Войти
В математике Таблица Юнга (; множественное число: tableaux ) является комбинаторным объектом, полезным в теории представлений и исчислении Шуберта. Он обеспечивает удобный способ описания групповых представлений симметричных и общих линейных групп и изучения их свойств. Таблицы Юнга были представлены Альфредом Янгом, математиком из Кембриджского университета в 1900 году. Затем они были применены к изучению симметричной группы Георг Фробениус в 1903 году. Их теория получила дальнейшее развитие у многих математиков, включая Перси Мак-Магона, У. В. Д. Ходж, Г. де Б. Робинсон, Джан-Карло Рота, Ален Ласку, Марсель-Поль Шютценбергер и Ричард П. Стэнли.
Примечание: это В статье используется английское соглашение для отображения диаграмм и таблиц Юнга.
Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), английская нотация 
Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), французская нотация A Диаграмма Юнга ( также называемая диаграммой Феррерса, особенно при представлении с использованием точек) представляет собой конечный набор ячеек или ячеек, расположенных в выровненных по левому краю строках с длинами строк в порядке невозрастания. Перечисление количества ящиков в каждой строке дает раздел λ неотрицательного целого числа n, общего количества ящиков диаграммы. Диаграмма Юнга имеет форму λ и несет ту же информацию, что и это разбиение. Включение одной диаграммы Юнга в другую определяет частичное упорядочение на множестве всех разделов, которое фактически является структурой решетки, известной как решетка Юнга. Перечисление количества ящиков диаграммы Юнга в каждом столбце дает другой раздел, сопрягает или транспонирует раздел λ; диаграмму Юнга этой формы можно получить, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.
Практически все согласны с тем, что при маркировке прямоугольников диаграмм Юнга парами целых чисел первый индекс выбирает строку диаграммы, а второй индекс выбирает прямоугольник внутри строки. Тем не менее, существуют два различных соглашения для отображения этих диаграмм и, следовательно, таблиц: первая помещает каждую строку ниже предыдущей, вторая складывает каждую строку поверх предыдущей. Поскольку первое соглашение в основном используется англофонами, тогда как последнее часто предпочитают франкофоны, принято называть эти соглашения соответственно английской и французской нотацией; например, в своей книге о симметричных функциях, Макдональд советует читателям, предпочитающим французскую конвенцию, «читать эту книгу вверх ногами в зеркале» (Macdonald, 1979, p. 2). Эта номенклатура, вероятно, изначально была шутливой. Английская нотация соответствует той, которая повсеместно используется для матриц, в то время как французская нотация ближе к соглашению о декартовых координатах ; однако французская система обозначений отличается от этого соглашения тем, что сначала ставится вертикальная координата. На рисунке справа в английской нотации показана диаграмма Юнга, соответствующая разбиению (5, 4, 1) числа 10. Сопряженное разбиение, измеряющее длины столбцов, равно (3, 2, 2, 2, 1).
Во многих приложениях, например, при определении функций домкрата, удобно определять длину руки aλ(s) коробки s как количество коробок справа от s на диаграмме λ. Точно так же длина участка lλ(s) - это количество прямоугольников ниже s. Эта нотация предполагает использование английской нотации. Например, значение крючка для блока s в λ тогда будет просто λ (s) + l λ (s) +1.
Стандартная таблица Юнга формы (5, 4, 1) A Таблица Юнга получается путем заполнения полей диаграммы Юнга символами, взятыми из некоторого алфавита, который обычно требуется полностью упорядоченный набор. Изначально этот алфавит представлял собой набор индексированных переменных x 1, x 2, x 3..., но теперь для краткости обычно используется набор чисел.. В их первоначальном приложении к представлениям симметрической группы таблицы Юнга имеют n различных элементов, произвольно назначенных блокам диаграммы. Таблица называется стандартной, если количество записей в каждой строке и каждом столбце увеличивается. Число различных стандартных таблиц Юнга на n записях задается числами инволюции
В других приложениях естественно разрешить одному и тому же числу появляться в таблице более одного раза (или не отображать вовсе). Таблица называется полустандартной или строго по столбцу, если количество записей слабо увеличивается вдоль каждой строки и строго увеличивается вниз по каждому столбцу. Запись количества раз, когда каждое число появляется в таблице, дает последовательность, известную как вес таблицы. Таким образом, стандартные таблицы Юнга - это в точности полустандартные таблицы веса (1,1,..., 1), которые требуют, чтобы каждое целое число до n встречалось ровно один раз.
Есть несколько вариаций этого определения: например, в таблице со строгими требованиями к строкам записи строго увеличиваются по строкам и слабо растут вниз по столбцам. Также были рассмотрены таблицы с уменьшающимися записями. d, в частности, в теории плоских перегородок. Существуют также обобщения, такие как таблицы домино или ленточные таблицы, в которых несколько блоков могут быть сгруппированы вместе перед назначением им записей.
Наклонные таблицы формы (5, 4, 2, 2) / (2, 1), английское обозначение A косая форма - это пара разделов (λ, μ) такая, что диаграмма Юнга для λ содержит диаграмму Юнга для μ; он обозначается λ / μ. Если λ = (λ 1, λ 2,...) и μ = (μ 1, μ 2,...), то наличие диаграмм означает, что μ i ≤ λ i для всех i. Косая диаграмма скошенной формы λ / μ представляет собой теоретико-множественное различие диаграмм Юнга λ и μ: набор квадратов, принадлежащих диаграмме λ, но не диаграмме μ. Наклонная таблица формы λ / μ получается путем заполнения квадратов соответствующей наклонной диаграммы; такая таблица является полустандартной, если элементы слабо растут вдоль каждой строки и растут строго вниз по каждому столбцу, и стандартна, если, кроме того, все числа от 1 до числа квадратов косой диаграммы встречаются ровно один раз. В то время как отображение разделов на их диаграммы Юнга является инъективным, это не относится к карте от перекосов к наклонным диаграммам; поэтому форму косой диаграммы не всегда можно определить только по набору закрашенных квадратов. Хотя многие свойства наклонных таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые операции, определенные для них, действительно требуют явного знания λ и μ, поэтому важно, чтобы наклонные таблицы действительно записывали эту информацию: две различные наклонные таблицы могут отличаться только своей формой, при этом они занимают один и тот же набор квадратов, каждый из которых заполнен одними и теми же записями. Таблицы Юнга можно отождествить с косыми таблицами, в которых μ - пустое разбиение (0) (единственное разбиение 0).
Любая косая полустандартная таблица T формы λ / μ с положительными целыми элементами порождает последовательность разбиений (или диаграмм Юнга), начиная с μ и взяв за разбиение i, помещая дальше в последовательности тот, диаграмма которого получена из диаграммы μ путем добавления всех ящиков, содержащих значение ≤ i в T; это разбиение со временем становится равным λ. Любая пара последовательных фигур в такой последовательности представляет собой скошенную форму, диаграмма которой содержит не более одного прямоугольника в каждом столбце; такие формы называются горизонтальными полосами . Эта последовательность разбиений полностью определяет T, и на самом деле можно определить (перекосить) полустандартные таблицы как такие последовательности, как это сделал Макдональд (Macdonald 1979, p. 4). Это определение включает разделы λ и μ в данных, составляющих наклонную таблицу.
Таблицы Юнга имеют многочисленные приложения в комбинаторике, теории представлений и алгебраической геометрии. Были исследованы различные способы подсчета таблиц Юнга, которые привели к определению и тождествам для функций Шура. Известно много комбинаторных алгоритмов на таблицах, в том числе jeu de taquin Шютценбергера и соответствие Робинсона – Шенстеда – Кнута. Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве всех полустандартных таблиц Юнга, придав ему структуру, названную пластическим моноидом (французское: le monoïde plaxique).
В теории представлений стандартные таблицы Юнга размера k описывают базисы в неприводимых представлениях симметрической группы на k буквах. Стандартный мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении общей линейной группы GLnпараметризован набором полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2,..., n}. Это имеет важные последствия для теории инвариантов, начиная с работы Ходжа над однородным координатным кольцом грассманиана и далее исследованных Джан-Карло Рота с сотрудниками, де Кончини и Прочези и Эйзенбуд. Правило Литтлвуда – Ричардсона, описывающее (среди прочего) разложение тензорных произведений неприводимых представлений GL n на неприводимые компоненты, сформулировано в терминах некоторого перекоса полустандартные таблицы.
Приложения к алгебраической геометрии сосредоточены вокруг исчисления Шуберта на грассманианах и многообразиях флагов. Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены полиномами Шуберта и описаны в терминах таблиц Юнга.
Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями симметрической группы над комплексные числа. Они обеспечивают удобный способ задания симметризаторов Юнга, из которых строятся неприводимые представления. Многие факты о представлении можно вывести из соответствующей диаграммы. Ниже мы описываем два примера: определение размерности представления и ограниченные представления. В обоих случаях мы увидим, что некоторые свойства представления можно определить, используя только его диаграмму.
Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления общей линейной группы GLn(когда они имеют не более n непустых строк) или неприводимые представления специальной линейной группы SLn(когда они имеют не более n - 1 непустых строк) или неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы SUn(опять же, когда они имеют не более n - 1 непустых строк). В этих случаях центральную роль играют полустандартные таблицы с элементами до n, а не стандартные таблицы; в частности, количество этих таблиц определяет размерность представления.
Длины крючков ящиков для разбиения 10 = 5 + 4 + 1 Размерность неприводимого представления π λ симметрической группы S n, соответствующее разбиению λ числа n, равно количеству различных стандартных таблиц Юнга, которые могут быть получены из диаграммы представления. Это число можно рассчитать по формуле длины крючка.
A длина крючка крючок (x) ящика x на диаграмме Юнга Y (λ) формы λ - это количество ящиков, находящихся в одной строке. справа от него плюс поля в том же столбце под ним плюс один (для самого поля). По формуле длины крючка размерность неприводимого представления равна n! делится на произведение длин крючков всех ящиков на схеме представления:
На рисунке справа показаны длины крючков для всех ящиков на схеме перегородки 10 = 5 + 4 + 1. Таким образом,
Аналогично, размерность неприводимого представления W (λ) группы GL r, соответствующее разбиению λ числа n (не более чем с r частями), представляет собой количество полустандартных таблиц Юнга формы λ (содержащих только элементы от 1 до r), которое задается формулой длины крюка:
где индекс i соответствует строке, а j - столбцу коробки. Например, для разбиения (5,4,1) мы получаем как размерность соответствующего неприводимого представления GL 7 (обход прямоугольников по строкам):
Представление симметрической группы на n элементах, S n также представление симметрической группы на n - 1 элементе, S n − 1. Однако неприводимое представление S n может не быть неприводимым для S n-1. Вместо этого это может быть прямая сумма нескольких представлений, которые неприводимы для S n-1. Эти представления затем называются факторами ограниченного представления (см. Также индуцированное представление ).
На вопрос об определении этого разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S n, соответствующего разбиению λ числа n, ответят следующим образом. Один формирует набор всех диаграмм Юнга, которые могут быть получены из диаграммы формы λ, удаляя только один прямоугольник (который должен быть в конце как его строки, так и его столбца); ограниченное представление затем разлагается как прямая сумма неприводимых представлений S n − 1, соответствующих этим диаграммам, каждое из которых встречается в сумме ровно один раз.
