Полностью мультипликативная функция

В теории чисел функции натуральных чисел, относящиеся к продуктам, важны и называются полностью мультипликативными функциями или полностью мультипликативными функциями . Также важно более слабое условие, учитывающее только произведения взаимно простых чисел, и такие функции называются мультипликативными функциями. Вне теории чисел термин «мультипликативная функция» часто считается синонимом «полностью мультипликативной функции», как определено в этой статье.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
  • 3.1 Подтверждение распределительных свойств
  • 3.2 Серия Дирихле
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

A полностью мультипликативная функция (или полностью мультипликативная функция ) - это арифметическая функция (то есть функция, домен которой является натуральными числами ), такая что f (1) = 1 и f (ab) = f (a) f (b) выполняется для всех положительных целых чисел a и b.

Без требования, чтобы f (1) = 1, можно было бы иметь f (1) = 0, но тогда f (a) = 0 для всех положительных целых чисел a, так что это не очень сильное ограничение.

Приведенное выше определение можно перефразировать, используя язык алгебры: Полностью мультипликативная функция - это гомоморфизм из моноида $(Z\; +,\; \cdot )\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\},\; \backslash \; cdot)\}$(то есть положительные целые числа при умножении) на другой моноид.

Простейшим примером полностью мультипликативной функции является моном с ведущим коэффициентом 1: для любого конкретного положительного целого числа n определите f (a) = a. Тогда f (bc) = (bc) = bc = f (b) f (c) и f (1) = 1 = 1.

функция Лиувилля не является тривиальный пример полностью мультипликативной функции, такой как символы Дирихле, символ Якоби и символ Лежандра.

Полностью мультипликативная функция полностью определяется его значениями в простых числах, что является следствием основной арифметической теоремы. Таким образом, если n - произведение степеней различных простых чисел, скажем, n = pq..., то f (n) = f (p) f (q)...

Тогда как Дирихле свертка двух мультипликативных функций является мультипликативной, свертка Дирихле двух полностью мультипликативных функций не обязательно должна быть полностью мультипликативной.

Существует множество утверждений о функции, которые эквивалентны ее полной мультипликативности. Например, если функция f мультипликативна, то она полностью мультипликативна тогда и только тогда, когда ее инверсия Дирихле равна $\mu \; \cdot \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; cdot\; f\}$где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- это функция Мёбиуса.

Полностью мультипликативные функции также удовлетворяют закону распределения. Если f полностью мультипликативно, то

$f\; \cdot \; (g\; *\; h)\; =\; (f\; \cdot \; g)\; *\; (f\; \cdot \; h)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; cdot\; (g\; *\; h)\; =\; (f\; \backslash \; cdot\; g)\; *\; (f\; \backslash \; cdot\; h)\}$

где * представляет произведение Дирихле, а $\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$представляет точечное умножение. Одним из следствий этого является то, что для любой полностью мультипликативной функции f

$f\; \ast \; f\; =\; \tau \; \cdot \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; *\; f\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; cdot\; f\}$

, что можно вывести из вышеизложенного, положив оба $g\; =\; час\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; h\; =\; 1\}$, где $1\; (n)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; (n)\; =\; 1\}$- постоянная функция . Здесь $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- это функция делителя.

Доказательство распределительного свойства

$f\; \cdot \; (g\; \ast \; h)\; (n)\; =\; f\; (n)\; \cdot \; \sum \; d\; |\; n\; g\; (d)\; h\; (n\; d)\; =\; =\; \sum \; d\; |\; n\; f\; (n)\; \cdot \; (g\; (d)\; h\; (n\; d))\; =\; =\; \sum \; d\; |\; n\; (f\; (d)\; f\; (n\; d))\; \cdot \; (g\; (d)\; h\; (n\; d))\; (поскольку\; f\; полностью\; мультипликативна)\; =\; =\; \sum \; d\; |\; n\; (f\; (d)\; g\; (d))\; \cdot \; (f\; (n\; d)\; h\; (n\; d))\; =\; (f\; \cdot \; g)\; \ast \; (f\; \cdot \; h).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; е\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (g\; *\; h\; \backslash \; right)\; (n)\; =\; f\; (n)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; g\; (d)\; h\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; f\; (n)\; \backslash \; cdot\; (g\; (d)\; h\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; справа))\; =\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; (f\; (d)\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right))\; \backslash \; cdot\; (g\; (d)\; h\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right))\; \{\backslash \; text\; \{(поскольку\}\}\; f\; \{\backslash \; text\; \{полностью\; мультипликативен)\}\}\; =\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; (f\; (d)\; g\; (d))\; \backslash \; cdot\; (f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\; h\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right))\; \backslash \backslash \; =\; (f\; \backslash \; cdot\; g)\; *\; (f\; \backslash \; cdot\; h).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Серия Дирихле

L-функция полностью (или полностью) мультипликативной Ряд Дирихле $a\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (n)\}$удовлетворяет

$L\; (s,\; a)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; a\; (n)\; ns\; =\; \prod \; p\; (1\; -\; a\; (p)\; ps)\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (s,\; a)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (n)\}\; \{n\; ^\; \{s\}\; \}\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (p)\}\; \{p\; ^\; \{s\}\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; ^\; \{-\; 1\},\}$

что означает что сумма всех натуральных чисел равна произведению всех простых чисел.

• Мультипликативная функция
• Ряд Дирихле
• L-функция Дирихле
• Арифметическая функция

1. ^Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Springer. стр. 30. ISBN 0-387-90163-9.
2. ^Апостол, стр. 36
3. ^Апостол стр. 49