный в ограниченной области $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$, а именно

$\Lambda \; (B)\; =\; E\; [N\; (B)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; =\; E\; [\{N\}\; (B)].\}$

Кроме того, если $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$абсолютно непрерывно, так что имеет плотность (которая является плотностью Радона - Никодима или производной) относительно меры Лебега, то для всех борелевских множеств $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$он можно записать как:

$\Lambda \; (B)\; =\; \int \; B\; \lambda \; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; \backslash \; lambda\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x,\}$

где плотность $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$известна, среди прочего, как функция интенсивности.

История

Распределение Пуассона

Несмотря на свое название, точечный процесс Пуассона не был обнаружен и изучен французским математиком Симеоном Дени Пуассоном ; название представляет собой в качестве примера закона Стиглера. Название происходит от его внутренней связи с распределением Пуассона, полученным Пуассоном как предельный случай биномиального распределения. Это значение вероятность суммы $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$испытаний Бернулли с вероятностью $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; p\}$, часто сравниваемое с исходным орлов (или решек) после $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$предвзятого подбрасывания монеты с вероятностью орла (или хвост), имеющий вид $p\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; p\}$. Для некоторой положительной константы $\Lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda>0\}$, поскольку $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$до бесконечности, а <603 \ display>p \ textstyle }уменьшается до нуля, так что произведение $np\; =\; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; np\; =\; \backslash \; Lambda\}$фиксировано, распределение Пуассона более точно приближается к биномиальному.

Пуассон вывел распределение Пуассона, опубликованное в 1841 году, исследуя биномиальное распределение в пределе из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; p\}$(до нуля) и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$(до бесконечности). Встречается только один раз во всей работе Пуассона, и результат не был хорошо известен в его время. том числе г Филипп Людвиг фон Зайдель и Эрнст Аббе. В конце 19 века, Ладислав Борткевич снов а изучал распределение в другой обстановке (цитируя Пуассона), используя распределение с реальными данными для изучения количества смертей от лошадей. удары по прусской армии.

Discovery

Существует ряд утверждений о раннем использовании или открытия процесса точки Пуассона. Например, Джон Мичелл в 1767 году, за десять лет до рождения Пуассона, интересовался вероятностью нахождения звезды в области от другой звезды, исходя из предположения, что звезды были «рассеяны случайно», и изучил пример, существий из шести самых ярких звезд в Плеяд, без получения распределения Пуассона. Эта работа вдохновила Саймона Ньюкомба изучить проблему и вычислить распределение Пуассона в качестве приближения для биномиального распределения в 1860 году.

В начале 20 века процесс Пуассона (в одном измерении) возникнет независимо в разных ситуациях. В 1903 году в Швеции Филип Лундберг опубликовал диссертацию, содержащую работу, которая теперь считается фундаментальной и новаторской, в которой он использует моделировать страховые требования с помощью однородного процесса Пуассона.

В Дания в 1909 году произошло еще одно открытие, когда AK Эрланг вывел распределение Пуассона при разработке математической модели количества входящих телефонных звонков за конечный интервал времени. Эрланг в то время не знал о ранней работе Пуассона и полагал, что телефонные звонки по номерам, поступающие в каждый интервал времени, не зависят друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который эффективно разработал распределение Пуассона в пределах биномиального распределения.

В 1910 г. Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер опубликовали экспериментальные результаты по подсчету альфа-частиц. В их экспериментальную работу внес математический вклад Гарри Бейтман, который вывел вероятности Пуассона как решение различных уравнений, хотя решение было получено ранее, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. После этого было много исследований и применений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями процесса во многих областях биологами, экологами, инженерами и различными учеными-физиками.

Начало применения

Годы после 1909 года приводят к ряду исследований и применений точечного процесса Пуассона, однако его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями процесса во многих областях. биологами, экологами, инженерами и другими, работающими в физических. Первые результаты опубликованы на разных языках и в разных условиях без стандартной терминологии и обозначений. Например, в 1922 году шведский химик и лауреат Нобелевской программы Теодор Сведберг предложили модель, в которой пространственный точечный процесс Пуассона базовый процесс. с целью изучения распределения растений в растительных сообществах. Ряд математиков начали изучать этот процесс в начале 1930-х годов, важный вклад внесли, среди прочего, Андрей Колмогоров, Уильям Феллер и Александр Хинчин. В области инженерии телетрафика математики и статистики изучали и использовали пуассоновские и другие точечные процессы.

История терминов

Швед Конни Палм в своей диссертации 1943 года изучал Пуассоновские и другие точечные процессы в сеттинге, исследуя их с точки зрения статистической или стохастической зависимости между точками времени. В его работе существует первое известное использование термина точечные процессы как Punktprozesse на немецком языке.

Считается, что Уильям Феллер был первым в печати, назвавшим его процесс Пуассона в статье 1940 года. Хотя швед Уве Лундберг использовал термин пуассоновский процесс в своей докторской диссертации 1940 года, в котором Феллер был признан как влиятельный, утверждено, что Феллер придумал этот термин до 1940 года. Было замечено, что и Феллер, и Лундберг использовал этот термин, как хотя это было хорошо известно, а значит, к тому времени уже использовалось в устной речи. Феллер работал с 1936 по 1939 год вместе с Харальдом Крамером в Стокгольмском университете, где Лундберг был аспирантом у Крамера, который не использовал термин Пуассоновский процесс в своей книге, законченной в 1936 году., но сделал это в предположении, термин "пуассоновский процесс введен" где-то между 1936 и 1939 годами в Стокгольмском университете.

Терминология

Терминология теории точечных процессов в целом подвергался критике за то, что он разнообразен. Помимо того, что слово часто опускается, однородный пуассоновский (точечный) процесс также называется стационарным пуассоновским (точечным) процессом, а также однородным пуассоновским (точечным) процессом. Неоднородный точечный процесс Пуассона, который называют неоднородным, также называют нестационарным пуассоновским процессом.

Термин точечный процесс подвергался критике, поскольку термин «процесс» может предполагать во времени и пространстве: поэтому поле случайных точек, в результате чего также используются термины поле случайных точек Пуассона или поле точек Пуассона. Точечный процесс рассматривается и иногда называется случайной счетной мерой, поэтому точечный процесс Пуассона также называют случайной мерой Пуассона, термин, используемый при изучении процессов Леви, но некоторые предпочитают использовать два термина для Пуассона. указывает процессы, в двух разных базовых пространствах.

Математическое пространство, лежащее в основе точечного процесса Пуассона, называется несущим пространством или пространством состояний, хотя последний термин имеет другое значение в контексте случайных процессов. В контексте точечного термин «пространство состояний» может означать пространство, в котором определено точечный процесс, например реальная линия, которая соответствует набору индексов или набо параметров в терминологии стохастических процессов.

Мера $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$называется мерой интенсивности, средней мерой или мерой условий, поскольку нет стандартных терминов. Если $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$имеет производную или плотность, обозначаемую $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$, называется функция точечного процесса Пуассона. Для однородного точечного процесса Пуассона производная прочность - это просто константа $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda>0\}$, который может называться скоростью, обычно когда нижележащее пространство реальной линией, или ее интенсивность, называют также средней скоростью. средней плотностью, или скоростью. Для $\lambda \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; =\; 1\}$соответствующий процесс иногда называют как стандартный пуассоновский (точечный) процесс.

Степень точечного процесса Пуассона иногда называют экспозицией.

Обозначение

Обозначение точечного процесса Пуассона зависит от его настройки и поле, в котором он применяется. Например, на реальной линии процесс Пуассона, как однородный, так и неоднородный, иногда интерпретируется как процесс счета, а обо значение n $\{N\; (t),\; t\; \ge \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; \{N\; (t),\; t\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \}\}$используется для представления процесса Пуассона.

Другая причина различий в обозначениях связана с теорией точечных процессов, которая имеет несколько математических интерпретаций. Например, простой точечный процесс Пуассона может рассматриваться как случайный набор, что предполагает обозначение $x\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; in\; \{N\}\}$, подразумевая, что $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$- случайная точка, принадлежащая или являющаяся элементом процесса точки Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$. Другая, более общая интерпретация заключается в рассмотрении пуассоновского или любого другого точечного процесса как случайной счетной меры, чтобы можно было записать количество точек точечного процесса Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$находится или находится в некоторой (измеримой по Борелю) области $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$as $N\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; (B)\}$, которая является случайной величиной. Эти разные интерпретации приводят к тому, что используются обозначения из таких математических областей, как теория меры и теория множеств.

Для общих точечных процессов иногда используется индекс в символе точки, например $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \}$, включен, поэтому записывается (с заданной нотацией) $xi\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{N\}\}$вместо $x\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; in\; \{N\}\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$можно использовать для фиктивной переменной в интегральных выражениях. такие как теорема Кэмпбелла, вместо обозначения случайных точек. Иногда прописная буква обозначает точечный процесс, а строчная обозначает точку из процесса, например, точка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$или $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\_\; \{i\}\}$принадлежит или является точкой точечного процесса $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; X\}$и записывается с заданной нотацией как $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$или $xi\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; X\}$.

Кроме того, теория множеств и Интегральные обозначения или обозначения теории меры могут использоваться как взаимозаменяемые. Например, для точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$, определенного в евклидовом пространстве состояний $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{\; d\}\}\}$и (измеримая) функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$на $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\; \}\; ^\; \{d\}\}$, выражение

$\int \; R\; df\; (x)\; d\; N\; (x)\; =\; \sum \; xi\; \in \; N\; f\; (xi),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{\; R\}\}\; ^\; \{d\}\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; N\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{x\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; N\}\; f\; (x\_\; \{i\}),\}$

демонстрирует два разных способа записать суммирование по точечному процессу (см. также теорему Кэмпбелла (вероятность) ). В частности, интегральная запись в левой части интерпретирует точечный процесс как случайную меру подсчета, тогда как сумма в правой части предлагает интерпретацию случайного набора.

Функционалы и меры моментов

В теории вероятностей операции применяются к случайным величинам для разных целей. Иногда эти операции представляют собой обычные ожидания, которые производят среднее значение или дисперсию случайной величины. Другие, такие как характеристические функции (или преобразования Лапласа) случайной величины, можно использовать для однозначной идентификации или характеристики случайных величин и доказательства результатов, таких как центральная предельная теорема. В теории точечных процессов существуют аналогичные математические инструменты, которые обычно существуют в виде мер и функционалов вместо моментов и функций соответственно.

Функционалы Лапласа

Для точечного процесса Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$, функционал Лапласа определяется как :

$LN\; (е)\; знак\; равно\; е\; -\; \int \; р\; d\; (1\; -\; е\; -\; е\; (х))\; \Lambda \; (dx),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{N\}\; (f)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}\; (1-e\; ^\; \{-\; f\; (x)\})\; \backslash \; Lambda\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x)\},\}$

$LN\; (f)\; =\; e\; -\; \lambda \; \int \; R\; d\; (1\; -\; е\; -\; f\; (x))\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{N\}\; (е)\; =\; е\; ^\; \{-\; \backslash \; лямбда\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}\; (1-е\; ^\; \{-\; f\; (x)\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}.\}$

Одна версия теоремы Кэмпбелла включает функционал Лапласа точечного процесса Пуассона.

Функционалы, генерирующие вероятность

Функция, генерирующая вероятность неотрицательной целочисленной случайной величины, приводит к тому, что функционал, генерирующий вероятность, определяется аналогично по отношению к любой неотрицательной ограниченной функции $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; v\}$на $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$так, что $0\; \le \; v\; (Икс)\; \le \; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Textstyle\; 0\; \backslash \; Leq\; v\; (x)\; \backslash \; Leq\; 1\}$. Для точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$функционал, генерирующий вероятность, определяется как:

$G\; (v)\; =\; E\; [\prod \; x\; \in \; N\; v\; (x)]\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (v)\; =\; E\; \backslash \; left\; [\backslash \; prod\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; N\}\; v\; (x)\; \backslash \; right]\}$

, где произведение выполняется для всех точек в $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; стиль\; текста\; \{N\}\}$. Если мера интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$из $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$локально конечна, то $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; G\}$хорошо определено длялюбой измеримой функции $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; u\}$на $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$. Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$производящий функционал задается следующим образом:

$G\; (v)\; =\; e\; -\; \int \; R\; d\; [1\; -\; v\; (х)]\; \Lambda \; (dx),\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (v)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}\; [1-v\; (x)]\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x)\},\}$

что в однородном случае сводится к

$G\; (v)\; =\; e\; -\; \lambda \; \int \; R\; d\; [1\; -\; v\; (x)]\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (v)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}\; [1-v\; (x)]\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}.\}$

Моментная мера

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$первая моментной мерой является его интенсивностью мера:

$M\; 1\; (B)\; =\; \Lambda \; (B),\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{1\}\; (B)\; =\; \backslash \; Lambda\; (B),\}$

что для однородного точечного процесса Пуассона с константой интенсивность $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\}$означает:

$M\; 1\; (B)\; =\; \lambda \; |\; B\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{1\}\; (B)\; =\; \backslash \; lambda\; |\; B\; |,\}$

где $|\; B\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; |\; B\; |\}$- длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$.

