В математике, особенно в области теории представлений, Шур Функторы - это некие функторы из категории модулей над фиксированным коммутативным кольцом с самим собой. Они обобщают конструкции внешних степеней и симметричных степеней векторного пространства . Функторы Шура индексируются диаграммами Юнга таким образом, что горизонтальная диаграмма с n ячейками соответствует n-му внешнему степенному функтору, а вертикальная диаграмма с n ячейками соответствует n-му симметричному степенному функтору. Если векторное пространство V является представлением группы G, то также имеет естественное действие группы G для любого функтора Шура .
Содержание
- 1 Определение
- 2 Примеры
- 3 Приложения
- 4 Plethysm
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Определение
Функторы Шура индексируются разделами и описываются следующим образом. Пусть R - коммутативное кольцо, E - R-модуль и λ - разбиение натурального числа n. Пусть T будет таблицей Юнга формы λ, таким образом индексируя множители n-кратного прямого произведения, E × E ×... × E, с ячейками T. Рассмотрим карты R-модулей , удовлетворяющие следующим условиям
(1) является полилинейным,
(2) чередуется в записи, проиндексированные по каждому столбцу T,
(3) удовлетворяют условию обмена, гласящему, что если - числа из столбца i таблицы T, тогда
где сумма берется из n кортежей x ', полученных из x путем обмена элементами, индексированными I с любым элементы, проиндексированные числами в столбце (по порядку).
Универсальный R-модуль , расширяющий в отображение R-модулей - это образ E под функтором Шура, индексированный λ.
Для примера условия (3), помещенного в , предположим, что λ является разделом и таблица T пронумерована так, чтобы ее записи были 1, 2, 3, 4, 5 при чтении сверху вниз (слева направо). Взяв (т.е. числа во втором столбце T), мы имеем
, а если , тогда
Примеры
Зафиксируйте векторное пространство V над полем с характеристикой ноль. Мы идентифицируем разделы и соответствующие диаграммы Юнга. Справедливы следующие описания:
- Для разбиения λ = (n) функтор Шура S (V) = Λ (V).
- Для разбиения λ = (1,..., 1) ( повторяется n раз) функтор Шура S (V) = Sym (V).
- Для разбиения λ = (2, 1) функтор Шура S (V) является коядром коумножение отображение внешних степеней Λ (V) → Λ (V) ⊗ V.
- Для разбиения λ = (2, 2) функтор Шура S (V) является фактором отображения Λ (V) ⊗ Λ (V) образами двух отображений. Одна из них - композиция Λ (V) ⊗ V → Λ (V) ⊗ V ⊗ V → Λ (V) ⊗ Λ (V), где первое отображение - это коумножение по первой координате. Другое отображение является коумножением Λ (V) → Λ (V) ⊗ Λ (V).
- Для разбиения λ = (n, 1,..., 1) с 1 повторением m раз, функтор Шура S (V) является частным от Λ (V) ⊗ Sym (V) по образу композиции коумножения по внешним степеням и умножения по симметричным степеням:
Приложения
Пусть V будет комплексным векторным пространством размерности k. Это тавтологическое представление своей группы автоморфизмов GL (V). Если λ - диаграмма, в которой каждая строка имеет не более чем k ячеек, то S (V) является неприводимым GL (V) -представлением наивысшего веса λ. Фактически, любое рациональное представление группы GL (V) изоморфно прямой сумме представлений вида S (V) ⊗ det (V), где λ - диаграмма Юнга, каждая строка которой строго короче, чем k, а m - любое (возможно отрицательное) целое число.
В этом контексте двойственность Шура-Вейля утверждает, что как -модуль
где - количество стандартных молодых картин формы λ. В более общем смысле, у нас есть разложение тензорного произведения как - бимодуль
где - это модуль Specht, индексированный по λ. Функторы Шура можно также использовать для описания координатного кольца некоторых многообразий флагов.
Плетизм
Для двух диаграмм Юнга λ и μ рассмотрим композицию соответствующих функторов Шура S (S (-)). Эта композиция называется плетизмом λ и μ. Из общей теории известно, что, по крайней мере, для векторных пространств над характеристическим нулевым полем плетизм изоморфен прямой сумме функторов Шура. Проблема определения, какие диаграммы Юнга встречаются в этом описании и как вычислить их кратности, является открытой, за исключением некоторых особых случаев, таких как Sym (Sym (V)).
См. Также
- Портал математики
Литература
- Дж. Таубер, Два новых функтора из модулей в алгебры, J. Algebra 47 (1977), 80-104. DOI: 10.1016 / 0021-8693 (77) 90211-3
- W. Фултон, Таблицы Юнга, с приложениями к теории представлений и геометрии. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6.
Внешние ссылки