Метод установки уровня

редактировать

Файл: Levelset-mean-curvature-spiral.ogv

Воспроизвести медиа Видео спирали, распространяемой наборами уровней () в 2D. LHS показывает решение с нулевым уровнем. Справа показано скалярное поле набора уровней.

Методы набора уровней (LSM ) представляют собой концептуальную основу для использования наборов уровней в качестве инструмента для численных анализ поверхностей поверхностей и форм. Преимущество модели с набором уровней состоит в том, что можно выполнять численные вычисления с использованием кривых и поверхностей на фиксированной декартовой сетке без необходимости параметризации этих объектов (это называется эйлеровым подходом). Кроме того, метод установки уровня позволяет очень легко следить за фигурами, которые изменяют топологию , например, когда фигура разделяется на две части, появляются отверстия или наоборот. Все это делает метод установки уровня отличным инструментом для моделирования изменяющихся во времени объектов, таких как надувание подушки безопасности или капля масла, плавающая в воде.

Иллюстрация метода установки уровня

Рисунок справа иллюстрирует несколько важных идей о методе установки уровня. В верхнем левом углу мы видим фигуру; то есть ограниченная область с хорошей границей. Под ним красная поверхность представляет собой график функции набора уровней $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , определяющей эту форму, а плоская синяя область представляет плоскость xy. Тогда граница формы является набором нулевого уровня $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , в то время как сама форма представляет собой набор точек на плоскости, для которых $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ положительно (внутри фигуры) или равно нулю (на границе).

В верхнем ряду мы видим, как фигура меняет свою топологию, разделяясь на две части. Было бы довольно сложно описать это преобразование численно, параметризуя границу формы и прослеживая ее эволюцию. Потребуется алгоритм, способный определить момент разделения формы на две, а затем построить параметризацию для двух вновь полученных кривых. С другой стороны, если мы посмотрим на нижнюю строку, мы увидим, что функция установки уровня просто переведена вниз. Это пример того, когда с помощью функции установки уровня может быть намного проще работать с фигурой, чем с фигурой напрямую, когда при непосредственном использовании фигуры необходимо учитывать и обрабатывать все возможные деформации, которым она может подвергнуться.

Таким образом, в двух измерениях метод установки уровня представляет собой замкнутую кривую $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ (например, форму граница в нашем примере) с помощью вспомогательной функции $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , называемой функцией установки уровня. $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ представлен как набор уровней ноль- для $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ на

Γ знак равно {(x, y) ∣ φ (x, y) = 0}, {\ displaystyle \ Gamma = \ {(x, y) \ mid \ varphi (x, y) = 0 \},}

{\ displaystyle \ Gamma = \ {(x, y) \ mid \ varphi (x, y) = 0 \},}

, а метод установки уровня управляет $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ неявно, через функцию $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Предполагается, что эта функция $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ принимает положительные значения внутри области, ограниченной кривой $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ , и отрицательные значения.

Содержание

Уравнение набора уровней

Если кривая $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ движется в нормальном направлении со скоростью $v { \ displaystyle v}$ $v$ , тогда функция установки уровня $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ удовлетворяет уравнению установки уровня

∂ φ ∂ t = v | ∇ φ |. {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = v | \ nabla \ varphi |.}

\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t} = v | \ nabla \ varphi |.

Здесь $| ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ - это евклидова норма (обычно обозначается одиночными столбцами в PDE), а $t {\ displaystyle t}$ $т$ время. Это уравнение в частных производных, в частности уравнение Гамильтона – Якоби, и может быть решено численно, например, с помощью конечных разностей на декартовой сетке..

Однако численное решение уравнения системы уровня требует сложных методов. Простые конечно-разностные методы быстро терпят неудачу. Методы Upwinding, такие как метод Годунова, работают лучше; однако метод установки уровня не гарантирует сохранение объема и формы уровня, установленного в адвективном поле, которое действительно сохраняет форму и размер, например, однородное поле или поле скорости вращения. Вместо этого форма набора уровней может сильно исказиться, и набор уровней может исчезнуть через несколько временных шагов. По этой причине обычно требуются конечно-разностные схемы высокого порядка, такие как схемы высокого порядка , по существу, не колебательные (ENO), и даже в этом случае возможность моделирования в течение длительного времени сомнительна. Для решения этой проблемы были разработаны дополнительные сложные методы, например, комбинации метода установки уровня с отслеживанием частиц маркера, переносимых полем скорости.

Пример

Рассмотрим единичный круг в $R 2 {\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2} }$ , сжимаясь в себя с постоянной скоростью, т.е. каждая точка на границе круга перемещается по его внутрь, указывая на нормаль фиксированная скорость. Круг сожмется и, в конце концов, схлопнется до точки. Если начальное поле расстояний построено (то есть функция, значение которой представляет собой знаковое евклидово расстояние до границы, положительное внутреннее, отрицательное внешнее) на начальной окружности, нормализованный градиент этого поля будет нормалью к окружности.

Если поле имеет постоянное значение, вычтенное из него во времени, нулевой уровень (который был начальной границей) новых полей также будет круговым и аналогичным образом схлопнется до точки. Это связано с тем, что это фактически является временным интегрированием уравнения Эйконала с фиксированной скоростью фронта.

В горении этот метод используется для описания мгновенной поверхности пламени, известный как уравнение G.

История

Метод установки уровня был разработан в 1980-х американскими математиками Стэнли Ошером и Джеймсом Сетхианом. Он стал популярным во многих дисциплинах, таких как обработка изображений, компьютерная графика, вычислительная геометрия, оптимизация, вычислительная среда. динамика, и.

Ряд структур данных набора уровней был разработан для облегчения использования метода установки уровней в компьютерных приложениях.

Приложения

Вычислительная гидродинамика
Горение
Планирование траектории
Оптимизация
Обработка изображений
Вычислительные биофизика

Вычислительная гидродинамика

Чтобы запустить математическую модель на границе двух разных жидкостей, нам нужно смягчить взаимодействия между жидкостями. Поэтому нам нужно применить особую функцию: метод компактной установки уровня.

В качестве «дополнительного продукта» CompactLSM является дополнением к LSM, которое помогает решать уравнения LSM. Его можно использовать при численном моделировании потока, например, если мы работаем с дискретизацией границы раздела вода-воздух, уплотняется в шестом порядке, обеспечивает точное и быстрое вычисление уравнений границы раздела (Монтейро, 2018).

LSM использует функцию расстояния для определения местоположения различных жидкостей. Функция расстояния - это функция, значение которой представляет наименьшее расстояние от точки, где она анализируется, до границы раздела. Эта функция расстояния определяется изолиниями (2D) или изоповерхностями (3D), показывая, что отрицательные значения относятся к одной из флюидов, положительные значения относятся к другой, а нулевое значение

соответствует положению интерфейс.

Но как функция Хевисайда вставлена в Компактный метод установки уровня?

Так как удельная масса и вязкость на границе раздела неоднородны, возможны как проблема избыточной диффузии (расширение границы раздела), так и числовые колебания, если нет адекватной обработки жидкости вблизи границы раздела. Чтобы минимизировать эти проблемы, метод Level Set использует плавную функцию Хевисайда, связанную с ячейками, которая явно определяет положение интерфейса (= 0).

Переход в интерфейсе поддерживается плавным, но с толщиной порядка размера ячейки, чтобы избежать появления возмущений с масштабом длины, равным масштабу сетки, поскольку интерфейс предполагает свойство резкого перехода от одной клетки к другой (Unverdi and Tryggvason, 1992). Для восстановления свойств материала потока, таких как удельная масса и вязкость, используется другая маркерная функция I (∅) типа Хевисайда:

I (φ) = {0, если φ < − δ Δ 1 2 [ 1 + φ δ Δ + 1 π sin ⁡ ( π φ δ Δ) ], if | φ | ≤ δ Δ 1, if φ>δ Δ {\ displaystyle I (\ varphi) = {\ begin {cases} 0, {\ text {if}} \ varphi <-\delta \Delta \\[8pt]{\dfrac {1}{2}}\left[1+{\dfrac {\varphi }{\delta \Delta }}+{\dfrac {1}{\pi }}\sin \left({\dfrac {\pi \varphi }{\delta \Delta }}\right)\right],{\text{if }}|\varphi |\leq \delta \Delta \\[8pt]1,{\text{if }}\varphi>\ delta \ Delta \ end {cases}}}

I(\varphi)={\begin{cases}0,{\text{if }}\varphi <-\delta \Delta \\[8pt]{\dfrac {1}{2}}\left[1+{\dfrac {\varphi }{\delta \Delta }}+{\dfrac {1}{\pi }}\sin \left({\dfrac {\pi \varphi }{\delta \Delta }}\right)\right],{\text{if }}|\varphi |\leq \delta \Delta \\[8pt]1,{\text{if }}\varphi>\ delta \ Delta \ end {case}}

(1)

где δ - эмпирический коэффициент, обычно равный 1; 5, а Δ - характерная дискретность задачи, которая изменяется в зависимости от моделируемого явления. Значение δ представляет собой границу раздела толщиной в три ячейки, и таким образом, δΔ представляет половину толщины границы раздела. Обратите внимание, что в этом методе поверхность раздела имеет виртуальную толщину, поскольку она представлена гладкой функцией. Физические свойства, такие как удельная масса и кинематическая вязкость, рассчитываются как:

ρ = (1 - I) ρ 1 + I ρ 2 ev = (1 - я) v 1 + я v 2 {\ displaystyle \ rho = (1-I) \ rho _ {1} + I \ rho _ {2} \ qquad e \ qquad v = (1-я) v_ {1} + Iv_ {2}}

{\ displaystyle \ rho = (1-I) \ rho _ {1} + I \ rho _ {2} \ qquad e \ qquad v = (1-I) v_ {1} + Iv_ {2}}

(2)

, где ρ 1, ρ 2, v 1 и v 2 - удельная масса и кинематическая вязкость жидкостей 1 и 2. Уравнение 2 может быть применено аналогично к другим свойствам жидкостей.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

См. академическую веб-страницу Рональда Федкива, где можно найти множество потрясающих изображений и анимаций, показывающих, как метод установки уровней может использоваться для моделирования реальных явления жизни, такие как огонь, вода, ткань, трещины в материалах и т. д.
Multivac - это библиотека C ++ для отслеживания фронта в 2D с помощью методов установки уровня.
Джеймс Сетиан веб-страница о методе установки уровня.
Домашняя страница Стэнли Ошера.