Неассоциативная алгебра

редактировать

A неассоциативная алгебра (или дистрибутивная алгебра ) - это алгебра над поле, где операция двоичного умножения не считается ассоциативной. То есть алгебраическая структура A является неассоциативной алгеброй над полем K, если это векторное пространство над K и снабжено K- билинейная операция двоичного умножения A × A → A, которая может быть или не быть ассоциативной. Примеры включают алгебры Ли, йордановы алгебры, октонионы и трехмерное евклидово пространство, оснащенное операцией перекрестного произведения. Поскольку не предполагается, что умножение является ассоциативным, необходимо использовать круглые скобки для указания порядка умножения. Например, выражения (ab) (cd), (a (bc)) d и a (b (cd)) могут давать разные ответы.

Хотя такое использование неассоциативности означает, что ассоциативность не предполагается, это не означает, что ассоциативность запрещена. Другими словами, «неассоциативный» означает «не обязательно ассоциативный», так же как «некоммутативный» означает «необязательно коммутативный» для некоммутативных колец.

Алгебра унитальна или унитарна, если она имеет единичный элемент e с ex = x = xe для всех x в алгебре. Например, октонионы являются унитальными, а алгебры Ли - никогда.

Структура неассоциативной алгебры A может быть изучена путем связывания ее с другими ассоциативными алгебрами, которые являются подалгебрами полной алгебры K- эндоморфизмов алгебры A как K-векторного пространства. Двумя таковыми являются деривационная алгебра и (ассоциативная) охватывающая алгебра, последняя в некотором смысле является «наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей A».

В более общем плане некоторые авторы рассматривают концепцию неассоциативной алгебры над коммутативным кольцом R: R-модуль, снабженный R-билинейным двоичным умножением операция. Если структура подчиняется всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности (например, любая R-алгебра), то она, естественно, является Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -алгеброй, поэтому некоторые авторы называют неассоциативные Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -алгебры неассоциативными кольцами .

Содержание

  • 1 Алгебры, удовлетворяющие тождествам
    • 1.1 Обычные свойства
    • 1.2 Связи между свойствами
    • 1.3 Ассоциатор
    • 1.4 Центр
  • 2 Примеры
  • 3 Свойства
  • 4 Свободная неассоциативная алгебра
  • 5 Ассоциированные алгебры
    • 5.1 Вывод алгебра
    • 5.2 Обертывающая алгебра
  • 6 См. также
  • 7 Цитаты
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки

Алгебры, удовлетворяющие тождествам

Кольцеобразные структуры с двумя бинарными операциями и без другие ограничения относятся к широкому классу, который слишком общий для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые несколько упрощают умножение. К ним относятся следующие.

Обычные свойства

Пусть x, y и z обозначают произвольные элементы алгебры A над полем K. Пусть степени положительного (ненулевого) целого числа рекурсивно определяются как x ≝ x и либо x ≝ xx (правые степени), либо x ≝ xx (левые степени) в зависимости от авторов.

  • Unital : существует элемент e, такой что ex = x = xe; в этом случае мы можем определить x ≝ e.
  • Ассоциативный : (xy) z = x (yz).
  • Коммутативный : xy = yx.
  • Антикоммутативный : xy = −yx.
  • Тождество Якоби : (xy) z + (yz) x + (zx) y = 0 или x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0 в зависимости от авторов.
  • Идентификация Джордана : (xy) x = x (yx) или (xy) x = x (yx) в зависимости от авторов.
  • Альтернатива : (xx) y = x (xy) (слева альтернатива) и (yx) x = y (xx) (правая альтернатива).
  • Гибкость : (xy) x = x (yx).
  • ассоциативность n-й степени с n ≥ 2: xx = x для всех целых k, так что 0 < k < n.
    • ассоциативность третьей степени: xx = xx.
    • ассоциативность четвертой степени: xx = xx = xx (сравните с коммутативной четвертой степенью ниже).
  • Ассоциативная степень : подалгебра, порожденная любым элементом, является ассоциативной, т. Е. Ассоциативной по степени n для всех n ≥ 2.
  • коммутативной степени n ≥ 2: xx = xx для всех целых чисел k, так что 0 < k < n.
    • Коммутатив третьей степени: xx = xx.
    • Коммутатив четвертой степени: xx = xx (сравните с ассоциативным параметром четвертой степени a bove).
  • Степень коммутативности: подалгебра, порожденная любым элементом, коммутативна, т. е. коммутативна n-й степени для всех n ≥ 2.
  • Нильпотентная индекса n ≥ 2: произведение любых n элементов в любая ассоциация исчезает, но не для некоторых n-1 элементов: x 1x2…xn= 0 и существует n-1 элементов, так что y 1y2…yn-1 ≠ 0 для конкретной ассоциации.
  • Nil индекса n ≥ 2: степень ассоциативности и x = 0, и существует элемент y, такой что y 0.

Отношения между свойствами

Для K любой характеристики :

  • Ассоциативность подразумевает альтернативу.
  • Любые два из трех свойств левая альтернатива, правая альтернатива и гибкость подразумевают третью.
    • Таким образом, альтернатива подразумевает гибкость.
  • Альтернатива подразумевает тождество Джордана.
  • Коммутативный подразумевает гибкость.
  • Антикоммутативный подразумевает гибкость.
  • Альтернатива подразумевает ассоциативную власть.
  • Гибкость подразумевает ассоциативность третьей степени.
  • Ассоциативность второй степени и коммутативная вторая степень всегда истинны.
  • Ассоциативность третьей степени и коммутативная третья степень эквивалентны.
  • ассоциативность n-й степени влечет коммутативность n-й степени.
  • Ноль индекса 2 влечет антикоммутативность.
  • Ноль индекса 2 влечет тождество Жордана.
  • Нильпотент индекса 3 влечет тождество Якоби.
  • Нильпотент индекса n влечет ноль индекса N с 2 ≤ N ≤ n.
  • Единица и ноль индекса n несовместимы.

Если K ≠ GF (2) или dim (A) ≤ 2:

  • Тождество Жордана и коммутатив вместе означают ассоциативность по степени.

Если char (K) ≠ 2:

  • Правая альтернатива подразумевает ассоциативность по степени.
    • Точно так же из левой альтернативы следует мощность assoc
  • единица и тождество Джордана вместе подразумевают гибкость.
  • тождество Джордана и гибкость вместе подразумевают ассоциативность по мощности.
  • Коммутативность и антикоммутативность вместе подразумевают нильпотентность индекса 2.
  • Антикоммутативность подразумевает ноль индекса 2.
  • Единичная и антикоммутативная несовместимы.

Если char (K) ≠ 3:

  • Единичная и Якоби тождества несовместимы.

Если char (K) ∉ { 2,3,5}:

  • Коммутативный и x = xx (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени) вместе подразумевают ассоциативность степени.

Если char (K) = 0:

  • ассоциативность третьей степени и x = xx (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени) вместе подразумевает ассоциативность степени.

Если char (K) = 2:

  • Коммутативный и антикоммутативный эквивалентны.

Ассоциатор

ассоциатором на A является полилинейное отображение K- [⋅, ⋅, ⋅]: A × A × A → A {\ displaystyle [\ cdot, \ cdot, \ cdot ]: A \ times A \ times A \ to A}[\ cdot, \ cdot, \ cdot]: A \ times A \ times A \ to A задано как

[x, y, z] = (xy) z - x (yz).

Он измеряет степень неассоциативности A {\ displaystyle A}A и может использоваться для удобного выражения некоторых возможных идентичностей, удовлетворяемых A.

Пусть x, y и z обозначают произвольные элементы алгебры.

  • Ассоциативный: [x, y, z] = 0.
  • Альтернатива: [x, x, y] = 0 (левый вариант) и [y, x, x] = 0 (правый вариант).
    • Это означает, что перестановка любых двух членов меняет знак: [x, y, z] = - [x, z, y] = - [z, y, x] = - [y, x, z ]; обратное верно, только если char (K) ≠ 2.
  • Гибкость: [x, y, x] = 0.
    • Это означает, что перестановка экстремальных членов меняет знак: [x, y, z ] = - [z, y, x]; обратное верно, только если char (K) ≠ 2.
  • Тождество Жордана: [x, y, x] = 0 или [x, y, x] = 0 в зависимости от авторов.
  • Ассоциативность третьей степени : [x, x, x] = 0.

Ядро - это набор элементов, которые связаны со всеми остальными: то есть n в A такие, что

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}.

Ядро является ассоциативным подкольцом A.

Центр

center A - это набор элементов, которые коммутируют и связываются со всем в A, то есть пересечение

C (A) = {n ∈ A | n r знак равно r n ∀ r ∈ A} {\ displaystyle C (A) = \ {n \ in A \ | \ nr = rn \, \ forall r \ in A \, \}}{\ displaystyle C (A) = \ {n \ in A \ | \ nr = rn \, \ forall r \ in A \, \}}

с ядром. Оказывается, для элементов C (A) достаточно, чтобы два из множеств ([n, A, A], [A, n, A], [A, A, n]) {\ displaystyle ([n, A, A], [A, n, A], [A, A, n])}{\ displaystyle ([n, A, A], [A, n, A], [A, A, n])} равны {0} {\ displaystyle \ {0 \}}\ {0 \} для третьего также будет установлен ноль.

Примеры

  • Евклидово пространство Rс умножением, заданным векторным крестным произведением , является примером алгебры, которая является антикоммутативной, а не ассоциативной. Векторное произведение также удовлетворяет тождеству Якоби.
  • Алгебры Ли - это алгебры, удовлетворяющие антикоммутативности и тождеству Якоби.
  • Алгебры векторных полей на дифференцируемом многообразии (если K равно R или комплексные числа C) или алгебраическое многообразие (для общего K);
  • йордановы алгебры являются алгебрами которые удовлетворяют коммутативному закону и тождеству Йордана.
  • Каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, используя коммутатор в качестве скобки Ли. Фактически любая алгебра Ли может быть построена таким образом или является подалгеброй алгебры Ли, построенной таким образом.
  • Каждая ассоциативная алгебра над полем характеристики, отличной от 2, порождает Йорданова алгебра путем определения нового умножения x * y = (xy + yx) / 2. В отличие от случая алгебры Ли, не всякая йорданова алгебра может быть построена таким образом. Те, которые могут, называются специальными.
  • Альтернативные алгебры - это алгебры, удовлетворяющие альтернативному свойству. Наиболее важными примерами альтернативных алгебр являются октонионы (алгебра над вещественными числами) и обобщения октонионов над другими полями. Все ассоциативные алгебры альтернативны. Вплоть до изоморфизма единственной конечномерной реальной альтернативой алгебры с делением (см. Ниже) являются вещественные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
  • Ассоциативные по степеням алгебры - это те алгебры, которые удовлетворяют ассоциативно-степенному тождеству. Примеры включают все ассоциативные алгебры, все альтернативные алгебры, йордановы алгебры над полем, отличным от GF (2) (см. Предыдущий раздел), и sedenions.
  • гиперболический кватернион алгебра над R, которая была экспериментальной алгеброй до принятия пространства Минковского для специальной теории относительности.

Другие классы алгебр:

Свойства

Есть несколько опор Это может быть известно из теории колец или из ассоциативных алгебр, которые не всегда верны для неассоциативных алгебр. В отличие от ассоциативного случая, элементы с (двусторонним) мультипликативным инверсом также могут быть делителем нуля. Например, все ненулевые элементы в sedenions имеют двусторонний обратный, но некоторые из них также являются делителями нуля.

Свободная неассоциативная алгебра

Свободная неассоциативная алгебра на множестве X над полем K определяется как алгебра с базисом, состоящим из всех неассоциативных одночлены, конечные формальные произведения элементов X с сохранением скобок. Произведение одночленов u, v равно (u) (v). Алгебра унитальна, если рассматривать пустое произведение как моном.

Курош доказал, что каждая подалгебра свободной неассоциативной алгебры свободна.

Ассоциированные алгебры

An алгебра A над полем K является, в частности, K-векторным пространством, и поэтому можно рассматривать ассоциативную алгебру End K (A) эндоморфизма K-линейного векторного пространства A. Мы можем сопоставить структуру алгебры на A две подалгебры End K (A), деривационная алгебра и (ассоциативная) обертывающая алгебра .

деривационная алгебра

A деривация на A является отображением D со свойством

D (x ⋅ y) = D (x) ⋅ y + x ⋅ D (y). {\ displaystyle D (x \ cdot y) = D (x) \ cdot y + x \ cdot D (y) \.}D (x \ cdot y) = D (x) \ cdot y + x \ cdot D (y) \.

Выводы на A образуют подпространство Der K (A) в конце K (A). Коммутатор двух производных снова является производным, так что скобка Ли дает Der K (A) структуру алгебры Ли.

Обволакивающая алгебра

К каждому элементу a алгебры A прикреплены линейные карты L и R:

L (a): x ↦ ax; R (a): x ↦ x a. {\ Displaystyle L (a): x \ mapsto ax; \ \ R (a): x \ mapsto xa \.}L (a): x \ mapsto ах; \ \ R (а): х \ mapsto xa \.

Ассоциативная обертывающая алгебра или алгебра умножения A - это ассоциативная алгебра, порожденная левой и правой линейной карты. Центроид A является централизатором обертывающей алгебры в алгебре эндоморфизмов End K (A). Алгебра является центральной, если ее центроид состоит из K-скалярных кратных тождества.

Некоторые из возможных тождеств, которым удовлетворяют неассоциативные алгебры, могут быть удобно выражены в терминах линейных отображений:

  • Коммутативные : каждый L (a) равен соответствующему R (a);
  • Ассоциативный: любой L коммутирует с любым R;
  • Гибкий: каждый L (a) коммутирует с соответствующим R ( a);
  • Иордания: каждый L (a) коммутирует с R (a);
  • Альтернатива: каждый L (a) = L (a) и аналогично для правого.

Квадратичное представление Q определяется следующим образом:

Q (a): x ↦ 2 a ⋅ (a ⋅ x) - (a ⋅ a) ⋅ x {\ displaystyle Q (a): x \ mapsto 2a \ cdot (a \ cdot x) - (a \ cdot a) \ cdot x \}Q (a): x \ mapsto 2a \ cdot (a \ cdot x) - ( a \ cdot a) \ cdot x \

или эквивалентно

Q (a) = 2 L 2 (a) - L (a 2). {\ displaystyle Q (a) = 2L ^ {2} (a) -L (a ^ {2}) \.}Q (a) = 2L ^ {2} (a) -L (a ^ {2}) \.

В статье о универсальных обертывающих алгебрах описана каноническая конструкция обертывающих алгебр., а также теоремы типа PBW для них. Для алгебр Ли такие обертывающие алгебры обладают универсальным свойством, которое, вообще говоря, не выполняется для неассоциативных алгебр. Самый известный пример - это, пожалуй, алгебра Альберта, исключительная йорданова алгебра, которая не охвачена канонической конструкцией обертывающей алгебры для йордановых алгебр.

См. Также

Цитаты

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-31 11:58:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте