Обобщенная цепная дробь

редактировать

В разделе математики комплексный анализ обобщенная цепная дробь обобщение правильных цепных дробей в канонической форме, в которой частные числители и частные знаменатели могут принимать произвольные комплексные значения.

Обобщенная цепная дробь - это выражение вида

x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱ {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {3} +) {\ cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}}}

x = b_ {0} + {\ cfrac { a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {3} + {\ cfrac {a_ {4}}) {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}}

где a n (n>0) - частичные числители, b n являются частными знаменателями, а главный член b 0 называется целой частью непрерывной дроби.

Последовательные подходящие непрерывной дроби формируются путем применения фундаментальных рекуррентных формул :

x 0 = A 0 B 0 = b 0, x 1 = A 1 B 1 знак равно b 1 b 0 + a 1 b 1, x 2 = A 2 B 2 = b 2 (b 1 b 0 + a 1) + a 2 b 0 b 2 b 1 + a 2, ⋯ {\ displaystyle x_ { 0} = {\ frac {A_ {0}} {B_ {0}}} = b_ {0}, \ qquad x_ {1} = {\ frac {A_ {1}} {B_ {1}}} = { \ frac {b_ {1} b_ {0} + a_ {1}} {b_ {1}}}, \ qquad x_ {2} = {\ frac {A_ {2}} {B_ {2}}} = { \ frac {b_ {2} (b_ {1} b_ {0} + a_ {1}) + a_ {2} b_ {0}} {b_ {2} b_ {1} + a_ {2}}}, \ qquad \ cdots \,}

x_ {0} = {\ frac {A_ {0}} {B_ {0}}} = b_ {0}, \ qquad x_ {1} = {\ frac { A_ {1}} {B_ {1}}} = {\ frac {b_ {1} b_ {0} + a_ {1}} {b_ {1}}}, \ qquad x_ {2} = {\ frac { A_ {2}} {B_ {2}}} = {\ frac {b_ {2} (b_ {1} b_ {0} + a_ {1}) + a_ {2} b_ {0}} {b_ {2 } b_ {1} + a_ {2}}}, \ qquad \ cdots \,

, где A n - числитель, а B n - знаменатель, называемый континуантами, n-го сходящегося элемента. Они задаются рекурсией

A n = bn A n - 1 + an A n - 2, B n = bn B n - 1 + an B n - 2 (n ≥ 1) {\ displaystyle A_ {n} = b_ {n} A_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-2}, \ qquad B_ {n} = b_ {n} B_ {n-1} + a_ {n} B_ {n-2 } \ qquad (n \ geq 1) \,}

{\ displaystyle A_ {n} = b_ {n} A_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-2}, \ qquad B_ {n} = b_ {n } B_ {n-1} + a_ {n} B_ {n-2} \ qquad (n \ geq 1) \,}

с начальными значениями

A - 1 = 1, A 0 = b 0, B - 1 = 0, B 0 = 1. {\ displaystyle A _ {- 1} = 1, \ quad A_ {0} = b_ {0}, \ quad B _ {- 1} = 0, \ quad B_ {0} = 1.}

{\ displaystyle A _ {- 1} = 1, \ quad A_ {0} = b_ {0}, \ quad B _ {- 1} = 0, \ quad B_ {0 } = 1.}

Если последовательность подходящих дробей {x n } приближается к пределу, непрерывная дробь сходится и имеет определенное значение. Если последовательность подходящих дробей никогда не приближается к пределу, непрерывная дробь расходится. Он может расходиться из-за колебаний (например, нечетные и четные подходящие дроби могут приближаться к двум разным пределам) или может давать бесконечное количество нулевых знаменателей B n.

Содержание

1 История
2 Обозначение
3 Некоторые элементарные соображения
- 3.1 Частные числители и знаменатели
- 3.2 Формула детерминанта
- 3.3 Преобразование эквивалентности
- 3.4 Простые концепции сходимости
- 3.5 Четные и нечетные подходящие числа
- 3.6 Условия иррациональности
- 3.7 Основные рекуррентные формулы
4 Дробно-линейные преобразования
- 4.1 Непрерывная дробь как композиция LFT
- 4.2 Геометрическая интерпретация
5 Формула непрерывной дроби Эйлера
6 Примеры
- 6.1 Трансцендентные функции и числа
  - 6.1.1 π
- 6.2 Корни положительных чисел
  - 6.2.1 Пример 1
  - 6.2.2 Пример 2
  - 6.2.3 Пример 3
  - 6.2.4 Пример 4
7 Высшие измерения
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

История

История непрерывного ed фракции начинается с алгоритма Евклида, процедуры нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел m и n. В этом алгоритме появилась идея деления для извлечения нового остатка, а затем многократного деления на новый остаток.

Прошло почти две тысячи лет, прежде чем Рафаэль Бомбелли изобрел метод приближения корней квадратных уравнений с непрерывными дробями в середине шестнадцатого века. Теперь темпы развития ускорились. Всего 24 года спустя, в 1613 году, Пьетро Катальди ввел первое формальное обозначение обобщенной цепной дроби. Катальди представил непрерывную дробь как

a 0. {\ displaystyle a_ {0}. \,}

a_{0}.\,

n 1 d 1. {\ displaystyle n_ {1} \ over d_ {1}.}

{n_ {1} \ over d_ {1}.}

n 2 d 2. {\ displaystyle n_ {2} \ over d_ {2}.}

{n_ {2} \ over d_ {2}.}

n 3 d 3, {\ displaystyle {n_ {3} \ over d_ {3}},}

{n_ {3} \ over d_ {3}},

с точками, указывающими, где следующий дробь идет, и каждый представляет собой современный знак плюс.

В конце семнадцатого века Джон Уоллис ввел термин «непрерывная дробь» в математическую литературу. Новые методы математического анализа (Ньютона и Лейбница исчисления ) недавно вышли на сцену, и поколение современников Уоллиса применили новую фразу.

В 1748 году Эйлер опубликовал теорему, показывающую, что конкретный вид непрерывной дроби эквивалентен некоторому очень общему бесконечному ряду. Формула непрерывной дроби Эйлера по-прежнему является основой многих современных доказательств сходимости цепных дробей.

В 1761 году Иоганн Генрих Ламберт дал первое доказательство того, что π иррационально, используя следующая непрерывная дробь для tan x:

tan ⁡ (x) = x 1 + - x 2 3 + - x 2 5 + - x 2 7 + ⋱ {\ displaystyle \ tan (x) = {\ cfrac {x } {1 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {3 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {5 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {7 + {} \ ddots) }}}}}}}}}

\ tan (x) = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {3 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {5 + {\ cfrac { -x ^ {2}} {7 + {} \ ddots}}}}}}}}

Непрерывные дроби также могут применяться к задачам теории чисел и особенно полезны при изучении диофантовых уравнений. В конце восемнадцатого века Лагранж использовал непрерывные дроби для построения общего решения уравнения Пелла, таким образом отвечая на вопрос, который интересовал математиков более тысячи лет. Удивительно, но открытие Лагранжа подразумевает, что расширение канонической непрерывной дроби квадратного корня любого неквадратного целого числа является периодическим и что, если период имеет длину p>1, он содержит палиндромный строка длины p - 1.

В 1813 году Гаусс был получен из комплексных гипергеометрических функций, которые сейчас называются цепными дробями Гаусса. Их можно использовать для выражения многих элементарных функций и некоторых более сложных функций (таких как функции Бесселя ) в виде цепных дробей, которые быстро сходятся почти везде на комплексной плоскости.

Обозначение

Выражение длинной непрерывной дроби, показанное во введении, вероятно, является наиболее интуитивно понятной формой для читателя. К сожалению, в книге он занимает много места (да и для наборщика это непросто). Итак, математики придумали несколько альтернативных обозначений. Один из удобных способов выражения обобщенной непрерывной дроби выглядит так:

x = b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ frac {a_ {1}} {b_ {1} +}} \, {\ frac {a_ {2}} {b_ {2} +}} \, {\ frac {a_ {3}} {b_ {3} + }} \ cdots}

x = b_ {0} + {\ frac {a_ {1}} {b_ {1} +}} \, {\ frac {a_ {2}} {b_ {2} +}} \, {\ frac {a_ {3}} {b_ {3} +}} \ cdots

Прингсхейм записал обобщенную цепную дробь следующим образом:

x = b 0 + a 1 ∣ ∣ b 1 + a 2 ∣ ∣ b 2 + a 3 ∣ ∣ b 3 + ⋯ {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}} } + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots \,}

x = b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}} } + \ cdots \,

Карл Фридрих Гаусс вызвал более знакомый бесконечный продукт Π когда он придумал это обозначение:

x = b 0 + K ∞ i = 1 aibi. {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}}. \,}

x = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}}. \,

Здесь «K» означает Kettenbruch, немецкое слово, обозначающее «непрерывную дробь». Это, вероятно, самый компактный и удобный способ выразить непрерывные дроби; однако он не получил широкого распространения среди английских наборщиков.

Некоторые элементарные соображения

Вот некоторые элементарные результаты, которые имеют фундаментальное значение для дальнейшего развития аналитической теории цепных дробей.

Частные числители и знаменатели

Если один из частичных числителей a n + 1 равен нулю, бесконечная цепная дробь

b 0 + K ∞ i = 1 aibi {\ displaystyle b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,}

b_ {0 } + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,

на самом деле просто конечная цепная дробь с n дробными членами, и поэтому рациональная функция первых na i и первых (n + 1) b я. Такой объект малоинтересен с точки зрения математического анализа, поэтому обычно предполагается, что ни одно из значений a i = 0. Нет необходимости накладывать это ограничение на частные знаменатели b. i.

Формула определителя

Когда n-я сходящаяся дробная дробь

xn = b 0 + K ni = 1 aibi {\ displaystyle x_ {n} = b_ {0} + {\ underset { i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,}

x_ {n} = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,

выражается в виде простой дроби x n = A n/Bnмы можем использовать формулу определителя

A n - 1 B n - A n B n - 1 = (- 1) na 1 a 2 ⋯ an = Π i = 1 n ( - ai) {\ displaystyle A_ {n-1} B_ {n} -A_ {n} B_ {n-1} = (- 1) ^ {n} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} = \ Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i})}

A_ {n-1} B_ {n} -A_ {n} B_ {n-1} = (- 1) ^ {n} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} = \ Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i})

(1)

для связи числителей и знаменателей последовательных подходящих дробей x n и x n-1 друг другу. Доказательство этого легко увидеть по индукции.

Базовый случай

Это тривиально верно.

Индуктивный шаг

Предположим, что (1) выполняется для $n - 1 {\ displaystyle n-1}$ $n-1$ . Затем нам нужно увидеть, что такое же отношение сохраняется для $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Подставляя значение $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ и $B n {\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ в 1, получаем:

$= bn A n - 1 B n - 1 + an A n - 1 B n - 2 - bn A n - 1 B n - 1 - an A n - 2 B n - 1 = an (A n - 1 B n - 2 - A n - 2 B n - 1) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} = b_ {n} A_ {n-1} B_ {n-1} + a_ {n} A_ {n- 1} B_ {n-2} -b_ {n} A_ {n-1} B_ {n-1} -a_ {n} A_ {n-2} B_ {n-1} \\ = a_ {n} (A_ {n-1} B_ {n-2} -A_ {n-2} B_ {n-1}) \ end {align}}}$ ${\ begin {align} = b_ {n} A_ {n-1} B_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-1} B_ {n-2} -b_ {n} A_ {n -1} B_ {n-1} -a_ {n} A_ {n-2} B_ {n-1} \\ = a_ {n} (A_ {n-1} B_ {n-2} -A_ { n-2} B_ {n-1}) \ end {align}}$

что верно из-за нашей гипотезы индукции.

$A n - 1 B n - A n B n - 1 = (- 1) na 1 a 2 ⋯ an = Π i = 1 n (- ai) {\ displaystyle A_ {n-1} B_ {n} -A_ {n} B_ {n-1} = (- 1) ^ {n} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} = \ Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i}) \,}$ $A_ {n-1} B_ {n} -A_ {n} B_ {n-1} = (- 1) ^ {n} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} = \ Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i}) \,$

В частности, если ни B n, ни B n-1 не равны нулю, мы можем выразить разницу между n-1-м и n-м (n>0) сходятся такие:

xn - 1 - xn = A n - 1 B n - 1 - A n B n = (- 1) na 1 a 2 ⋯ an B n B n - 1 = Π i = 1 n (- ai) B n B n - 1. {\ displaystyle x_ {n-1} -x_ {n} = {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} - {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}) }} = (- 1) ^ {n} {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {B_ {n} B_ {n-1}}} = {\ frac {\ Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i})} {B_ {n} B_ {n-1}}}. \,}

x_ {n-1} -x_ {n} = {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} - {\ frac {A_ {n}} {B_ {n} }} = (- 1) ^ {n} {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {B_ {n} B_ {n-1}}} = {\ frac {\ Pi _ {i = 1} ^ {n} (- a_ {i})} {B_ {n} B_ {n-1}}}. \,

Преобразование эквивалентности

Если {c i } = {c 1, c 2, c 3,...} - любая бесконечная последовательность ненулевого комплекса чисел мы можем доказать с помощью индукции, что

b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 + ⋱ = b 0 + c 1 a 1 c 1 b 1 + c 1 c 2 a 2 c 2 b 2 + c 2 c 3 a 3 c 3 b 3 + c 3 c 4 a 4 c 4 b 4 + ⋱ {\ displaystyle b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {3} + {\ cfrac {a_ {4}}) } {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}} = b_ {0} + {\ cfrac {c_ {1} a_ {1}} {c_ {1} b_ {1} + {\ cfrac {c_ {1} c_ {2} a_ {2}} {c_ {2} b_ {2} + {\ cfrac {c_ {2} c_ {3} a_ {3}} {c_ {3} b_ {3 } + {\ cfrac {c_ {3} c_ {4} a_ {4}} {c_ {4} b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}}

b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ {3}) } + {\ cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}} = b_ {0} + {\ cfrac {c_ {1} a_ {1}} {c_ {1} b_ {1} + {\ cfrac {c_ {1} c_ {2} a_ {2}} {c_ {2} b_ {2} + {\ cfrac {c_ {2} c_ {3} a_ {3) }} {c_ {3} b_ {3} + {\ cfrac {c_ {3} c_ {4} a_ {4}} {c_ {4} b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}} }

где равенство понимается как эквивалентность, то есть последовательные подходящие дроби непрерывной дроби слева точно такие же, как и подходящие дроби справа.

Преобразование эквивалентности является совершенно общим, но два частных случая заслуживают особого упоминания. Во-первых, если ни один из a i не равен нулю, можно выбрать последовательность {c i }, чтобы сделать каждый частичный числитель равным 1:

b 0 + K ∞ i = 1 aibi знак равно б 0 + К ∞ я = 1 1 cibi {\ displaystyle b_ {0} + {\ underset {я = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ { i}} {b_ {i}}} = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} {c_ {i } b_ {i}}} \,}

b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} { c_ {i} b_ {i}}} \,

где c 1 = 1 / a 1, c 2 = a 1/a2, c 3 = a 2 / (a 1a3), и в общем случае c n + 1 = 1 / (a n + 1 cn).

Во-вторых, если ни один из частных знаменателей b i не равен нулю, мы можем использовать аналогичную процедуру для выбора другой последовательности {d i }, чтобы сделать каждый частичный знаменатель равным нулю. 1:

б 0 + К ∞ я знак равно 1 аиби = б 0 + К ∞ я = 1 диай 1 {\ displaystyle b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K} }}} {\ frac {d_ {i} a_ {i}} {1}} \,}

b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = b_ {0} + {\ underset {i = 1} { \ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {d_ {i} a_ {i}} {1}} \,

где d 1 = 1 / b 1 и в противном случае d n + 1 = 1 / (b nbn + 1).

Эти два частных случая преобразования эквивалентности чрезвычайно полезны при анализе общей проблемы сходимости.

Простые концепции сходимости

Как уже отмечалось, непрерывная дробь

x = b 0 + K ∞ i = 1 aibi {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,}

x = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,

сходится, если последовательность сходящихся {x n } стремится к конечному пределу.

Понятие абсолютной сходимости играет центральную роль в теории бесконечных рядов. Соответствующего понятия не существует в аналитической теории цепных дробей - другими словами, математики не говорят об абсолютно сходящейся цепной дроби. Однако иногда понятие абсолютной конвергенции все же входит в дискуссию, особенно при изучении проблемы конвергенции. Например, конкретная непрерывная дробь

x = K ∞ i = 1 1 bi {\ displaystyle x = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} {b_ {i}}} \,}

x = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} {b_ {i}}} \,

расходится из-за колебаний, если ряд b 1 + b 2 + b 3 +... абсолютно сходится.

Иногда частные числители и частные знаменатели непрерывной дроби выражаются как функции комплексной переменной z. Например, относительно простая функция может быть определена как

f (z) = K ∞ i = 1 1 z. {\ displaystyle f (z) = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} {z}}. \,}

f (z) = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} {z}}. \,

Для Для цепной дроби, подобной этой, понятие равномерной сходимости возникает вполне естественно. Непрерывная дробь одной или нескольких комплексных переменных сходится равномерно в открытой окрестности Ω, если сходящиеся дроби сходятся равномерно в каждой точке Ω. Или, точнее: если для каждого ε>0 может быть найдено целое число M такое, что абсолютное значение разности

f (z) - fn (z) = K ∞ i = 1 ai (z) bi (z) - К ni знак равно 1 ai (z) bi (z) {\ displaystyle f (z) -f_ {n} (z) = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i} (z)} {b_ {i} (z)}} - {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i} (z)} {b_ {i} (z)}} \,}

f (z) -f_ {n} (z) = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i} (z)} {b_ {i} (z)}} - {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i} (z)} {b_ {i} (z)} } \,

меньше ε для каждой точки z в открытой окрестности Ω всякий раз, когда n>M цепная дробь, определяющая f (z), сходится равномерно на Ω. (Здесь f n (z) обозначает n-ю сходящуюся дробь непрерывной дроби, вычисленную в точке z внутри Ω, а f (z) - значение бесконечной непрерывной дроби в точке z.)

Теорема Слешинского – Прингсхейма обеспечивает достаточное условие сходимости.

Четные и нечетные подходящие дроби

Иногда необходимо разделить непрерывную дробь на четную и нечетную части. Например, если непрерывная дробь расходится колебанием между двумя разными предельными точками p и q, то последовательность {x 0, x 2, x 4,...} должны сходиться к одному из них, а {x 1, x 3, x 5,...} должны сходиться к другому. В такой ситуации может быть удобно выразить исходную непрерывную дробь как две разные непрерывные дроби, одна из которых сходится к p, а другая - к q.

Формулы для четной и нечетной частей непрерывной дроби можно записать наиболее компактно, если дробь уже преобразована так, что все ее частные знаменатели равны единице. В частности, если

x = K ∞ i = 1 ai 1 {\ displaystyle x = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ { i}} {1}} \,}

x = {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {1}} \,

- непрерывная дробь, тогда четная часть x четный и нечетная часть x нечетный даются как

xeven = a 1 1 + a 2 - a 2 a 3 1 + a 3 + a 4 - a 4 a 5 1 + a 5 + a 6 - a 6 a 7 1 + a 7 + a 8 - ⋱ {\ displaystyle x _ {\ mathrm {even}} = {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {2} - {\ cfrac {a_ {2} a_ {3}} {1 + a_ {3} + a_ {4} - { \ cfrac {a_ {4} a_ {5}} {1 + a_ {5} + a_ {6} - {\ cfrac {a_ {6} a_ {7}} {1 + a_ {7} + a_ {8} - \ ddots}}}}}}}} \,}

x _ {\ mathrm {even}} = {\ cfrac {a_ {1}} {1 + a_ {2} - {\ cfrac {a_ {2} a_ {3}} {1 + a_ {3} + a_ {4} - {\ cfrac {a_ {4} a_ {5}} {1 + a_ {5} + a_ {6 } - {\ cfrac {a_ {6} a_ {7}} {1 + a_ {7} + a_ {8} - \ ddots}}}}}}}} \,

xodd = a 1 - a 1 a 2 1 + a 2 + a 3 - a 3 a 4 1 + a 4 + a 5 - a 5 a 6 1 + a 6 + a 7 - a 7 a 8 1 + a 8 + a 9 - ⋱ {\ displaystyle x _ {\ mathrm {odd}} = a_ {1} - {\ cfrac {a_ {1} a_ {2}} {1 + a_ {2} + a_ {3} - {\ cfrac {a_ {3} a_ {4}} {1 + a_ {4} + a_ {5} - {\ cfrac {a_ { 5} a_ {6}} {1 + a_ {6} + a_ {7} - {\ cfrac {a_ {7} a_ {8}} {1 + a_ {8} + a_ {9} - \ ddots}} }}}}}} \,}

x _ {\ mathrm {odd}} = a_ {1} - {\ cfrac {a_ {1} a_ {2}} {1+ a_ {2} + a_ {3} - {\ cfrac {a_ {3} a_ {4}} {1 + a_ {4} + a_ {5} - {\ cfrac {a_ {5} a_ { 6}} {1 + a_ {6} + a_ {7} - {\ cfrac {a_ {7} a_ {8}} {1 + a_ {8} + a_ {9} - \ ddots}}}}}} }} \,

соответственно. Точнее, если последовательные подходящие дроби непрерывной дроби x равны {x 1, x 2, x 3,...}, то последовательные подходящие дроби из x даже, как написано выше, представляют собой {x 2, x 4, x 6,...} и последовательные подходящие дроби из x нечетное - это {x 1, x 3, x 5,...}.

Условия для иррациональности

Если $a 1, a 2,... {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, {\ text {...}}}$ $а_ {1}, а_ {2}, {\ text {...}}$ и $b 1, b 2,... {\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, {\ text {...}}}$ $b_ {1}, b_ {2}, {\ text {...}}$ - положительные целые числа с $ak {\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ ≤ $bk {\ displaystyle b_ {k}}$ $b_ {k}$ для всех достаточно больших $k {\ displaystyle k}$ $k$ , тогда

x = b 0 + K ∞ i = 1 aibi {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,}

x = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,

сходится к иррациональному пределу.

Фундаментальные формулы повторения

Частные числители и знаменатели последовательных подходящих дробей связаны фундаментальными рекуррентными формулами:

A - 1 = 1 B - 1 = 0 A 0 = b 0 B 0 = 1 A n + 1 знак равно bn + 1 A n + an + 1 A n - 1 B n + 1 = bn + 1 B n + an + 1 B n - 1 {\ displaystyle {\ begin {align} A _ {- 1} = 1 B_ { -1} = 0 \\ A_ {0} = b_ {0} B_ {0} = 1 \\ A_ {n + 1} = b_ {n + 1} A_ {n} + a_ {n + 1} A_ {n-1} B_ {n + 1} = b_ {n + 1} B_ {n} + a_ {n + 1} B_ {n-1} \, \ end {align}}}

{\ begin {выровнено} A _ {- 1} = 1 B _ {- 1} = 0 \\ A_ {0} = b_ {0} B_ {0} = 1 \\ A_ {n + 1} = b_ {n + 1} A_ {n} + a_ {n + 1} A_ {n-1} B_ {n + 1} = b_ {n + 1} B_ {n} + a_ {n + 1} B_ {n-1} \, \ end {выровнен}}

Последовательные подходящие дроби для непрерывной дроби задаются как

xn = A n B n. {\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}}. \,}

x_ {n} = {\ frac { A_ {n}} {B_ {n}}}. \,

Эти повторяющиеся отношения связаны с Джоном Уоллисом (1616-1703) и Леонард Эйлер (1707-1783).

В качестве примера рассмотрим правильную непрерывную дробь в канонической форме, которая представляет золотое сечение φ :

Икс = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\ Displaystyle х = 1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} { 1 + {\ cfrac {1} {1+ \ ddots \,}}}}}}}}

x = 1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac) {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ \ ddots \,}}}}}}}}

Применяя основные формулы повторения, мы находим, что последовательные числители A n равны {1, 2, 3, 5, 8, 13,...} и последовательные знаменатели B n равны {1, 1, 2, 3, 5, 8,...}, Фибоначчи числа. Поскольку все частичные числители в этом примере равны единице, формула определителя гарантирует нам, что абсолютное значение разности между последовательными сходящимися приближается к нулю довольно быстро.

Дробно-линейные преобразования

Дробно-линейное преобразование (ДЛП) - это комплексная функция вида

w = f (z) = a + bzc + dz, {\ displaystyle w = f (z) = {\ frac {a + bz} {c + dz}}, \,}

w = f (z) = {\ frac {a + bz} {c + dz}}, \,

где z - комплексная переменная, а a, b, c, d - произвольные комплексные такие константы, что $c + dz ≠ 0 {\ displaystyle c + dz \ neq 0}$ ${\ displaystyle c + dz \ neq 0}$ . Дополнительное ограничение - ad ≠ bc - обычно накладывается, чтобы исключить случаи, когда w = f (z) является константой. Дробно-линейное преобразование, также известное как преобразование Мёбиуса, обладает множеством интересных свойств. Четыре из них имеют первостепенное значение для развития аналитической теории цепных дробей.

Если d ≠ 0, LFT имеет одну или две фиксированные точки. Это можно увидеть, рассмотрев уравнение

f (z) = z ⇒ dz 2 + cz = a + bz {\ displaystyle f (z) = z \ Rightarrow dz ^ {2} + cz = a + bz \, }

f (z) = z \ Rightarrow dz ^ {2} + cz = a + bz \,

, что явно является квадратным уравнением относительно z. Корни этого уравнения - неподвижные точки f (z). Если дискриминант (c - b) + 4ad равен нулю, LFT фиксирует единственную точку; в противном случае он имеет две фиксированные точки.

Если ad ≠ bc, LFT является обратимым конформным отображением расширенной комплексной плоскости на себя. Другими словами, этот LFT имеет обратную функцию

z = g (w) = - a + cwb - dw {\ displaystyle z = g (w) = {\ frac {-a + cw} {b-dw} } \,}

z = g (w) = {\ frac {-a + cw} {b-dw }} \,

такая, что f (g (z)) = g (f (z)) = z для каждой точки z в расширенной комплексной плоскости, и обе точки f и g сохраняют углы и формы в исчезающе малых масштабах. Из формы z = g (w) мы видим, что g также является LFT.

композиция двух разных LFT, для которых ad ≠ bc сама по себе является LFT, для которой ad ≠ bc. Другими словами, множество всех LFT, для которых ad ≠ bc замкнуто относительно композиции функций. Совокупность всех таких LFT - вместе с композицией функций "групповой операции" - известна как группа автоморфизмов расширенной комплексной плоскости.
Если b = 0, LFT сводится к

w = f (z) = ac + dz, {\ displaystyle w = f (z) = {\ frac {a} {c + dz}}, \,}

w = f (z) = {\ frac {a} {c + dz}}, \,

что очень просто мероморфная функция от z с одним простым полюсом (at -c / d) и остатком, равным a / d. (См. Также Ряд Лорана.)

Непрерывная дробь как композиция LFT

Рассмотрим последовательность простых дробно-линейных преобразований

τ 0 (z) = b 0 + z, τ 1 ( z) знак равно a 1 б 1 + z, τ 2 (z) знак равно a 2 b 2 + z, τ 3 (z) = a 3 b 3 + z, ⋯ {\ displaystyle \ tau _ {0} (z) = b_ {0} + z, \ quad \ tau _ {1} (z) = {\ frac {a_ {1}} {b_ {1} + z}}, \ quad \ tau _ {2} (z) = {\ frac {a_ {2}} {b_ {2} + z}}, \ quad \ tau _ {3} (z) = {\ frac {a_ {3}} {b_ {3} + z}}, \ quad \ cdots \,}

\ tau _ {0} (z) = b_ {0} + z, \ quad \ tau _ {1} (z) = {\ frac {a_ {1}} {b_ {1} + z}}, \ quad \ tau _ {2} (z) = {\ frac {a_ {2}} {b_ {2} + z}}, \ quad \ tau _ {3} (z) = {\ frac {a_ {3}} {b_ {3} + z}}, \ quad \ cdots \,

Здесь мы используем греческую букву τ (тау) для обозначения каждого простого LFT, и мы принимаем обычное обозначение круга для композиции функций. Мы также вводим новый символ Τnдля обозначения композиция из n + 1 маленьких τs - то есть

T 1 (z) = τ 0 ∘ τ 1 (z) = τ 0 (τ 1 (z)), T 2 (z) = τ 0 ∘ τ 1 ∘ τ 2 (z) знак равно τ 0 (τ 1 (τ 2 (z))), {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {1}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} (z) = \ tau _ {0} (\ tau _ {1} (z)), \ quad {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {2}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} \ circ \ tau _ {2} (z) = \ tau _ {0} (\ tau _ {1} (\ tau _ {2} (z))), \,}

{\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {1}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} (z) = \ tau _ {0} (\ tau _ {1} (z)), \ quad {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {2}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} \ circ \ tau _ {2} (z) = \ tau _ {0} (\ tau _ {1} (\ tau _ {2} (z))), \,

и т. Д. вперед. Путем прямой подстановки из первого набора выражений во второй мы видим, что

T 1 (z) = τ 0 ∘ τ 1 (z) = b 0 + a 1 b 1 + z T 2 (z) = τ 0 ∘ τ 1 ∘ τ 2 (z) знак равно b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + z {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {1 }} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} (z) = \ quad b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + z }} \\ {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {2}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} \ circ \ tau _ {2} (z) = \ quad b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + z}}}} \, \ end {align}}}

{\ begin {align} {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {1}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} (z) = \ quad b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + z}} \\ {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {2}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} \ circ \ tau _ {2} (z) = \ quad b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + z}}}} \, \ end {выровнено}}

и, в общем,

T n (z) = τ 0 ∘ τ 1 ∘ τ 2 ∘ ⋯ ∘ τ n (z) = b 0 + K ni = 1 aibi { \ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} \ circ \ tau _ {2} \ circ \ cdots \ circ \ tau _ {n} (z) = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,}

{\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (z) = \ tau _ {0} \ circ \ tau _ {1} \ circ \ tau _ {2} \ circ \ cdots \ circ \ tau _ {n} (z) = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} \,

где последний частичный знаменатель в конечной цепной дроби K понимается как b n + z. И, поскольку b n + 0 = b n, изображение точки z = 0 при повторном LFT Τnдействительно является значением конечной непрерывной дроби с n частичными числители:

T n (0) = T n + 1 (∞) = b 0 + K ni = 1 aibi. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (0) = {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (\ infty) = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}}. \,}

{\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (0) = {\ boldsymbol {\ mathrm {T }}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (\ infty) = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac { a_ {i}} {b_ {i}}}. \,

Геометрическая интерпретация

Определение конечной цепной дроби как изображения точки при повторном линейном функциональном преобразовании Τn(z) приводит к интуитивно привлекательной геометрической интерпретации бесконечных цепных дробей.

Отношение

xn = b 0 + K ni = 1 aibi = A n B n = T n (0) = T n + 1 (∞) {\ displaystyle x_ {n} = b_ { 0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = {\ frac {A_ {n }} {B_ {n}}} = {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (0) = {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n +1}} (\ infty) \,}

x_ {n} = b_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {i }} {b_ {i}}} = {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} = {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (0) = {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (\ infty) \,

можно понять, переписав Τn(z) и Τn+1(z) в терминах фундаментальные рекуррентные формулы :

T n (z) = (bn + z) A n - 1 + an A n - 2 (bn + z) B n - 1 + an B n - 2 T n (z) = z A n - 1 + A nz B n - 1 + B n; T n + 1 (z) = (bn + 1 + z) A n + an + 1 A n - 1 (bn + 1 + z) B n + an + 1 B n - 1 T n + 1 (z) = z А n + А n + 1 z B n + B n + 1. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (z) = {\ frac {(b_ {n} + z) A_ {n-1 } + a_ {n} A_ {n-2}} {(b_ {n} + z) B_ {n-1} + a_ {n} B_ {n-2}}} и {\ boldsymbol {\ mathrm {T }}} _ {\ boldsymbol {n}} (z) = {\ frac {zA_ {n-1} + A_ {n}} {zB_ {n-1} + B_ {n}}}; \\ { \ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (z) = {\ frac {(b_ {n + 1} + z) A_ {n} + a_ {n + 1} A_ {n-1}} {(b_ {n + 1} + z) B_ {n} + a_ {n + 1} B_ {n-1}}} {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (z) = {\ frac {zA_ {n} + A_ {n + 1}} {zB_ {n} + B_ {n + 1}}}. \, \ end { выровнено}}}

{\ begin {align} {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ { \ boldsymbol {n}} (z) = {\ frac {(b_ {n} + z) A_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-2}} {(b_ {n} + z) B_ {n-1} + a_ {n} B_ {n -2}}} {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (z) = {\ frac {zA_ {n-1} + A_ {n}} {zB_ {n -1} + B_ {n}}}; \\ {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (z) = {\ frac {(b_ {n + 1} + z) A_ {n} + a_ {n + 1} A_ {n-1}} {(b_ {n + 1} + z) B_ {n} + a_ {n + 1} B_ {n-1}} } {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n + 1}} (z) = {\ frac {zA_ {n} + A_ {n + 1}} {zB_ {n} + B_ {n + 1}}}. \, \ End {align}}

В первом из этих уравнений отношение стремится к A n/Bn, когда z стремится к нулю. Во втором случае отношение стремится к A n/Bn, когда z стремится к бесконечности. Это приводит нас к нашей первой геометрической интерпретации. Если непрерывная дробь сходится, последовательные подходящие дроби A n/Bnв конечном итоге произвольно близки друг к другу. Поскольку дробно-линейное преобразование Τn(z) является непрерывным отображением, должна существовать окрестность z = 0, которая отображается в произвольно малую окрестность Τn(0) = A n/Bn. Точно так же должна существовать окрестность бесконечно удаленной точки, которая отображается в произвольно малую окрестность Τn(∞) = A n-1 / B n-1. Таким образом, если непрерывная дробь сходится, преобразование Τn(z) отображает как очень малые z, так и очень большие z в произвольно малую окрестность x, значение непрерывной дроби по мере того, как n становится все больше и больше.

А как насчет промежуточных значений z? Итак, поскольку последовательные сходящиеся элементы становятся все ближе друг к другу, мы должны иметь

A n - 1 B n - 1 ≈ A n B n ⇒ A n - 1 A n ≈ B n - 1 B n = k {\ displaystyle {\ гидроразрыв {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} \ приблизительно {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {A_ {n- 1}} {A_ {n}}} \ приблизительно {\ frac {B_ {n-1}} {B_ {n}}} = k \,}

{\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} \ приблизительно {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {A_ {n-1}} {A_ {n}}} \ приблизительно {\ frac {B_ {n-1}} {B_ {n}}} = k \,

где k - константа, введенная для удобства. Но тогда, подставляя в выражение для Τn(z), мы получаем

T n (z) = z A n - 1 + A nz B n - 1 + B n = A n B n (z A n - 1 A n + 1 z B n - 1 B n + 1) ≈ A n B n (zk + 1 zk + 1) = A n B n {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ { \ boldsymbol {n}} (z) = {\ frac {zA_ {n-1} + A_ {n}} {zB_ {n-1} + B_ {n}}} = {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \ left ({\ frac {z {\ frac {A_ {n-1}} {A_ {n}}} + 1} {z {\ frac {B_ {n-1}}} { B_ {n}}} + 1}} \ right) \ приблизительно {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \ left ({\ frac {zk + 1} {zk + 1}} \ right) = {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \,}

{\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} _ {\ boldsymbol {n}} (z) = {\ frac {zA_ {n-1} + A_ {n}} {zB_ {n-1 } + B_ {n}}} = {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \ left ({\ frac {z {\ frac {A_ {n-1}}} {A_ {n}}) } +1} {z {\ frac {B_ {n-1}} {B_ {n}}} + 1}} \ right) \ приблизительно {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \ left ({\ frac {zk + 1} {zk + 1}} \ right) = {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} \,

, так что даже промежуточные значения z (кроме случаев, когда z ≈ −k) отображаются в сколь угодно малую окрестность x, значение непрерывной дроби, поскольку n становится все больше и больше. Интуитивно кажется, что сходящаяся непрерывная дробь отображает всю расширенную комплексную плоскость в одну точку.

