Египетская дробь

редактировать
Конечная сумма отдельных дробных единиц Математический папирус Райнда

Египетская дробь - это конечная сумма различных единичных дробей, например

1 2 + 1 3 + 1 16. {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {16}}.}{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {16}}.}

То есть каждая дробь в выражении имеет числитель , равный 1, и знаменатель , который является положительным целым числом, и все знаменатели отличаются друг от друга. Значением выражения этого типа является положительное рациональное число a / b; например, указанная выше египетская фракция составляет 43/48. Каждое положительное рациональное число может быть представлено египетской дробью. Суммы этого типа и подобные суммы, также включающие 2/3 и 3/4 в качестве слагаемых, использовались в качестве серьезного обозначения рациональных чисел древними египтянами и продолжали использоваться другими цивилизациями в средневековье. раз. В современной математической нотации египетские дроби были заменены простыми дробями и десятичными нотациями. Однако египетские дроби продолжают оставаться объектом изучения в современной теории чисел и развлекательной математике, а также в современных исторических исследованиях древней математики.

Содержание

  • 1 Мотивирующие приложения
  • 2 Ранняя история
    • 2.1 Обозначения
    • 2.2 Методы вычислений
  • 3 Последующее использование
  • 4 Современная теория чисел
  • 5 Открытые проблемы
  • 6 Другое приложение
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Мотивирующие приложения

Помимо исторического использования, египетские дроби имеют некоторые практические преимущества по сравнению с другими представлениями дробных чисел. Например, египетские дроби могут помочь в разделении ряда предметов на равные доли (Knott). Например, если кто-то хочет разделить 5 пицц поровну между 8 посетителями, египетская дробь

5 8 = 1 2 + 1 8 {\ displaystyle {\ frac {5} {8}} = {\ frac {1} { 2}} + {\ frac {1} {8}}}{\ displaystyle {\ frac {5} {8}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {8}}}

означает, что каждый посетитель получает половину пиццы плюс еще одну восьмую пиццы, например разделив 4 пиццы на 8 половинок, а оставшуюся пиццу на 8 восьмых.

Точно так же, хотя можно разделить 13 пицц между 12 посетителями, дав каждому посетителю по одной пицце и разделив оставшуюся пиццу на 12 частей (возможно, уничтожив ее), можно заметить, что

13 12 = 1 2 + 1 3 + 1 4 {\ displaystyle {\ frac {13} {12}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4} }}{\ displaystyle {\ frac {13} {12}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac { 1} {4}}}

и разделите 6 пицц на половинки, 4 на трети и оставшиеся 3 на четвертинки, а затем дайте каждому посетителю половину, одну треть и одну четверть.

Ранняя история

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. египетские числа, Глаз Гора и Египетская математика.
Глаз Гора.

Египетское обозначение дробей было разработано в Среднем царстве Египта, изменив систему счисления Ока Гора Древнего царства. Пять первых текстов, в которых встречаются египетские дроби: Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус, Папирус Рейснера, Папирус Кахуна и Деревянная табличка Ахмима. Более поздний текст, Математический папирус Райнда, представил улучшенные способы записи египетских дробей. Папирус Райнда был написан Ахмесом и датируется вторым промежуточным периодом ; он включает в себя таблицу расширений египетских дробей для рациональных чисел 2 / n, а также 84 словарных задач. Решения каждой задачи были записаны в стенографической форме, а окончательные ответы на все 84 задачи были выражены в египетской системе счисления дробей. 2 / n таблиц, подобных той, что есть на папирусе Райнда, также встречаются в некоторых других текстах. Однако, как показывает Папирус Кахуна, вульгарные фракции также использовались писцами в своих вычислениях.

Обозначение

Чтобы записать единичные дроби, используемые в их египетском обозначении дробей, в иероглифическом письме, египтяне поместили иероглиф

D21

(эр, «[один] среди» или возможно re, рот) над числом, чтобы представить , обратное этого числа. Точно так же в иератическом сценарии они чертили линию над буквой, представляющей число. Например:

D21 . Z1 Z1 Z1
= 1 3 {\ displaystyle = {\ frac {1} {3}}}= {\ frac {1} {3 }}
D21 . V20
= 1 10 {\ displaystyle = {\ frac {1} {10}}}= {\ frac {1} {10}}

Египтяне имел специальные символы для 1/2, 2/3 и 3/4, которые использовались для уменьшения размера чисел больше 1/2, когда такие числа преобразовывались в египетские дроби. Оставшееся число после вычитания одной из этих специальных дробей было записано как сумма различных единичных дробей в соответствии с обычным египетским обозначением дробей.

