Теорема о примитивных элементах

редактировать

В теории поля, теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах является результатом, характеризующим расширения поля конечной степени, которые содержат примитивный элемент, или простые расширения. Он говорит, что конечное расширение просто тогда и только тогда, когда существует только конечное число промежуточных полей. В частности, конечные разделимые расширения являются простыми и более общими.

Содержание

1 Терминология
2 Классическая теорема о примитивных элементах
3 Утверждение о существовании
4 Контрпримеры
5 Конструктивные результаты
6 Пример
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Терминология

Пусть $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ будет расширением поля. Элемент $α ∈ E {\ displaystyle \ alpha \ in E}$ $\ alpha \ in E$ является примитивным элементом для $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ при $E = F (α). {\ displaystyle E = F (\ alpha).}$ $E = F (\ alpha).$

Если такой примитивный элемент существует, то $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ упоминается как простое расширение. Если расширение поля имеет конечную степень $n = [E: F] {\ displaystyle n = [E: F]}$ ${\ displaystyle n = [E: F]}$ , то каждый элемент x из E может быть записывается в виде

x = fn - 1 α n - 1 + ⋯ + f 1 α + f 0, {\ displaystyle x = f_ {n-1} {\ alpha} ^ {n-1} + \ cdots + f_ {1} {\ alpha} + f_ {0},}

x = f _ {{n-1}} {\ alpha} ^ {{n-1}} + \ cdots + f_ {1} {\ alpha} + f_ {0},

где $fi ∈ F {\ displaystyle f_ {i} \ in F}$ $f_ {i} \ in F$ для всех i и $α ∈ E {\ displaystyle \ alpha \ in E}$ $\ alpha \ in E$ фиксировано. То есть, если $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ является простым расширением степени n, существует $α ∈ E {\ displaystyle \ alpha \ in E}$ $\ alpha \ in E$ такой, что набор

{1, α,…, α n - 1} {\ displaystyle \ {1, \ alpha, \ ldots, {\ alpha} ^ {n- 1} \}}

{\ displaystyle \ {1, \ alpha, \ ldots, {\ alpha} ^ {n-1} \}}

является основой для E как векторное пространство над F.

Например, расширение $Q (2) / Q {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb { Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}}$ - простое расширение и, как показано ниже, $Q (2, 3) / Q. {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({ \ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}.}$

Теорема о классическом примитивном элементе

Пусть $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ быть отделимым расширением конечной степени. Тогда $E = F (α) {\ Displaystyle E = F (\ alpha)}$ $E = F (\ альфа)$ для некоторых $α ∈ E {\ displaystyle \ alpha \ in E}$ $\ alpha \ in E$ ; то есть расширение простое, а $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ является примитивным элементом.

Утверждение существования

Интерпретация теоремы изменилась с формулировкой теории Эмиля Артина, примерно в 1930 году. Со времен Галуа роль примитивных элементов должен был представлять поле разделения как сгенерированное одним элементом. Этот (произвольный) выбор такого элемента был обойден Артином. В то же время рассуждения о построении такого элемента отступили: теорема становится теоремой существования.

Следующая теорема Артина затем заменяет классическую теорему о примитивных элементах.

Теорема

Пусть $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ будет расширением поля конечной степени. Тогда $E = F (α) {\ displaystyle E = F (\ alpha)}$ $E = F (\ альфа)$ для некоторого элемента $α ∈ E {\ displaystyle \ alpha \ in E}$ $\ alpha \ in E$ тогда и только тогда, когда существует только конечное число промежуточных полей K с $E ⊇ K ⊇ F {\ displaystyle E \ supseteq K \ supseteq F}$ $E \ supseteq K \ supseteq F$ .

Следствием теоремы является теорема о примитивных элементах в большей степени в традиционном смысле (где обычно подразумевалась разделимость):

Следствие

Пусть $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E / F$ будет конечной степенью разделимым расширением. Тогда $E = F (α) {\ displaystyle E = F (\ alpha)}$ $E = F (\ альфа)$ для некоторых $α ∈ E {\ displaystyle \ alpha \ in E}$ $\ alpha \ in E$ .

Применяется следствие в поля алгебраических чисел, то есть конечные расширения рациональных чисел Q, поскольку Q имеет характеристику 0 и, следовательно, каждое конечное расширение над Q можно отделить.

Контрпримеры

Для неотделимых расширений обязательно в характеристике p с простым числом pa, тогда, по крайней мере, когда степень [L: K] равна p, L / K имеет примитивный элемент, потому что нет промежуточных подполей. Когда [L: K] = p, примитивного элемента может не быть (и, следовательно, существует бесконечно много промежуточных полей). Это происходит, например, если K равно

Fp(T, U),

поле рациональных функций с двумя неопределенными T и U над конечным полем с p элементами, а L получается из K путем присоединения корня p-й степени из T и из U. Фактически можно видеть, что для любого α из L элемент α лежит в K, но примитивный элемент должен иметь степень p над K.