Обратите внимание, что последовательность {Τn} находится в пределах группы автоморфизмов расширенная комплексная плоскость, поскольку каждое Τnявляется дробно-линейным преобразованием, для которого ab ≠ cd. И каждый член этой группы автоморфизмов отображает расширенную комплексную плоскость в себя - ни один из Τnне может отобразить плоскость в единственную точку. Тем не менее, в пределе последовательность {Τn} определяет бесконечную цепную дробь, которая (если i t сходится) представляет единственную точку на комплексной плоскости.

Как такое возможно? Подумайте об этом так. Когда бесконечная непрерывная дробь сходится, соответствующая последовательность {Τn} LFT "фокусирует" плоскость в направлении x, значения непрерывной дроби. На каждом этапе процесса все большая и большая область плоскости отображается в окрестности x, а оставшаяся меньшая и меньшая области плоскости растягивается все тоньше, чтобы покрыть все за пределами этой окрестности.

А как насчет расходящихся непрерывных дробей? Можно ли их также интерпретировать геометрически? Одним словом, да. Мы различаем три случая.

Две последовательности {Τ 2n-1 } и {Τ2n} сами могут определять две сходящиеся непрерывные дроби, которые имеют два разных значения, x odd и x даже. В этом случае непрерывная дробь, определяемая последовательностью {Τn}, расходится колебанием между двумя различными предельными точками. И на самом деле эту идею можно обобщить - можно построить последовательности {Τn}, которые колеблются между тремя, четырьмя или даже любым количеством предельных точек. Интересные примеры этого случая возникают, когда последовательность {Τn} составляет подгруппу конечного порядка внутри группы автоморфизмов на расширенной комплексной плоскости.
Последовательность {Τn} может генерировать бесконечное количество нулевых знаменателей B i, а также производить подпоследовательность конечных подходящих дробей. Эти конечные сходящиеся элементы могут не повторяться или образовывать узнаваемый колебательный паттерн. Или они могут сходиться к конечному пределу или даже колебаться между несколькими конечными пределами. Независимо от того, как ведут себя конечные подходящие дроби, непрерывная дробь, определяемая последовательностью {Τn}, в этом случае расходится колебанием с бесконечно удаленной точкой.
Последовательность {Τn} может давать не более конечное число нулевых знаменателей B i. в то время как подпоследовательность конечных сходящихся элементов дико танцует вокруг плоскости в образце, который никогда не повторяется и никогда не приближается ни к какому конечному пределу.

Интересные примеры случаев 1 и 3 могут быть построены путем изучения простой непрерывной дроби

x Знак равно 1 + z 1 + z 1 + z 1 + z 1 + ⋱ {\ displaystyle x = 1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1+) {\ cfrac {z} {1+ \ ddots}}}}}}}} \,}

x = 1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1+ \ ddots}) }}}}}}} \,

где z - любое действительное число такое, что z < −¼.

формула непрерывной дроби Эйлера

Эйлер доказала, что следующее тождество:

a 0 + a 0 a 1 + a 0 a 1 a 2 + ⋯ + a 0 a 1 a 2 ⋯ an = a 0 1 - a 1 1 + a 1 - a 2 1 + a 2 - ⋯ 1 + ан. {\ displaystyle a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + \ cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n } = {\ frac {a_ {0}} {1 -}} {\ frac {a_ {1}} {1 + a_ {1} -}} {\ frac {a_ {2}} {1 + a_ {2 } -}} \ cdots {\ frac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}. \,}

a_ {0} + a_ {0} a_ {1} + a_ {0} a_ {1} a_ {2} + \ cdots + a_ {0} a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} = {\ frac {a_ {0}} {1 -}} {\ frac {a_ {1}} {1 + a_ { 1} -}} {\ frac {a_ {2}} {1 + a_ {2} -}} \ cdots {\ frac {a_ {n}} {1 + a_ {n}}}. \,

Из этого можно получить множество других результатов, например

1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 3 + ⋯ + 1 un = 1 u 1 - u 1 2 u 1 + u 2 - u 2 2 u 2 + u 3 - ⋯ un - 1 2 un - 1 + un, {\ displaystyle {\ frac {1} {u_ {1}}} + {\ frac {1} {u_ {2}}} + {\ frac {1} {u_ {3}}} + \ cdots + {\ frac {1} { u_ {n}}} = {\ frac {1} {u_ {1} -}} {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {u_ {1} + u_ {2} -}} {\ frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{ n}}},\,}

{\ frac { 1} {u_ {1}}} + {\ frac {1} {u_ {2}}} + {\ frac {1} {u_ {3}}} + \ cdots + {\ frac {1} {u_ { n}}} = {\ frac {1} {u_ {1} -}} {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {u_ {1} + u_ {2} -}} {\ frac {u_ {2} ^ {2}} {u_ {2} + u_ {3} -}} \ cdots {\ frac {u_ {n-1} ^ {2}} {u_ {n-1} + u_ {n} }}, \,

and

1 a 0 + xa 0 a 1 + x 2 a 0 a 1 a 2 + ⋯ + xna 0 a 1 a 2 … an = 1 a 0 − a 0 xa 1 + x − a 1 xa 2 + x − ⋯ an − 1 xan + x. {\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}

{\ frac { 1} {a_ {0}}} + {\ frac {x} {a_ {0} a_ {1}}} + {\ frac {x ^ {2}} {a_ {0} a_ {1} a_ {2 }}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {a_ {0} a_ { 1} a_ {2} \ ldots a_ {n}}} = {\ frac {1} {a_ {0} -}} {\ frac {a_ {0} x} {a_ {1} + x -}} { \ frac {a_ {1} x} {a_ {2} + x -}} \ cdots {\ frac {a_ {n-1} x} {a_ {n} + x}}. \,

Euler's formula connecting continued fractions and series is the motivation for the fundamental inequalities, and also the basis of elementary approaches to the convergence problem.

Examples

Transcendental functions and numbers

Here are two continued fractions that can be built via Euler's identity.

$e x = x 0 0 ! + х 1 1! + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + ⋯ = 1 + x 1 − 1 x 2 + x − 2 x 3 + x − 3 x 4 + x − ⋱ {\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$ $e ^ {x} = {\ frac {x ^ {0}} {0!}} + {\ Frac {x ^ {1}} {1!}} + {\ Frac {x ^ {2 }} {2!}} + {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {4!}} + \ Cdots = 1 + {\ cfrac {x } {1 - {\ cfrac {1x} {2 + x - {\ cfrac {2x} {3 + x - {\ cfrac {3x} {4 + x- \ ddots}}}}}}}}$

$log ⁡ ( 1 + x) = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ = x 1 − 0 x + 1 2 x 2 − 1 x + 2 2 x 3 − 2 x + 3 2 x 4 − 3 x + ⋱ {\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$ $\ log (1 + x) = {\ frac {x ^ {1}} {1}} - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ cdots = { \ cfrac {x} {1-0x + {\ cfrac {1 ^ {2} x} {2-1x + {\ cfrac {2 ^ {2} x} {3-2x + {\ cfrac {3 ^ {2} x}) {4-3x + \ ddots}}}}}}}}$

Here are additional generalized continued fractions:

$tan − 1 ⁡ x y = x y 1 y 2 + ( 1 x y) 2 3 y 2 − 1 x 2 + ( 3 x y) 2 5 y 2 − 3 x 2 + ( 5 x y) 2 7 y 2 − 5 x 2 + ⋱ = x 1 y + ( 1 x) 2 3 y + ( 2 x) 2 5 y + ( 3 x) 2 7 y + ⋱ {\displaystyle \tan ^{-1}{\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\dd ots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$ $\ tan ^ {- 1} {\ cfrac {x} {y}} = {\ cfrac {xy} {1y ^ {2} + {\ cfrac {(1xy) ^ {2}} {3y ^ {2} - 1x ^ {2} + {\ cfrac {(3xy) ^ {2}} {5y ^ {2} -3 x ^ {2} + {\ cfrac {(5xy) ^ {2}} {7y ^ {2} -5x ^ {2} + \ ddots}}}}}}} = {\ cfrac {x} {1y + {\ cfrac {(1x) ^ {2}} {3y + {\ cfrac {(2x) ^ {2}} {5y + {\ cfrac {(3x) ^ {2}} {7y + \ ddots}}}}}} }}$

$e x / y = 1 + 2 x 2 y − x + x 2 6 y + x 2 10 y + x 2 14 y + x 2 18 y + ⋱ ; e 2 = 7 + 2 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + ⋱ {\displaystyle e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}};\;e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$ ${\ displaystyle e ^ {x / y} = 1 + {\ cfrac {2x} {2y-x + {\ cfrac {x ^ {2}} {6y + {\ cfrac {x ^ {2}} {10y + { \ cfrac {x ^ {2}} {14y + {\ cfrac {x ^ {2}} {18y + \ ddots}}}}}}}}}}; \; e ^ {2} = 7 + {\ cfrac { 2} {5 + {\ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {9 + {\ cfrac {1} {11+ \ ddots}}}}}}}}}$

$log ⁡ ( 1 + x y) = x y + 1 x 2 + 1 x 3 y + 2 x 2 + 2 x 5 y + 3 x 2 + ⋱ = 2 x 2 y + x − ( 1 x) 2 3 ( 2 y + x) − ( 2 x) 2 5 ( 2 y + x) − ( 3 x) 2 7 ( 2 y + x) − ⋱ {\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$ $\ log \ left (1 + {\ frac {x} {y}} \ right) = {\ cfrac {x} {y + {\ cfrac {1x} {2 + {\ cfrac {1x} {3y + {\ cfrac {2x} {2 + {\ cfrac {2x} {5y + {\ cfrac {3x} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = {\ cfrac { 2x} {2y + x - {\ cfrac {(1x) ^ {2}} {3 (2y + x) - {\ cfrac {(2x) ^ {2}} {5 (2y + x) - {\ cfrac {(3x) ^ {2}} {7 (2y + x) - \ ddots}}}}}}}}$

This last is based on an algorithm derived by Alekseĭ Nikolaevich Khovanskiĭ in the 1970s.

Example: the natural logarithm of 2 (= [0;1,2,3,1,5,2/3,7,1/2,9,2/5,...,2k-1,2/k,...] ≈ 0.693147...):

$log ⁡ 2 = log ⁡ ( 1 + 1) = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ {\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$ $\ log 2 = \ log (1 + 1) = {\ cfrac {1 } {1+ {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {2} {5 + {\ cfrac {3} {2+ \ ddots}}}} }}}}}}}}} = {\ cfrac {2} {3 - {\ cfrac {1 ^ {2}} {9 - {\ cfrac {2 ^ {2}} {15 - {\ cfrac {3) ^ {2}} {21- \ ddots}}}}}}}$

π

Here are three of π's best-known generalized continued fractions, the first and third of which are derived from their respective arctangent formulas above by setting x=y=1 and multiplying by four. The Leibniz formula for π :

$π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + ⋱ = ∑ n = 0 ∞ 4 ( − 1) n 2 n + 1 = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + − ⋯ {\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$ $\ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {4 (-1) ^ {n}} {2n + 1}} = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + - \ cdots$

converges too slowly, requiring roughly 3 x 10 terms to achieve n-decimal precision. The series derived by Nilakantha Somayaji :

$π = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + ⋱ = 3 − ∑ n = 1 ∞ ( − 1) n n ( n + 1) ( 2 n + 1) = 3 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 − 1 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 1 3 ⋅ 4 ⋅ 7 − + ⋯ {\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 7}} - + \ cdots}$ $\ pi = 3 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6+ { \ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ ddots}}}}}} = 3- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { n (n + 1) (2n + 1)}} = 3 + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} - {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 7}} - + \ cdots$

- гораздо более очевидное выражение, но все же сходится довольно медленно, требует почти 50 членов для пяти десятичных знаков и почти 120 для шести. Оба сходятся сублинейно к π. С другой стороны:

$π = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + ⋱ = 4 - 1 + 1 6 - 1 34 + 16 3145 - 4 4551 + 1 6601 - 1 38341 + - ⋯ {\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + {\ cfrac {3 ^ {2}) }} {7+ \ ddots}}}}}}}} = 4-1 + {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {34}} + {\ frac {16} {3145 }} - {\ frac {4} {4551}} + {\ frac {1} {6601}} - {\ frac {1} {38341}} + - \ cdots}$ $\ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3 + {\ cfrac { 2 ^ {2}} {5 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {7+ \ ddots}}}}}}} = 4-1 + {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {34}} + {\ frac {16} {3145}} - {\ frac {4} {4551}} + {\ frac {1} {6601}} - {\ frac {1} {38341 }} + - \ cdots$

сходится линейно к π, добавляя при минимум три десятичных разряда точности на четыре члена, шаг немного быстрее, чем формула арксинуса для π :

$π = 6 sin - 1 ⁡ (1 2) = ∑ n = 0 ∞ 3 ⋅ (2 nn) 16 n (2 n + 1) знак равно 3 16 0 ⋅ 1 + 6 16 1 ⋅ 3 + 18 16 2 ⋅ 5 + 60 16 3 ⋅ 7 + ⋯ {\ displaystyle \ pi = 6 \ sin ^ {- 1} \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {3 \ cdot {\ binom {2n} {n}}} {16 ^ {n } (2n + 1)}} = {\ frac {3} {16 ^ {0} \ cdot 1}} + {\ frac {6} {16 ^ {1} \ cdot 3}} + {\ frac {18 } {16 ^ {2} \ cdot 5}} + {\ frac {60} {16 ^ {3} \ cdot 7}} + \ cdots \!}$ $\ pi = 6 \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ справа) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {3 \ cdot {\ binom {2n} {n}}} {16 ^ {n} (2n + 1)}} = {\ гидроразрыв {3} {16 ^ {0} \ cdot 1}} + {\ frac {6} {16 ^ {1} \ cdot 3}} + {\ frac {18} {16 ^ {2} \ cdot 5} } + {\ frac {60} {16 ^ {3} \ cdot 7}} + \ cdots \!$

, который добавляет не менее трех десятичных цифр на пять членов.

Примечание. Использование непрерывной дроби для $tan - 1 ⁡ xy {\ displaystyle \ tan ^ {- 1} {\ frac {x} {y}}}$ ${\ отображает tyle \ tan ^ {- 1} {\ frac {x} {y}}}$ , упомянутого выше с наиболее известной формулой Мачина дает еще более быстрое, хотя и линейно сходящееся выражение:

$π = 16 tan - 1 ⁡ 1 5 - 4 tan - 1 ⁡ 1 239 = 16 u + 1 2 3 u + 2 2 5 u + 3 2 7 u + ⋱ - 4 v + 1 2 3 v + 2 2 5 v + 3 2 7 v + ⋱. {\ displaystyle \ pi = 16 \ tan ^ {- 1} {\ cfrac {1} {5}} \, - \, 4 \ tan ^ {- 1} {\ cfrac {1} {239}} = {\ cfrac {16} {u + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3u + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5u + {\ cfrac {3 ^ {2}} {7u + \ ddots}}}}}} }} \, - \, {\ cfrac {4} {v + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3v + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5v + {\ cfrac {3 ^ {2}} { 7v + \ ddots}}}}}}}}.}$ ${\ displaystyle \ pi = 16 \ tan ^ {- 1} {\ cfrac {1} {5}} \, - \, 4 \ tan ^ {- 1} {\ cfrac {1} {239}} = {\ cfrac {16} {u + {\ cfrac {1 ^ {2}} { 3u + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5u + {\ cfrac {3 ^ {2}} {7u + \ ddots}}}}}}}} \, - \, {\ cfrac {4} {v + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3v + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5v + {\ cfrac {3 ^ {2}} {7v + \ ddots}}}}}}}}.}$

где $u = 5, v = 239. {\ displaystyle u = 5, \; v = 239.}$ ${\ displaystyle u = 5, \; v = 239.}$

Корни положительных чисел

корень n-й степени любого положительного числа z может быть выражен следующим образом: z = x + y, в результате чего

$zmn = (xn + y) mn = xm + mynxn - m + (n - m) y 2 xm + (n + m) y 3 nxn - m + (2 n - m) y 2 xm + (2 n + m) y 5 nxn - m + (3 n - m) y 2 xm + ⋱ {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z ^ {m}}} = {\ sqrt [{n}] {(x ^ {n} + y) ^ {m}}} = x ^ {m} + {\ cfrac {my} {nx ^ {nm} + {\ cfrac {(nm) y} {2x ^ {m} + {\ cfrac {(n + m) y} {3nx ^ {nm}) + {\ cfrac {(2n-m) y} {2x ^ {m} + {\ cfrac {(2n + m) y} {5nx ^ {nm} + {\ cfrac {(3n-m) y} {2x ^ {m} + \ ddots}}}}}}}}}}}}$ ${\ sqrt [{n}] {z ^ {m}}} = {\ sqrt [ {n}] {(x ^ {n} + y) ^ {m}}} = x ^ {m} + {\ cfrac {my} {nx ^ {nm} + {\ cfrac {(nm) y} { 2x ^ {m} + {\ cfrac {(n + m) y} {3nx ^ {nm} + {\ cfrac {(2n-m) y} {2x ^ {m} + {\ cfrac {(2n + m)) y} {5nx ^ {nm} + {\ cfrac {(3n-m) y} {2x ^ {m} + \ ddots}}}}}}}}}}}}$

который можно упростить, сложив каждую пару дробей в одну дробь, до

$zmn = xm + 2 xm ⋅ myn ( 2 z - y) - мой - (1 2 n 2 - m 2) y 2 3 n (2 z - y) - (2 2 n 2 - m 2) y 2 5 n (2 z - y) - (3 2 n 2 - м 2) y 2 7 n (2 z - y) - (4 2 n 2 - m 2) y 2 9 n (2 z - y) - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z ^ {m}}} = x ^ {m} + {\ cfrac {2x ^ {m} \ cdot my} {n (2z-y) -my- { \ cfrac {(1 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} {3n (2z-y) - {\ cfrac {(2 ^ {2} n ^ {2}) -m ^ {2}) y ^ {2}} {5n (2z-y) - {\ cfrac {(3 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} { 7n (2z-y) - {\ cfrac {(4 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} {9n (2z-y) - \ ddots}}}}} }}}}}.}$ ${\ sqrt [{n}] {z ^ {m}}} = x ^ {m} + {\ cfrac {2x ^ {m} \ cdot my} {n (2z-y) -my - {\ cfrac {(1 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) у ^ {2}} {3n (2z-y) - {\ cfrac {(2 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} {5n (2z-y) - {\ cfrac {(3 ^ {2} n ^ {2} -m ^ {2}) y ^ {2}} {7n (2z-y) - {\ cfrac {(4 ^ {2} n ^ {2 } -m ^ {2}) y ^ {2}} {9n (2z-y) - \ ddots}}}}}}}}}}.$

Квадратный корень из z является частным случаем этого алгоритма корня n-й степени (m = 1, n = 2):

$z = x 2 + y = x + y 2 x + y 2 x + 3 y 6 x + 3 y 2 x + ⋱ = x + 2 x ⋅ y 2 (2 z - y) - y - 1 ⋅ 3 y 2 6 (2 z - y) - 3 ⋅ 5 Y 2 10 (2 Z - Y) - ⋱ {\ displaystyle {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y}} = x + {\ cfrac {y} {2x + { \ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {3y} {6x + {\ cfrac {3y} {2x + \ ddots}}}}}}} = x + {\ cfrac {2x \ cdot y} {2 (2z-y) -y - {\ cfrac {1 \ cdot 3y ^ {2}} {6 (2z-y) - {\ cfrac {3 \ cdot 5y ^ {2}} {10 (2z-y) - \ ddots}} }}}}}$ ${\ sqrt {z}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y }} = x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {3y} {6x + {\ cfrac {3y} {2x + \ ddots}}}}}}}} = x + {\ cfrac {2x \ cdot y} {2 (2z-y) -y - {\ cfrac {1 \ cdot 3y ^ {2}} {6 (2z-y) - {\ cfrac {3 \ cdot 5y ^ {2}) } {10 (2z-y) - \ ddots}}}}}}$

который можно упростить, отметив, что 5/10 = 3/6 = 1/2:

$z = x 2 + y = x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + Y 2 Икс + ⋱ знак равно Икс + 2 Икс ⋅ Y 2 (2 Z - Y) - Y - Y 2 2 (2 Z - Y) - Y 2 2 (2 Z - Y) - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y}} = x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {y} {2x + \ ddots}}}}}}}} = x + {\ cfrac {2x \ cdot y} {2 (2z-y) -y - {\ cfrac {y ^ {2}} { 2 (2z-y) - {\ cfrac {y ^ {2}} {2 (2z-y) - \ ddots}}}}}}.}$ ${\ sqrt {z}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y}} = x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac { y} {2x + {\ cfrac {y} {2x + {\ cfrac {y} {2x + \ ddots}}}}}}} = x + {\ cfrac {2x \ cdot y} {2 (2z-y) -y - {\ cfrac {y ^ {2}} {2 (2z-y) - {\ cfrac {y ^ {2}} {2 (2z-y) - \ ddots}}}}}}.$

Квадратный корень можно также выразить с помощью периодическая цепная дробь, но приведенная выше форма быстрее сходится с правильными x и y.

Пример 1

кубический корень из двух (2 или √2 ≈ 1,259921...):

(A) «Стандартное обозначение» из x = 1, y = 1 и 2z - y = 3:

$2 3 = 1 + 1 3 + 2 2 + 4 9 + 5 2 + 7 15 + 8 2 + 10 21 + 11 2 + ⋱ = 1 + 2 ⋅ 1 9 - 1 - 2 ⋅ 4 27 - 5 ⋅ 7 45 - 8 ⋅ 10 63 - 11 ⋅ 13 81 - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {4} {9 + {\ cfrac {5) } {2 + {\ cfrac {7} {15 + {\ cfrac {8} {2 + {\ cfrac {10} {21 + {\ cfrac {11} {2+ \ ddots}}}}}}}} }}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2 \ cdot 1} {9-1 - {\ cfrac {2 \ cdot 4} {27 - {\ cfrac {5 \ cdot 7} {45- { \ cfrac {8 \ cdot 10} {63 - {\ cfrac {11 \ cdot 13} {81- \ ddots}}}}}}}}}}.}$ ${\ sqrt [{3} ] {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {4} {9 + {\ cfrac {5} {2 + {\ cfrac {7}} {15 + {\ cfrac {8} {2 + {\ cfrac {10} {21 + {\ cfrac {11} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2 \ cdot 1} {9-1 - {\ cfrac {2 \ cdot 4} {27 - {\ cfrac {5 \ cdot 7} {45 - {\ cfrac {8 \ cdot 10} {63 - {\ cfrac {11 \ cdot 13} {81- \ ddots}}}}}}}}}}.$

(B) Быстрая сходимость при x = 5, y = 3 и 2z - y = 253:

$2 3 = 5 4 + 0,5 50 + 2 5 + 4 150 + 5 5 + 7250 + 8 5 + 10 350 + 11 5 + ⋱ = 5 4 + 2,5 ⋅ 1 253 - 1 - 2 ⋅ 4 759 - 5 ⋅ 7 1265 - 8 ⋅ 10 1771 - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}} = {\ cfrac {5} {4}} + {\ cfrac {0.5} {50 + {\ cfrac {2} {5 + {\ cfrac {4) } {150 + {\ cfrac {5} {5 + {\ cfrac {7} {250 + {\ cfrac {8} {5 + {\ cfrac {10} {350 + {\ cfrac {11} {5+ \) ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = {\ cfrac {5} {4}} + {\ cfrac {2.5 \ cdot 1} {253-1 - {\ cfrac {2 \ cdot 4} {759 - {\ cfrac {5 \ cdot 7} {1265 - {\ cfrac {8 \ cdot 10} {1771- \ ddots}}}}}}}}.}$ ${\ sqrt [{3}] {2}} = {\ cfrac {5} {4}} + {\ cfrac {0.5} {50 + {\ cfrac {2} {5 + {\ cfrac {4} {150+ { \ cfrac {5} {5 + {\ cfrac {7} {250 + {\ cfrac {8} {5 + {\ cfrac {10} {350 + {\ cfrac {11} {5+ \ ddots}}}}} }}}}}}}}}}}} = {\ cfrac {5} {4}} + {\ cfrac {2.5 \ cdot 1} {253-1 - {\ cfrac {2 \ cdot 4} {759- {\ cfrac {5 \ cdot 7} {1265 - {\ cfrac {8 \ cdot 10} {1771- \ ddots}}}}}}}}.$

Пример 2

Погсон отношение (100 или √100 ≈ 2,511886...), при x = 5, y = 75 и 2z - y = 6325:

$100 5 = 5 2 + 3 250 + 12 5 + 18 750 + 27 5 + 33 1250 + 42 5 + ⋱ = 5 2 + 5 ⋅ 3 1265 - 3 - 12 ⋅ 18 3795 - 27 ⋅ 33 6325 - 42 ⋅ 48 8855 - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {100}} = {\ cfrac {5} {2}} + {\ cfrac {3} {250 + {\ cfrac {12} {5 + {\ cfrac {18) } {750 + {\ cfrac {27} {5 + {\ cfrac {33} {1250 + {\ cfrac {42} {5+ \ ddots}}}}}}}}}}} = {\ cfrac { 5} {2}} + {\ cfrac {5 \ cdot 3} {1265-3 - {\ cfrac {12 \ cdot 18} {3795 - {\ cfrac {27 \ cdot 33} {6325 - {\ cfrac {42}) \ cdot 48} {8855- \ ddots}}}}}}}}.}$ ${\ sqrt [{5}] {100}} = {\ cfrac {5} {2}} + {\ cfrac {3} {250 + {\ cfrac {12} {5+ {\ cfrac {18} {750 + {\ cfrac {27} {5 + {\ cfrac {33} {1250 + {\ cfrac {42} {5+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = {\ cfrac {5} {2}} + {\ cfrac {5 \ cdot 3} {1265-3 - {\ cfrac {12 \ cdot 18} {3795 - {\ cfrac {27 \ cdot 33} {6325- {\ cfrac {42 \ cdot 48} {8855- \ ddots}}}}}}}}.$

Пример 3

корень двенадцатой степени из двух (2 или √2 ≈ 1.059463...), используя «стандартные обозначения»:

$2 12 = 1 + 1 12 + 11 2 + 13 36 + 23 2 + 25 60 + 35 2 + 37 84 + 47 2 + ⋱ = 1 + 2 ⋅ 1 36 - 1 - 11 ⋅ 13 108 - 23 ⋅ 25 180 - 35 ⋅ 37 252 - 47 ⋅ 49 324 - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {12 + {\ cfrac {11} {2 + {\ cfrac {13} {36 + {\ cfrac {23}) } {2 + {\ cfrac {25} {60 + {\ cfrac {35} {2 + {\ cfrac {37} {84 + {\ cfrac {47} {2+ \ ddots}}}}}}}} }}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2 \ cdot 1} {36-1 - {\ cfrac {11 \ cdot 13} {108 - {\ cfrac {23 \ cdot 25} {180- { \ cfrac {35 \ cdot 37} {252 - {\ cfrac {47 \ cdot 49} {324- \ ddots}}}}}}}}}}.}$ ${\ sqrt [{12}] {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {12 + {\ cfrac {11} {2 + {\ cfrac {13} {36 + {\ cfr ac {23} {2 + {\ cfrac {25} {60 + {\ cfrac {35} {2 + {\ cfrac {37} {84 + {\ cfrac {47} {2+ \ ddots}}}}} }}}}}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2 \ cdot 1} {36-1 - {\ cfrac {11 \ cdot 13} {108 - {\ cfrac {23 \ cdot 25} { 180 - {\ cfrac {35 \ cdot 37} {252 - {\ cfrac {47 \ cdot 49} {324- \ ddots}}}}}}}}}}.$

Пример 4

Равный темперамент идеальная квинта (2 или √2 ≈ 1.498307...), с m = 7:

(A) «Стандартное обозначение»:

$2 7 12 = 1 + 7 12 + 5 2 + 19 36 + 17 2 + 31 60 + 29 2 + 43 84 + 41 2 + ⋱ = 1 + 2 ⋅ 7 36-7-5 ⋅ 19 108-17 ⋅ 31 180-29 ⋅ 43 252 - 41 ⋅ 55 324 - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2 ^ {7}}} = 1 + {\ cfrac {7} {12 + {\ cfrac {5} {2 + {\ cfrac {19} {36+ { \ cfrac {17} {2 + {\ cfrac {31} {60 + {\ cfrac {29} {2 + {\ cfrac {43} {84 + {\ cfrac {41} {2+ \ ddots}}}}} }}}}}}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2 \ cdot 7} {36-7 - {\ cfrac {5 \ cdot 19} {108 - {\ cfrac {17 \ cdot 31} {180 - {\ cfrac {29 \ cdot 43} {252 - {\ cfrac {41 \ cdot 55} {324- \ ddots}}}}}}}}}}.}$ ${\ sqrt [{12}] {2 ^ {7}}} = 1 + {\ cfrac {7 } {12 + {\ cfrac {5} {2 + {\ cfrac { 19} {36 + {\ cfrac {17} {2 + {\ cfrac {31} {60 + {\ cfrac {29} {2 + {\ cfrac {43} {84 + {\ cfrac {41} {2+) \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {2 \ cdot 7} {36-7 - {\ cfrac {5 \ cdot 19} {108 - {\ cfrac {17 \ cdot 31} {180 - {\ cfrac {29 \ cdot 43} {252 - {\ cfrac {41 \ cdot 55} {324- \ ddots}}}}}}}}}}.$

(B) Быстрая сходимость с x = 3, y = –7153 и 2z - y = 2 + 3:

$2 7 12 = 1 2 3 12 - 7153 12 = 3 2 - 0,5 ⋅ 7153 4 ⋅ 3 12 - 11 ⋅ 7153 6 - 13 ⋅ 7153 12 ⋅ 3 12–23 ⋅ 7153 6–25 ⋅ 7153 20 ⋅ 3 12–35 ⋅ 7153 6–37 ⋅ 7153 28 ⋅ 3 12–47 ⋅ 7153 6 - ⋱ {\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2 ^ {7}}} = {\ cfrac {1} {2}} {\ sqrt [{12}] {3 ^ {12} -7153}} = {\ cfrac {3} {2}} - { \ cfrac {0.5 \ cdot 7153} {4 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {11 \ cdot 7153} {6 - {\ cfrac {13 \ cdot 7153} {12 \ cdot 3 ^ {12} - { \ cfrac {23 \ cdot 7153} {6 - {\ cfrac {25 \ cdot 7153} {20 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {35 \ cdot 7153} {6 - {\ cfrac {37 \ cdot 7153} } {28 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {47 \ cdot 7153} {6- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}$ ${\ sqrt [{12}] { 2 ^ {7}}} = {\ cfrac {1} {2}} {\ sqrt [{12}] {3 ^ {12} -7153}} = {\ cfrac {3} {2}} - {\ cfrac {0.5 \ cdot 7153} {4 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {11 \ cdot 7153} {6 - {\ cfrac {13 \ cdot 7153} {12 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {23 \ cdot 7153} {6 - {\ cfrac {25 \ cdot 7153} {20 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {35 \ cdot 7153} {6 - {\ cfrac {37 \ cdot 7153}} {28 \ cdot 3 ^ {12} - {\ cfrac {47 \ cdot 7153} {6- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}$

$2 7 12 = 3 2–3 ⋅ 7153 12 (2 19 + 3 12) + 7153 - 11 ⋅ 13 ⋅ 7153 2 36 (2 19 + 3 12) - 23 ⋅ 25 ⋅ 7153 2 60 (2 19 + 3 12) - 35 ⋅ 37 ⋅ 7153 2 84 (2 19 + 3 12) - ⋱. {\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2 ^ {7}}} = {\ cfrac {3} {2}} - {\ cfrac {3 \ cdot 7153} {12 (2 ^ {19} +3 ^ {12}) + 7153 - {\ cfrac {11 \ cdot 13 \ cdot 7153 ^ {2}} {36 (2 ^ {19} + 3 ^ {12}) - {\ cfrac {23 \ cdot 25 \ cdot 7153 ^ {2}} {60 (2 ^ {19} + 3 ^ {12}) - {\ cfrac {35 \ cdot 37 \ cdot 7153 ^ {2}} {84 (2 ^ {19} + 3 ^ { 12}) - \ ddots}}}}}}}}.}$ ${\ sqrt [{12}] {2 ^ {7}}} = {\ cfrac {3} { 2}} - {\ cfrac {3 \ cdot 7153} {12 (2 ^ {19} + 3 ^ {12}) + 7153 - {\ cfrac {11 \ cdot 13 \ cdot 7153 ^ {2}} {36 ( 2 ^ {19} + 3 ^ {12}) - {\ cfrac {23 \ cdot 25 \ cdot 7153 ^ {2}} {60 (2 ^ {19} + 3 ^ {12}) - {\ cfrac {35 \ cdot 37 \ cdot 7153 ^ {2}} {84 (2 ^ {19} + 3 ^ {12}) - \ ddots}}}}}}}}.$

Более подробную информацию об этом методе можно найти в Общий метод извлечения корней с использованием (свернутых) непрерывных дробей.

Более высокие измерения

Другое значение для обобщенной непрерывной дроби - это обобщение на более высокие измерения. Например, существует тесная связь между простой цепной дробью в канонической форме для иррационального действительного числа α и тем, как точки решетки в двух измерениях лежат по обе стороны от прямой y = αx. Обобщая эту идею, можно спросить о чем-то, связанном с точками решетки в трех или более измерениях. Одна из причин изучить эту область - дать количественную оценку идеи математического совпадения ; например, для одночленов в нескольких действительных числах возьмите логарифмическую форму и подумайте, насколько она может быть маленькой. Другая причина - найти возможное решение проблемы Эрмита.

. Были предприняты многочисленные попытки построить обобщенную теорию. Заметные усилия в этом направлении были предприняты Феликсом Кляйном (многогранник Клейна ), Жоржем Пуату и Джорджем Секересом.

См. Также

Примечания

Ссылки

Jones, William B.; Thron, W.J. (1980), Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения, Энциклопедия математики и ее приложений, 11, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-13510-8, Zbl 0445.30003 (Охватывает как аналитическую теорию, так и историю).
Лиза Лоренцен и Хокон Ваадленд, Непрерывные дроби с приложениями, Северная Голландия, 1992. ISBN 978-0-444-89265-2. (Охватывает в основном аналитическую теорию и некоторую арифметическую теорию.)
Оскар Перрон, Die Lehre von den Kettenbrüchen Band I, II, B.G. Teubner, 1954.
Джордж Секерес, Ann. Univ. Sci. Будапешт. Eötvös Sect. Математика. 13, «Многомерные непрерывные дроби», стр. 113–140, 1970.
Х.С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей, Челси, 1973. ISBN 0-8284-0207-8. (Это перепечатка издания Д. Ван Ностранда 1948 года охватывает как историю, так и аналитическую теорию.)
Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 5.2. Оценка непрерывных дробей», Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN <366.>978-0-521-88068-8
Мэнни Сардина, Общий метод извлечения корней с использованием (свернутых) непрерывных дробей, Суррей (Великобритания), 2007.

Внешние ссылки

Найдите обобщенную цепную дробь в Wiktionary, бесплатном словаре.

первые двадцать страниц Стивена Р. Финча, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-81805-2, содержит обобщенные непрерывные дроби для √2 и золотой середины.
OEIS последовательность A133593 («Точная» непрерывная дробь для числа Пи)