Уравнение Мекке

Уравнение Меке описывает точечный процесс Пуассона. Пусть $N\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}$будет пространством всех $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-конечных мер. на некотором общем пространстве $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\}$. Точечный процесс $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$с интенсивностью $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$на $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\; \}\}$является точечным механизмом Пуассона тогда и только тогда, когда для всех измеримых функций $f:\; Q\; \times \; N\; \sigma \; \to \; R\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\}$заблок

$E\; \; [\int \; f\; (x,\; \eta )\; \eta \; (dx)]\; =\; \int \; E\; \; [\; е\; (Икс,\; \eta \; +\; \delta \; Икс)]\; \lambda \; (dx)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; f\; (x,\; \backslash \; eta)\; \backslash \; eta\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x)\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [f\; (x,\; \backslash \; eta\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{x\})\; \backslash \; right]\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x)\}$

Подробнее см.

Факторная мера момента

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$$n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-я мера факториального момента определено выражением:

$M\; (n)\; (B\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n)\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; [\Lambda \; (B\; я)\; ],\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; [\backslash \; Lambda\; (B\_\; \{i\})\; ],\}$

где $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$- мера интенсивности или мера первого момента $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$, который для некоторого набора Бореля $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$задается как

$\Lambda \; (B)\; =\; M\; 1\; (B)\; =\; E\; [N\; (B)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; =\; M\; ^\; \{1\}\; (B)\; =\; E\; [N\; (B)].\}$

Для однородного точечного процесса Пуассона $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факторной мерой момента просто:

$M\; (n)\; (B\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; B\; n)\; =\; \lambda \; n\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; |\; B\; i\; |,\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; ^\; \{(n)\}\; (B\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; B\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{n\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; B\_\; \{i\}\; |,\}$

где $|\; B\; i\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; |\; B\_\; \{i\}\; |\}$- длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\_\; \{i\}\}$. Кроме того, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$-й факторный момент плотности равенства:

$\mu \; (n)\; (x\; 1,\dots ,\; x\; n)\; =\; \lambda \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; ^\; \{(n)\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{n\}.\}$

Функция избегания

уклонение функция или вероятность аннулирования $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; v\}$точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$определен относительно некоторого набора $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$, который является подмножеством базового пространства $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$, как вероятность отсутствия точек $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$, используя в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$. Точнее, для тестового набора $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$функция предотвращения задается следующим образом:

$v\; (B)\; =\; P\; (N\; (B)\; =\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (B)\; =\; P\; (\{N\}\; (B)\; =\; 0).\}$

Для общего точечного процесса Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$с мера Значения $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$, его функция искания определяется следующим образом:

$v\; (B)\; =\; e\; -\; \Lambda \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (B)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\; (B)\}\}$

Теорема Реньи

Простые точечные процессы полностью характеризуются их вероятностями пустоты. Другими словами, полная информация о простом точечном процессе фиксируется полностью в его вероятностях пустоты, а два простых точечных процесса имеют одинаковые вероятности пустоты тогда и только тогда, когда они являются и теми же точечными процессами. Случай для процесса Пуассона иногда известен как теорема Реньи, названная в Альфреда Реньи, который обнаружил результат для случая однородного точечного процесса в одномерном пространстве.

В одной форме теорема Реньи говорит о диффузной (или неатомной) мере Радона $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$на $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\; \backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$и набор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; A\}$представляет собой конечное объединение прямоугольников (то есть не по Борелю) что если $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$является счетным подмножеством $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$такое, что:

$п\; (N\; (A)\; =\; 0)\; =\; v\; (A)\; =\; e\; -\; \Lambda \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\{N\}\; (A)\; =\; 0)\; =\; v\; (A)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\; (A)\}\}$

, затем $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$- точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$.

Операции точечного процесса

Математические операции могут измениться точечные процессы, чтобы получить новые точечные процессы и разработать новые математические модели для расположения определен ных объектов. Один пример операции известен как прореживание, которое влечет за собой или удаление точек некоторого точечного процесса согласно правилам, создание нового процесса с оставшимися точками (удаленные точки также образуют точечный процесс).

Утончение

Для процесса Пуассона независимые операции $p\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; p\; (x)\}$-удаления приводят к другой процессуальной точке Пуассона. Более конкретно, операция $p\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; p\; (x)\}$-thinning, примененная к точечному процессу Пуассона с мерой интенсивности $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$дает точечный процесс удаленных точек, который также является точечным процессом Пуассона $N\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \_\; \{p\}\}$с мерой плотности $\Lambda \; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{p\}\}$, который для ограниченного набора Бореля $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$задается следующим образом:

$\Lambda \; п\; (В)\; знак\; равно\; \int \; В\; п\; (Икс)\; \Lambda \; (dx)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{p\}\; (B)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; p\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x)\; \}$

Этот результат прореживания точечного процесса Пуассона иногда известен как теорема Прекопы . Кроме того, после случайного прореживания точечного процесса Пуассона оставшиеся или оставшиеся точки также образуют точечный процесс Пуассона, который имеет меру интенсивности

$\Lambda \; p\; (B)\; =\; \int \; B\; (1\; -\; p\; (x))\; \Lambda \; (dx).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{p\}\; (B)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; (1-p\; (x))\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x).\}$

Два отдельных точечных процесса Пуассона образованные соответственно из удаленных и сохраненных точек стохастически независимы друг от друга. Другими словами, если известно, что область содержит $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; n\}$сохраненных точек (из исходного процесса точки Пуассона), то это не повлияет на случайное количество удалены точки в том же регионе. Эта способность случайным образом создавать два независимых точечных процесса Пуассона из одного иногда называется разделением точечного процесса Пуассона.

Суперпозиция

Если существует счетная коллекция точечных процессов $N\; 1,\; N\; 2\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \_\; \{1\},\; \{N\}\; \_\; \{2\; \}\; \backslash \; dots\}$, затем их суперпозиция или, на языке теории множеств, их объединение, которое равно

$N\; =\; \bigcup \; i\; =\; 1\; \infty \; N\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{N\}\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{N\}\; \_\; \{i\},\}$

также образует точечный процесс. Другими словами, любые точки, расположенные в любом из точечных процессов $N\; 1,\; N\; 2\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \_\; \{1\},\; \{N\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; dots\}$также будут находиться в суперпозиции этих точечных процессов $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$.

Теорема суперпозиции

теорема суперпозиции точечного процесса Пуассона гласит, что суперпозиция независимых точечных процессов Пуассона $N\; 1,\; N\; 2\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \_\; \{1\},\; \{N\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; dots\}$со средними показателями $\Lambda \; 1,\; \Lambda \; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{1\},\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}$также будет точечный процесс Пуассона со средней мерой

$\Lambda \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; \infty \; \Lambda \; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{i\}.\}$

Другими словами, объединение двух (или счетно более) процессов Пуассона - это еще один процесс Пуассона. Если точка $x\; \{\backslash \; textstyle\; x\}$выбирается из счетного $n\; \{\backslash \; textstyle\; n\}$объединения пуассоновских процессов, то вероятность того, что точка $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$принадлежит $j\; \{\backslash \; textstyle\; j\}$-ому процессу Пуассона $N\; j\; \{\backslash \; textstyle\; N\_\; \{j\}\}$определяется как:

$P\; (x\; \in \; N\; j)\; =\; \Lambda \; j\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \Lambda \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x\; \backslash \; in\; N\_\; \{j\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Lambda\; \_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{i\}\}\}.\}$

Для двух однородных пуассоновских процессов с интенсивностью $\lambda \; 1,\; \lambda \; 2\dots \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; dots\}$два предыдущих выражения сводятся к

$\lambda \; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; \infty \; \lambda \; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\},\}$

и

$P\; (x\; \in \; N\; j)\; =\; \lambda \; j\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \lambda \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x\; \backslash \; in\; \{N\}\; \_\; \{j\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}.\; \}$

Кластеризация

Операция кластеризации выполняется, когда каждая точка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$некоторого точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \}$заменяется другим (возможно, другим) точечным процессом. Если исходный процесс $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$является точечным процессом Пуассона, то результирующий процесс $N\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \_\; \{c\}\}$называется процесс точки кластера Пуассона.

Случайное смещение

Математическая модель может потребовать случайного перемещения точек точечного процесса в других местах в нижележащем математическом пространстве, что приводит к операции точечного процесса, известного как смещение или перенос. Точечный процесс Пуассона использовался для моделирования, например, движения между поколениями, благодаря теореме с ущербом, которая в общих чертах утверждает, что случайное смещение точек точечного процесса Пуассона (в том же нижележащем пространстве) образует другое Точечный процесс Пуассона.

Теорема с ущербом

Одна из версий теоремы о смещении включает точечный процесс Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$на $R\; d\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$с функцией эффектов $\lambda \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\}$. Затем окончательно, что точка $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$случайным образом смещаются в другое место в $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{\; d\}\}$, так что смещение каждой точки независимо, ранее находившееся в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\}$, является случайным вектором с плотностью вероятности $\rho \; (Икс,\; \cdot )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; rho\; (x,\; \backslash \; cdot)\}$. Тогда новый точечный процесс $ND\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \_\; \{D\}\}$также является точечным процессом Пуассона с функциями эффектов

$\lambda \; D\; (y)\; =\; \int \; R\; d\; \lambda \; (x)\; \rho \; (x,\; y)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{D\}\; (y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}\; \backslash \; lambda\; (x)\; \backslash \; rho\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x.\; \}$

Если процесс Пуассона однороден с $\lambda \; (x)\; =\; \lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; lambda\; (x)\; =\; \backslash \; lambda>0\}$и если $\rho \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; y)\}$является функцией $y\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; yx\}$, тогда

$\lambda \; D\; (y)\; =\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{D\}\; (y)\; =\; \backslash \; lambda.\}$

Другими словами, после каждого случайного и независимого с точки зрения точки зрения исходный процесс Пуассона все еще.

Теорема с ущербом точки может быть расширенным так, чтобы точки Пуассона случайным образом смещались из одного евклидова пространства $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$в другое евклидово пространство $R\; d\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\; \text{'}\}\}$, где $d\; \prime \; \ge \; 1\; \{\backslash \; disp\; laystyle\; \backslash \; textstyle\; d\text{'}\; \backslash \; geq\; 1\}$не обязательно ра вно $d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$.

свойство Mapping

Еще одно, которое считается полезным, - это способность для отображения точечного процесса Пуассона из одного нижележащего пространства в другом пространстве.

Теорема отображения

Если отображение (или преобразование) соответствует некоторым условиям, то результирующий отображаемый (или преобразованный) набор точек также образуют точечный процесс Пуассона, и этот результат иногда называют теоремой изображения . Теорема включает некоторый точечный процесс Пуассона со средней мерой $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$на некотором нижележащем пространстве. В соответствии с некоторой функцией в другом базовом изображении, есть результирующий точечный процесс Пуассона, но с другой средней мерой $\Lambda \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; \text{'}\}$.

Более конкретно, можно рассмотреть (измеримую по Борелю) функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$, который отображает точечный процесс $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$с измерением величин $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$из одного места $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; S\}$в другом пространстве $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; T\}$таким образом, чтобы новая точка обрабатывала $N\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\text{'}\}$имеет меру интенсивности:

$\Lambda \; (B)\; \prime \; =\; \Lambda \; (f\; -\; 1\; (B))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (B)\; \text{'}=\; \backslash \; Lambda\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B))\}$

без элементов, где $В\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\}$- набор Бореля, а $f\; -\; 1\; \{\backslash \; display\; style\; \backslash \; textstyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$обозначает обратную функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$. Если $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\}$является точечным процессом Пуассона, то новый процесс $N\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{N\}\; \text{'}\}$также является точечным процессом Пуассона с мерой мощности $\Lambda \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\; \text{'}\}$.

Аппроксимации с точечными процессами Пуассона

Управляемость пуассоновского процесса означает, что иногда он удобно аппроксимировать непуассоновский точечный пуассоновский процесс. Общая последовательность в том, чтобы аппроксимировать как количество точек некоторого точечного процесса, так и положение каждой точки с помощью точечного процесса Пуассона. Существуют методы, которые можно использовать для обоснования, неформально или строго, аппроксимации возникновения случайных событий или явлений подходящими точечными процессами Пуассона. Более строгие методы включают получение верхних границ вероятных метрик между пуассоновскими и непуассоновскими точечными процессами, в то время как другие методы могут быть оправданы менее формальной эвристикой.

Эвристика группирования

Один метод для аппроксимации случайных событий или явлений пуассоновскими процессами называется эвристикой слипания . Общая эвристика или принцип включает использование точечного процесса Пуассона (или распределения Пуассона) для аппроксимации событий, которые считаются редкими или маловероятными, каким-либо случайным процессом. В некоторых случаях эти редкие события почти независимы, поэтому можно использовать точечный процесс Пуассона. Теоретически независимыми взглядами являются те, которые наблюдают, как те, которые выглядят таким образом, как они выглядят друг от друга, тогда количество великих сгустков будет близко к случайной величине Пуассона и местоположению сгустков будут близки к процессу. Пуассона.

Метод Штейна

Метод Штейна - это математический метод, применяемый для аппроксимации случайных величин, таких как Гауссовские и переменные Пуассона, который также применяется к точечным процессам. Метод Штейна можно использовать для получения верхних границ для вероятностных метрик, которые количественно оценить, как два случайных математических объекта изменяются стохастически. Были получены верхние границы таких показателей вероятности, как общая вариация и расстояние Вассерштейна.

Исследователи применили методы Шна к точечным процессам Пуассона методов, например с использованием пальмового исчисления. Методы, основанные на методе Стейна, были разработаны для учета в верхних границах эффектов определенных точечных, таких операций как прореживание и наложение. Метод Стейна также использовался для получения верхних границ метрик Пуассона и других процессов, таких как точечный процесс Кокса, который является пуассоновским процессом со случайной мерой интенсивности.

Сходимость к Точечный процесс Пуассона

В общем, когда применяется к общему точечному процессу, результирующий обычно не точечный процесс Пуассона. Например, если точечный процесс, отличный от пуассоновского, имеет точку случайного и независимого ущерба, то этот процесс не обязательно будет точечный процесс Пуассона. Однако при определенных математических условиях как для исходного точечного процесса, так и для случайного возмещения с помощью предельных теорем было показано, что если точки точечного процесса многократно смещены случайным и независимым образом, то конечное распределение точек

Были получены аналогичные результаты сходимости. для операций прореживания и суперпозиции, которые показывают, что такие повторяющиеся операции над точечными процессами, при определенных условиях, приводят к процессу, сходящимся к точечным процессам Пуассона, при условии подходящего изменения нулю или бесконечности). Такая работа по сходимости напрямую связана с результатами, известными как уравнения Палма - Хинчина, которые берут начало в работах Конни Палма и Александра Хинчина, и объяснить, почему процесс Пуассона может часто встречаться в как математической модели различных случайных явлений.

Обобщения точечных процессов Пуассона

Точечный процесс Пуассона можно обобщить, например, изменив его меру интенсивности или определив больше общие математические пространства. Эти обобщения можно изучать математически, а также использовать для математического моделирования или представления физических явлений.

Случайные меры пуассоновского типа

Случайные меры пуассоновского типа (PT) представляют собой семейство трех случайных подсчетных мер, которые закрываются с ограничением на подпространство, т. Е. закрыто в Point_process_operation # Thinning. Эти случайные меры примерами смешанного биноми процесса и разделяют свойство распределенной самоподобия случайной меры Пуассона. Они - единственные члены распределенного канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение, отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение <206.>. Случайная мера Пуассона не зависит от непересекающихся подпространств, тогда как другие PT случайные меры (отрицательные биномиальные и биномиальные) имеют положительные и отрицательные ковариации. Обсуждаются случайные меры PT, которые включают случайную меру Пуассона, отрицательную биномиальную случайную меру и биномиальную случайную меру.

Точечные процессы Пуассона в более общих пространствах

Для математических моделей точечный процесс Пуассона часто определяется в евклидовом пространстве, но обобщен требует более абстрактных пространств и играет фундаментальную роль в изучении случайных мер, что понимания математических областей, таких как теория вероятностей, теория меры и топология.

В целом концепция представляет практический интерес для приложений, в то время как топологическая структура необходима для распределения Пальма, то есть эти точечные процессы обычно в математических пространствах с метриками. Кроме того, точечного процесса можно рассматривать как счетные меру, поэтому точечные процессы представляют собой типичные случайные меры, известные как случайные счетные меры. В этом контексте параллельного процесса.

Точечный процесс Кокса

A Точечный процесс Кокса, процесс Кокса или дважды стохастический процесс Пуассона является обобщением точечного процесса Пуассона, позволяяя его мере размер $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Lambda\}$быть также случайным и независимым от лежащего в основе Пуассоновский процесс. Процесс назван в честь Дэвида Кокса, который представил его в 1955 году, хотя другие пуассоновские процессы со случайной интенсивностью были независимо введены ранее Люсьеном Ле Камом и Морисом Кенуйем. Мера интенсивности может быть реализацией случайной величины или случайного поля. Например, если логарифм показатели интенсивности является гауссовым случайным полем, то результирующий процесс известен как логарифмический гауссовский процесс Кокса. В более общем смысле меры - это реализация неотрицательной локально конечной случайной меры. Точечные процессы Кокса демонстрируют кластеризацию точек, которая, как можно математически показать, больше, чем у точечных процессов Пуассона. Универсальность и управляемость процессов приводят к тому, что они используются в качестве моделей в таких областях, как пространственная статистика и беспроводные сети.

Маркированный точечный процесс Пуассона

Иллюстрация процесса отмеченной точки, где немаркированная точка процесс определен положительной реальной линией, которая часто представляет время. Случайные метки принимают значения в космических состояниях $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, известном как пространство меток. Любой отмеченный точечный процесс можно интерпретировать как немаркированный точечный процесс в изображении $[0,\; \infty ]\; \times \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty]\; \backslash \; times\; S\}$. Теорема о маркировке гласит, что если исходный немаркированный точечный процесс является точечным процессом Пуассона и метки стохастически независимого процесса, то отмеченный точечный процесс Пуассона на $[0,\; \infty ]\; \times \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty]\; \backslash \; раз\; S\}$. Если точечный процесс Пуассона однороден, то промежутки $\tau \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{i\}\}$на диаграмме строятся из экспоненциального распределения.

Для данного точечного процесса, каждой случайной точке точечного процесса может быть назначен случайный математический объект, известный как метка . Эти метки могут быть разными: целые числа, геометрические объекты или другие точечные процессы. Пара, состоящая из точки точечного процесса и процесса ей, называется отмеченной точкой, и все отмеченные точки образуют отмеченный точечный процесс . Независимо друг от друга, метка точки еще может зависеть от положения точки в нижележащем (состоянии) положения. Если лежащий в основе точечного процесса является точечным процессом Пуассона, то полученный точечный процесс является указанным точечным процессом Пуассона .

Теорема разметки

Если общий точечный процесс определен в некотором математическом пространстве и случайные метки, созданные в другом математическом процессе, определенных точек на декартовом произведении этих двух пространств. Для отмеченного точечного процесса Пуассона, определенного вышеупомянутым декартовом, произведенного двух математических пространств, что неверно для общих точечных процессов, утвержден этот отмеченный точечный процесс также (немаркированный)..

Составной точечный процесс Пуассона

Составной точечный процесс Пуассона или Составной процесс Пуассона формируется путем добавления случайных значений или весов к каждой точке Пуассона точечный процесс, определенным в некотором нижележащем процессе, поэтому процесс строится на основе отмеченного точечного процесса Пуассона, где метки набор независимых и одинаково распределенных неотрицательных случайных величин. Другими словами, для каждой точки исходного пуассоновского процесса существует независимая распределенная неотрицательная случайная величина, а составной пуассоновский процесс формируется из суммы всех случайных величин, соответствующих точкам пуассоновского процесса, расположенного в некоторой области основного математического пространства.

Если есть отмеченный точечный процесс Пуассона, сформированный из точечного процесса Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$(определено, например, $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$) и набор независимых и одинаково распределенных неотрицательных оценок $\{M\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; \{M\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$так, что для каждой точки $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\_\; \{i\}\}$процесса Пуассона $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$существует Тогда неотрицательная случайная величина $M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; M\_\; \{i\}\}$, результирующее соединение процесс Пуассона:

$С\; (В)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (В)\; M\; я,\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; (B)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; (B)\}\; M\_\; \{я\},\}$

где $B\; \subset \; R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$- измеримое по Борелю множество.

Если общие случайные переменные $\{M\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; \{M\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$принимают значения, например, $d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; d\}$-мерное евклидово пространство $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; textbf\; \{R\}\}\; ^\; \{d\}\}$, результирующий составной процесс Пуассона пример процесса Леви при условии, что он сформирован из однородного точечного процесса $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; N\}$, определенное на неотрицательных чиселх $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$.

Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности

Процесс отказа с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности (FP-ESI): продолжение неоднородного пуассоновского процесса. Функция интенсивности FP-ESI является экспоненциальной функцией сглаживания функций интенсивности в последние моменты времени возникновения событий и превосходит другие девять стохастических процессов в 8 наборах данных реальных отказов, когда модели используются для соответствия наборам данных, где производительность модели измеряется с помощью AIC (информационный критерий Акаике ) и BIC (байесовский информационный критерий ).

См. Также

• Булева модель (теория вероятностей)
• Теория перколяции континуума
• Составной процесс Пуассона
• процесс Кокса
• Точечный процесс
• Стохастическая геометрия
• Модели стохастической геометрии беспроводных сетей
• Марковские процессы прибытия

Примечания

Ссылки

Конкретные

Общие

Книги

• A. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: Лекции, прочитанные в C.I.M.E. Летняя школа в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г.. Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, D. R.; Ишам, В. И. (1980). Точечные процессы. Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2003). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer. ISBN 978-0387213378.
• Кингман, Джон Франк (1992). Пуассоновские процессы. Кларедон Пресс. ISBN 978-0198536932.
• Моллер, Джеспер; Ваагепетерсен, Расмус П. (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек. CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Росс, С. М. (1996). Случайные процессы. Вайли. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, D.L.; Миллер, М. И. (1991). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Стоян, Дитрих; Kendall, Wilfred S.; Меке, Джозеф (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения. Вайли. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Процессы точки Пуассона: отображение, отслеживание и зондирование. Springer Science Business Media. ISBN 978-1441969224.
• H. К. Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей. Джон Вили и сыновья. С. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Статьи

• Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежикам, или, константы могут меняться». Математический вестник.
• Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуй и острым марковским свойством? Немного истории случайных точечных процессов». Международный статистический обзор.