Уравнение Кеплера

Для конкретных приложений уравнения Кеплера см . Законы движения планет Кеплера. Решение уравнения Кеплера для пяти различных эксцентриситетов от 0 до 1

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету
Уравнения
Небесная механика
Гравитационные воздействия
N-тела орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия
Меры эффективности
v т е

В орбитальной механике, уравнение Кеплера относится различные геометрические свойства орбиты субъект тела к центральной силе.

Впервые оно было получено Иоганном Кеплером в 1609 году в главе 60 его Astronomia nova, а в книге V своего воплощения коперниканской астрономии (1621) Кеплер предложил итеративное решение уравнения. Уравнение сыграло важную роль в истории физики и математики, особенно в классической небесной механике.

• 1 Уравнение
• 2 Альтернативные формы
  • 2.1 Гиперболическое уравнение Кеплера
  • 2.2 Радиальное уравнение Кеплера
• 3 Обратная задача
  • 3.1 Обратное уравнение Кеплера
  • 3.2 Обратное радиальное уравнение Кеплера
• 4 Численное приближение обратной задачи
  • 4.1 Итерация с фиксированной точкой
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Уравнение Кеплера есть

${\ Displaystyle M = Ee \ sin E}$

где M - средняя аномалия, E - эксцентричная аномалия, а e - эксцентриситет.

«Эксцентрическая аномалия» E полезна для вычисления положения точки, движущейся по кеплеровской орбите. Например, если тело проходит периастр в координатах x = a (1 - e), y = 0, в момент времени t = t0, то для определения положения тела в любой момент необходимо сначала вычислить среднее значение аномалии M от времени и среднего движения n по формуле M = n ( t - t0), затем решите уравнение Кеплера выше, чтобы получить E, затем получите координаты из:

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} x amp; = amp; a (\ cos Ee) \\ y amp; = amp; b \ sin E \ end {array}}}$

где является большой полуосью, а по оси пола-минор.

Уравнение Кеплера является трансцендентным уравнением, потому что синус является трансцендентной функцией, а это означает, что его нельзя решить для E алгебраически. Для оценки E обычно требуется численный анализ и разложение в ряд.

Есть несколько форм уравнения Кеплера. Каждая форма связана с определенным типом орбиты. Стандартное уравнение Кеплера используется для эллиптических орбит (0 ≤ e lt;1). Гиперболическое уравнение Кеплера используется для гиперболических траекторий ( e gt; 1). Радиальное уравнение Кеплера используется для линейных (радиальных) траекторий ( e = 1). Уравнение Баркера используется для параболических траекторий ( e = 1).

Когда e = 0, орбита круговая. Увеличение e приводит к тому, что круг становится эллиптическим. Когда e = 1, есть три возможности:

• параболическая траектория,
• траектория, входящая или выходящая по бесконечному лучу, исходящему из центра притяжения,
• или траектория, которая идет вперед и назад по отрезку линии от центра притяжения до точки на некотором расстоянии.

Небольшое увеличение e выше 1 приводит к гиперболической орбите с углом поворота чуть менее 180 градусов. Дальнейшее увеличение уменьшает угол поворота, и когда e стремится к бесконечности, орбита становится прямой линией бесконечной длины.

Гиперболическое уравнение Кеплера

Гиперболическое уравнение Кеплера:

${\ Displaystyle М = е \ зп ЧЧ}$

где H - гиперболическая эксцентрическая аномалия. Это уравнение получается путем переопределения M как квадратного корня из -1, умноженного на правую часть эллиптического уравнения:

${\ Displaystyle M = я \ влево (Ee \ sin E \ right)}$

(в котором E теперь является мнимым), а затем заменив E на iH.

Радиальное уравнение Кеплера

Радиальное уравнение Кеплера:

${\ displaystyle t (x) = \ sin ^ {- 1} ({\ sqrt {x}}) - {\ sqrt {x (1-x)}}}$

где t пропорционально времени, а x пропорционально расстоянию от центра притяжения вдоль луча. Это уравнение получается путем умножения уравнения Кеплера на 1/2 и установки e равным 1:

${\ displaystyle t (x) = {\ frac {1} {2}} \ left [E- \ sin (E) \ right].}$

а затем сделав замену

${\ displaystyle E = 2 \ sin ^ {- 1} ({\ sqrt {x}}).}$

Вычислить M для данного значения E несложно. Однако решение для E, когда задано M, может быть значительно более сложной задачей. Нет закрытого решения.

