В теории алгебраических чисел, А основная единица является генератором ( по модулю корней из единицы ) для единичной группы в кольце целых чисел одного числового поля, когда эта группа имеет ранг 1 (то есть, когда блок группа по модулю ее подгруппа кручения является бесконечной циклический ). Теорема Дирихле о единицах показывает, что единичная группа имеет ранг 1 именно тогда, когда числовое поле является вещественным квадратичным полем, комплексным кубическим полем или полностью мнимым квадратичным полем. Когда группа единиц имеет ранг ≥ 1, ее базис по модулю кручения называется фундаментальной системой единиц. Некоторые авторы используют термин фундаментальная единица для обозначения любого элемента фундаментальной системы единиц, не ограничиваясь случаем ранга 1 (например, Neukirch 1999, p. 42).
Для действительного квадратичного поля (с d без квадратов) фундаментальная единица ε обычно нормируется так, чтобы ε gt; 1 (как действительное число). Тогда это однозначно характеризуется как минимальный блок среди тех, которые больше, чем 1. Если Δ обозначает дискриминант из K, то основной единицей является
где ( a, b) - наименьшее решение
в натуральных числах. Это уравнение в основном является уравнением Пелла или отрицательным уравнением Пелла, и его решения могут быть получены аналогичным образом, используя разложение в непрерывную дробь.
Независимо от того или нет х 2 - Δ у 2 = -4 имеет решение определяет, является ли класс группы из K такой же, как его узкой группы классов, или что то же самое, независимо от того, существует или нет единица нормы -1 в K. Известно, что это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда период разложения непрерывной дроби нечетный. Более простое соотношение может быть получено с помощью сравнений: если Δ делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то K не имеет единицы нормы −1. Однако обратное утверждение неверно, как показано на примере d = 34. В начале 1990-х годов Питер Стивенхаген предложил вероятностную модель, которая привела его к предположению о том, как часто обратное неверно. В частности, если D ( X) - это количество вещественных квадратичных полей, дискриминант которых ∆ lt; X не делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, а D - ( X) - это те, у которых есть единица нормы −1, то
Другими словами, примерно в 42% случаев обратное не удается. По состоянию на март 2012 г. недавний результат в отношении этой гипотезы был предоставлен Этьеном Фуври и Юргеном Клюнерсом, которые показали, что обратное утверждение не работает в 33–59% случаев.
Если K - комплексное кубическое поле, то оно имеет единственное вещественное вложение и фундаментальную единицу ε можно выбрать однозначно так, что | ε | gt; 1 в этом вложении. Если дискриминант Δ группы K удовлетворяет | Δ | ≥ 33, то
Например, фундаментальной единицей является и, тогда как дискриминант этого поля равен −108 и
так что.