Aa13
= 1 2 {\ displaystyle = {\ frac {1} {2}}}= {\ frac {1} {2}}
D22
= 2 3 {\ displaystyle = {\ frac {2} {3}}}= {\ frac {2} {3}}
D23
= 3 4 {\ displaystyle = {\ frac {3} {4}}}= {\ frac {3} {4 }}

Египтяне также использовали альтернативную нотацию, измененную из Древнего Царства, для обозначения специального набора дробей формы 1/2 (для k = 1, 2,..., 6) и суммы этих чисел, которые обязательно являются диадическими рациональными числами. Их назвали «фракциями Глаза Гора» после теории (теперь опровергнутой), что они были основаны на частях символа Глаза Гора. Они использовались в Среднем царстве в сочетании с более поздним обозначением египетских дробей для подразделения геката, первичной древнеегипетской меры объема для зерна, хлеба и других небольших количеств объема, как описано в Деревянная табличка Ахмима. Если какой-либо остаток оставался после выражения количества в долях геката в Глазе Гора, остаток записывался с использованием обычного египетского обозначения дробей как кратных ro, единицы, равной 1/320 геката.

Методы вычислений

Современные историки математики изучили папирус Райнда и другие древние источники в попытке обнаружить методы, которые египтяне использовали при вычислении с египетскими дробями. В частности, исследования в этой области были сосредоточены на понимании таблиц разложений для чисел формы 2 / n в папирусе Райнда. Хотя эти расширения в целом можно описать как алгебраические тождества, методы, используемые египтянами, могут не соответствовать непосредственно этим тождествам. Кроме того, расширения в таблице не соответствуют ни одной идентичности; скорее, разные идентификаторы соответствуют разложениям для простых и для составных знаменателей, и более одной идентичности соответствуют числам каждого типа:

  • Для малых нечетных простых знаменателей p расширение Было использовано 2 / p = 2 / (p + 1) + 2 / p (p + 1).
  • Для больших простых знаменателей разложение формы 2 / p = 1 / A + (2A - p) / Ap, где A - число с множеством делителей (например, практическое число ) между p / 2 и p. Оставшийся член (2A - p) / Ap был расширен путем представления числа (2A - p) / Ap как суммы делителей A и формирования дроби d / Ap для каждого такого делителя d в этой сумме. Например, расширение Ахмеса 1/24 + 1/111 + 1/296 для 2/37 соответствует этому шаблону с A = 24 и (2A - p) / Ap = 11 = 3 + 8, как 1/24 + 1 / 111 + 1/296 = 1/24 + 3 / (24 × 37) + 8 / (24 × 37). Для данного p может быть много разных расширений этого типа; однако, как заметил К.С. Браун, расширение, выбранное египтянами, часто приводило к тому, что наибольший знаменатель был как можно меньшим среди всех расширений, соответствующих этому шаблону.
  • Для составных знаменателей с множителем p × q, можно разложить 2 / pq, используя тождество 2 / pq = 1 / aq + 1 / apq, где a = (p + 1) / 2. Например, применение этого метода для pq = 21 дает p = 3, q ​​= 7 и a = (3 + 1) / 2 = 2, создавая расширение 2/21 = 1/14 + 1/42 из папируса Райнда.. Некоторые авторы предпочли записать это разложение как 2 / A × A / pq, где A = p + 1; замена второго члена этого произведения на p / pq + 1 / pq, применение закона распределения к продукту и упрощение приводит к выражению, эквивалентному описанному здесь первому разложению. Этот метод, по-видимому, использовался для многих составных чисел в папирусе Райнда, но есть исключения, особенно 2/35, 2/91 и 2/95.
  • Можно также разложить 2 / pq как 1 / pr + 1 / qr, где r = (p + q) / 2. Например, Ахмес расширяет 2/35 = 1/30 + 1/42, где p = 5, q = 7 и r = (5 + 7) / 2 = 6. Более поздние писцы использовали более общую форму этого расширения: n / pq = 1 / pr + 1 / qr, где r = (p + q) / n, что работает, когда p + q кратно n.
  • Для некоторых других составных знаменателей разложение для 2 / pq представляет собой разложение для 2 / q с каждым знаменателем, умноженным на p. Например, 95 = 5 × 19 и 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 (как можно найти, используя метод для простых чисел с A = 12), поэтому 2/95 = 1 / (5 × 12) + 1 / (5 × 76) + 1 / (5 × 114) = 1/60 + 1/380 + 1/570. Это выражение можно упростить как 1/380 + 1/570 = 1/228, но в папирусе Райнда используется неупрощенная форма.
  • Последнее (простое) расширение в папирусе Райнда, 2/101, не подходит любая из этих форм, но вместо этого используется расширение 2 / p = 1 / p + 1 / 2p + 1 / 3p + 1 / 6p, которое может применяться независимо от значения p. То есть 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Соответствующее расширение также использовалось в египетской математической кожаной обложке для нескольких случаев.

