Многочлен Шура

редактировать

В математике, многочлен Шура, названный в честь Иссаи Шура, являются некоторыми симметричными многочленами от n переменных, индексированными разбиениями, которые обобщают элементарные симметричные многочлены и полные однородные симметричные многочлены. В теории представлений они являются персонажами полиномиальных неприводимых представлений общих линейных групп. Многочлены Шура образуют линейный базис для пространства всех симметричных многочленов. Любое произведение полиномов Шура может быть записано как линейная комбинация полиномов Шура с неотрицательными целыми коэффициентами; значения этих коэффициентов задаются комбинаторно правилом Литтлвуда – Ричардсона. В более общем плане косые многочлены Шура связаны с парами разбиений и имеют свойства, аналогичные свойствам многочленов Шура.

Содержание

1 Определение (двойная формула Якоби)
2 Свойства
- 2.1 Тождества Якоби-Труди
- 2.2 Тождество Джамбелли
- 2.3 Тождество Коши
- 2.4 Дополнительные тождества
- 2.5 Правило Мурнагана – Накаямы
- 2.6 Правило Литтлвуда – Ричардсона и формула Пьери
- 2.7 Специализации
3 Пример
4 Отношение к теории представлений
5 Позитивность Шура
- 5.1 Методы доказательства Шура положительность
6 Обобщения
- 6.1 Косые функции Шура
- 6.2 Двойные многочлены Шура
- 6.3 Факториальные многочлены Шура
- 6.4 Другие обобщения
7 См. также
8 Ссылки

Определение (Якоби двойная формула)

Многочлены Шура индексируются целочисленными разделами. Для разбиения λ = (λ 1, λ 2,…, λ n), где λ 1 ≥ λ 2 ≥… ≥ λ n, и каждое λ j является целым неотрицательным числом, функции

a (λ 1 + n - 1, λ 2 + n - 2,…, λ n) (x 1, x 2,…, xn) = det [x 1 λ 1 + n - 1 x 2 λ 1 + n - 1… xn λ 1 + n - 1 x 1 λ 2 + N - 2 Икс 2 λ 2 + N - 2… xn λ 2 + n - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 λ nx 2 λ n… xn λ n] {\ displaystyle a _ {(\ lambda _ {1} + n-1, \ lambda _ {2} + n-2, \ dots, \ lambda _ {n})} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ det \ left [{\ begin {matrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1} + n-1} x_ {2} ^ {\ lambda _ {1} + n-1} \ dots x_ {n} ^ { \ lambda _ {1} + n-1} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2} + n-2} x_ {2} ^ {\ lambda _ {2} + n-2} \ точки x_ {n} ^ {\ lambda _ {2} + n-2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} \ dots x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {matrix}} \ right]}

a _ {(\ lambda_1 + n-1, \ lambda_2 + n-2, \ dots, \ lambda_n)} ( x_1, x_2, \ dots, x_n) = \ det \ left [\ begin {matrix} x_1 ^ {\ lambda_1 + n-1} x_2 ^ {\ lambda_1 + n-1} \ dots x_n ^ {\ lambda_1 + n-1} \\ x_1 ^ {\ lambda_2 + n-2} x_2 ^ {\ lambda_2 + n-2} \ dots x_n ^ {\ lambda_2 + n-2} \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ x_1 ^ {\ lambda_n} x_2 ^ {\ lambda_n} \ dots x_n ^ {\ lambda_n} \ end {matrix} \ right]

- чередующиеся многочлены по свойствам определитель. Многочлен является чередующимся, если он меняет знак при любом транспонировании переменных.

Поскольку они чередуются, все они делятся на определитель Вандермонда,

a (n - 1, n - 2,…, 0) (x 1, x 2,…, xn) = det [x 1 n - 1 x 2 n - 1… xnn - 1 x 1 n - 2 x 2 n - 2… xnn - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1… 1] = ∏ 1 ≤ j < k ≤ n ( x j − x k). {\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots,0)}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-1}\dots x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}x_{2}^{n-2}\dots x_{n}^{n-2}\\\vdots \vdots \ddots \vdots \\11\dots 1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j

a _ {(n-1, n-2, \ dots, 0)} (x_1, x_2, \ dots, x_n) = \ det \ left [\ begin {matrix} x_1 ^ {n-1} x_2 ^ {n-1} \ dots x_n ^ {n-1} \\ x_1 ^ {n -2} x_2 ^ {n-2} \ dots x_n ^ {n-2} \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 1 \ dots 1 \ end {matrix} \ right] = \ prod_ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_j-x_k).

Шур полиномы определяются как отношение

s λ (x 1, x 2,…, xn) = a (λ 1 + n - 1, λ 2 + n - 2,…, λ n + 0) (x 1, x 2,…, xn) a (n - 1, n - 2,…, 0) (x 1, x 2,…, xn). {\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {a _ {(\ lambda _ {1} + n-1, \ lambda _ { 2} + n-2, \ dots, \ lambda _ {n} +0)} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})} {a _ {(n-1, n- 2, \ dots, 0)} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}}.}

s _ {\ lambda} (x_1, x_2, \ dots, x_n) = \ frac {a _ {(\ lambda_1 + n-1, \ lambda_2 + n-2, \ dots, \ lambda_n + 0)} (x_1, x_2, \ dots, x_n)} {a _ {(n-1, n-2, \ dots, 0)} (x_1, x_2, \ dots, x_n)}.

, которая известна как формула бальтернанта Якоби. Это частный случай формулы символов Вейля.

. Это симметричная функция, потому что числитель и знаменатель являются чередующимися, и полиномом, поскольку все чередующиеся многочлены делятся на определитель Вандермонда.

Свойства

Многочлены Шура степени d от n переменных являются линейным базисом для пространства однородных симметричных многочленов степени d от n переменных. Для разбиения λ = (λ 1, λ 2,..., λ n) многочлен Шура представляет собой сумму мономов,

s λ (Икс 1, Икс 2,…, Xn) знак равно ∑ T Икс T знак равно ∑ T Икс 1 T 1 ⋯ xntn {\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {T} x ^ {T} = \ sum _ {T} x_ {1} ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}

s_ \ lambda (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = \ sum_T x ^ T = \ sum_T x_1 ^ {t_1} \ cdots x_n ^ {t_n}

где суммирование ведется по всем полустандартным таблицам Юнга T формы λ. Показатели t 1,..., t n дают вес T, другими словами, каждый t i подсчитывает вхождения числа i в T Можно показать, что это эквивалентно определению из первой формулы Джамбелли с использованием леммы Линдстрема – Гесселя – Венно (как указано на этой странице).

Многочлены Шура могут быть выражены как линейные комбинации мономиальных симметричных функций mμс неотрицательными целыми коэффициентами K λμ, называемые числами Костки,

s λ = ∑ μ K λ μ м μ. {\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}

s_ \ lambda = \ sum_ \ mu K _ {\ lambda \ mu} m_ \ mu. \

Числа Костки K λμ задаются числом полустандартных таблиц Юнга формы λ и веса μ.

тождества Якоби-Труди

первая формула Якоби-Труди выражает многочлен Шура как определитель в терминах полных однородных симметрических многочленов,

s λ = det (h λ i + j - i) i, j = 1 l (λ) = det [h λ 1 h λ 1 + 1… h λ 1 + n - 1 h λ 2 - 1 h λ 2… h λ 2 + N - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ час λ N - N + 1 час λ N - N + 2… час λ n], {\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det (h _ {\ lambda _ {i} + ji}) _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda)} = \ det \ left [{\ begin {matrix} h _ {\ lambda _ {1}} h _ {\ lambda _ {1} + 1} \ dots h _ {\ lambda _ {1} + n-1} \\ h _ {\ lambda _ {2} -1} h _ {\ lambda _ {2}} \ dots h _ {\ lambda _ {2 } + n-2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ h _ {\ lambda _ {n} -n + 1} h _ {\ lambda _ {n} -n + 2} \ dots h _ {\ lambda _ {n}} \ end {matrix}} \ right],}

{\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ det (h _ {\ lambda _ {i} + ji}) _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda)} = \ det \ left [{\ begin {matrix} h _ {\ lambda _ {1}} h _ {\ lambda _ {1} +1} \ точки h _ {\ lambda _ {1} + n-1} \\ h _ {\ lambda _ {2} -1} h _ {\ lambda _ {2}} \ dots h _ {\ lambda _ {2} + n- 2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ h _ {\ lambda _ {n} -n + 1} h _ {\ lambda _ {n} -n + 2} \ dots h _ {\ lambda _ {n}} \ end {matrix}} \ справа],}

где h i : = s (i).

