В теории категорий, ветви математики, диагональный функтор дается как , который отображает объекты, а также морфизмы. Этот функтор может использоваться для краткого альтернативного описания продукта объектов в категории : продукт - универсальная стрелка от к . Стрелка показывает карты проекции.
В более общем плане, учитывая small категорию индекса , можно построить категорию функторов , объекты которой называются диаграммами. Для каждого объекта в существует диаграмма констант , который отображает каждый объект в до и все морфизмы в до . Диагональный функтор присваивает каждый объект из диаграмма и каждому морфизму в естественное преобразование в (задается для каждого объекта из по ). Так, например, в случае, когда представляет собой дискретную категорию с двумя объектами, диагональный функтор восстановлено.
Диагональные функторы позволяют определять пределы и копределы диаграмм. Для диаграммы , естественное преобразование (для некоторого объекта из ) называется конусом для . Эти конусы и их факторизации точно соответствуют объектам и морфизмам категории запятая , а предел является конечным объектом в , т.е. универсальная стрелка . Соответственно, копредел из является начальным объектом в категории запятой , то есть универсальная стрелка .
Если каждый функтор от до имеет limit (что будет иметь место, если is complete ), то операция взятия пределов сама по себе является функтором из до . Предельный функтор - это правосопряженный диагонального функтора. Точно так же функтор копредела (который существует, если категория является кополной) является левым сопряженным к диагональному функтору.
Например, диагональный функтор , описанный выше, является левым сопряженным к бинарному функтору произведения и правым сопряженным к двоичному функтору сопродуктивного произведения. Другие хорошо известные примеры включают pushout, который является пределом span, и конечный объект, который является пределом пустого категория.
См. также
- Диаграмма (теория категорий)
- Конус (теория категорий)
- Диагональный морфизм
Ссылки
- Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике - первое введение в теорию топосов. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 20–23. ISBN 9780387977102.
- Мэй, Дж. П. (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN 0-226-51183-9.