Оценка (алгебра)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или алгебраической теория чисел ), оценка - это функция в поле, которая обеспечивает меру размера или множественности элементов поля. Он обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля в комплексном анализе., степень делимости числа на простое число в теории чисел и геометрическая концепция контакта между двумя алгебраическими или аналитическими разновидностями в алгебраической геометрии. Поле с оценкой на нем называется оценочным полем .

• 1 Определение
  • 1.1 Мультипликативная запись и абсолютные значения
  • 1.2 Терминология
  • 1.3 Связанные объекты
• 2 Основные свойства
  • 2.1 Эквивалентность оценок
  • 2.2 Расширение оценок
  • 2.3 Полные оценочные поля
• 3 Примеры
  • 3.1 p-адическая оценка
  • 3.2 Порядок исчезновения
  • 3.3 π-адическая оценка
  • 3.4 П-адическая оценка в дедекиндовом домене
  • 3.5 Геометрическое понятие контакта
• 4 Векторные пространства над полями оценки
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Начнем со следующих объектов:

• a поле K и его мультипликативная группа K,
• и абелева полностью упорядоченная группа (Γ, +, ≥).

Порядок и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞} по правилам

• ∞ ≥ α для всех α ∈ Γ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ для всех α ∈ Γ.

Тогда оценка K - это любое отображение

v: K → Γ ∪ {∞}

, которое удовлетворяет следующим свойствам для всех a, b в K:

• v (a) = ∞ тогда и только тогда, когда a = 0,
• v (ab) = v (a) + v (b),
• v (a + b) ≥ min (v (a), v (b)), с равенством, если v (a) ≠ v (b).

Оценка v тривиально, если v (a) = 0 для всех a в K, в противном случае это нетривиально .

. Второе свойство утверждает, что любая оценка является гомоморфизмом группы. Третье свойство - это версия неравенства треугольника на метрических пространствах, адаптированная к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство подразумевает, что любой непустой росток аналитического многообразия около точки содержит эту точку.

Оценка может быть интерпретирована как порядок термина ведущего порядка. Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющейся порядком большего члена, если только два члена не имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут отменяться, и в этом случае сумма может иметь меньший порядок.

Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, и в этом случае ∞ можно интерпретировать как + ∞ в расширенные действительные числа ; обратите внимание, что $min\; (a,\; +\; \infty )\; =\; min\; (+\; \infty ,\; a)\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; min\; (a,\; +\; \backslash \; infty)\; =\; \backslash \; min\; (+\; \backslash \; infty,\; a)\; =\; a\}$для любого действительного числа a, и, таким образом, + ∞ - это единица измерения минимума в двоичной операции. Действительные числа (расширенные на + ∞) с помощью операций минимума и сложения образуют полукольцо, называемое min тропическим полукольцом, а оценка v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Мы могли бы определить ту же концепцию, записав группу в мультипликативной записи как (Γ, ·, ≥): вместо ∞ мы примыкаем формальный символ O на Γ, с расширением порядка и группового закона по правилам

• O ≤ α для всех α ∈ Γ,
• O · α = α · O = O для всех α ∈ Γ.

Тогда оценкой K является любое отображение

v: K → Γ ∪ {O}

, удовлетворяющее следующим свойствам для всех a, b ∈ K:

• v (a) = O тогда и только тогда, когда a = 0,
• v (ab) = v (a) · v (b),
• v (a + b) ≤ max (v (a), v (b)), с равенством, если v (a) ≠ v (b).

(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)

Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последним условием является ультраметрическое неравенство, более сильная форма неравенства треугольника v (a + b) ≤ v (a) + v (b), а v - абсолютное значение. В этом случае мы можем перейти к аддитивной записи с группой значений $\Gamma \; +\; \subset \; (R,\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{+\}\; \backslash \; subset\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; +)\}$, взяв v + (a) = −log v (a).

Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный предзаказ : a ≼ b ⇔ v (a) ≤ v (b). И наоборот, если '≼' удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку v (a) = {b: b ≼ a ∧ a ≼ b} с умножением и порядком, основанным на K и ≼.

Терминология

В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной нотации. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

• наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовым абсолютным значением», или «ультраметрическим абсолютным значением»;
• наша «абсолютная стоимость» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовой абсолютной величиной».

Связанные объекты

Есть несколько объектов, определенных на основе данной оценки v: K → Γ {∞};

• группа значений или группа оценки Γv= v (K), подгруппа Γ (хотя v обычно сюръективен, так что Γ v = Γ) ;
• оценочное кольцо Rv- это множество a ∈ K с v (a) ≥ 0,
• первичным идеалом mvявляется множество a ∈ K с v (a)>0 (фактически это максимальный идеал в R v),
• остаток поле kv= R v/mv,
• место из K, связанного с v, классом v в соответствии с эквивалентностью, определенной ниже.

Эквивалентность оценок

Два оценки v 1 и v 2 K с оценочной группой Γ 1 и Γ 2, соответственно, называются эквивалент, если существует сохраняющий порядок изоморфизм групп φ: Γ 1 → Γ 2 такой, что v 2 (a) = φ (v 1 (a)) для всех a в K. Это отношение эквивалентности.

Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо оценки.

класс эквивалентности оценок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел $Q:\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}:\}$это в точности классы эквивалентности оценок для p-adic дополнений из $Q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}.\}$

Расширение оценок

Пусть v - оценка K, а L - расширение поля K. Расширение of v (до L) - это оценка w для L, такая что ограничение w на K равно v. Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления оценок.

Пусть L / K - конечное расширение и пусть w - расширение v на L. Индекс Γ v в Γ w, e (w / v) = [Γ w : Γ v ], называется приведенным индексом ветвления w над v. Он удовлетворяет e (w / v) ≤ [L: K] (степень расширения L / K). Относительная степень w над v определяется как f (w / v) = [R w/mw: R v/mv] (степень расширения полей остатков). Он также меньше или равен степени L / K. Когда L / K равно разделим, индекс ветвления w над v определяется как e (w / v) p, где p - неотделимая степень расширения R w/mwнад R v/mv.

Поля с полными значениями

Когда упорядоченная абелева группа Γ является аддитивной группой целых чисел, связанная оценка эквивалентна абсолютному значению, и, следовательно, индуцирует метрику на поле K. Если K является полным относительно этой метрики, то оно называется полнозначным полем . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения, как в приведенных ниже примерах, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, оценка индуцирует однородную структуру на K, и K называется полнозначным полем, если оно полно как однородное пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если $\Gamma \; =\; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$, но сильнее в общем.

p-адическая оценка

Самым базовым примером является p-адическая оценка vp, связанная с простым целым числом p для рациональных чисел $K\; =\; Q,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Q\},\}$с оценочным кольцом $R\; =\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$Группа оценки - это аддитивные целые числа $\Gamma \; =\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$Для целого числа $a\; \in \; R\; =\; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; R\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$оценка v p (a) измеряет делимость a на степени p:

$vp\; (a)\; =\; max\; \{e\; \in \; Z\; \mid \; pe\; делит\; a\};\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; (a)\; =\; \backslash \; max\; \backslash \; \{e\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; mid\; p\; ^\; \{e\}\; \{\backslash \; text\; \{divides\}\}\; a\; \backslash \};\}$

и для дроби v p (a / b) = v p (a) - v p (b).

Запись этого умножения дает p-адическое абсолютное значение, которое обычно имеет в качестве основания $1\; /\; p\; =\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; p\; =\; p\; ^\; \{-\; 1\; \}\}$, поэтому $|\; а\; |\; p:\; =\; p\; -\; vp\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\; |\; \_\; \{p\}:\; =\; p\; ^\; \{-\; v\_\; \{p\}\; (a)\}\}$.

завершение из $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$относительно v p - это поле $Q\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \_\; \{p\}\}$из p-адических чисел.

Порядок исчезновения

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X= F, и возьмем точка a ∈ X. Для многочлена $f\; (x)\; =\; ak\; (x\; -\; a)\; k\; +\; ak\; +\; 1\; (x\; -\; a)\; k\; +\; 1\; +\; \cdots \; +\; an\; (x\; -\; a)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; a\_\; \{k\}\; (x\; \{-\}\; a)\; ^\; \{k\}\; +\; a\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x\; \{-\}\; a)\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; (x\; \{\; -\}\; a)\; ^\; \{n\}\}$с $ak\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; neq\; 0\}$, определите v a ( f) = k, порядок обращения в нуль при x = a; и v a (f / g) = v a (f) - v a (g). Тогда оценочное кольцо R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a, а пополнение - это формальный ряд Лорана кольцо F ((x − a)). Это можно обобщить на поле ряда Пюизо K {{t}} (дробные степени), поле Леви-Чивиты (его завершение по Коши) и поле Ряд Хана, с оценкой во всех случаях, возвращающей наименьший показатель t, фигурирующий в ряду.

π-адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть R будет областью главных идеалов, K будет ее полем дробей и π быть неприводимым элементом из R. Поскольку каждая область главных идеалов является уникальной областью факторизации, каждый ненулевой элемент a из R может быть записан (по существу) однозначно как

$a\; знак\; равно\; \pi \; eap\; 1\; e\; 1\; p\; 2\; e\; 2\; \cdots \; pnen\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{e\_\; \{a\}\}\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{e\_\; \{1\}\}\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{e\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{n\}\; ^\; \{e\_\; \{n\}\}\}$

, где e - неотрицательные целые числа, а p i - неприводимые элементы R, не ассоциированные с π. В частности, целое число e a однозначно определяется a.

π-адическая оценка K тогда дается как

• $v\; \pi \; (0)\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (0)\; =\; \backslash \; infty\}$
• $v\; \pi \; (a\; /\; b)\; =\; ea\; -\; eb,\; для\; a,\; b\; \in \; R,\; a,\; b\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; pi\}\; (a\; /\; b)\; =\; e\_\; \{a\}\; -e\_\; \{b\},\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; a,\; b\; \backslash \; in\; R,\; a,\; b\; \backslash \; neq\; 0.\}$

Если π '- другой неприводимый элемент R такой, что (π') = (π) (то есть они порождают один и тот же идеал в R), то π-адическая оценка и π'-адическая оценка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P-адическим нормированием, где P = (π).

П-адическая оценка в дедекиндовом домене

Предыдущий пример можно обобщить на дедекиндовские домены. Пусть R - дедекиндова область, K - ее поле дробей, и пусть P - ненулевой простой идеал R. Тогда локализация R в P, обозначенная R P, является областью главных идеалов, поле дробей которой равно K. Построение предыдущего раздела, примененное к первичному идеалу PR P R P, дает P-адическую оценку of K .

Геометрическое понятие контакта

Оценки могут быть определены для поля функций в пространстве размерности больше единицы. Напомним, что оценка порядка исчезновения v a (f) на $R\; =\; C\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x]\}$измеряет кратность точки x = a в нулевом множестве f; можно рассматривать это как порядок контакта (или локального числа пересечения ) графика y = f (x) с осью x y = 0 вблизи точки (a, 0). Если вместо оси x зафиксировать другую неприводимую плоскую кривую h (x, y) = 0 и точку (a, b), можно аналогичным образом определить оценку v h на $R\; =\; C\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\}$, так что v h (f) - это порядок контакта ( число пересечения) между фиксированной кривой и f (x, y) = 0 вблизи (a, b). Это нормирование естественным образом распространяется на рациональные функции $f\; /\; g\; \in \; K\; =\; C\; (x,\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; /\; g\; \backslash \; in\; K\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; (x,\; y).\}$

Фактически, эта конструкция является частным случаем π-адической оценки для PID, определенного выше. А именно, рассмотрим локальное кольцо $R\; =\; C\; [x,\; y]\; (h)\; =\; \{fg\; \in \; C\; (x,\; y)\; \mid \; h\; не\; делит\; g\}\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; \_\; \{(h)\}\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; tfrac\; \{f\}\; \{g\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; (x,\; y)\; \backslash \; mid\; h\; \{\backslash \; text\; \{не\; делит\}\; \}\; g\; \backslash \}\}$, кольцо рациональных функций, определенных на некотором открытом подмножестве кривой h = 0. Это PID; на самом деле кольцо дискретной оценки, единственными идеалами которого являются степени $(h)\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; (h)\; ^\; \{k\}\}$. Тогда приведенная выше оценка v h является π-адической оценкой, соответствующей неприводимому элементу π = h ∈ R.

Пример: рассмотрим кривую $V\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{\; h\}\}$определяется как $h\; (x,\; y)\; =\; x\; 3\; -\; xy\; -\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{3\}\; -xy-y\; =\; 0\; \}$, а именно график $y\; =\; x\; 3\; 1\; -\; x\; =\; \sum \; n\; =\; 3\; \infty \; xn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{1-x\; \}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{n\},\}$около начала координат $(a,\; b)\; =\; (0,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; a,\; b)\; =\; (0,0)\}$. Эту кривую можно параметризовать следующим образом: $t\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$как:

$(x,\; y)\; =\; (t,\; t\; 3\; 1\; -\; t)\; знак\; равно\; (T,\; \sum \; N\; =\; 3\; \infty \; tn),\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (t,\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{3\}\}\; \{1-t\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (t,\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right),\}$

со специальной точкой (0,0), соответствующей t = 0. Теперь определите $vh:\; C\; [x,\; y]\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{h\}:\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$как порядок формальный степенной ряд по t, полученный ограничением любого ненулевого многочлена $f\; \in \; C\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\}$кривой V h:

$vh\; (f)\; =\; ordt\; (f\; |\; V\; h)\; =\; ordt\; (f\; (t,\; \sum \; n\; =\; 3\; \infty \; tn))\; для\; f\; \in \; C\; [x,\; y].\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{h\}\; (f)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; (f\; |\; \_\; \{V\_\; \{h\}\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; left\; (f\; (t,\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{n\})\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y].\}$

Это расширяет в поле рациональных функций $C\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; (x,\; y)\}$на $vh\; (f\; /\; g)\; =\; vh\; (f)\; -\; vh\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{h\}\; (f\; /\; g)\; =\; v\_\; \{h\}\; (f)\; -v\_\; \{h\}\; (g)\}$вместе с $vh\; (0)\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{h\}\; (0)\; =\; \backslash \; infty\}$.

Некоторые числа пересечения:

$vh\; (x)\; =\; ordt\; (t)\; =\; 1\; vh\; (x\; 6\; -\; y\; 2)\; =\; ordt\; (t\; 6\; -\; t\; 6\; -\; 2\; t\; 7\; -\; 3\; t\; 8\; -\; \cdots )\; =\; ordt\; (-\; 2\; t\; 7\; -\; 3\; t\; 8\; -\; \cdots )\; =\; 7\; vh\; (x\; 6\; -\; y\; 2\; x)\; =\; ordt\; (-\; 2\; t\; 7\; -\; 3\; t\; 8\; -\; \cdots )\; -\; ordt\; (t)\; =\; 7\; -\; 1\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; v\_\; \{h\}\; (x)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; (t)\; =\; 1\; \backslash \backslash \; v\_\; \{\; h\}\; (x\; ^\; \{6\}\; -y\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; left\; (t\; ^\; \{6\}\; -t\; ^\; \{6\}\; -2t\; ^\; \{7\}\; -3t\; ^\; \{\; 8\}\; -\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; left\; (-2t\; ^\; \{7\}\; -3t\; ^\; \{8\}\; -\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; =\; 7\; \backslash \backslash \; v\_\; \{h\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{6\}\; -y\; ^\; \{2\}\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; left\; (-2t\; ^\; \{7\}\; -3t\; ^\; \{8\}\; -\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ma\; thrm\; \{ord\}\; \_\; \{t\}\; (t)\; =\; 7-1\; =\; 6\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Предположим, что Γ ∪ {0} - это множество не -отрицательные действительные числа при умножении. Затем мы говорим, что оценка является недискретной, если ее диапазон (группа оценки) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что X - векторное пространство над K, а A и B - подмножества X. Тогда мы говорим, что A поглощает B, если существует α ∈ K такое, что λ ∈ K и | λ | ≥ | α | следует, что B ⊆ λ A. A называется радиальным или поглощающим, если A поглощает каждое конечное подмножество X. Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется в кружке, если λ в K и | λ | ≥ | α | влечет λ A ⊆ A. Множество обведенных кружком подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. обведенная оболочка A является пересечением всех обведенных подмножеств X, содержащих A.

Предположим, что X и Y - векторные пространства над недискретным оценочным полем K, пусть A ⊆ X, B ⊆ Y, и пусть f: X → Y - линейное отображение. Если B обведен кружком или радиален, то также будет $f\; -\; 1\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (B)\}$. Если A обведен кружком, то и f (A) тоже, но если A радиально, то f (A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективен.

• Дискретная оценка
• Евклидова оценка
• Норма поля

• Данилов В.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Дискретная оценка на PlanetMath.org.
• Оценка на PlanetMath. org.
• Вайсштейн, Эрик У. «Оценка». MathWorld.