второй Якоби -Формула Труди выражает многочлен Шура как определитель в терминах элементарных симметричных многочленов,

s λ = det (e λ i ′ + j - i) i, j = 1 l (λ ′) = det [e λ 1 ′ e λ 1 ′ + 1… e λ 1 ′ + l - 1 е λ 2 ′ - 1 е λ 2 ′… e λ 2 ′ + l - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e λ l ′ - l + 1 e λ l ′ - l + 2… e λ l ′], {\ displaystyle s_ {\ lambda} = \ det (e _ {\ lambda '_ {i} + ji}) _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda')} = \ det \ left [{\ begin {matrix} e _ {\ lambda '_ {1}} e _ ​​{\ lambda' _ {1} +1} \ dots e _ ​​{\ lambda '_ {1} + l-1} \\ e _ {\ lambda' _ {2} -1} e _ ​​{\ lambda '_ {2}} \ dots e _ ​​{\ lambda' _ {2} + l-2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ e _ {\ lambda ' _ {l} -l + 1} e _ ​​{\ lambda '_ {l} -l + 2} \ dots e _ ​​{\ lambda' _ {l}} \ end {matrix}} \ right],}

s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}e_{\lambda '_{1}+1}\dots e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}e_{\lambda '_{2}}\dots e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots \vdots \ddots \vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}e_{\lambda '_{l}-l+2}\dots e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],

где e i : = s (1). а λ '- разбиение, сопряженное с λ.

Эти две формулы известны как детерминантные тождества.

Тождество Джамбелли

Еще одно детерминантное тождество - это формула Джамбелли, которая выражает функцию Шура для произвольного разбиения через функции для разбиений-крючков, содержащихся в диаграмме Юнга.. В нотации Фробениуса раздел обозначается

(a 1,…, ar ∣ b 1,…, br) {\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {r} \ mid b_ {1}, \ ldots, b_ {r})}

{\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {r} \ mid b_ {1}, \ ldots, b_ {r})}

где для каждого диагонального элемента в позиции ii a i обозначает количество прямоугольников справа в той же строке, а b i обозначает количество прямоугольников под ним в том же столбце (длина рук и ног соответственно).

Тождество Джамбелли выражает функцию Шура, соответствующую этому разбиению, как определитель

s (a 1,…, ar ∣ b 1,…, br) = det (s ( ai ∣ bj)) {\ displaystyle s _ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {r} \ mid b_ {1}, \ ldots, b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i}) \ mid b_ {j})})}

{\ displaystyle s_ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {r} \ mid b_ {1}, \ ldots, b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} \ mid b_ {j})}) }

из них для перехватчиков.

Тождество Коши

Тождество Коши для функций Шура (теперь с бесконечным числом переменных) и его двойственное состояние, что

∑ λ s λ (x) s λ (y) = ∑ λ м λ (Икс) час λ (Y) знак равно ∏ я, J (1 - xiyj) - 1, {\ displaystyle \ sum _ {\ lambda} s _ {\ lambda} (x) s _ {\ lambda} (y) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} (x) h _ {\ lambda} (y) = \ prod _ {i, j} (1-x_ {i} y_ {j}) ^ {- 1 },}

\ sum_ \ lambda s_ \ lambda (x) s _ {\ lambda} (y) = \ sum_ \ lambda m_ \ lambda (x) h _ {\ lambda} (y) = \ prod_ {я, j} (1-x_i y_j) ^ {- 1},