Конструктивные результаты

Как правило, набор всех примитивных элементов для конечного сепарабельного расширения L / K является дополнением конечного набора собственных K-подпространств L, а именно промежуточных полей. Это утверждение ничего не говорит о случае конечных полей, для которого существует вычислительная теория, посвященная поиску генератора мультипликативной группы поля (циклической группы ), что тем более является примитивным элементом. Если K бесконечно, метод доказательства принципа ящика рассматривает линейное подпространство, порожденное двумя элементами, и доказывает, что существует только конечное число линейных комбинаций

γ = α + c β {\ displaystyle \ gamma = \ альфа + c \ beta \}

\ gamma = \ alpha + c \ beta \

с c в K, которые не могут создать подполе, содержащее оба элемента:

K (α, β) / K (α + c β) {\ displaystyle K (\ alpha, \ beta) / K (\ alpha + c \ beta)}

{\ displaystyle K (\ alpha, \ beta) / K (\ alpha + c \ beta)}

является разделяемым расширением, если

K (α + c β) ⊊ K (α, β) {\ displaystyle К (\ альфа + с \ бета) \ subsetneq К (\ альфа, \ бета)}

{\ displaystyle K (\ alpha + c \ beta) \ subsetneq K (\ alpha, \ beta)}

существует нетривиальное вложение

σ: K (α, β) → K ¯ {\ displaystyle \ sigma: K (\ alpha, \ beta) \ to {\ overline {K}}}

{\ displaystyle \ sigma: K (\ alpha, \ beta) \ to {\ overline {K}}}

, ограничение которого на

K (α + c β) {\ displaystyle K (\ alpha + c \ бета)}

{\ displaystyle K (\ alpha + c \ beta)}

- тождество, означающее

σ (α) + c σ (β) = α + c β {\ displaystyle \ sigma (\ alpha) + c \ sigma (\ beta) = \ альфа + с \ бета}

{\ displaystyle \ sigma (\ alpha) + c \ sigma (\ beta) = \ alpha + c \ beta}

σ (β) ≠ β {\ displaystyle \ sigma (\ beta) \ neq \ beta}

{\ displaystyle \ sigma (\ beta) \ neq \ beta}

так, чтобы

с = σ (α) - α β - σ (β) {\ displaystyle c = {\ frac {\ sigma (\ alpha) - \ alpha} {\ beta - \ sigma (\ beta)}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {\ sigma (\ alpha) - \ alpha} {\ beta - \ sigma (\ beta)}}}

. Это выражение для c может принимать только

[K (α): K] [K (β): K] {\ displaystyle [K (\ alpha): K] [K (\ beta): K]}

{\ displaystyle [K (\ alpha): K] [K (\ beta): K]}

разные значения. Для всех других значений

c ∈ K {\ displaystyle c \ in K}

{\ displaystyle c \ in K}

тогда

K (α, β) = K (α + c β) {\ displaystyle K (\ alpha, \ beta) = K (\ alpha + c \ beta)}

{\ displaystyle K (\ alpha, \ beta) = K (\ alpha + c \ beta)}

Это почти сразу, как способ показать, как результат Артина следует за классическим результатом, и оценку количества исключительных c в терминах количества результаты промежуточных полей (это число может быть ограничено теорией Галуа и априори). Следовательно, в этом случае метод проб и ошибок является возможным практическим методом поиска примитивных элементов.

Пример

Например, не сразу очевидно, что если к полю примыкает $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ of рациональные числа корни обоих многочленов

x 2 - 2 {\ displaystyle x ^ {2} -2 \}

x ^ {2} -2 \

x 2 - 3, {\ displaystyle x ^ {2} -3, \}

x ^ {2} -3, \

скажем $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ и $3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {3}}$ соответственно, чтобы получить поле K = $Q (2, 3) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$ ${\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})$ степени 4 над $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , что расширение простое и существует примитивный элемент γ в K, так что К знак равно $Q (γ) {\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ gamma)}$ ${\ mathbb {Q}} (\ gamma)$ . Фактически можно проверить, что с

γ = 2 + 3 {\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}

\ gamma = {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}

степени γ для 0 ≤ i ≤ 3 могут быть записано как линейные комбинации из 1, $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , $3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {3}}$ и $2 3 = 6 {\ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} = {\ sqrt {6}}}$ ${\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} = {\ sqrt {6}}$ с целыми коэффициентами. Принимая их как систему линейных уравнений или путем факторизации, можно решить для $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ и $3 { \ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {3}}$ over $Q (γ) {\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ gamma)}$ ${\ mathbb {Q}} (\ gamma)$ (получается, например, $2 = γ 3–9 γ 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ scriptstyle {\ frac {\ gamma ^ {3} -9 \ gamma} {2}}}$ ${\ sqrt {2}} = \ scriptstyle {\ frac {\ gamma ^ {3} - 9 \ gamma} 2}$ ), что означает, что этот выбор γ действительно является примитивным элементом в этом примере. Более простой аргумент, предполагающий знание всех подполей, как это дает теория Галуа, - это отметить независимость 1, $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , $3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {3}}$ и $2 3 {\ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {2}} { \ sqrt {3}}$ поверх рациональные; это показывает, что подполе, созданное с помощью γ, не может быть подполем, сгенерированным с помощью $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ или $3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {3}}$ или $2 3 {\ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}}}$ ${\ sqrt {2}} { \ sqrt {3}}$ , исчерпывая все подполя степени 2. Следовательно, это должно быть все поле.

См. Также

Примитивный элемент (конечное поле)

Ссылки

Внешние ссылки