Среднее движение

В орбитальной механике, среднее движение (представленный п) является угловой скоростью, необходимой для тела, чтобы завершить одной орбиту, предполагая постоянную скорость в круговой орбите, которая завершается в то же время, как скорость переменной, эллиптическая орбита фактического тела. Эта концепция одинаково применима к маленькому телу, вращающемуся вокруг большого массивного первичного тела, или к двум телам относительно одинакового размера, вращающимся вокруг общего центра масс. Хотя номинально среднее, и теоретически, так и в случае движения двух тел, на практике среднее движение не обычно в среднем в течение долгого времени для орбит реальных тел, которые лишь приближают предположение два тела. Это скорее мгновенное значение, которое удовлетворяет указанным выше условиям, рассчитанное из текущих гравитационных и геометрических условий постоянно изменяющейся возмущенной орбиты тела.

Среднее движение используется в качестве приближения к фактической орбитальной скорости при первоначальном вычислении положения тела на его орбите, например, из набора орбитальных элементов. Это среднее положение уточняется уравнением Кеплера для получения истинного положения.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Среднее движение и законы Кеплера
  • 1.2 Среднее движение и постоянные движения
  • 1.3 Среднее движение и гравитационные постоянные
  • 1.4 Среднее движение и средняя аномалия
• 2 формулы
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Определение

Определите орбитальный период (период времени, за который тело совершит один оборот) как P с измерением времени. Среднее движение - это просто один оборот, разделенный на это время, или

${\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {P}}, \ qquad n = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {P}}, \ quad {\ t_dv {или}} \ quad n = {\ frac {1} {P}},}$

с размерами радиан в единицу времени, градусов в единицу времени или оборотов в единицу времени.

Величина среднего движения зависит от условий конкретной гравитирующей системы. В системах с большей массой тела будут вращаться быстрее в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона. Точно так же тела, расположенные ближе друг к другу, также будут вращаться быстрее.

Среднее движение и законы Кеплера

Третий закон Кеплера о движении планет состояний, квадрат в периодическое время пропорционален кубе от среднего расстояния, или

${\ displaystyle {a ^ {3}} \ propto {P ^ {2}},}$

где a - большая полуось или среднее расстояние, а P - период обращения, как указано выше. Константа пропорциональности определяется выражением

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {P ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {4 \ pi ^ {2}}}}$

где μ - стандартный гравитационный параметр, постоянная для любой конкретной гравитационной системы.

Если среднее движение дано в радианах за единицу времени, мы можем объединить его в приведенное выше определение 3-го закона Кеплера:

${\ displaystyle {\ frac {\ mu} {4 \ pi ^ {2}}} = {\ frac {a ^ {3}} {\ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) ^ {2}}},}$

и сокращение,

${\ Displaystyle \ му = а ^ {3} п ^ {2},}$

что является еще одним определением 3-го закона Кеплера. μ, константа пропорциональности, гравитационный параметр, определяемый по масс тел идет речь, и в ньютоновской гравитационной постоянной, G (см ниже). Следовательно, n также определяется

${\ displaystyle n ^ {2} = {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}, \ quad {\ t_dv {или}} \ quad n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}.}$

Расширяя среднее движение за счет расширения μ,

${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {a ^ {3}}}} \, \ !,}$

где M - обычно масса основного тела системы, а m - масса меньшего тела.

Это полное гравитационное определение среднего движения в системе двух тел. Часто в небесной механике первичное тело намного больше любого из вторичных тел системы, то есть M ≫ m. Именно при этих обстоятельствах m становится неважным, и 3-й закон Кеплера приблизительно постоянен для всех более мелких тел.

2-й закон движения планет Кеплера утверждает, что линия, соединяющая планету и Солнце, сметает равные области в равное время, или

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = {\ text {constant}}}$

для двухчастичной орбиты, где г А/д т- скорость изменения пройденной площади во времени.

Смотрите также: обозначения Лейбница

Положив dt  =  P, орбитальный период, развернутая область представляет собой всю площадь эллипса, d A  =  π ab, где a - большая полуось, а b - малая полуось эллипса. Следовательно,

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ pi ab} {P}}.}$

Умножая это уравнение на 2,

${\ displaystyle 2 \ left ({\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} \ right) = 2 \ left ({\ frac {\ pi ab} {P}} \ right).}$

Из приведенного выше определения среднее движение n  = 2 π/п. Подставляя,

${\ displaystyle 2 {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = nab,}$

и среднее движение также

${\ displaystyle n = {\ frac {2} {ab}} {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}},}$

который сам по себе постоянен как a, b иг А/д т все постоянны в движении двух тел.

Среднее движение и постоянные движения

Из-за природы движения двух тел в консервативном гравитационном поле два аспекта движения не меняются: угловой момент и механическая энергия.

Первую константу, называемую удельным угловым моментом, можно определить как

${\ displaystyle h = 2 {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}},}$

и подставив в вышеприведенное уравнение, среднее движение также

${\ displaystyle n = {\ frac {h} {ab}}.}$

Вторую постоянную, называемую удельной механической энергией, можно определить как

${\ displaystyle \ xi = - {\ frac {\ mu} {2a}}.}$

Перестановка и умножение на 1/а ²,

${\ displaystyle {\ frac {-2 \ xi} {a ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}.}$

Сверху квадрат среднего движения n ²  = μ/а ³. Подставляя и переставляя, среднее движение также может быть выражено:

${\ displaystyle n = {\ frac {1} {a}} {\ sqrt {-2 \ xi}},}$

где −2 показывает, что ξ следует определять как отрицательное число, как это принято в небесной механике и астродинамике.

Среднее движение и гравитационные постоянные

В небесной механике Солнечной системы обычно используются две гравитационные константы: G, ньютоновская гравитационная постоянная и k, гауссова гравитационная постоянная. Из приведенных выше определений среднее движение равно

${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {a ^ {3}}}} \, \ !.}$

Нормализуя части этого уравнения и делая некоторые предположения, его можно упростить, обнаружив связь между средним движением и константами.

Настройка массы Солнца к единице, M  = 1. Массы планет все намного меньше, м « M. Следовательно, для любой конкретной планеты

${\ displaystyle n \ приблизительно {\ sqrt {\ frac {G} {a ^ {3}}}},}$

а также принимая большую полуось за одну астрономическую единицу,

${\ displaystyle n_ {1 \; {\ text {AU}}} \ приблизительно {\ sqrt {G}}.}$

Гауссова гравитационная постоянная k  =  √ G, поэтому при тех же условиях, что и выше, для любой конкретной планеты

${\ Displaystyle п \ приблизительно {\ гидроразрыва {k} {\ sqrt {a ^ {3}}}},}$

и снова принимая большую полуось за одну астрономическую единицу,

${\ displaystyle n_ {1 \; {\ text {AU}}} \ прибл.}$

Среднее движение и средняя аномалия

Среднее движение также представляет собой скорость изменения средней аномалии и, следовательно, также может быть вычислено:

${\ displaystyle n = {\ frac {M_ {1} -M_ {0}} {t}}}$

где M 1 и M 0 - средние аномалии в определенные моменты времени, а t - время, прошедшее между ними. M 0 называется средней аномалией в эпоху, а t - время с начала эпохи.

Формулы

Для параметров орбиты спутника Земли среднее движение обычно измеряется в оборотах в сутки. В таком случае,

${\ displaystyle n = {\ frac {d} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {G (M + m)} {a ^ {3}}}} = d {\ sqrt {\ frac {G) (M + m)} {4 \ pi ^ {2} a ^ {3}}}} \, \!}$

где

• d - количество времени в сутках,
• G - гравитационная постоянная,
• M и m - массы вращающихся тел,
• а - длина большой полуоси.

Чтобы преобразовать радианы в единицу времени в количество оборотов в день, примите во внимание следующее:

${\ displaystyle {\ rm {{\ frac {радианы} {время \ единица}} \ times {\ frac {1 \ Revolution} {2 \ pi \ radians}} \ times}} {\ frac {d \ {\ rm {time \ units}}} {1 {\ rm {\ day}}}} = {\ frac {d} {2 \ pi}} {\ rm {\ Revolutions \ per \ day}}}$

Сверху среднее движение в радианах в единицу времени равно:

${\ Displaystyle п = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {P}},}$

поэтому среднее количество оборотов в день равно

${\ displaystyle n = {\ frac {d} {2 \ pi}} {\ frac {2 \ pi} {P}} = {\ frac {d} {P}},}$

где P - период обращения, как указано выше.

Смотрите также

• Гауссова гравитационная постоянная
• Орбита Кеплера
• Средняя аномалия
• Средняя долгота
• Средний резонанс движения
• Орбитальные элементы

Ноты

1. ^ Не путайте μ, гравитационный параметр, с μ, приведенной массой.
2. ^ Gaussian гравитационная постоянная, к,правилоимеет единицы радиан в день и ньютоновской гравитационной постоянной, G, обычно дается в системе СИ. Будьте осторожны при конвертации.

Ссылки

внешние ссылки

• Запись в глоссарии означает движение в онлайн-астрономическом альманахе Военно-морской обсерватории США