∑ λ s λ (x) s λ ′ (y) = ∑ λ m λ (x) e λ (y) = ∏ i, j (1 + xiyj), {\ displaystyle \ sum _ {\ lambda} s _ {\ lambda} (x) s _ {\ lambda '} (y) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} (x) e _ {\ lambda} (y) = \ prod _ {i, j} (1 + x_ {i} y_ {j}),}

\sum_\lambda s_\lambda(x) s_{\lambda'}(y) = \sum_\lambda m_\lambda(x) e_{\lambda}(y) = \prod_{i,j} (1+x_i y_j),

где сумма берется по всем разделам λ, и $h λ (x) {\ displaystyle h _ {\ lambda } (x)}$ ${\ displaystyle h _ {\ lambda} (x)}$ , $e λ (x) {\ displaystyle e _ {\ lambda} (x)}$ ${\ displaystyle e _ {\ lambda} (x)}$ обозначают полные симметричные функции и элементарные симметричные функции, соответственно. Если сумма берется по произведениям многочленов Шура в $n {\ displaystyle n}$ $n$ переменных $(x 1,…, xn) {\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ dots, x_ {n})$ , сумма включает только разделы длины $ℓ (λ) ≤ n {\ displaystyle \ ell (\ lambda) \ leq n}$ ${\ displaystyle \ ell (\ lambda) \ leq n}$ , поскольку в противном случае полиномы Шура обращаются в нуль.

Есть много обобщений этих тождеств на другие семейства симметричных функций. Например, многочлены Макдональда, многочлены Шуберта и многочлены Гротендика допускают тождества типа Коши.

Дополнительные тождества

Многочлен Шура также может быть вычислен с помощью специализации формулы для многочленов Холла – Литтлвуда,

s λ (x 1,…, xn) = вес ∈ S N / S N λ вес (Икс λ ∏ λ я>λ jxixi - xj) {\ displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) = \ sum _ {w \ в S_ {n} / S_ {n} ^ {\ lambda}} w \ left (x ^ {\ lambda} \ prod _ {\ lambda _ {i}>\ lambda _ {j}} {\ frac {x_ { i}} {x_ {i} -x_ {j}}} \ right)}

s_{\lambda }(x_{1},\dotsc,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\ lambda _ {j}} {\ frac {x_ {i}} {x_ {i} -x_ {j }}} \ right)

где $S n λ {\ displaystyle S_ {n} ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle S_ {n} ^ {\ lambda}}$ - подгруппа перестановок, таких что $λ w (i) = λ i {\ displaystyle \ lambda _ {w (i)} = \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {w (i)} = \ lambda _ {i}}$ для всех i, а w действует на переменные путем перестановки индексов.

Правило Мурнагана-Накаямы

Правило Мурнагана – Накаямы выражает произведение симметричной функции степенной суммы с функцией Шура. полином в терминах полиномов Шура:

pr ⋅ s λ = ∑ μ (- 1) ht (μ / λ) + 1 s μ {\ displaystyle p_ {r} \ cdot s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ mu} (- 1) ^ {ht (\ mu / \ lambda) +1} s _ {\ mu}}

p_r \ cdot s_ \ lambda = \ сумма _ {\ mu} (-1) ^ {ht (\ mu / \ lambda) +1} s_ \ mu

где сумма берется по всем разбиениям μ, таким что μ / λ - крюк-ободок размера r, а ht (μ / λ) - количество строк на диаграмме μ / λ.

Правило Литтлвуда – Ричардсона и формула Пьери

Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона зависят от трех разбиений, скажем, $λ, μ, ν {\ displaystyle \ lambda, \ mu, \ nu}$ $\ lambda, \ mu, \ nu$ , из которых $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ и $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ описывают умножаемые функции Шура, а $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ дает функцию Шура, коэффициент которой является коэффициентом в линейной комбинации; другими словами, это коэффициенты $c λ, μ ν {\ displaystyle c _ {\ lambda, \ mu} ^ {\ nu}}$ $c _ {{\ lambda, \ mu}} ^ {\ nu}$ такие, что

s λ s μ = ∑ ν c λ, μ ν s ν. {\ displaystyle s _ {\ lambda} s _ {\ mu} = \ sum _ {\ nu} c _ {\ lambda, \ mu} ^ {\ nu} s _ {\ nu}.}

s _ {\ lambda} s _ {\ mu} = \ sum _ {\ nu} c _ {{\ lambda, \ mu}} ^ {\ nu} s _ {\ nu}.

Правило Литтлвуда – Ричардсона гласит что $c λ, μ ν {\ displaystyle c _ {\ lambda, \ mu} ^ {\ nu}}$ $c _ {{\ lambda, \ mu}} ^ {\ nu}$ равно количеству таблиц Литтлвуда – Ричардсона скошенной формы $ν / λ {\ displaystyle \ nu / \ lambda}$ $\ nu / \ lambda$ и веса $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Формула Пиери является частным случаем Литтлвуда -Правило Ричардсона, которое выражает произведение $часов λ {\ displaystyle h_ {r} s _ {\ lambda}}$ $h_r s _ {\ lambda}$ в терминах полиномов Шура. Двойная версия выражает $e r s λ {\ displaystyle e_ {r} s _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle e_ {r} s _ {\ lambda}}$ в терминах полиномов Шура.

Специализации

Оценка полинома Шура s λ в (1,1,..., 1) дает количество полустандартных таблиц Юнга формы λ с записи в 1, 2,..., n. Используя, например, формулу символов Вейля, можно показать, что

s λ (1, 1,…, 1) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n λ i − λ j + j − i j − i. {\displaystyle s_{\lambda }(1,1,\dots,1)=\prod _{1\leq i

s_ \ lambda (1,1, \ dots, 1) = \ prod_ {1 \ leq i <j \ leq n} \ frac {\ lambda_i - \ lambda_j + ji} {ji}.

В этой формуле λ кортеж обозначающий ширину каждой строки диаграммы Юнга, неявно дополняется нулями до тех пор, пока не достигнет длины n. Сумма элементов λ i равна d. См. Также формулу длины крюка, которая вычисляет ту же величину для фиксированного λ.

Пример

Следующий расширенный пример должен помочь прояснить эти идеи. Рассмотрим случай n = 3, d = 4. Используя диаграммы Феррерса или какой-либо другой метод, мы обнаруживаем, что всего четыре разбиения из 4 на максимум три части. Имеем

s (2, 1, 1) (x 1, x 2, x 3) = 1 Δ det [x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 1 x 2 x 3] = x 1 x 2 x 3 (x 1 + x 2 + x 3) {\ displaystyle s _ {(2,1,1)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det \ left [{\ begin {matrix} x_ {1} ^ {4} x_ {2} ^ {4} x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {2} x_ {2} ^ {2} x_ {3} ^ {2} \\ x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ end {matrix}} \ right] = x_ { 1} \, x_ {2} \, x_ {3} \, (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3})}

s _ {(2,1,1)} (x_1, x_2, x_3) = \ frac {1} {\ Delta} \; \ det \ left [\ begin {matrix} x_1 ^ 4 x_2 ^ 4 x_3 ^ 4 \\ x_1 ^ 2 x_2 ^ 2 x_3 ^ 2 \\ x_1 x_2 x_3 \ end {matrix} \ right] = x_1 \, x_2 \, x_3 \, (x_1 + x_2 + x_3)

s (2, 2, 0) (x 1, x 2, x 3) = 1 Δ det [x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 1 3 x 2 3 x 3 3 1 1 1] = x 1 2 x 2 2 + x 1 2 x 3 2 + x 2 2 x 3 2 + Икс 1 2 Икс 2 Икс 3 + Икс 1 Икс 2 2 Икс 3 + Икс 1 Икс 2 Икс 3 2 {\ Displaystyle s _ {(2,2,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det \ left [{\ begin {matrix} x_ {1} ^ {4} x_ {2} ^ {4} x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {3} x_ {3} ^ {3} \\ 1 1 1 \ end {matrix}} \ right] = x_ {1} ^ {2 } \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ { 2} \, x_ {3} ^ {2}}

s _ {(2,2,0)} (x_1, x_2, x_3) = \ frac {1} {\ Delta} \; \ det \ left [\ begin {matrix} x_1 ^ 4 x_2 ^ 4 x_3 ^ 4 \\ x_1 ^ 3 x_2 ^ 3 x_3 ^ 3 \\ 1 1 1 \ end {matrix} \ right] = x_1 ^ 2 \, x_2 ^ 2 + x_1 ^ 2 \, x_3 ^ 2 + x_2 ^ 2 \, x_3 ^ 2 + x_1 ^ 2 \, x_2 \, x_3 + x_1 \, x_2 ^ 2 \, x_3 + x_1 \, x_2 \, x_3 ^ 2

и так далее, где $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ - определитель Вандермонда $a (2, 1, 0) (Икс 1, Икс 2, Икс 3) {\ Displaystyle a _ {(2,1,0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle a _ {(2,1, 0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ . Подводя итог:

$s (2, 1, 1) = e 1 e 3 {\ displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}$ $s _ {(2,1,1)} = e_1 \, e_3$
$s (2, 2, 0) = e 2 2 - e 1 e 3 {\ displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}$ $s _ {(2, 2,0)} = e_2 ^ 2 - e_1 \, e_3$
$s (3, 1, 0) знак равно е 1 2 е 2 - е 2 2 - е 1 е 3 {\ displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2 } -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}$ $s _ {(3,1, 0)} = e_1 ^ 2 \, e_2 - e_2 ^ 2 - e_1 \, e_3$
$s (4, 0, 0) = e 1 4 - 3 e 1 2 e 2 + 2 e 1 e 3 + е 2 2. {\ Displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \, e_ {3} + e_ {2} ^ {2}.}$ $s _ {(4,0,0)} = e_1 ^ 4-3 \, e_1 ^ 2 \, e_2 + 2 \, e_1 \, e_3 + e_2 ^ 2.$

Каждый однородный симметричный многочлен четвертой степени от трех переменных может быть выражен как уникальная линейная комбинация этих четырех многочленов Шура, и эту комбинацию снова можно найти с помощью базис Грёбнера для соответствующего порядка исключения. Например,

ϕ (x 1, x 2, x 3) = x 1 4 + x 2 4 + x 3 4 {\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}

\ phi (x_1, x_2, x_3) = x_1 ^ 4 + x_2 ^ 4 + x_3 ^ 4

, очевидно, является симметричным многочленом, однородным четвертой степени, и мы имеем

ϕ = s (2, 1, 1) - s (3, 1, 0) + s (4, 0, 0). {\ displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ ​​{(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}

\ phi = s _ {( 2,1,1)} - s _ ​​{(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!

Отношение к представлению теория

Многочлены Шура встречаются в теории представлений симметрических групп, общих линейных групп и унитарных групп. Формула характера Вейля подразумевает, что многочлены Шура являются характерами конечномерных неприводимых представлений общих линейных групп, и помогает обобщить работу Шура на другие компактные и полупростые группы Ли.

Несколько для этого соотношения возникают выражения, одним из наиболее важных является разложение функций Шура s λ по симметричным степенным функциям $pk = ∑ ixik {\ displaystyle p_ {k} = \ sum _ {i} x_ {i} ^ {k}}$ $p_k = \ sum_i x_i ^ k$ . Если через χ. ρобозначать характер представления симметрической группы, индексированной разбиением λ, вычисляемой на элементах циклического типа, индексированных разбиением ρ, то

s λ = ∑ ν χ ν λ z ν p ν = ∑ ρ = (1 r 1, 2 r 2, 3 r 3,…) χ ρ λ ∏ kpkrkrk! krk, {\ displaystyle s _ {\ lambda} = \ sum _ {\ nu} {\ frac {\ chi _ {\ nu} ^ {\ lambda}} {z _ {\ nu}}} p _ {\ nu} = \ сумма _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ dots)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}},}

s _ {\ lambda} = \ sum _ {{\ nu}} {\ frac { \ chi _ {\ nu} ^ {\ lambda}} {z _ {\ nu}}} p _ {\ nu} = \ sum _ {{\ rho = (1 ^ {{r_ {1}}}, 2 ^ { {r_ {2}} }, 3 ^ {{r_ {3}}}, \ dots)}} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {{r_ {k }}}} {r_ {k}! k ^ {{r_ {k}}}}},

где ρ = (1, 2, 3,...) означает, что разбиение ρ имеет r k частей длины k.

Доказательство этого можно найти в "Перечислительной комбинаторике" Тома 2 Р. Стэнли, следствие 7.17.5.

Целые числа χ. ρмогут быть вычислены с использованием правила Мурнагана – Накаямы.

положительности Шура

Благодаря связи с теорией представлений симметричная функция, которая положительно расширяется в Особый интерес представляют функции Шура. Например, косые функции Шура расширяются положительно в обычные функции Шура, а коэффициенты являются коэффициентами Литтлвуда – Ричардсона.

Частным случаем этого является разложение полных однородных симметричных функций h λ по функциям Шура. Это разложение отражает, как модуль перестановки разлагается на неприводимые представления.

Методы доказательства положительности по Шуру

Существует несколько подходов к доказательству положительности по Шуру данной симметричной функции F. Если F описывается комбинаторным образом, прямой подход состоит в том, чтобы произвести биекцию с полустандартные картины Юнга. Соответствие Эдельмана – Грина и соответствие Робинсона – Шенстеда – Кнута являются примерами таких биекций.

Биекция с большей структурой - это доказательство с использованием так называемых кристаллов. Этот метод можно описать как определение определенной структуры графа, описываемой локальными правилами для базовых комбинаторных объектов.

Похожая идея - понятие двойственной эквивалентности. В этом подходе также используется структура графа, но на объектах, представляющих расширение в фундаментальном квазисимметричном базисе. Это тесно связано с RSK-перепиской.

Обобщения

Косые функции Шура

Косые функции Шура s λ / μ зависят от двух разбиений λ и μ и могут быть определены свойством

s λ / μ, s ν⟩ = ⟨s λ, s μ s ν⟩. {\ displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}

\ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s_ \ nu \ ra ngle = \ langle s _ {\ lambda}, s_ \ mu s_ \ nu \ rangle.

Здесь внутреннее произведение - это внутреннее произведение Холла, для которого многочлены Шура образуют ортонормированный базис.

Подобно обычным многочленам Шура, существует множество способов их вычисления. Соответствующие тождества Якоби-Труди:

s λ / μ = det (h λ i - μ j - i + j) i, j = 1 l (λ) {\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ det (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}) _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda)}}

{\ displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ det (h _ {\ lambda _ {i } - \ mu _ {j} -i + j}) _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda)}}

s λ ′ / μ ′ = det (е λ я - μ J - я + J) я, J знак равно 1 l (λ) {\ displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = \ det (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}) _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda)}}

s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda)}

Существует также комбинаторная интерпретация косых многочленов Шура, а именно, это сумма по всем полу -стандартные таблицы Юнга (или таблицы со строгими столбцами) скошенной формы $λ / μ {\ displaystyle \ lambda / \ mu}$ $\ lambda / \ mu$ .

Косые многочлены Шура положительно расширяются в многочлены Шура. Правило для коэффициентов задается правилом Литтлвуда-Ричардсона.

Двойные многочлены Шура

Двойные многочлены Шура можно рассматривать как обобщение сдвинутых многочленов Шура. Эти многочлены также тесно связаны с факториальными многочленами Шура. Для разбиения λ и последовательности a 1, a 2,… можно определить двойной многочлен Шура s λ (x || a) как

s λ (Икс | | a) знак равно ∑ T ∏ α ∈ λ (x T (α) - a T (α) - c (α)) {\ displaystyle s _ {\ lambda} (x || a) = \ sum _ {T} \ prod _ {\ alpha \ in \ lambda} (x_ {T (\ alpha)} - a_ {T (\ alpha) -c (\ alpha)})}

s _ {\ lambda} (x || a) = \ sum _ {T} \ prod _ { {\ alpha \ in \ lambda}} (x _ {{T (\ alpha)}} - a _ {{T (\ alpha) -c (\ alpha)}})

где сумма взято по всем обратным полустандартным таблицам Юнга T формы λ и целочисленным элементам в 1,…, n. Здесь T (α) обозначает значение в блоке α в T, а c (α) - это содержимое блока.

Комбинаторное правило для коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона (зависящее от последовательности а) дано А.И. Молевым в. В частности, это означает, что сдвинутые полиномы Шура имеют неотрицательные коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона.

сдвинутые многочлены Шура, s λ (y), могут быть получены из двойных многочленов Шура путем специализации i = -i и y i=xi+ i.

Двойные многочлены Шура являются частными случаями двойных многочленов Шуберта.

Факториальных многочленов Шура

Факториальные многочлены Шура могут быть определены следующим образом. Для разбиения λ и дважды бесконечной последовательности…, a −1, a 0, a 1,… можно определить факториальный многочлен Шура s λ (x | a) как

s λ (x | a) = ∑ T ∏ α ∈ λ (x T (α) - a T (α) + c (α)) {\ displaystyle s _ {\ lambda} (x | a) = \ sum _ {T} \ prod _ {\ alpha \ in \ lambda} (x_ {T (\ alpha)} - a_ {T (\ alpha) + c (\ alpha)})}

s _ {\ lambda} (x | a) = \ sum _ {T} \ prod _ {{\ alpha \ in \ lambda}} (x _ {{T (\ alpha)}} - a _ {{T (\ alpha) + c (\ alpha)}})

где сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга T формы λ и целым элементам в 1,…, n. Здесь T (α) обозначает значение в блоке α в T, а c (α) - это содержимое блока.

Существует также формула определителя,

s λ (x | a) = det [(xj | a) λ i + n - i] i, j = 1 l (λ) ∏ i < j ( x i − x j) {\displaystyle s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda)}}{\prod _{i

{\ displaystyle s _ {\ lambda} (x | a) = {\ frac {\ det [(x_ { j} | a) ^ {\ lambda _ {i} + ni}] _ {i, j = 1} ^ {l (\ lambda)}} {\ prod _ {i <j} (x_ {i} -x_ {j})}}}

где (y | a) = (ya 1)... (ya k). Ясно, что если мы положим a i = 0 для всех i, мы восстановим обычный многочлен Шура s λ.

Двойные многочлены Шура и факториальные многочлены Шура от n переменных связаны тождеством s λ (x || a) = s λ (x | u), где a n-i + 1 = u i.

Другие обобщения

Существует множество обобщений многочленов Шура:

многочлены Холла – Литтлвуда
сдвинутые многочлены Шура
отмеченные многочлены Шура
многочлены Шуберта
симметричные функции Стэнли (также известные как стабильные многочлены Шуберта)
Ключевые многочлены (также известные как символы Демазюра)
Квазисимметричные многочлены Шура
Строгое по строкам многочлены Шура
Многочлены Джека
Модульные Многочлены Шура
Петлевые функции Шура
Многочлены Макдональда
Многочлены Шура для симплектической и ортогональной группы.
k-функции Шура
Многочлены Гротендика (K-теоретические аналог полиномов Шура)
полином LLT ials

См. также

функтор Шура
правило Литтлвуда – Ричардсона, где можно найти некоторые тождества, включающие многочлены Шура.

Ссылки

Macdonald, I.G. (1995). Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии (2-е изд.). Кларендон Пресса, Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853489-1. MR 1354144. Архивировано из оригинала 11 декабря 2012 года.
Саган, Брюс Э. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Штурмфельс, Бернд (1993). Алгоритмы в теории инвариантов. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-82445-1.

^Формула A.5 в Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
^Формула A.6 в Fulton, William ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
^ Молев, А.И. (Июнь 2009 г.). «Многочлены Литтлвуда – Ричардсона». Журнал алгебры. 321 (11): 3450–3468. arXiv : 0704.0065. doi :10.1016/j.jalgebra.2008.02.034.