Решение квадратных уравнений с непрерывными дробями

В математике квадратное уравнение является полиномиальным уравнением второй степени. Общая форма:

$ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0,\}$

, где a ≠ 0.

Квадратное уравнение на число $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$может быть решено с использованием хорошо известной квадратной формулы, которая может быть получена путем завершения квадрата. Эта формула всегда дает корни квадратного уравнения, но решения выражаются в форме, которая часто включает квадратное иррациональное число, которое является алгебраической дробью, которую можно вычислить как десятичная дробь только с применением дополнительного алгоритма извлечения корня.

Если корни действительные, существует альтернативный метод, который позволяет получить рациональное приближение к одному из корней с помощью манипулировать уравнением напрямую. Метод работает во многих случаях, и давно он стимулировал дальнейшее развитие аналитической теории непрерывных дробей.

• 1 Простой пример
• 2 Алгебраическое объяснение
• 3 Общее квадратное уравнение
• 4 Общая теорема
• 5 Комплексные коэффициенты
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Вот простой пример для иллюстрации решение квадратного уравнения с использованием цепных дробей. Начнем с уравнения

$x\; 2\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; =\; 2\}$

и непосредственно им манипулируем. Вычитая единицу с обеих сторон, получаем

$x\; 2\; -\; 1\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 1.\}$

Это легко разложить на

$(x\; +\; 1)\; (x\; -\; 1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 1)\; (x-1)\; =\; 1\}$

, откуда получаем

$(x\; -\; 1)\; =\; 1\; 1\; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\}\}\}$

и, наконец,

$x\; =\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\}\}.\}$

Теперь наступает решающий шаг. Мы рекурсивно подставляем это выражение для x обратно в себя, чтобы получить

$x\; =\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; (1\; +\; 1\; 1\; +\; x)\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 1\; +\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2+\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\}\}\}\}.\}$

Но теперь мы можем делать одну и ту же рекурсивную замену снова, и снова, и снова, сдвигая неизвестную величину x вниз и вправо, пока мы пожалуйста, и получив в пределе бесконечную цепную дробь

$x\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; \ddots \; =\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\; 2+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}.\}$

Применяя фундаментальные формулы повторения, мы можем легко вычислить последовательные сходящиеся этой непрерывной дроби равняется 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169,..., где каждая следующая сходящаяся дробь формируется путем взятия числителя плюс знаменатель предыдущего члена в качестве знаменателя в следующем члене, затем прибавляя предыдущий знаменатель, чтобы сформировать новый числитель. Эта последовательность знаменателей представляет собой особую последовательность Люка, известную как числа Пелла.

Мы можем получить более полное представление об этом простом примере, рассматривая последовательные степени

$\omega \; =\; 2\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1.\}$

Эта последовательность последовательных степеней задается как

$\omega \; 2\; =\; 3\; -\; 2\; 2,\; \omega \; 3\; =\; 5\; 2–7,\; \omega \; 4\; =\; 17–12\; 2,\; \omega \; 5\; =\; 29\; 2–41,\; \omega \; 6\; =\; 99–70\; 2,\; \omega \; 7\; =\; 169\; 2–239,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; =\; 3-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \backslash \; omega\; ^\; \{3\}\; =\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 7,\; \backslash \; omega\; ^\; \{4\}\; =\; 17-12\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \backslash \backslash \backslash \; omega\; ^\; \{5\}\; =\; 29\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 41,\; \backslash \; omega\; ^\; \{6\}\; =\; 99-70\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\},\; \backslash \; omega\; ^\; \{7\}\; =\; 169\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 239,\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и так далее. Обратите внимание, как дроби, полученные как последовательные аппроксимации до √2, появляются в этой геометрической прогрессии.

Так как 0 < ω < 1, the sequence {ω} clearly tends toward zero, by well-known properties of the positive real numbers. This fact can be used to prove, rigorously, that the convergents discussed in the simple example above do in fact converge to √2, in the limit.

Мы также можем найти эти числители и знаменатели в последовательных степенях

$\omega \; -\; 1\; =\; 2\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 1.\}$

Последовательность последовательных степеней {ω} не стремится к нулю; вместо этого он растет без ограничений. Но его все же можно использовать для получения конвергентов в нашем простом примере.

Также обратите внимание, что набор, полученный путем формирования всех комбинаций a + b√2, где a и b являются целыми числами, является примером объекта, известного в абстрактная алгебра как кольцо , а более конкретно как область целостности. Число ω является единицей в этой области целостности. См. Также поле алгебраических чисел.

Непрерывные дроби наиболее удобно применять для решения общего квадратного уравнения, выраженного в форме монического многочлена

$x\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\}$

, которое всегда можно получить, разделив исходное уравнение на его старший коэффициент . Исходя из этого монического уравнения, мы видим, что

$x\; 2\; +\; bx\; =\; -\; cx\; +\; b\; =\; -\; cxx\; =\; -\; b\; -\; cx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; =\; -\; c\; \backslash \backslash \; x\; +\; b\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-c\}\; \{x\}\}\; \backslash \backslash \; x\; =\; -\; b\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Но теперь мы можем применить последний рекурсивно к самому себе, чтобы получить

$x\; =\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b-\; \{\; \backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b-\; \backslash \; ddots\; \backslash ,\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

Если эта бесконечная цепная дробь сходится, он должен сходиться к одному из корней монического многочлена x + bx + c = 0. К сожалению, эта конкретная цепная дробь не сходится к конечному числу в каждый случай. Мы легко можем убедиться в этом, рассматривая квадратную формулу и монический многочлен с действительными коэффициентами. Если дискриминант такого многочлена отрицательный, то оба корня квадратного уравнения имеют мнимые части. В частности, если b и c - действительные числа и b - 4c <0, все подходящие дроби этого «решения» непрерывной дроби будут действительными числами, и они не могут сходиться к корню вида u + iv (где v ≠ 0), который не лежит на строке вещественных чисел.

Применяя результат, полученный Эйлером в 1748 году, можно показать, что непрерывная дробь решение общего квадратного уравнения монической системы с действительными коэффициентами

$x\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\}$

, заданного как

$x\; =\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b-\; \backslash \; ddots\; \backslash ,\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

сходится или нет, в зависимости от коэффициента b и значения дискриминант, b - 4c.

Если b = 0, общее решение непрерывной дроби полностью расходится; подходящие дроби чередуются между 0 и $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$. Если b ≠ 0, мы различаем три случая.

1. Если дискриминант отрицательный, дробь расходится из-за колебаний, что означает, что ее сходящиеся движутся регулярным или даже хаотическим образом, никогда не приближаясь к конечному пределу.
2. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
3. Если дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня, и непрерывная дробь сходится к большему (в абсолютном значении ) из них. Скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится непрерывная дробь.

Когда моническое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид x = c, описанное выше общее решение бесполезно, поскольку деление на ноль не определено четко. Тем не менее, пока c положительно, всегда можно преобразовать уравнение, вычитая полный квадрат с обеих сторон и действуя по линиям, проиллюстрированным √2 выше. В символах, если

$x\; 2\; =\; c\; (c>0)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; =\; c\; \backslash \; qquad\; (c>0)\}$

просто выберите какое-нибудь положительное действительное число p такое, чтобы

Тогда прямым манипулированием получаем

$x\; 2\; -\; p\; 2\; =\; c\; -\; p\; 2\; (x\; +\; p)\; (x\; -\; p)\; =\; c\; -\; p\; 2\; x\; -\; p\; =\; c\; -\; p\; 2\; p\; +\; xx\; =\; p\; +\; c\; -\; p\; 2\; p\; +\; x\; =\; p\; +\; c\; -\; p\; 2\; p\; +\; (p\; +\; c\; -\; p\; 2\; p\; +\; x)\; =\; p\; +\; c\; -\; p\; 2\; 2\; p\; +\; c\; -\; p\; 2\; 2\; p\; +\; c\; -\; p\; 2\; 2\; п\; +\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; ^\; \{2\}\; -p\; ^\; \{2\}\; =\; cp\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; (x\; +\; p)\; (xp)\; =\; cp\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x-p\; =\; \{\backslash \; frac\; \{cp\; ^\; \{2\}\}\; \{p\; +\; x\}\}\; \backslash \backslash \; x\; =\; p\; +\; \{\backslash \; frac\; \{cp\; ^\; \{2\}\}\; \{p\; +\; x\}\}\; \backslash \backslash \; =\; p\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\; cp\; ^\; \{2\}\}\; \{p\; +\; \backslash \; left\; (p\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{cp\; ^\; \{2\}\}\; \{p\; +\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; p\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{cp\; ^\; \{2\}\}\; \{2p\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{cp\; ^\; \{2\}\}\; \{2p\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{cp\; ^\; \{2\}\}\; \{2p\; +\; \backslash \; ddots\; \backslash ,\}\}\}\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и эта преобразованная цепная дробь должна сходятся, потому что все частные числители и частные знаменатели являются положительными действительными числами.

Согласно фундаментальной теореме алгебры, если моническое полиномиальное уравнение x + bx + c = 0 имеет комплексные коэффициенты, оно должно иметь два (не обязательно различных) комплексных корня. К сожалению, дискриминант b - 4c в этой ситуации не так полезен, потому что это может быть комплексное число. Тем не менее, модифицированная версия общей теоремы может быть доказана.

Решение в виде цепной дроби общего квадратного уравнения монической системы с комплексными коэффициентами

$x\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\; (b\; \ne \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; (b\; \backslash \; neq\; 0)\}$

, заданный как

$x\; =\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; c\; -\; b\; -\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{\; c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{c\}\; \{-\; b-\; \backslash \; ddots\; \backslash ,\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

сходится к или нет, в зависимости от значения дискриминанта b - 4c и относительной величины двух его корней.

Обозначая два корня r 1 и r 2, мы различаем три случая.

1. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
2. Если дискриминант не равен нулю и | r 1 | ≠ | r 2 |, непрерывная дробь сходится к корню из максимального модуля (т. Е. К корню с большим абсолютным значением ).
3. , если дискриминант не равен нулю и | r 1 | = | r 2 |, непрерывная дробь расходится из-за колебаний.

В случае 2 скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится непрерывная дробь.

Это общее решение монических квадратных уравнений с комплексными коэффициентами обычно не очень полезно для получения рациональных приближений к корням, поскольку критерии круговые (то есть, относительные величины двух корней должны быть известны, прежде чем мы сможем заключить, что дробь сходится в большинстве случаев). Но это решение действительно находит полезные приложения в дальнейшем анализе проблемы сходимости для непрерывные дроби со сложными элементами.

• Последовательность Лукаса
• Методы вычисления squ являются корнями
• уравнение Пелла

• H. С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8