Более позднее использование

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. Liber Abaci и Жадный алгоритм для египетских дробей.

Египетское обозначение дробей продолжало использоваться во времена Греции и в средние века, несмотря на жалобы еще Птолемея в Альмагесте на неуклюжесть обозначений по сравнению с такими альтернативами, как вавилонская нотация с основанием 60. Важный текст средневековой математики, Liber Abaci (1202) Леонардо Пизанский (более известный как Фибоначчи), дает некоторое представление об использовании египетских дробей в средние века., и знакомит с темами, которые продолжают оставаться важными в современном математическом исследовании этих серий.

Основным предметом Liber Abaci являются вычисления с использованием десятичных и вульгарных дробей, которые в конечном итоге заменили египетские дроби. Сам Фибоначчи использовал сложную запись для дробей, включающую комбинацию смешанной системы счисления с суммами дробей. Многие вычисления в книге Фибоначчи включают числа, представленные как египетские дроби, а в одном разделе этой книги приводится список методов преобразования простых дробей в египетские дроби. Если число еще не является единичной дробью, первым методом в этом списке является попытка разбить числитель на сумму делителей знаменателя; это возможно, если знаменателем является практическое число, и Liber Abaci включает таблицы расширений этого типа для практических чисел 6, 8, 12, 20, 24, 60 и 100.

Следующие несколько методов включают алгебраические тождества, такие как aab - 1 = 1 b + 1 b (ab - 1). {\ displaystyle {\ tfrac {a} {ab-1}} = {\ tfrac {1} {b}} + {\ tfrac {1} {b (ab-1)}}.}{\ tfrac {a} {ab-1}} = {\ tfrac {1} {b}} + {\ tfrac {1} {b (ab-1)}}. Например, Фибоначчи представляет дробь 8 11 {\ displaystyle {\ tfrac {8} {11}}}{\ tfrac {8} {11}} , разбивая числитель на сумму двух чисел, каждое из которых делит единицу плюс знаменатель: 8 11 = 6 11 + 2 11. {\ displaystyle {\ tfrac {8} {11}} = {\ tfrac {6} {11}} + {\ tfrac {2} {11}}.}{\ tfrac {8} {11}} = {\ tfrac {6} {11}} + {\ tfrac {2} {11}}. Фибоначчи применяет приведенное выше алгебраическое тождество к каждая из этих двух частей, производя расширение 8 11 = 1 2 + 1 22 + 1 6 + 1 66. {\ displaystyle {\ tfrac {8} {11}} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {22}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {66}}.}{\ tfrac {8} {11}} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {22}} + {\ tfrac {1} {6} } + {\ tfrac {1} {66}}. Фибоначчи описывает аналогичные методы для знаменателей, которые на два или три меньше числа с множеством множителей.

В том редком случае, когда все эти методы терпят неудачу, Фибоначчи предлагает жадный алгоритм для вычисления египетских дробей, в котором многократно выбирается единичная дробь с наименьшим знаменателем, не превышающим оставшаяся дробь должна быть расширена: то есть, в более современных обозначениях, мы заменяем дробь x / y разложением

xy = 1 ⌈ y / x ⌉ + (- y) mod xy ⌈ y / x ⌉, { \ Displaystyle {\ frac {x} {y}} = {\ frac {1} {\ lceil y / x \ rceil}} + {\ frac {(-y) \, {\ bmod {\,}} x} {y \ lceil y / x \ rceil}},}{\ frac {x} {y}} = {\ frac {1} {\ lceil y / x \ rceil}} + {\ frac {( -y) \, {\ bmod {\,}} x} {y \ lceil y / x \ rceil}},

где ⌈… ⌉ {\ displaystyle \ lceil \ ldots \ rceil}\ lceil \ ldots \ rceil представляет функцию потолка ; поскольку (-y) mod x < x, this method yields a finite expansion.

Фибоначчи предлагает переключиться на другой метод после первого такого расширения, но он также приводит примеры, в которых это жадное расширение повторялось до тех пор, пока не было построено полное расширение египетской дроби: 4 13 = 1 4 + 1 18 + 1 468 {\ displaystyle {\ tfrac {4} {13}} = {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {18}} + {\ tfrac {1} { 468}}}{\ tfrac {4} {13}} = {\ tfrac {1} {4} } + {\ tfrac {1} {18}} + {\ tfrac {1} {468}} и 17 29 = 1 2 + 1 12 + 1 348. {\ displaystyle {\ tfrac {17} {29}} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {12}} + {\ tfrac {1} {348}}.}{\ tfrac {17} {29}} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {12}} + {\ tfrac {1} {348}}.

По сравнению с древнеегипетскими расширениями или более современными методами, этот метод может давать довольно длинные расширения с большими знаменателями, и сам Фибоначчи отметил неудобство расширений, полученных этим методом. Например, жадный метод расширяет

5 121 = 1 25 + 1 757 + 1 763309 + 1 873960180913 + 1 1527612795642093418846225, {\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25 }} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763309}} + {\ frac {1} {873960180913}} + {\ frac {1} {1527612795642093418846225}},}{\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25}} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763309} } + {\ frac {1} {873960180913}} + {\ frac {1} {1527612795642093418846225}},

в то время как другие методы приводят к более короткому расширению

5 121 = 1 33 + 1 121 + 1 363. {\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}.}{\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}.

Последовательность Сильвестра 2, 3, 7, 43, 1807,... можно рассматривать как порожденную бесконечным жадным расширением этого типа для числа один, где на каждом шаге мы выбираем знаменатель ⌊ y / x ⌋ + 1 {\ displaystyle \ lfloor y / x \ rfloor +1}\ lfloor y / x \ rfloor +1 вместо ⌈ y / x ⌉ {\ displaystyle \ lceil y / x \ rceil}\ lceil y / x \ rceil , а иногда жадный алгоритм Фибоначчи приписывают Сильвестру.

. После своего описания жадного алгоритма Фибоначчи предлагает еще один метод, расширяя дробь a / b {\ displaystyle a / b}a / b путем поиска числа c, имеющего много делителей, с b / 2 < c < b {\displaystyle b/2b / 2 <c <b , заменяя a / b {\ displaystyle a / b}a / b на ac / bc {\ displaystyle ac / bc}ac / bc и раскрытие ac {\ displaystyle ac}ac как суммы делителей bc {\ displaystyle bc}bc , аналогично методу, предложенному Хульчем и Брюинзом для объяснения некоторые из расширений папируса Райнда.

Современная теория чисел

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. проблема Эрдеша – Грэма, проблема Знама и расширение Энгеля.

Хотя Египетские дроби больше не используются в большинстве практических приложений математики, современные теоретики чисел продолжили изучать множество различных проблем, связанных с ними. К ним относятся проблемы ограничения длины или максимального знаменателя в представлениях египетской дроби, нахождение расширений определенных специальных форм или знаменателей, в которых все знаменатели имеют какой-то особый тип, прекращение различных методов расширения египетских дробей и демонстрация того, что расширения существуют для любых достаточно плотный набор достаточно гладких чисел.

  • Одна из самых ранних публикаций Пола Эрдёша доказала, что гармоническая прогрессия не может сформировать египетское дробное представление целое число. Причина в том, что обязательно, по крайней мере, один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число, которое не делит никакой другой знаменатель. Последняя публикация Эрдеша, спустя почти 20 лет после его смерти, доказывает, что каждое целое число имеет представление, в котором все знаменатели являются произведением трех простых чисел.
  • Гипотеза Эрдеша-Грэма в комбинаторная теория чисел утверждает, что если целые числа больше 1 разбиты на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств имеет конечное подмножество самого себя, сумма обратных чисел которого равна единице. То есть для любого r>0 и любой r-раскраски целых чисел больше единицы существует конечное монохроматическое подмножество S этих целых чисел такое, что
∑ n ∈ S 1 / n = 1. {\ displaystyle \ sum _ {n \ in S} 1 / n = 1.}\ sum _ {n \ in S} 1 / n = 1.
Гипотеза была доказана в 2003 г. Эрнестом С. Кроутом, III.
∑ 1 xi + ∏ 1 xi = 1. {\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1.}\ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i} }} = 1.
Например, первичное псевдосовершенное число 1806 является произведением простых чисел 2, 3, 7 и 43, и дает начало египетской дроби 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.
  • Египетские дроби обычно определяются как требующие, чтобы все знаменатели были различными, но это требование может быть ослаблено, чтобы позволить повторение знаменателей. Однако эта упрощенная форма египетских дробей не позволяет представить любое число с использованием меньшего количества дробей, поскольку любое расширение с повторяющимися дробями может быть преобразовано в египетскую дробь равной или меньшей длины путем повторного применения замены
1 k + 1 К знак равно 2 К + 1 + 2 К (К + 1) {\ displaystyle {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {2} {k + 1}} + {\ frac {2} {k (k + 1)}}}{\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {2} {k + 1}} + {\ frac {2} {k (k + 1)}}
, если k нечетное, или просто заменой 1 / k + 1 / k на 2 / k, если k четное. Этот результат был впервые доказан Такенучи (1921)..
  • Грэхем и Джеветт доказали, что аналогично можно преобразовать разложения с повторяющимися знаменателями в (более длинные) египетские дроби с помощью замены
1 k + 1 k = 1 к + 1 к + 1 + 1 к (к + 1). {\ displaystyle {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k + 1}} + { \ frac {1} {k (k + 1)}}.}{\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k + 1}} + {\ frac {1} {k (k + 1)}}.
Этот метод может привести к длинным разложениям с большими знаменателями, например,
4 5 = 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 30 + 1 31 + 1 32 + 1 42 + 1 43 + 1 56 + 1 930 + 1 931 + 1 992 + 1 1806 + 1 865830. {\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {31}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {42} } + {\ frac {1} {43}} + {\ frac {1} {56}} + {\ frac {1} {930}} + {\ frac {1} {931}} + {\ frac { 1} {992}} + {\ frac {1} {1806}} + {\ frac {1} {865830}}.}{\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {30}} + { \ frac {1} {31}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {42}} + {\ frac {1} {43}} + {\ frac {1} { 56}} + {\ frac {1} {930}} + {\ frac {1} {931}} + {\ frac {1} {992}} + {\ frac {1} {1806}} + {\ гидроразрыв {1} {865830}}.
Боттс (1967) изначально использовал эту технику замены, чтобы показать, что любой рациональное число имеет представления египетских дробей с произвольно большими минимальными знаменателями.
  • Любая дробь x / y имеет представление египетских дробей, в котором максимальный знаменатель ограничен
O (y log ⁡ y (log ⁡ log ⁡ y) 4 (журнал ⁡ журнал ⁡ журнал ⁡ Y) 2) {\ Displaystyle О \ влево (у \ журнал у (\ журнал \ журнал у) ^ {4} (\ журнал \ журнал \ журнал у) ^ {2} \ справа)}O \ left (y \ log y (\ log \ log y) ^ {4} (\ log \ log \ log y) ^ {2} \ right)
и представление не более чем с
условиями O (log ⁡ y) {\ displaystyle O \ left ({\ sqrt {\ log y}} \ right)}O \ left ({\ sqrt {\ log y}} \ right)
. Количество терминов иногда должно быть по крайней мере пропорционально log ⁡ log ⁡ y {\ displaystyle \ log \ log y}{\ displaystyle \ log \ log y} ; например, это верно для дробей в последовательности 1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807,..., знаменатели которых образуют последовательность Сильвестра. Было высказано предположение, что O (log ⁡ log ⁡ y) {\ displaystyle O (\ log \ log y)}O (\ log \ log y) условий всегда достаточно. Также возможно найти представления, в которых как максимальный знаменатель, так и количество членов малы.
  • Грэм (1964) охарактеризовал числа, которые могут быть представлены египетскими дробями, в которых все знаменатели являются n-й степенью. В частности, рациональное число q можно представить как египетскую дробь с квадратными знаменателями тогда и только тогда, когда q лежит в одном из двух полуоткрытых интервалов
[0, π 2 6 - 1) ∪ [1, π 2 6). {\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ right) \ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ right).}\ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ right) \ чашка \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ right).
  • Мартин (1999) показал, что любое рациональное число имеет очень плотное разложение, используя постоянную долю знаменателей до N для любого достаточно большого N.
  • разложение Энгеля, иногда называемый египетским продуктом, это форма расширения египетской дроби, в которой каждый знаменатель кратен предыдущему:
x = 1 a 1 + 1 a 1 a 2 + 1 a 1 a 2 a 3 + ⋯. {\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots.}x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2 } a_ {3}}} + \ cdots.
Кроме того, требуется, чтобы последовательность множителей a i не уменьшалась. Каждое рациональное число имеет конечное расширение Энгеля, в то время как иррациональные числа имеют бесконечное расширение Энгеля.
  • Аншель и Голдфельд (1991) изучают числа, которые имеют несколько различных египетских представлений дробей с одинаковым числом термины и одно и то же произведение знаменателей; например, один из примеров, который они предоставляют:
5 12 = 1 4 + 1 10 + 1 15 = 1 5 + 1 6 + 1 20. {\ displaystyle {\ frac {5} {12}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {20}}.}{\ frac {5} {12}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} = {\ frac {1 } {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {20}}.
В отличие от древних египтян, они позволяют повторять знаменатели в этих расширениях. Они применяют свои результаты для этой задачи к характеризации свободных произведений абелевых групп с помощью небольшого числа числовых параметров: ранга коммутаторной подгруппы, количество членов в бесплатном продукте и произведение порядков факторов.

Открытые проблемы

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. нечетное жадное разложение и гипотеза Эрдеша – Страуса.

Некоторые важные проблемы остаются нерешенными в отношении египетских дробей, несмотря на значительные усилия математиков.

4 n = 1 x + 1 y + 1 z {\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y }} + {\ frac {1} {z}}}{\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} + {\ frac {1} {z}}
существуют для каждого n? Известно, что это верно для всех n < 10, and for all but a vanishingly small fraction of possible values of n, but the general truth of the conjecture remains unknown.
  • Неизвестно, существует ли нечетное жадное расширение для каждой дроби с нечетным знаменателем. Если жадный метод Фибоначчи модифицирован таким образом, что он всегда выбирает наименьший возможный нечетный знаменатель, при каких условиях этот модифицированный алгоритм производит конечное расширение? Очевидным необходимым условием является то, что исходная дробь x / y имеет нечетный знаменатель y, и предполагается, но неизвестно, что это также достаточное условие. Известно, что каждый x / y с нечетным y имеет разложение на отдельные нечетные единичные дроби, построенные с использованием метода, отличного от жадного алгоритма.
  • Можно использовать поиск грубой силы алгоритмы для нахождения египетского представления дроби данного числа с наименьшим возможным количеством членов или минимизацией наибольшего знаменателя; однако такие алгоритмы могут быть весьма неэффективными. Существование алгоритмов с полиномиальным временем для этих задач или, в более общем смысле, вычислительная сложность таких задач, остается неизвестным.

Guy (2004) описывает эти проблемы более подробно. подробно и перечислены многочисленные дополнительные открытые проблемы.

Другое приложение

Египетские фракции обеспечивают решение, в котором заданная продолжительность должна быть измерена путем зажигания неоднородных тросов, которые сгорают через заданное время, например, один час. Время, необходимое для полного сжигания веревки, линейно пропорционально количеству фронтов пламени на веревке. Любая рациональная часть одного часа может быть измерена путем нахождения эквивалентного расширения египетской фракции и последовательного сжигания веревок с соответствующим количеством фронтов пламени для фракций. Обычное ограничение, заключающееся в том, что все фракции различны, можно ослабить.

Например, для времени 40 минут (2/3 часа) мы можем разложить 2/3 на 1/2 + 1/6. Сначала с обоих концов зажигается часовая веревка. Когда через полчаса он перегорает, зажигается еще одна веревка с обоих концов и в любых двух точках между ними, образуя три сегмента, каждый с обоими концами. Когда перегорает какой-либо сегмент, загорается любая точка в оставшемся сегменте, разделяя его на два сегмента, таким образом поддерживая в общей сложности шесть фронтов пламени. Теоретически все сегменты выгорают за 1/6 часа, что дает в общей сложности 2/3 часа, если требуется.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-18 09:16:05
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте