Диагональный функтор

редактировать

В теории категорий, ветви математики, диагональный функтор C → C × C {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}} дается как Δ (a) = ⟨a, a⟩ {\ displaystyle \ Delta (a) = \ langle a, a \ rangle}\ Delta (a) = \ langle a, a \ rangle , который отображает объекты, а также морфизмы. Этот функтор может использоваться для краткого альтернативного описания продукта объектов в категории C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} : продукт a × b {\ displaystyle a \ times b}a \ times b - универсальная стрелка от Δ {\ displaystyle \ Delta}\ Delta к . ⟨A, b⟩ {\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}\ langle a, b \ rangle . Стрелка показывает карты проекции.

В более общем плане, учитывая small категорию индекса J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {J}} , можно построить категорию функторов CJ {\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {C}} ^ {{\ mathcal {J}}} , объекты которой называются диаграммами. Для каждого объекта a {\ displaystyle a}a в C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} существует диаграмма констант Δ a: J → C {\ displaystyle \ Delta _ {a}: {\ mathcal {J}} \ to {\ mathcal {C}}}{\ displaystyle \ Delta _ {a}: {\ mathcal {J }} \ to {\ mathcal {C}}} , который отображает каждый объект в J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {J}} до a {\ displaystyle a}a и все морфизмы в J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {J}} до 1 a {\ displaystyle 1_ {a}}{\ displaystyle 1_ {a}} . Диагональный функтор Δ: C → CJ {\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} ^ {\ mathcal {J}}}\ Delta: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} ^ {{\ mathcal {J}}} присваивает каждый объект a {\ displaystyle a}a из C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} диаграмма Δ a {\ displaystyle \ Дельта _ {a}}\ Delta _ {a} и каждому морфизму f: a → b {\ displaystyle f: a \ rightarrow b}f: a \ rightarrow b в C {\ displaystyle { \ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} естественное преобразование η {\ displaystyle \ eta}\ eta в CJ {\ displaystyle {\ mathcal { C}} ^ {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {C}} ^ {{\ mathcal {J}}} (задается для каждого объекта j {\ displaystyle j}j из J {\ displaystyle {\ mathcal { J}}}{\ mathcal {J}} по η j = f {\ displaystyle \ eta _ {j} = f}\ eta _ {j} = f ). Так, например, в случае, когда J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {J}} представляет собой дискретную категорию с двумя объектами, диагональный функтор C → C × C {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}} восстановлено.

Диагональные функторы позволяют определять пределы и копределы диаграмм. Для диаграммы F: J → C {\ displaystyle {\ mathcal {F}}: {\ mathcal {J}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {F}}: {\ mathcal {J}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} , естественное преобразование Δ a → F {\ displaystyle \ Delta _ {a} \ to {\ mathcal {F}}}{\ displaystyle \ Delta _ {a} \ to {\ mathcal {F}}} (для некоторого объекта a {\ displaystyle a}a из C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} ) называется конусом для F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}{\ mathcal {F}} . Эти конусы и их факторизации точно соответствуют объектам и морфизмам категории запятая (Δ ↓ F) {\ displaystyle (\ Delta \ downarrow {\ mathcal {F}})}{\ displaystyle (\ Delta \ downarrow {\ mathcal {F}})} , а предел F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}{\ mathcal {F}} является конечным объектом в (Δ ↓ F) {\ displaystyle (\ Delta \ downarrow {\ mathcal {F}})}{\ displaystyle (\ Delta \ downarrow {\ mathcal {F}})} , т.е. универсальная стрелка Δ → F {\ displaystyle \ Delta \ rightarrow {\ mathcal {F}}}{\ displaystyle \ Delta \ rightarrow {\ mathcal {F}}} . Соответственно, копредел из F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}{\ mathcal {F}} является начальным объектом в категории запятой (F ↓ Δ) {\ displaystyle ({\ mathcal {F}} \ downarrow \ Delta)}{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} \ downarrow \ Delta)} , то есть универсальная стрелка F → Δ {\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ rightarrow \ Delta}{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ rightarrow \ Delta} .

Если каждый функтор от J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {J}} до C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} имеет limit (что будет иметь место, если C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} is complete ), то операция взятия пределов сама по себе является функтором из CJ {\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathcal {J}}}{\ mathcal {C}} ^ {{\ mathcal {J}}} до C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} . Предельный функтор - это правосопряженный диагонального функтора. Точно так же функтор копредела (который существует, если категория является кополной) является левым сопряженным к диагональному функтору.

Например, диагональный функтор C → C × C {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}}}{\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}} , описанный выше, является левым сопряженным к бинарному функтору произведения и правым сопряженным к двоичному функтору сопродуктивного произведения. Другие хорошо известные примеры включают pushout, который является пределом span, и конечный объект, который является пределом пустого категория.

См. также
Ссылки
  • Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике - первое введение в теорию топосов. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 20–23. ISBN 9780387977102.
Последняя правка сделана 2021-05-17 04:23:44
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте