Алгебраическая дробь

В алгебре, алгебраическая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Два примера алгебраических дробей: $3\; xx\; 2\; +\; 2\; x\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3x\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 2x-3\}\}\}$и $x\; +\; 2\; x\; 2\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; +\; 2\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -3\}\}\}$. Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби.

A рациональные дроби - это алгебраические дроби, числитель и знаменатель которых являются полиномами. Таким образом, $3\; xx\; 2\; +\; 2\; x\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3x\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; 2x-3\}\}\}$является рациональной дробью, но не $x\; +\; 2\; x\; 2–3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; +\; 2\}\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -3\}\},\}$, поскольку числитель содержит функцию извлечения квадратного корня.

• 1 Терминология
• 2 Рациональные дроби
• 3 Иррациональные дроби
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

В алгебраической дроби $ab\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{a\}\; \{b\}\}\}$, делимое a называется числителем, а делитель b - знаменателем. Числитель и знаменатель называются членами алгебраической дроби.

Комплексная дробь - это дробь, числитель или знаменатель которой, или оба вместе содержат дробь. Простая дробь не содержит дроби ни в числителе, ни в знаменателе. Дробь имеет наименьшее значение, если единственный общий множитель числителя и знаменателя равен 1.

Выражение, не являющееся дробным, является целым выражением. Целочисленное выражение всегда можно записать в дробной форме, задав ему знаменатель 1. Смешанное выражение - это алгебраическая сумма одного или нескольких интегральных выражений и одного или нескольких дробных членов.

Если выражения a и b являются полиномами, алгебраическая дробь называется рациональной алгебраической дробью или просто рациональной дробью. Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная дробь $f\; (x)\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{f\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\}$называется правильной, если , иначе неправильно. Например, рациональная дробь $2\; xx\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{2x\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\}$является правильной, а рациональные дроби $x\; 3\; +\; x\; 2\; +\; 1\; x\; 2\; -\; 5\; x\; +\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -5x\; +\; 6\}\}\}$и $x\; 2\; -\; x\; +\; 1\; 5\; x\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\; ^\; \{2\}\; -x\; +\; 1\}\; \{5x\; ^\; \{2\}\; +3\}\}\}$неуместны. Любая несобственная рациональная дробь может быть выражена как сумма многочлена (возможно, постоянного) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби

$x\; 3\; +\; x\; 2\; +\; 1\; x\; 2\; -\; 5\; x\; +\; 6\; =\; (x\; +\; 6)\; +\; 24\; x\; -\; 35\; x\; 2\; -\; 5\; x\; +\; 6,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -5x\; +\; 6\}\}\; =\; (x\; +\; 6)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{24x-35\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -5x\; +\; 6\}\},\}$

где второй член - правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби как суммы двух или более дробей называется разделением ее на частичные дроби. Например,

$2\; x\; x\; 2\; -\; 1\; =\; 1\; x\; -\; 1\; +\; 1\; x\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2x\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x-1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; 1\}\}.\}$

Здесь два члена справа называются частичными дробями.

Иррациональные дроби - это дроби, в которых переменная находится под дробным показателем. Пример иррациональной дроби:

$x\; 1/2\; -\; 1\; 3\; a\; x\; 1/3\; -\; x\; 1/2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{1/2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; a\}\; \{x\; ^\; \{1/3\}\; -x\; ^\; \{1/2\}\}\}.\}$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную дробь известен как рационализация. Каждую иррациональную дробь, в которой радикалы являются одночленами, можно рационализировать, найдя наименьшее общее кратное индексов корней и заменив эту переменную другой переменной с наименьшим общим кратным как экспонента. В приведенном примере наименьшее общее кратное - 6, поэтому мы можем заменить $x\; =\; z\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; z\; ^\; \{6\}\}$, чтобы получить

$z\; 3\; -\; 1\; 3\; аз\; 2\; -\; з\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{3\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; a\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Бринк, Раймонд В. (1951). «IV. Дроби». Колледж по алгебре.