Полный однородный симметричный многочлен

В математике, в частности в алгебраической комбинаторике и коммутативной алгебре, полные однородные симметричные многочлены представляют собой особый вид симметричных многочленов. Каждый симметричный многочлен может быть выражен как полиномиальное выражение от полных однородных симметричных многочленов.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
  • 3.1 Производящая функция
  • 3.2 Связь с элементарными симметричными многочленами
  • 3.3 Связь с числами Стирлинга
  • 3.4 Связь с мономиальные симметричные многочлены
  • 3.5 Связь с симметричными тензорами
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Определение

Полный однородный симметричный многочлен степени k от n переменных X 1,…, X n, записывается h k для k = 0, 1, 2,…, является суммой всех одночленов общей степени k в переменных. Формально

$h\; k\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; 1\; \le \; i\; 1\; \le \; i\; 2\; \le \; \cdots \; \le \; i\; k\; \le \; n\; X\; i\; 1\; X\; i\; 2\; \cdots \; X\; i\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{k\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; i\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; leq\; i\_\; \{k\}\; \backslash \; leq\; n\}\; X\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; X\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{i\_\; \{k\}\}.\}$

Формула также может быть записана как:

$hk\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; l\; 1\; +\; l\; 2\; +\; \cdots \; +\; ln\; =\; kli\; \ge \; 0\; X\; 1\; l\; 1\; X\; 2\; l\; 2\; \cdots \; X\; nln.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{k\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\_\; \{1\}\; +\; l\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; l\_\; \{n\}\; =\; k\; \backslash \; atop\; l\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0\}\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{l\_\; \{1\}\}\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{l\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{n\}\; ^\; \{l\_\; \{n\}\}.\}$

Действительно, l p - это просто кратность p в последовательности i k.

Первые несколько из этих многочленов равны

$h\; 0\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; 1,\; h\; 1\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; 1\; \le \; j\; \le \; n\; X\; j,\; h\; 2\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; 1\; \le \; j\; \le \; k\; \le \; n\; X\; j\; X\; k,\; h\; 3\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; 1\; \le \; j\; \le \; k\; \le \; l\; \le \; n\; X\; j\; X\; k\; X\; l.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; h\_\; \{0\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; 1,\; \backslash \backslash \; [10px]\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; leq\; n\}\; X\_\; \{j\},\; \backslash \backslash \; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; n\}\; X\_\; \{j\}\; X\_\; \{k\},\; \backslash \backslash \; h\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; l\; \backslash \; leq\; n\}\; X\_\; \{j\}\; X\_\; \{k\}\; X\_\; \{l\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа k существует ровно один полный однородный симметрический многочлен степени k от n переменных.

Другой способ переписать определение - провести суммирование по всем последовательностям i k без условия упорядочения i p ≤ i p + 1 :

$hk\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n)\; =\; \sum \; 1\; \le \; i\; 1,\; i\; 2,\; \cdots ,\; ik\; \le \; nm\; 1!\; м\; 2!\; \cdots \; m\; n!\; к!\; Икс\; я\; 1\; Икс\; я\; 2\; \cdots \; Икс\; ik,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{k\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; i\_\; \{1\},\; i\_\; \{2\},\; \backslash \; cdots,\; i\_\; \{k\}\; \backslash \; leq\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}!\; M\_\; \{2\}!\; \backslash \; Cdots\; m\_\; \{n\}!\}\; \{K!\}\}\; X\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; X\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{i\_\; \{k\}\},\}$

здесь m p - кратность числа p в последовательности i k.

Например,

$h\; 2\; (\; Х\; 1,\; Х\; 2)\; =\; 2!\; 0!\; 2!\; Х\; 1\; 2\; +\; 1!\; 1!\; 2!\; Х\; 1\; Х\; 2\; +\; 1!\; 1!\; 2!\; Х\; 2\; Х\; 1\; +\; 0!\; 2!\; 2!\; Х\; 2\; 2\; знак\; равно\; Х\; 1\; 2\; +\; Х\; 1\; Х\; 2\; +\; Х\; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2!\; 0!\}\; \{2!\}\}\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1!\; 1!\; \}\; \{2!\}\}\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1!\; 1!\}\; \{2!\}\}\; X\_\; \{2\}\; X\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{0!\; 2!\}\; \{2!\; \}\}\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}.\}$

Кольцо многочленов образованное взятием всех целочисленных линейных комбинаций произведений полных однородных симметрических многочленов, является коммутативным кольцом.

Примеры

Ниже перечислены n основных (как объяснено ниже) полных однородных симметричных многочленов для первых трех положительных значений n.

Для n = 1:

$h\; 1\; (X\; 1)\; =\; X\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\})\; =\; X\_\; \{1\}\; \backslash ,.\}$

Для n = 2:

$h\; 1\; (X\; 1,\; X\; 2)\; =\; X\; 1\; +\; X\; 2\; h\; 2\; (Х\; 1,\; Х\; 2)\; знак\; равно\; Х\; 1\; 2\; +\; Х\; 1\; Х\; 2\; +\; Х\; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\})\; =\; X\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\; \})\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Для n = 3:

$h\; 1\; (X\; 1,\; X\; 2,\; X\; 3)\; =\; X\; 1\; +\; X\; 2\; +\; X\; 3\; h\; 2\; (X\; 1,\; X\; 2,\; X\; 3)\; =\; X\; 1\; 2\; +\; X\; 2\; 2\; +\; X\; 3\; 2\; +\; X\; 1\; X\; 2\; +\; Х\; 1\; Х\; 3\; +\; Х\; 2\; Х\; 3\; h\; 3\; (Х\; 1,\; Х\; 2,\; Х\; 3)\; =\; Х\; 1\; 3\; +\; Х\; 2\; 3\; +\; Х\; 3\; 3\; +\; Х\; 1\; 2\; Х\; 2\; +\; Х\; 1\; 2\; Х\; 3\; +\; Х\; 2\; 2\; Х\; 1\; +\; Икс\; 2\; 2\; Х\; 3\; +\; Х\; 3\; 2\; Х\; 1\; +\; Х\; 3\; 2\; Х\; 2\; +\; Х\; 1\; Х\; 2\; Х\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\})\; =\; X\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; h\_\; \{2\; \}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\})\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{3\}\; +\; X\_\; \{2\}\; X\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; h\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\})\; =\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\; +\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{3\}\; +\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{3\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{3\}\; +\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; X\_\; \{3\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Свойства

Производящая функция

Полные однородные симметричные многочлены характеризуются следующим тождеством формального степенного ряда по t:

$\sum \; k\; =\; 0\; \infty \; hk\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; tk\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; \sum \; j\; =\; 0\; \infty \; (X\; it)\; j\; =\; \prod \; i\; =\; 1\; n\; 1\; 1\; -\; Икс\; это\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; h\_\; \{k\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; t\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (X\_\; \{i\}\; t)\; ^\; \{j\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; -X\_\; \{i\}\; t\}\}\}$

(это называется производящей функцией или производящей серией для полных однородных симметричных многочленов). Здесь каждая дробь в последнем выражении - это обычный способ представления формального геометрического ряда, который является множителем в среднем выражении. Идентичность можно обосновать, рассмотрев, как формируется произведение этих геометрических рядов: каждый множитель в произведении получается путем умножения одного члена, выбранного из каждого геометрического ряда, и каждый одночлен в переменных X i равен получается ровно для одного такого выбора членов и умножается на степень t, равную степени монома.

Приведенная выше формула в определенном смысле эквивалентна основной теореме Мак-Магона. Действительно, правую часть можно интерпретировать как 1 / det (1 - tM) для диагональной матрицы M с X i на диагонали. Слева можно распознать выражения, подобные тем, которые содержатся в основной теореме Мак-Магона. Диагонализируемые матрицы плотны во множестве всех матриц, и это рассмотрение доказывает всю теорему.

