Завершение квадрата

Метод решения квадратных уравнений

Воспроизвести медиа Анимация, изображающая процесс завершения квадрата. (Подробности, версия анимированного GIF )

В элементарной алгебре, завершение квадрата - это метод преобразования квадратичного многочлена формы

$ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}$

в форму

$a\; (x\; -\; h)\; 2\; +\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (xh)\; ^\; \{2\}\; +\; k\}$

для некоторых значений h и k.

Завершение квадрата используется в

• решении квадратных уравнений,
• при выводе квадратной формулы,
• построение графиков квадратичных функций,
• , оценивающих интегралы в исчислении, например гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени,
• нахождение Преобразование Лапласа.

В математике завершение квадрата часто применяется в любых вычислениях с использованием квадратичных многочленов.

• 1 Обзор
  • 1.1 Предпосылки
  • 1.2 Базовый пример
  • 1.3 Общее описание
  • 1.4 Немонический случай
  • 1.5 Формула
    • 1.5.1 Скалярный случай
    • 1.5.2 Матричный случай
• 2 Связь с графиком
• 3 Решение квадратичного e quations
  • 3.1 Иррациональные и комплексные корни
  • 3.2 Немонический случай
• 4 Другие приложения
  • 4.1 Интегрирование
  • 4.2 Комплексные числа
  • 4.3 Идемпотентная матрица
• 5 Геометрическая перспектива
• 6 Вариант техники
  • 6.1 Пример: сумма положительного числа и обратного ему
  • 6.2 Пример: разложение на множители простого полинома четвертой степени
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Предпосылки

Формула в элементарной алгебре для вычисления квадрата бинома :

$(x\; +\; p)\; 2\; =\; x\; 2\; +\; 2\; пикселя\; +\; p\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; p)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2px\; +\; p\; ^\; \{2\}.\}$

Например:

$(x\; +\; 3)\; 2\; =\; x\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 9\; (p\; =\; 3)\; (x\; -\; 5)\; 2\; =\; x\; 2\; -\; 10\; x\; +\; 25\; (p\; =\; -\; 5).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{2\}\; (x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 9\; (p\; =\; 3)\; \backslash \backslash \; [3pt]\; (x-5)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\}\; -10x\; +\; 25\; \backslash \; qquad\; (p\; =\; -5).\; \backslash \; End\; \{alignat\}\}\}$

В любом полном квадрате коэффициент числа x в два раза больше числа p, а постоянный член равен p.

Базовый пример

Рассмотрим следующий квадратичный многочлен :

$x\; 2\; +\; 10\; x\; +\; 28.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 10x\; +\; 28.\}$

Эта квадратичная функция не является полным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5:

$(x\; +\; 5)\; 2\; =\; x\; 2\; +\; 10\; x\; +\; 25.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 5)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 10x\; +\; 25.\}$

Однако можно записать исходную квадратичную как сумму этого квадрата и константы:

$x\; 2\; +\; 10\; x\; +\; 28\; =\; (x\; +\; 5)\; 2\; +\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 10x\; +\; 28\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; (x\; +\; 5)\; ^\; \{2\}\; +3.\}$

Это называется завершение квадрата .

Общее описание

Для любого моника квадратичного

$x\; 2\; +\; bx\; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c,\}$

возможно образуют квадрат с теми же первыми двумя членами:

$(x\; +\; 1\; 2\; b)\; 2\; =\; x\; 2\; +\; bx\; +\; 1\; 4\; b\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; b\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; b\; ^\; \{\; 2\}.\}$

Этот квадрат отличается от исходного квадратичного только значением постоянного члена. Следовательно, мы можем написать

$x\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; (x\; +\; 1\; 2\; b)\; 2\; +\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; b\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; k,\}$

где $k\; =\; c\; -\; b\; 2\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; c\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\}$. Эта операция известна как завершение квадрата . Например:

$x\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 11\; =\; (x\; +\; 3)\; 2\; +\; 2\; x\; 2\; +\; 14\; x\; +\; 30\; =\; (x\; +\; 7)\; 2\; -\; 19\; x\; 2\; -\; 2\; x\; +\; 7\; =\; (x\; -\; 1)\; 2\; +\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{1\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 11\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; (x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \backslash \; [3pt]\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 14x\; +\; 30\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; (x\; +\; 7)\; ^\; \{2\}\; -19\; \backslash \backslash \; [3pt]\; x\; ^\; \{2\}\; -2x\; +\; 7\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; (x-1)\; ^\; \{2\}\; +6.\; \backslash \; End\; \{alignat\}\}\}$

Немонический регистр

Дан квадратичный многочлен вида

$ax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}$

можно вычесть коэффициент a, а затем заполнить квадрат для полученного монического многочлена.

Пример:

$3\; x\; 2\; +\; 12\; x\; +\; 27\; =\; 3\; (\; Икс\; 2\; +\; 4\; Икс\; +\; 9)\; =\; 3\; ((Икс\; +\; 2)\; 2\; +\; 5)\; =\; 3\; (Икс\; +\; 2)\; 2\; +\; 15\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; 3x\; ^\; \{2\}\; +\; 12x\; +\; 27\; =\; 3\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x\; +\; 9)\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; 3\; \backslash \; left\; ((x\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\; +5\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; 3\; (x\; +\; 2)\; ^\; \{2\; \}\; +15\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это позволяет нам записать любой квадратичный многочлен в форме

$a\; (x\; -\; h)\; 2\; +\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x-h)\; ^\; \{2\}\; +\; k.\}$

Формула

Скалярный регистр

Результат завершения квадрата может быть записан в виде формулы. Для общего случая:

$a\; x\; 2\; +\; b\; x\; +\; c\; =\; a\; (x\; -\; h)\; 2\; +\; k,\; где\; h\; =\; -\; b\; 2\; a\; и\; k\; =\; c\; -\; a\; h\; 2\; =\; c\; -\; b\; 2\; 4\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; a\; (xh)\; ^\; \{2\}\; +\; k,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; \backslash \; quad\; h\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{2a\; \}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; k\; =\; c-ah\; ^\; \{2\}\; =\; c\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{4a\}\}.\}$

В частности, когда a = 1 :

$x\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; (x\; -\; h)\; 2\; +\; k,\; где\; h\; =\; -\; b\; 2\; и\; k\; =\; c\; -\; b\; 2\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; (xh)\; ^\; \{2\}\; +\; k,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{где\}\}\; \backslash \; quad\; h\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; k\; =\; c\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}.\}$

Матричный случай

Матричный случай выглядит очень похоже:

$x\; TA\; x\; +\; x\; T\; b\; +\; c\; =\; (x\; -\; h)\; TA\; (x\; -\; h)\; +\; k,\; где\; h\; =\; -\; 1\; 2\; A\; -\; 1\; b\; и\; k\; =\; c\; -\; 1\; 4\; b\; TA\; -\; 1\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; Ax\; +\; x\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; b\; +\; c\; =\; (xh)\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; A\; (xh)\; +\; k\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{где\}\; \}\; \backslash \; quad\; h\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; b\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; k\; =\; c\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; b\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; b\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$должен быть симметричным.

Если $A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A\}$не является симметричным, формулы для $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$должны быть обобщено на:

$h\; =\; -\; (A\; +\; AT)\; -\; 1\; b\; и\; k\; =\; c\; -\; h\; TA\; h\; =\; c\; -\; b\; T\; (A\; +\; AT)\; -\; 1\; A\; (A\; +\; AT)\; -\; 1\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; -\; (A\; +\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\})\; ^\; \{-\; 1\}\; b\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; k\; =\; ch\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; Ah\; =\; cb\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; (A\; +\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\})\; ^\; \{-\; 1\}\; A\; (A\; +\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\})\; ^\; \{-1\}\; b\}$.

Графики квадратичных функций, сдвинутых вправо на h = 0, 5, 10 и 15. Графики квадратичных функций, сдвинутых вверх на k = 0, 5, 10 и 15. Графики квадратичных функций, сдвинутые вверх и вправо на 0, 5, 10 и 15.

В аналитической геометрии график любой квадратичная функция - это парабола в плоскости xy. Дан квадратный многочлен вида

$(x\; -\; h)\; 2\; +\; k\; или\; a\; (x\; -\; h)\; 2\; +\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; (xh)\; ^\; \{2\}\; +\; k\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{or\}\}\; \backslash \; quad\; a\; (xh)\; ^\; \{2\}\; +\; k\}$

числа h и k можно интерпретировать как декартовы координаты вершины (или стационарной точки ) параболы. То есть h - это x-координата оси симметрии (т.е. ось симметрии имеет уравнение x = h), а k - минимальное значение (или максимальное значение, если < 0) of the quadratic function.