Можно написать выражение бесконечного ряда для решения уравнения Кеплера, используя обращение Лагранжа, но ряд не сходится для всех комбинаций e и M (см. Ниже).

Путаница по поводу разрешимости уравнения Кеплера сохраняется в литературе на протяжении четырех столетий. Сам Кеплер выразил сомнение в возможности найти общее решение:

Я достаточно удовлетворен тем, что его [уравнение Кеплера] нельзя решить априори из-за разной природы дуги и синуса. Но если я ошибаюсь и кто-нибудь укажет мне путь, он будет в моих глазах великим Аполлонием.

-  Иоганн Кеплер

Расширение серии Бесселя

${\ displaystyle E = M + \ sum _ {m \ geq 1} J_ {m} (me) \ sin (mM), \ quad e \ leq 1, \ quad M \ in [- \ pi, \ pi].}$

Обратное уравнение Кеплера

Обратное уравнение Кеплера является решением уравнения Кеплера для всех действительных значений: ${\ displaystyle e}$

${\ displaystyle E = {\ begin {case} \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {M ^ {\ frac {n} {3}}} {n!}} \ lim _ {\ theta \ to 0 ^ {+}} \! {\ Bigg (} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\, n-1}} {\ mathrm {d} \ theta ^ {\, n -1}}} {\ bigg (} {\ bigg (} {\ frac {\ theta} {\ sqrt [{3}] {\ theta - \ sin (\ theta)}}} {\ bigg)} ^ { \! \! \! n} {\ bigg)} {\ Bigg)}, amp; e = 1 \\\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {M ^ {n}} { n!}} \ lim _ {\ theta \ to 0 ^ {+}} \! {\ Bigg (} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {\, n-1}} {\ mathrm {d} \ theta ^ {\, n-1}}} {\ bigg (} {\ Big (} {\ frac {\ theta} {\ theta -e \ sin (\ theta)}} {\ Big)} ^ {\! n} {\ bigg)} {\ Bigg)}, amp; e \ neq 1 \ end {case}}}$

Оценка этого урожая:

${\ displaystyle E = {\ begin {cases} \ displaystyle s + {\ frac {1} {60}} s ^ {3} + {\ frac {1} {1400}} s ^ {5} + {\ frac { 1} {25200}} s ^ {7} + {\ frac {43} {17248000}} s ^ {9} + {\ frac {1213} {7207200000}} s ^ {11} + {\ frac {151439} {12713500800000}} s ^ {13} + \ cdots {\ text {with}} s = (6M) ^ {1/3}, amp; e = 1 \\\\\ displaystyle {\ frac {1} {1-e }} M - {\ frac {e} {(1-e) ^ {4}}} {\ frac {M ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {(9e ^ {2} + e)} {(1-e) ^ {7}}} {\ frac {M ^ {5}} {5!}} - {\ frac {(225e ^ {3} + 54e ^ {2} + e)} {(1-e) ^ {10}}} {\ frac {M ^ {7}} {7!}} + {\ Frac {(11025e ^ {4} + 4131e ^ {3} + 243e ^ {2}) + e)} {(1-e) ^ {13}}} {\ frac {M ^ {9}} {9!}} + \ cdots, amp; e \ neq 1 \ end {cases}}}$

Эти серии могут быть воспроизведены в системе Mathematica с помощью операции InverseSeries.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

Эти функции представляют собой простые серии Маклорена. Такие представления трансцендентных функций рядами Тейлора считаются определениями этих функций. Следовательно, это решение является формальным определением обратного уравнения Кеплера. Однако E не является целой функцией от M при заданном ненулевом e. Производная

${\ displaystyle dM / dE = 1-e \ cos E}$

стремится к нулю на бесконечном множестве комплексных чисел, когда e lt;1. Есть решения при этих значениях ${\ displaystyle E = \ pm я \ cosh ^ {- 1} (1 / e),}$

${\ displaystyle M = Ee \ sin E = \ pm i \ left (\ cosh ^ {- 1} (1 / e) - {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ right)}$

(где обратный cosh считается положительным), а dE / dM стремится к бесконечности в этих точках. Это означает, что радиус сходимости ряда Маклорена равен, и ряд не будет сходиться при значениях M, превышающих это. Этот ряд также можно использовать для гиперболического случая, и в этом случае радиус сходимости равен. Ряд для случая, когда e  = 1, сходится при m lt;2π. ${\ displaystyle \ cosh ^ {- 1} (1 / e) - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ cos ^ {- 1} (1 / e) - {\ sqrt {e ^ {2} -1}}.}$

Хотя это решение является самым простым в определенном математическом смысле, для большинства приложений предпочтительны другие решения. В качестве альтернативы уравнение Кеплера можно решить численно.

Решение для e ≠ 1 было найдено Карлом Штумпфом в 1968 году, но его значение не было признано.

Можно также написать серию Маклорена на e. Этот ряд не сходится, когда e больше предела Лапласа (около 0,66), независимо от значения M (если M не кратно 2π), но сходится для всех M, если e меньше предела Лапласа. Коэффициенты в ряду, кроме первого (который просто M), зависят от M периодическим образом с периодом 2π.

Обратное радиальное уравнение Кеплера

Обратное радиальное уравнение Кеплера ( e = 1) также можно записать как:

${\ displaystyle x (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [\ lim _ {r \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {t ^ {{\ frac {2} {3}} n}} {n!}} {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {\, n-1}} {\ mathrm {d} r ^ {\, n-1}}} \! \ left (r ^ {n} \ left ({\ frac {3} {2}} {\ Big (} \ sin ^ {- 1} ({\ sqrt {r}})) - {\ sqrt {rr ^ {2}}} {\ Big)} \ right) ^ {\! - {\ frac {2} {3}} n} \ right) \ right) \ right]}$

Оценка этого урожая:

${\ displaystyle x (t) = p - {\ frac {1} {5}} p ^ {2} - {\ frac {3} {175}} p ^ {3} - {\ frac {23} {7875 }} p ^ {4} - {\ frac {1894} {3031875}} p ^ {5} - {\ frac {3293} {21896875}} p ^ {6} - {\ frac {2418092} {62077640625}} p ^ {7} - \ \ cdots \ {\ bigg |} {p = \ left ({\ tfrac {3} {2}} t \ right) ^ {2/3}}}$

Чтобы получить этот результат с помощью Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

Для большинства приложений обратная задача может быть вычислена численно, найдя корень функции:

${\ Displaystyle f (E) = Ee \ sin (E) -M (t)}$

Это можно сделать итеративно с помощью метода Ньютона :

${\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {f (E_ {n})} {f '(E_ {n})}} = E_ {n} - {\ frac {E_ { n} -e \ sin (E_ {n}) - M (t)} {1-e \ cos (E_ {n})}}}$

Обратите внимание, что в этом вычислении E и M выражены в радианах. Эта итерация повторяется до тех пор, пока не будет получена желаемая точность (например, когда f ( E) lt;желаемой точности). Для большинства эллиптических орбит достаточно начального значения E 0 = M ( t). Для орбит с e gt; 0,8 следует использовать начальное значение E 0 = π. Если e тождественно 1, то производная от f, которая находится в знаменателе метода Ньютона, может приблизиться к нулю, что делает методы на основе производных, такие как Ньютон-Рафсон, секанс или regula falsi, численно нестабильными. В этом случае метод деления пополам обеспечит гарантированную сходимость, тем более что решение может быть ограничено в небольшом начальном интервале. На современных компьютерах можно достичь точности 4 или 5 знаков за 17–18 итераций. Аналогичный подход можно использовать для гиперболической формы уравнения Кеплера. В случае параболической траектории используется уравнение Баркера.

Итерация с фиксированной точкой

Родственный метод начинается с этого. Неоднократная замена выражения справа на выражение справа дает простой алгоритм итерации с фиксированной точкой для оценки. Этот метод идентичен решению Кеплера 1621. ${\ displaystyle E = M + e \ sin {E}}$${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle Е (е, М)}$

function E(e, M, n)  E = M  for k = 1 to n   E = M + e*sin E  next k  return E

Количество итераций, зависит от значения. Аналогично имеет гиперболическая форма. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle e}$${\ Displaystyle H = е \ зп HM}$

Этот метод связан с решением метода Ньютона выше тем, что

${\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ sin (E_ {n}) - M (t)} {1-e \ cos (E_ {n}))}} = E_ {n} + {\ frac {(M + e \ sin {E_ {n}} - E_ {n}) (1 + e \ cos {E_ {n}})} {1-e ^ {2} (\ cos {E_ {n}}) ^ {2}}}}$

На первый заказ в небольших количествах и, ${\ displaystyle M-E_ {n}}$${\ displaystyle e}$

${\ Displaystyle E_ {n + 1} \ приблизительно M + e \ sin {E_ {n}}}$.

• Законы движения планет Кеплера
• Проблема Кеплера
• Проблема Кеплера в общей теории относительности
• Радиальная траектория

• Дэнби, Джон М.; Буркардт, Томас М. (1983). «Решение уравнения Кеплера. I». Небесная механика. 31 (2): 95–107. Bibcode : 1983CeMec..31... 95D. DOI : 10.1007 / BF01686811. S2CID   189832421.
• Конвей, Брюс А. (1986). Усовершенствованный алгоритм Лагерра для решения уравнения Кеплера. DOI : 10.2514 / 6.1986-84.
• Миккола, Сеппо (1987). «Кубическое приближение для уравнения Кеплера». Небесная механика. 40 (3): 329–334. Bibcode : 1987CeMec..40..329M. DOI : 10.1007 / BF01235850. S2CID   122237945.
• Nijenhuis, Альберт (1991). «Решение уравнения Кеплера с высокой эффективностью и точностью». Небесная механика и динамическая астрономия. 51 (4): 319–330. Bibcode : 1991CeMDA..51..319N. DOI : 10.1007 / BF00052925. S2CID   121845017.
• Маркли, Ф. Лэндис (1995). «Решатель уравнения Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия. 63 (1): 101–111. DOI : 10.1007 / BF00691917. S2CID   120405765.
• Фукусима, Тосио (1996). «Метод решения уравнения Кеплера без трансцендентных вычислений функций». Небесная механика и динамическая астрономия. 66 (3): 309–319. Bibcode : 1996CeMDA..66..309F. DOI : 10.1007 / BF00049384. S2CID   120352687.
• Чарльз, Эдгар Д.; Татум, Джереми Б. (1997). «Сходимость итерации Ньютона-Рафсона с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия. 69 (4): 357–372. Bibcode : 1997CeMDA..69..357C. DOI : 10,1023 / A: 1008200607490. S2CID   118637706.
• Штумпф, Лаура (1999). «Хаотическое поведение в итерационной функции Ньютона, связанной с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия. 74 (2): 95–109. DOI : 10,1023 / A: 1008339416143. S2CID   122491746.
• Паласиос, Мануэль (2002). «Уравнение Кеплера и ускоренный метод Ньютона». Журнал вычислительной и прикладной математики. 138 (2): 335–346. Bibcode : 2002JCoAM.138..335P. DOI : 10.1016 / S0377-0427 (01) 00369-7.
• Бойд, Джон П. (2007). «Поиск корней для трансцендентного уравнения без предварительного предположения: полиномиализация уравнения Кеплера через полиномиальное уравнение синуса Чебышева». Прикладная вычислительная математика. 57 (1): 12–18. DOI : 10.1016 / j.apnum.2005.11.010.
• Пал, Андраш (2009). «Аналитическое решение проблемы Кеплера». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 396 (3): 1737–1742. DOI : 10.1111 / j.1365-2966.2009.14853.x.
• Эсмаэлзаде, Реза; Гадири, Хоссейн (2014). «Подходящий стартер для решения уравнения Кеплера». Международный журнал компьютерных приложений. 89 (7): 31–38. DOI : 10.5120 / 15517-4394.
• Зехмайстер, Матиас (2018). «КОРДИК-подобный метод решения уравнения Кеплера». Астрономия и астрофизика. 619: A128. DOI : 10.1051 / 0004-6361 / 201833162.

• Уравнение Кеплера в Wolfram Mathworld