Связь с элементарными симметричными многочленами

Между элементарными симметричными многочленами и полными однородными полиномами существует фундаментальная связь:

$\sum \; i\; =\; 0\; m\; (-\; 1)\; iei\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; hm\; -\; i\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; e\_\; \{i\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; h\_\; \{mi\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; =\; 0,\}$

который действителен для всех m>0 и любое количество переменных n. Самый простой способ убедиться в его справедливости - это тождество формального степенного ряда по t для элементарных симметричных многочленов, аналогичное приведенному выше для полных однородных многочленов:

$\sum \; k\; =\; 0\; \infty \; ek\; (X\; 1,\dots ,\; Икс\; N)\; (-\; T)\; К\; знак\; равно\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (1\; -\; Икс\; это)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; е\_\; \{к\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; (-\; t)\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (1-X\_\; \{i\}\; t)\}$

(на самом деле это тождество многочленов от t, потому что после e n(X1,…, X n) элементарные симметричные многочлены становятся равными нулю). Умножая это на производящую функцию для полных однородных симметричных многочленов, мы получаем постоянный ряд 1, а связь между элементарными и полными однородными многочленами следует из сравнения коэффициентов t. Несколько более прямой способ понять это соотношение - рассмотреть вклады в суммирование с участием фиксированного монома X степени m. Для любого подмножества S переменных, появляющихся в мономе с ненулевым показателем степени, существует вклад, включающий произведение X S этих переменных как член из e s(X1,…, X n), где s = #S, а моном X / X S из h m - s (X1,…, X n); этот вклад имеет коэффициент (−1). Соотношение тогда следует из того факта, что

$\sum \; s\; =\; 0\; l\; (ls)\; (-\; 1)\; s\; =\; (1\; -\; 1)\; l\; =\; 0\; для\; l>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 0\}\; ^\; \{l\}\; \{\backslash \; binom\; \{l\}\; \{s\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{s\}\; =\; (1-1)\; ^\; \{l\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{for\}\}\; l>0,\}$

по биномиальной формуле , где l < m denotes the number of distinct variables occurring (with nonzero exponent) in X. Since e0(X1,…, X n) и h 0(X1,…, X n) оба равны 1, можно выделить из соотношения либо первое, либо последнее слагаемое суммирования. Первое дает последовательность уравнений:

$h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; e\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\; h\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; e\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; -\; e\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\; h\; 3\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; h\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; e\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; -\; h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; e\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; Икс\; n)\; +\; е\; 3\; (Икс\; 1,\dots ,\; Икс\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; =\; e\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \backslash \; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\; \})\; =\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; e\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; -\; e\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \backslash \; h\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; =\; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; e\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; -\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; e\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; +\; e\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и так далее, что позволяет рекурсивно выразить последовательные полные однородные симметричные многочлены в терминах элементарных симметричных многочленов; последнее дает систему уравнений

$e\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\; e\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; e\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; -\; h\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\; e\; 3\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; =\; h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; e\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; -\; h\; 2\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; e\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; +\; h\; 3\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; =\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \; \backslash \; e\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; =\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; e\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; -\; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \backslash \; e\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; =\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; e\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; -\; h\_\; \{2\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; e\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\; +\; h\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\; \}$

и так далее, что позволяет делать обратное. Первые n элементарных и полных однородных симметрических многочленов играют совершенно одинаковые роли в этих отношениях, даже если первые многочлены затем становятся нулевыми, а вторые - нет. Это явление можно понять в настройке кольца симметричных функций . Он имеет кольцевой автоморфизм, который меняет местами последовательности n элементарных и первых n полных однородных симметричных функций.

Набор полных однородных симметричных многочленов степени от 1 до n от n переменных генерирует кольцо из симметричных многочленов от n переменных. Более конкретно, кольцо симметричных многочленов с целыми коэффициентами равно целочисленному кольцу многочленов

$Z\; [h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\dots ,\; h\; n\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \{\backslash \; big\; [\}\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \; ldots,\; h\_\; \{n\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{\; n\})\; \{\backslash \; big]\}.\}$

Это можно сформулировать, сказав, что

$h\; 1\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n),\dots ,\; hn\; (X\; 1,\dots ,\; X\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{1\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}),\; \backslash \; ldots,\; h\_\; \{n\}\; (X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\})\}$

образуют алгебраический базис кольца симметричных многочленов от X 1,…, X n с целыми коэффициентами (как и для элементарных симметричных многочленов). То же самое верно и для кольца ℤ целых чисел, замененного любым другим коммутативным кольцом. Эти утверждения следуют из аналогичных утверждений для элементарных симметрических многочленов из-за указанной возможности выражения любого вида симметричных многочленов через другой вид.

Связь с числами Стирлинга

Вычисление целых чисел полных однородных многочленов и элементарных симметричных многочленов связано с числами Стирлинга :

$hn\; (1,\; 2,\dots ,\; k)\; знак\; равно\; \{N\; +\; kk\}\; en\; (1,\; 2,\dots ,\; k)\; =\; [k\; +\; 1\; k\; +\; 1\; -\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; h\_\; \{n\}\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; k)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; n\; +\; k\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \backslash \; e\_\; \{n\}\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; k)\; =\; \backslash \; left\; [\{\; k\; +\; 1\; \backslash \; atop\; k\; +\; 1-n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

.

Связь с мономиальными симметричными многочленами

Многочлен h k(X1,…, X n) также является суммой всех различных мономиальных симметричных многочленов степени k в X 1,…, X n, например

$h\; 3\; (X\; 1,\; X\; 2,\; X\; 3)\; =\; m\; (3)\; (X\; 1,\; X\; 2,\; X\; 3)\; +\; m\; (2,\; 1)\; (X\; 1,\; X\; 2,\; X\; 3)\; +\; m\; (1,\; 1,\; 1)\; (Х\; 1,\; Х\; 2,\; Х\; 3)\; =\; (Х\; 1\; 3\; +\; Х\; 2\; 3\; +\; Х\; 3\; 3)\; +\; (Х\; 1\; 2\; Х\; 2\; +\; Х\; 1\; 2\; Х\; 3\; +\; Х\; 1\; Х\; 2\; 2\; +\; Х\; 1\; Икс\; 3\; 2\; +\; Х\; 2\; 2\; Х\; 3\; +\; Х\; 2\; Х\; 3\; 2)\; +\; (Х\; 1\; Х\; 2\; Х\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; h\_\; \{3\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\})\; =\; m\; \_\; \{(3)\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{\; 3\})\; +\; m\; \_\; \{(2,1)\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\})\; +\; m\; \_\; \{(1,1,1)\}\; (X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; X\_\; \{3\})\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (X\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; +\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\; +\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{3\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{1\}\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +\; X\_\; \{2\; \}\; ^\; \{2\}\; X\_\; \{3\}\; +\; X\_\; \{2\}\; X\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; (X\_\; \{1\}\; X\_\; \{2\}\; X\_\; \{3\}).\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

Связь с симметричными тензорами

Рассмотрим n-мерное векторное пространство V и линейный оператор M: V → V с собственными значениями X 1, X 2, …, X n. Обозначим через Sym (V) его k-ю симметричную тензорную степень, а через M - индуцированный оператор Sym (V) → Sym (V).

Предложение:

$Трассировка\; Sym\; k\; \; (V)\; \; (M\; Sym\; \; (k))\; =\; h\; k\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Trace\}\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Sym\}\; ^\; \{k\}\; (V)\}\; \backslash \; left\; (M\; ^\; \{\backslash \; operatorname\; \{Sym\}\; (k)\}\; \backslash \; right)\; =\; h\_\; \{k\}\; (X\_\; \{1\; \},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}).\}$

Доказательство несложно: рассмотрим собственный базис e i для M. Базис в Sym (V) можно проиндексировать с помощью последовательности i 1 ≤ i 2 ≤… ≤ i k, действительно, рассмотрим симметризации

$ei\; 1\; \otimes \; ei\; 2\; \otimes \dots \; \otimes \; eik\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; ldots\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{i\_\; \{k\}\}\}$.

Все такие векторы являются собственными векторами для M с собственными значениями

$X\; i\; 1\; X\; i\; 2\; \cdots \; X\; ik,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; X\_\; \{i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; X\_\; \{i\_\; \{k\}\},\}$

, следовательно, это утверждение верно.

Аналогичным образом можно выразить элементарные симметричные полиномы через следы над антисимметричными тензорными степенями. Оба выражения входят в выражения многочленов Шура как следы над функторами Шура, которые можно рассматривать как формулу символов Вейля для GL (V).

См. Также

• Симметричный многочлен
• Элементарный симметричный многочлен
• многочлен Шура
• Тождества Ньютона
• Теорема Мак-Магона Мастер
• Симметричная функция
• Теория представлений

Ссылки

• Макдональд, IG (1979), Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press.
• Macdonald, I.G. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла, второе изд. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998 г.).
• Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика, т. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1