One в этом можно убедиться, заметив, что график функции ƒ (x) = x - это парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции ƒ (x - h) = (x - h) представляет собой параболу, сдвинутую вправо на h, вершина которой находится в точке (h, 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции ƒ (x) + k = x + k является параболой сдвинут вверх на k, вершина которого находится в точке (0, k), как показано на центральном рисунке. Объединение горизонтальных и вертикальных сдвигов дает ƒ (x - h) + k = (x - h) + k - парабола, сдвинутая к вправо на h и вверх на k, вершина которого находится в точке (h, k), как показано на нижнем рисунке.

Завершение квадрата может использоваться для решения любых квадратное уравнение. Например:

$x\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 5\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 5\; =\; 0,\}$

Первый шаг - t o завершите квадрат:

$(x\; +\; 3)\; 2-4\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; -4\; =\; 0.\}$

Затем мы решаем квадрат члена:

$(x\; +\; 3)\; 2\; =\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; =\; 4.\}$

Тогда либо

$x\; +\; 3\; =\; -\; 2,\; либо\; x\; +\; 3\; =\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; 3\; =\; -2\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; quad\; x\; +\; 3\; =\; 2,\}$

и, следовательно,

$x\; =\; -\; 5\; или\; x\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -5\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; quad\; x\; =\; -1.\}$

Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда x имеет коэффициент, отличный от 1, первым шагом является разделение уравнения на этот коэффициент: например, см. Немонический случай ниже.

Иррациональные и комплексные корни

В отличие от методов, включающих разложение на множители уравнение, которое надежно, только если корни рациональны, завершение квадрата найдет корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональные или комплексные. Например, рассмотрим уравнение

$x\; 2\; -\; 10\; x\; +\; 18\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -10x\; +\; 18\; =\; 0.\}$

Завершение квадрата дает

$(x\; -\; 5)\; 2–7\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-5)\; ^\; \{2\}\; -7\; =\; 0,\}$

так что

$(x\; -\; 5)\; 2\; =\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-5)\; ^\; \{\; 2\}\; =\; 7.\}$

Тогда либо

$x\; -\; 5\; =\; -\; 7,\; либо\; x\; -\; 5\; =\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; x-5\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\; \}\; \backslash \; quad\; x-5\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\},\}$

Выражаясь более кратко:

$x\; -\; 5\; =\; \pm \; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; x-5\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}.\}$

, поэтому

$x\; =\; 5\; \pm \; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 5\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}.\}$

Таким же образом можно обрабатывать уравнения со сложными корнями. Например:

$x\; 2\; +\; 4\; x\; +\; 5\; =\; 0\; (x\; +\; 2)\; 2\; +\; 1\; =\; 0\; (x\; +\; 2)\; 2\; =\; -\; 1\; x\; +\; 2\; =\; \pm \; i\; x\; =\; -\; 2\; \pm \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x\; +\; 5\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\; \backslash \backslash \; [6pt]\; (x\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\; \backslash \; \backslash \; [6pt]\; (x\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; -\; 1\; \backslash \backslash \; [6pt]\; x\; +\; 2\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \backslash \; [6pt]\; x\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; -\; 2\; \backslash \; pm\; i.\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Немонический случай

Для уравнения, содержащего немонический квадратичный, первый шаг к их решению - разделить его на коэффициент при x. Например:

$2\; x\; 2\; +\; 7\; x\; +\; 6\; =\; 0\; x\; 2\; +\; 7\; 2\; x\; +\; 3\; =\; 0\; (x\; +\; 7\; 4)\; 2-1\; 16\; =\; 0\; (x\; +\; 7\; 4)\; 2\; =\; 1\; 16\; x\; +\; 7\; 4\; =\; 1\; 4\; или\; x\; +\; 7\; 4\; =\; -\; 1\; 4\; x\; =\; -\; 3\; 2\; или\; x\; =\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; 2x\; ^\; \{2\}\; +\; 7x\; +\; 6\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\; \backslash \backslash \; [6pt]\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{2\}\}\; x\; +\; 3\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{4\}\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; x\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\; \}\}\; \backslash \; quad\; x\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{4\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; x\; =\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; quad\; x\; =\; -2.\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Применение этой процедуры к общей форме квадратного уравнения приводит к квадратной формуле.

Интегрирование

Завершение квадрата может использоваться для вычисления любого интеграла вида

$\int \; dxax\; 2\; +\; bx\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{ax\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; +\; c\}\}\}$

с использованием основных интегралов

$\int \; dxx\; 2\; -\; a\; 2\; =\; 1\; 2\; a\; ln\; \; |\; х\; -\; а\; х\; +\; а\; |\; +\; C\; и\; \int \; d\; x\; x\; 2\; +\; a\; 2\; =\; 1\; a\; arctg\; (x\; a)\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2a\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{xa\}\; \{x\; +\; a\}\}\; \backslash \; right\; |\; +\; C\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; \}\}\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C.\}$

Например, рассмотрим интеграл

$\int \; dxx\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 13.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 6x\; +\; 13\}\}.\}$

Завершение квадрата в знаменателе дает:

$\int \; dx\; (x\; +\; 3)\; 2\; +\; 4\; =\; \int \; dx\; (х\; +\; 3)\; 2\; +\; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{(x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; +4\}\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{(x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; +2\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Теперь это можно вычислить, используя замену u = x + 3, которая дает

$\int \; dx\; (x\; +\; 3)\; 2\; +\; 4\; =\; 1\; 2\; arctan\; \; (х\; +\; 3\; 2)\; +\; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{(x\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; +4\}\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\; +3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C.\}$

Комплексные числа

Рассмотрим выражение

$|\; z\; |\; 2\; -\; b\; \ast \; z\; -\; bz\; \ast \; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{*\}\; z-bz\; ^\; \{*\}\; +\; c,\}$

где z и b являются комплексными числа, z и b являются комплексными сопряженными числами z и b, соответственно, и c является действительным числом. Используя тождество | u | = uu, мы можем переписать это как

$|\; z\; -\; b\; |\; 2\; -\; |\; б\; |\; 2\; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z-b\; |\; ^\; \{2\}\; -\; |\; b\; |\; ^\; \{2\}\; +\; c,\}$

, что явно является действительной величиной. Это потому, что

$|\; z\; -\; b\; |\; 2\; =\; (z\; -\; b)\; (z\; -\; b)\; \ast \; =\; (z\; -\; b)\; (z\; \ast \; -\; b\; \ast )\; =\; z\; z\; \ast \; -\; z\; b\; \ast \; -\; b\; z\; \ast \; +\; b\; b\; \ast \; =\; |\; z\; |\; 2\; -\; z\; b\; \ast \; -\; b\; z\; \ast \; +\; |\; б\; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; |\; zb\; |\; ^\; \{2\}\; \{\}\; =\; (zb)\; (zb)\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; (zb)\; (z\; ^\; \{*\}\; -\; b\; ^\; \{*\; \})\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; zz\; ^\; \{*\}\; -\; zb\; ^\; \{*\}\; -\; bz\; ^\; \{*\}\; +\; bb\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\; -zb\; ^\; \{*\}\; -bz\; ^\; \{*\}\; +\; |\; b\; |\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В качестве другого примера, выражение

$ax\; 2\; +\; by\; 2\; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; by\; ^\; \{2\}\; +\; c,\}$

, где a, b, c, x и y - действительные числа, с a>0 и b>0, может быть выражено через квадрат абсолютное значение комплексного числа. Определите

$z\; =\; a\; x\; +\; i\; b\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \backslash ,\; x\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\}\}\; \backslash ,\; y.\}$

Тогда

$|\; z\; |\; 2\; =\; zz\; *\; =\; (ax\; +\; iby)\; (ax\; -\; iby)\; =\; ax\; 2\; -\; iabxy\; +\; ibayx\; -\; i\; 2\; на\; 2\; =\; ax\; 2\; +\; на\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\; \{\}\; =\; zz\; ^\; \{*\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; (\{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \backslash ,\; x\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\}\}\; \backslash ,\; y)\; (\{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \backslash ,\; xi\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\}\}\; \backslash ,\; y)\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; ax\; ^\; \{2\}\; -i\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\; \backslash ,\; xy\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{ba\}\}\; \backslash ,\; yx-i\; ^\; \{\; 2\}\; на\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; by\; ^\; \{2\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

так

$ax\; 2\; +\; by\; 2\; +\; c\; =\; |\; z\; |\; 2\; +\; с.\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{2\}\; +\; by\; ^\; \{2\}\; +\; c\; =\; |\; z\; |\; ^\; \{2\}\; +\; c.\}$

Идемпотентная матрица

A матрица M является идемпотентной, когда M = M. Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратного метода решения уравнения

$a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; a,\}$

показывает, что некоторые идемпотентные матрицы 2 × 2 параметризованы окружностью на (a, b) -плоскости:

Матрица $(abb\; 1\; -\; а)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; b\; 1-a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$будет идемпотентным, если $a\; 2\; +\; b\; 2\; =\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; a,\}$который после завершения квадрата становится

$(a\; -\; 1\; 2)\; 2\; +\; b\; 2\; =\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\})\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}.\}$

В (a, b) -плоскость, это уравнение окружности с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2.

Рассмотрите возможность построения квадрата для уравнения

$x\; 2\; +\; b\; x\; =\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; bx\; =\; a.\}$

Поскольку x представляет площадь квадрата со стороной длины x, а bx представляет площадь прямоугольника со сторонами b и x, процесс завершения квадрат можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.

Простые попытки объединить прямоугольники x и bx в квадрат большего размера приводят к отсутствию угла. Термин (b / 2), добавленный к каждой стороне приведенного выше уравнения, представляет собой именно площадь недостающего угла, откуда и происходит термин «завершение квадрата».

Как обычно учат, завершение квадрата состоит из добавления третьего члена, v, к

$u\; 2\; +\; 2\; uv\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{2\}\; +\; 2uv\}$

, чтобы получить квадрат. Есть также случаи, когда можно добавить средний член, 2uv или −2uv, к

$u\; 2\; +\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\}$

, чтобы получить квадрат.

Пример: сумма положительного числа и обратного ему

Запись

$x\; +\; 1\; x\; =\; (x\; -\; 2\; +\; 1\; x)\; +\; 2\; =\; (x\; -\; 1\; x)\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; +\; \{1\; \backslash \; over\; x\}\; \{\}\; =\; \backslash \; left\; (x-2\; +\; \{1\; \backslash \; over\; x\}\; \backslash \; right)\; +2\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

мы показываем, что сумма положительного числа x и его обратная величина всегда больше или равна 2. Квадрат действительного выражения всегда больше или равен нулю, что дает указанную границу; и здесь мы получаем 2 именно тогда, когда x равно 1, в результате чего квадрат исчезает.

Пример: разложение на множители простого многочлена четвертой степени

Рассмотрим задачу разложения многочлена

$x\; 4\; +\; 324.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; +324.\}$

Это равно

$(x\; 2)\; 2\; +\; (18)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; +\; (18)\; ^\; \{2\},\}$

, поэтому средний член равен 2 (x) (18) = 36x. Таким образом, мы получаем

$x\; 4\; +\; 324\; =\; (x\; 4\; +\; 36\; x\; 2\; +\; 324)\; -\; 36\; x\; 2\; =\; (x\; 2\; +\; 18)\; 2\; -\; (6\; x)\; 2\; =\; разность\; двух\; квадратов\; =\; (x\; 2\; +\; 18\; +\; 6\; x)\; (x\; 2\; +\; 18\; -\; 6\; x)\; =\; (x\; 2\; +\; 6\; x\; +\; 18)\; (x\; 2\; -\; 6\; x\; +\; 18)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; ^\; \{4\}\; +\; 324\; \{\; \}\; =\; (x\; ^\; \{4\}\; +\; 36x\; ^\; \{2\}\; +324)\; -36x\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +18)\; ^\; \{2\}\; -\; (6x)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{разница\; в\; два\; квадрата\}\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; 18\; +\; 6x)\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; 18-6x)\; \backslash \backslash \; \{\}\; =\; (x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; 6x\; +\; 18)\; (x\; ^\; \{2\}\; -6x\; +\; 18)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(последняя строка добавляется просто для того, чтобы следовать соглашению об уменьшении степени терминов).

Тот же аргумент показывает, что $x\; 4\; +\; 4\; a\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; +\; 4a\; ^\; \{4\}\}$всегда разлагается на множители как

$x\; 4\; +\; 4\; a\; 4\; =\; (x\; 2\; +\; 2\; ax\; +\; 2\; a\; 2)\; (x\; 2\; -\; 2\; ax\; +\; 2\; a\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; +\; 4a\; ^\; \{4\}\; =\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; 2ax\; +\; 2a\; ^\; \{2\})\; (x\; ^\; \{2\}\; -2ax\; +\; 2a\; ^\; \{2\})\}$

(Также известен как личность Софи-Жермен).

• Алгебра 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, страницы 539–544
• Алгебра 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

Викискладе есть материалы, связанные с Завершением квадрата.

• «Завершение квадрата». PlanetMath.