Уравнение Бейтмана

редактировать

В ядерной физике уравнение Бейтмана представляет собой математическую модель описание содержания и активности в цепочке распада как функции времени на основе скорости распада и начальных содержаний. Модель была сформулирована Эрнестом Резерфордом в 1905 году, а аналитическое решение было предоставлено Гарри Бейтманом в 1910 году.

Если в момент времени t существует $N i (t) {\ displaystyle N_ {i} (t)}$ $N_ {i} (t)$ атомы изотопа $i {\ displaystyle i}$ $i$ , который распадается на изотоп $i + 1 {\ displaystyle i + 1}$ $i + 1$ со скоростью $λ i {\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ , количество изотопов в k-ступенчатой цепочке распада увеличивается как:

d N 1 (t) dt = - λ 1 N 1 (t) d N i (t) dt = - λ i N i (t) + λ i - 1 N i - 1 (t) d N К (T) dt знак равно λ К - 1 N К - 1 (t) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dN_ {1} (t)} {dt}} = - \ lambda _ { 1} N_ {1} (t) \\ [3pt] {\ frac {dN_ {i} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {i} N_ {i} (t) + \ lambda _ {i-1} N_ {i-1} (t) \\ [3pt] {\ frac {dN_ {k} (t)} {dt}} = \ lambda _ {k-1} N_ {k-1 } (t) \ end {align}}}

{ \ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dN_ {1} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {1} N_ {1} (t) \\ [3pt] {\ frac {dN_ {i} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {i} N_ {i} (t) + \ lambda _ {i-1} N_ {i-1} (t) \\ [3pt] {\ frac {dN_ {k} (t)} {dt}} = \ lambda _ {k-1} N_ {k-1} (t) \ end {align}}}

(это может быть адаптировано для обработки ветвей распада). Хотя это может быть решено явно для i = 2, формулы быстро становятся громоздкими для более длинных цепей. Уравнение Бейтмана - это классическое основное уравнение, в котором скорости перехода разрешены только от одного вида (i) к следующему (i + 1), но никогда в обратном смысле (с i + 1 на i запрещено).

Бейтман нашел общую явную формулу для сумм, взяв преобразование Лапласа переменных.

N n (t) = ∑ i = 1 n [N i (0) × (∏ j = in - 1 λ j) × (∑ j = in (e - λ jt ∏ p = i, p ≠ jn) (λ п - λ j)))] {\ displaystyle N_ {n} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [N_ {i} (0) \ times \ left (\ prod _ {j = i} ^ {n-1} \ lambda _ {j} \ right) \ times \ left (\ sum _ {j = i} ^ {n} \ left ({\ frac {e ^ {- \ лямбда _ {j} t}} {\ prod _ {p = i, p \ neq j} ^ {n} (\ lambda _ {p} - \ lambda _ {j})}} \ right) \ right) \ справа]}

N_n (t) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ left [N_i (0) \ times \ left (\ prod_ {j = i} ^ {n-1} \ lambda_j \ right) \ times \ left (\ sum_ {j = i} ^ n \ left (\ frac {e ^ {- \ lambda_j t}} {\ prod_ {p = i, p \ neq j} ^ n (\ lambda_p- \ lambda_j)} \ right) \ right) \ right]

(его также можно расширить с помощью исходных членов, если больше атомов изотопа i поступает извне с постоянной скоростью).

Расчет количества с помощью функции Бейтмана для 241Pu

Хотя формула Бейтмана может быть реализовано в компьютерном коде, если $λ p ≈ λ j {\ displaystyle \ lambda _ {p} \ приблизительно \ lambda _ {j}}$ $\ lambda _ {p} \ приблизительно \ lambda _ {j}$ для некоторой пары изотопов, отмена может привести к вычислительным ошибкам. Следовательно, также используются другие методы, такие как численное интегрирование или метод экспоненциальной матрицы.

Например, для простого случая цепочки из трех изотопов соответствующее уравнение Бейтмана сводится к

A → λ AB → λ BCNB = λ A λ B - λ ANA 0 (e - λ A t - e - λ B t) {\ displaystyle {\ begin {align} A \, { \ xrightarrow {\ lambda _ {A}}} \, B \, {\ xrightarrow {\ lambda _ {B}}} \, C \\ [4pt] N_ {B} = {\ frac {\ lambda _ {A }} {\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}}} N_ {A_ {0}} \ left (e ^ {- \ lambda _ {A} t} -e ^ {- \ lambda _ {B } t} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A \, {\ xrightarrow {\ lambda _ {A}}} \, B \, {\ xrightarrow { \ lambda _ {B}}} \, C \\ [4pt] N_ {B} = {\ frac {\ lambda _ {A}} {\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}}} N_ { A_ {0}} \ left (e ^ {- \ lambda _ {A} t} -e ^ {- \ lambda _ {B} t} \ right) \ end {align}}}

См. также

Ссылки