Unit дробь

редактировать

A единичная дробь - это рациональное число, записанное как дробь, где числитель равно единице, а знаменатель представляет собой положительное целое число. Следовательно, единичная дробь является обратной величиной положительного целого числа 1 / n. Примеры: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т. Д.

Содержание

  • 1 Элементарная арифметика
  • 2 Модульная арифметика
  • 3 Конечные суммы единичных дробей
  • 4 Ряд дробей единиц
  • 5 Матрицы долей единиц
  • 6 Смежные дроби
  • 7 доли единиц в вероятности и статистике
  • 8 доли единиц в физике
  • 9 См. Также
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

Элементарная арифметика

Умножение любых двух единичных дробей дает результат, который является другой единичной дробью:

1 x × 1 y = 1 xy. {\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}.}{\ frac 1x} \ times {\ frac 1y} = {\ frac 1 {xy}}.

Однако добавление, вычитание или деление на две единичные дроби дает результат, который обычно не является единичной дробью:

1 x + 1 y = x + yxy {\ displaystyle {\ frac { 1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}{\ frac 1x} + {\ frac 1y} = {\ frac {x + y} {xy}}
1 x - 1 y = y - xxy {\ displaystyle {\ frac { 1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}{\ frac 1x} - {\ frac 1y} = {\ frac {yx} {xy}}
1 x ÷ 1 y = yx. {\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}.}{\ frac 1x} \ div {\ frac 1y} = {\ frac {y} {x}}.

Модульная арифметика

Единица измерения дроби играют важную роль в модульной арифметике, так как они могут использоваться для сведения модульного деления к вычислению наибольших общих делителей. В частности, предположим, что мы хотим выполнить деление на значение x по модулю y. Чтобы деление на x было правильно определено по модулю y, x и y должны быть относительно простыми. Затем, используя расширенный алгоритм Евклида для наибольших общих делителей, мы можем найти такие a и b, что

ax + by = 1, {\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}\ displaystyle ax + by = 1,

, из которого следует, что

ax ≡ 1 (mod y), {\ displaystyle \ displaystyle ax \ Equiv 1 {\ pmod {y}},}\ displaystyle ax \ Equiv 1 {\ pmod y},

или эквивалентно

a ≡ 1 х (по модулю Y). {\ displaystyle a \ Equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.}a \ Equiv {\ frac 1x} {\ pmod y}.

Таким образом, чтобы разделить на x (по модулю y), нам нужно просто вместо этого умножить на a.

Конечные суммы единичных дробей

Любое положительное рациональное число можно записать как сумму единичных дробей несколькими способами. Например,

4 5 = 1 2 + 1 4 + 1 20 = 1 3 + 1 5 + 1 6 + 1 10. {\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}{\ frac 45} = {\ frac 12} + {\ frac 14} + {\ frac 1 {20}} = {\ frac 13} + {\ frac 15} + {\ frac 16} + {\ frac 1 {10}}.

Древние египетские цивилизации использовали суммы различных единичных дробей в их обозначениях для более общих рациональных чисел, поэтому такие суммы часто называют египетскими дробями. Сегодня все еще существует интерес к анализу методов, используемых древними для выбора среди возможных представлений дробного числа, и для вычислений с такими представлениями. Тема египетских дробей также вызвала интерес в современной теории чисел ; Например, гипотеза Эрдеша – Грэма и гипотеза Эрдеша – Страуса относятся к суммам единичных дробей, как и определение гармонических чисел Оре.

в Теория геометрических групп, треугольные группы подразделяются на евклидовы, сферические и гиперболические случаи в зависимости от того, равна ли ассоциированная сумма единичных дробей единице, больше единицы или меньше единицы соответственно.

Ряды дробных единиц

Многие хорошо известные бесконечные ряды содержат члены, являющиеся дробями единиц. К ним относятся:

  • гармонический ряд, сумма всех положительных единичных дробей. Эта сумма расходится, и ее частичные суммы
1 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n {\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + { \ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}{\ frac 11} + {\ frac 12} + {\ frac 13} + \ cdots + {\ frac 1n}
близко аппроксимирует ln n + γ при увеличении n.

Матрицы единичных дробей

Матрица Гильберта - это матрица с элементами

B i, j = 1 i + j - 1. {\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}}.}B _ {{i, j}} = {\ frac 1 {i + j-1}}.

Он обладает необычным свойством, заключающимся в том, что все элементы в его обратной матрице являются целыми числами. Аналогично, Richardson (2001) определил матрицу с элементами

C i, j = 1 F i + j - 1, {\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} { F_ {i + j-1}}},}C _ {{i, j}} = {\ frac 1 {F _ {{i + j-1} }}},

где F i обозначает i-е число Фибоначчи. Он называет эту матрицу матрицей Фильберта, и она обладает тем же свойством иметь целое обратное число.

Смежные дроби

Две дроби называются смежными, если их разность равна единице. дробь.

Доли единицы в вероятности и статистике

В равномерном распределении в дискретном пространстве все вероятности равны долям единиц. Из-за принципа безразличия вероятности этой формы часто возникают в статистических расчетах. Кроме того, закон Ципфа гласит, что для многих наблюдаемых явлений, связанных с выбором элементов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что будет выбран n-й элемент, пропорциональна доле единицы 1 / n.

Доли единиц в физике

Уровни энергии фотонов, которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга, пропорциональны разностям двух единичных фракций. Объяснение этому явлению дает модель Бора, согласно которой уровни энергии электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадратным долям единицы., а энергия фотона квантуется до разницы между двумя уровнями.

Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры была единичной долей, сначала 1 / 136, затем 1/137. Это утверждение было опровергнуто, учитывая, что текущие оценки постоянной тонкой структуры составляют (до 6 значащих цифр) 1 / 137,036.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-20 11:25:18
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте