Элементарная алгебра

редактировать

Основные понятия алгебры

x = - b ± b 2 - 4 ac 2 a {\ displaystyle {\ overset {} {\ underset {} {x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}}

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Квадратичная формула , которое является решением квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0 {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}

ax^2+bx+c=0

где

а ≠ 0 {\ Displaystyle а \ neq 0}

a\neq 0

. Здесь символы a, b, c обозначают произвольные числа, а x - переменная, которая представляет решение уравнения.

Двумерный график (красная кривая) алгебраического уравнения

y = x 2 - x - 2 {\ displaystyle y = x ^ {2} -x-2}

y = x^2 - x - 2

Элементарная алгебра охватывает некоторые из основных понятий алгебры, одной из основных ветвей математики. Обычно ему преподают учащихся средней школы, и он основан на их понимании арифметики. В то время как арифметика имеет дело с заданными числами, алгебра вводит величины без фиксированных значений, известные как переменные. Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраической нотации и понимание общих правил операторов, введенных в арифметике. В отличие от абстрактной алгебры, элементарная алгебра не связана с алгебраическими структурами вне области вещественных и комплексных чисел.

Использование переменных для обозначения Количества позволяют формально и лаконично выразить общие отношения между величинами и, таким образом, позволяют решать более широкий круг проблем. Многие количественные соотношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений.

Содержание

1 Алгебраическая нотация
- 1.1 Альтернативная нотация
2 Концепции
- 2.1 Переменные
- 2.2 Упрощающие выражения
- 2.3 Уравнения
  - 2.3.1 Свойства равенства
  - 2.3.2 Свойства неравенства
- 2.4 Подстановка
3 Решение алгебраических уравнений
- 3.1 Линейные уравнения с одной переменной
- 3.2 Линейные уравнения с двумя переменными
- 3.3 Квадратные уравнения
  - 3.3.1 Комплексные числа
- 3.4 Экспоненциальные и логарифмические уравнения
- 3.5 Радикальные уравнения
- 3.6 Система линейных уравнений
  - 3.6.1 Метод исключения
  - 3.6.2 Метод подстановки
- 3.7 Другие типы систем линейных уравнений
  - 3.7.1 Несогласованные системы
  - 3.7.2 Неопределенные системы
  - 3.7.3 Пере- и недоопределенные системы
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Алгебраическая нотация

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения для записи математики эматические выражения, а также терминология, используемая для описания частей выражений. Например, выражение $3 x 2 - 2 xy + c {\ displaystyle 3x ^ {2} -2xy + c}$ $3x^{2}-2xy+c$ имеет следующие компоненты:

Коэффициент - это числовое значение или буква, представляющая числовую константу, которая умножает переменную (оператор опускается). Термин - это слагаемое или слагаемое, группа коэффициентов, переменных, констант и показателей, которые могут быть отделены от других членов операторами плюс и минус. Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению, буквы в начале алфавита (например, $a, b, c {\ displaystyle a, b, c}$ $a,b,c$ ) обычно используются для представления констант и те, что ближе к концу алфавита (например, $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x,y$ и z), используются для представления переменных. Обычно они пишутся курсивом.

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции, например сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет пробела между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, $3 × x 2 {\ displaystyle 3 \ times x ^ {2}}$ $3 \times x^2$ записывается как $3 x 2 {\ displaystyle 3x ^ {2}}$ $3x^2$ и $2 × x × y {\ displaystyle 2 \ times x \ times y}$ $2 \times x \times y$ можно записать $2 xy {\ displaystyle 2xy}$ $2xy$ .

Обычно члены с наибольшим power (exponent ) записываются слева, например, $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ записывается слева от x. Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, $1 x 2 {\ displaystyle 1x ^ {2}}$ $1x^{2}$ записывается $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ ). Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, $3 x 1 {\ displaystyle 3x ^ {1}}$ $3x^{1}$ записывается $3 x {\ displaystyle 3x}$ $3x$ ). Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, $x 0 {\ displaystyle x ^ {0}}$ $x^{0}$ всегда заменяется на 1). Однако $0 0 {\ displaystyle 0 ^ {0}}$ $0^{0}$ , будучи неопределенным, не должен появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени.

Альтернативная нотация

Другие типы нотации используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации этого, хотя показатели обычно форматируются с использованием надстрочных знаков, например, $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ , в обычном тексте и в TeX язык разметки, символ каретки «^» представляет возведение в степень, поэтому записывается $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ как "x ^ 2"., а также некоторые языки программирования, такие как Lua. В языках программирования, таких как Ada, Fortran, Perl, Python и Ruby, используется двойная звездочка., поэтому $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ записывается как «x ** 2». Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для обозначения символа умножения, и она должна использоваться явно, например, $3 x {\ displaystyle 3x}$ $3x$ записывается как «3 * x».

Основные понятия

Переменные

Пример переменных, показывающих взаимосвязь между диаметром круга и его окружностью. Для любого круга его длина окружности c, деленная на его диаметр d, равна константе pi,

π {\ displaystyle \ pi}

\pi

(приблизительно 3,14).

Элементарная алгебра основывается на арифметике и расширяет ее за счет введения букв, называемых переменными, для представления общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны . Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше, чем температура предыдущего дня, P, тогда проблема может быть описана алгебраически как $C = P + 20 {\ displaystyle C = P + 20}$ $C=P+20$ .
Переменные позволяют описывать общие проблемы без указания значений участвующих величин. Например, можно конкретно указать, что 5 минут эквивалентны $60 × 5 = 300 { \ displaystyle 60 \ times 5 = 300}$ $60 \times 5 = 300$ секунд. В более общем (алгебраическом) описании может быть указано, что количество секунд, $s = 60 × m {\ displaystyle s = 60 \ times m}$ $s = 60 \times m$ , где m - количество минут.
Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут варьироваться. Например, взаимосвязь между длиной окружности c и диаметром d круга описывается следующим образом: $π = c / d {\ displaystyle \ pi = c / d}$ $\pi = c /d$ .
Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность, которая утверждает, что порядок сложения чисел не иметь значение. Коммутативность алгебраически формулируется как $(a + b) = (b + a) {\ displaystyle (a + b) = (b + a)}$ $(a + b) = (b + a)$ .

Упрощающие выражения

Можно вычислять алгебраические выражения и упрощенный, основанный на основных свойствах арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень ). Например,

Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, $x + x + x {\ displaystyle x + x + x}$ $x + x + x$ можно упростить как $3 x {\ displaystyle 3x}$ $3x$ (где 3 - числовой коэффициент).
Умноженные члены упрощаются с помощью экспонент. Например, $x × x × x {\ displaystyle x \ times x \ times x}$ $x \times x \times x$ представляется как $x 3 {\ displaystyle x ^ {3}}$ $x^{3}$
Подобные термины складываются, например, $2 x 2 + 3 ab - x 2 + ab {\ displaystyle 2x ^ {2} + 3ab-x ^ {2} + ab}$ $2x^2 + 3ab - x^2 + ab$ записывается как $x 2 + 4 ab {\ displaystyle x ^ {2} + 4ab}$ $x^2 + 4ab$ , поскольку термины, содержащие $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ , являются складываются вместе, и термины, содержащие $ab {\ displaystyle ab}$ $ab$ , складываются вместе.
Скобки можно «умножить», используя свойство распределения. Например, $x (2 x + 3) {\ displaystyle x (2x + 3)}$ $x (2x + 3)$ можно записать как $(x × 2 x) + (x × 3) {\ displaystyle (x \ times 2x) + (x \ times 3)}$ $(x \times 2x) + (x \times 3)$ который можно записать как $2 x 2 + 3 x {\ displaystyle 2x ^ {2} + 3x}$ $2x^2 + 3x$
Выражения могут быть учтены. Например, $6 x 5 + 3 x 2 {\ displaystyle 6x ^ {5} + 3x ^ {2}}$ $6x^5 + 3x^2$ , разделив оба члена на $3 x 2 {\ displaystyle 3x ^ {2}}$ $3x^2$ можно записать как $3 x 2 (2 x 3 + 1) {\ displaystyle 3x ^ {2} (2x ^ {3} +1)}$ $3x^2 (2x^3 + 1)$

Уравнения

Анимация, иллюстрирующая правило Пифагора для прямоугольного треугольника, которое показывает алгебраическую связь между гипотенузой треугольника и двумя другими сторонами.

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства, = (= знак ). Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора относительно длины сторон прямоугольного треугольника :

c 2 = a 2 + b 2 {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}

c^2 = a^2 + b^2

Это уравнение утверждает, что $c 2 {\ displaystyle c ^ {2}}$ $c^{2}$ , представляющий квадрат длины стороны, которая гипотенуза, сторона, противоположная прямому углу, равна сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены буквами a и b.

Уравнение - это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, $a + b = b + a {\ displaystyle a + b = b + a}$ $a + b = b + a$ ); такие уравнения называются тождествами. Условные уравнения верны только для некоторых значений задействованных переменных, например $x 2-1 = 8 {\ displaystyle x ^ {2} -1 = 8}$ $x^2 - 1 = 8$ верно только для $x = 3 {\ displaystyle x = 3}$ $x = 3$ и $x = - 3 {\ displaystyle x = -3}$ $x = -3$ . Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены с помощью решения уравнения.

Другой тип уравнения - неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна сторона уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: $a>b {\ displaystyle a>b}$ $a>b$ где $>{\ displaystyle>}$ $>$ означает" больше, чем ", а $a < b {\displaystyle a$ $a <b$ , где $< {\displaystyle <}$ $<$ представляет" меньше ". Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение - при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства нужно переворачивать.

Свойства равенства

По определению равенство - это отношение эквивалентности, что означает, что оно имеет свойства (a) рефлексивный (т.е. $b = b {\ displaystyle b = b}$ $b = b$ ), (b) симметричный (т.е. если $a = b {\ displaystyle a = b}$ $a=b$ тогда $b = a {\ displaystyle b = a}$ $b=a$ ) (c) переходный (т.е. если $a = b {\ displaystyle a = b}$ $a=b$ и $b = c {\ displaystyle b = c}$ $b=c$ , затем $a = c {\ displaystyle a = c}$ $a=c$ ). Он также удовлетворяет важному свойству: если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ может быть заменен другим в любом истинном утверждении о первом, и это утверждение останется истинным. Это подразумевает следующие свойства:

если $a = b {\ displaystyle a = b}$ $a=b$ и $c = d {\ displaystyle c = d}$ $c = d$ , то $a + c = b + d {\ displaystyle a + c = b + d}$ $a + c = b + d$ и $ac = bd {\ displaystyle ac = bd}$ $ac = bd$ ;
если $a = b {\ displaystyle a = b}$ $a=b$ , затем $a + c = b + c {\ displaystyle a + c = b + c}$ $a + c = b + c$ и $ac = bc { \ displaystyle ac = bc}$ $ac=bc$ ;
в более общем смысле для любой функции f, если $a = b {\ displaystyle a = b}$ $a=b$ , то $f (a) = f (b) {\ displaystyle f (a) = f (b)}$ $f(a) = f(b)$ .

Свойства неравенства

Отношения меньше $< {\displaystyle <}$ $<$ и больше $>{\ displaystyle>}$ $>$ имеют свойство транзитивности:

Если $a < b {\displaystyle a$ $a<b$ и $b < c {\displaystyle b$ $b <c$ , то $a < c {\displaystyle a$ $a <c$ ;
Если $a < b {\displaystyle a$ $a<b$ и $c < d {\displaystyle c$ $c <d$ , то $a + c < b + d {\displaystyle a+c$ $a + c <b + d$ ;
Если $a < b {\displaystyle a$ $a<b$ и $c>0 {\ displaystyle c>0}$ $c>0$ затем $ac < b c {\displaystyle ac$ $ac <bc$ ;
Если $a < b {\displaystyle a$ $a<b$ и $c < 0 {\displaystyle c<0}$ $c <0$ , то $bc < a c {\displaystyle bc$ $bc <ac$ .

Отменив неравенство,

< {\displaystyle <}

<

>{\ displaystyle>}

>

можно поменять местами, например:

$a < b {\displaystyle a$ $a<b$ эквивалентно $b>a {\ displaystyle b>a}$ $b>a$

Замена

Замена терминов выражение, чтобы создать новое выражение. Замена 3 на a в выражении a * 5 дает новое выражение 3 * 5 со значением 15. Подстановка терминов в утверждении создает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное подстановками, также истинно. Следовательно, определения могут быть сделаны в символических терминах и интерпретироваться через замену: если $a 2: = a × a {\ displaystyle a ^ {2}: = a \ times a}$ $a^{2}:=a\times a$ означает определение $a 2, {\ displaystyle a ^ {2},}$ $a^{2},$ как произведения a с самим собой, замена 3 на a сообщает читателю об этом утверждении, что $3 2 {\ displaystyle 3 ^ {2}}$ $3^2$ означает 3 × 3 = 9. Часто неизвестно, является ли утверждение истинным независимо от значений терминов. И подстановка позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, взяв утверждение x + 1 = 0, если x заменяется на 1, это означает 1 + 1 = 2 = 0, что неверно, что означает, что если x + 1 = 0, то x не может быть 1.

Если x и y являются целыми, рациональными или действительными числами, то xy = 0 означает x = 0 или y = 0. Рассмотрим abc = 0. Затем, подставляя a вместо x и bc вместо y, мы узнаем a = 0 или bc = 0. Затем мы можем снова подставить, положив x = b и y = c, чтобы показать, что если bc = 0, то b = 0 или c = 0. Следовательно, если abc = 0, то a = 0 или (b = 0 или c = 0), поэтому abc = 0 подразумевает a = 0, или b = 0, или c = 0.

Если бы исходный факт был заявлен как «ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0», то, говоря «рассмотрите abc = 0», мы бы столкнулись с конфликтом терминов при замене. Тем не менее, приведенная выше логика все еще верна, чтобы показать, что если abc = 0, то a = 0 или b = 0 или c = 0, если вместо того, чтобы позволить a = a и b = bc, заменить a на a и b на bc (и с bc = 0, заменяя b вместо a и c вместо b). Это показывает, что замена терминов в утверждении - не всегда то же самое, что приравнивание терминов из утверждения к заменяемым терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение a в член a исходного уравнения, подставляемое a не будет относиться к a в утверждении «ab = 0 означает a = 0 или b = 0».

Решение алгебраических уравнений

Типичная алгебраическая задача.

В следующих разделах представлены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения называются так называемыми, потому что при нанесении на график они описывают прямую линию. Простейшими уравнениями для решения являются линейные уравнения, в которых есть только одна переменная. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Проблема на словах: если вы удвоите возраст ребенка и прибавите 4, получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение:

2 x + 4 = 12 {\ displaystyle 2x + 4 = 12}

2x + 4 = 12

где x обозначает возраст ребенка

Для решения этого вида уравнения используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей уравнения на то же число, чтобы изолировать переменную с одной стороны уравнения. Как только переменная изолирована, другая сторона уравнения - это значение переменной. Эта проблема и ее решение следующие:

Решение для x

1. Уравнение для решения:	$2 x + 4 = 12 {\ displaystyle 2x + 4 = 12}$ $2x + 4 = 12$
2. Вычтем 4 с обеих сторон:	$2 x + 4-4 = 12-4 {\ displaystyle 2x + 4-4 = 12-4}$ $2x + 4 - 4 = 12 - 4$
3. Это упрощается до:	$2 x = 8 {\ displaystyle 2x = 8}$ $2x = 8$
4. Разделите обе стороны на 2:	$2 x 2 = 8 2 {\ displaystyle {\ frac {2x} {2}} = {\ frac {8} {2}}}$ $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$
5. Это упрощает решение:	$x = 4 {\ displaystyle x = 4}$ $x = 4$

На словах: ребенку 4 года.

Общая форма линейного уравнения с одной переменной может быть записана как: $ax + b = c {\ displaystyle ax + b = c}$ $ax+b=c$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтите b с обеих сторон, а затем разделить на a), общее решение дается формулой $x = c - ba {\ displaystyle x = {\ frac {cb} {a}}}$ $x=\frac{c-b}{a}$

Линейные уравнения с двумя переменными

Решение двух линейных уравнений с единственным решением в точке их пересечения.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (т. Е. Бесконечное число) решений. Например:

Проблема на словах: отец на 22 года старше сына. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение:

y = x + 22 {\ displaystyle y = x + 22}

y = x + 22

где y - возраст отца, x - возраст сына.

Это не может быть решено само по себе. Если бы возраст сына был известен, то больше не было бы двух неизвестных (переменных). Тогда проблема становится линейным уравнением только с одной переменной, которую можно решить, как описано выше.

Для решения линейного уравнения с двумя переменными (неизвестными) требуются два связанных уравнения. Например, если также было обнаружено, что:

Проблема в словах: Через 10 лет отец будет вдвое старше своего сына.
Эквивалентное уравнение: $y + 10 = 2 × (x + 10) y = 2 × (x + 10) - 10 Вычесть 10 с обеих сторон y = 2 x + 20 - 10 Вывести скобки за несколько раз y = 2 x + 10 Упростить {\ displaystyle {\ begin { выровнено} y + 10 = 2 \ times (x + 10) \\ y = 2 \ times (x + 10) -10 {\ text {Вычесть 10 с обеих сторон}} \\ y = 2x + 20-10 {\ text {Множественные скобки}} \\ y = 2x + 10 {\ text {Simplify}} \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}y+10=2\times (x+10)\\y=2\times (x+10)-10{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y=2x+20-10{\text{Multiple out brackets}}\\y=2x+10{\text{Simplify}}\end{aligned}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет получить линейное уравнение с одной переменной путем вычитания одной из другой (так называемый метод исключения):

{y = x + 22 Первое уравнение y = 2 x + 10 Второе уравнение {\ displaystyle {\ begin {cases} y = x + 22 {\ text {Первое уравнение}} \\ y = 2x + 10 {\ text {Второе уравнение}} \ end {cases}}}

{\begin{cases}y=x+22{\text{First equation}}\\y=2x+10{\text{Second equation}}\end{cases}}

Вычтем первое уравнение из (y - y) = (2 x - x) + 10-22 второй, чтобы убрать y 0 = x - 12 Упростите 12 = x Добавьте 12 к обеим сторонам x = 12 Переставьте {\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Вычтите первое уравнение из}} \\ (yy) = (2x-x) + 10-22 {\ text {второй для удаления}} y \\ 0 = x-12 {\ text {Simplify}} \\ 12 = x {\ text {Добавить 12 с обеих сторон}} \\ x = 12 {\ text {Переставить}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)=(2x-x)+10-22{\text{the second in order to remove }}y\\0=x-12{\text{Simplify}}\\12=x{\text{Add 12 to both sides}}\\x=12{\text{Rearrange}}\end{aligned}}

Другими словами, сыну 12 лет, а поскольку отцу на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22, а отец будет вдвое старше его, 44 года. Эта проблема проиллюстрирована на соответствующем графике уравнений.

Другие способы решения такого рода уравнений см. Ниже, Система линейных уравнений .

Квадратные уравнения

График квадратного уравнения

y = x 2 + 3 x - 10 {\ displaystyle y = x ^ {2} + 3x-10}

y = x^2 + 3x - 10

, показывая его корни в

x = - 5 {\ displaystyle x = -5}

x = -5

x = 2 {\ displaystyle x = 2}

x = 2

, и что квадратичный коэффициент можно переписать как

y = (x + 5) (x - 2) {\ displaystyle y = (x +5) (x-2)}

y = (x + 5)(x - 2)

Квадратное уравнение - это уравнение, которое включает член с показателем степени 2, например, $x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}$ $x^{2}$ , и нет члена с более высокой степенью. Название происходит от латинского quadrus, что означает квадрат. В общем, квадратное уравнение может быть выражено в форме $ax 2 + bx + c = 0 {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ $ax^{2}+bx+c=0$ , где a не равно нулю. (если бы он был равен нулю, то уравнение было бы не квадратичным, а линейным). По этой причине квадратное уравнение должно содержать член $a x 2 {\ displaystyle ax ^ {2}}$ $ax^2$ , который известен как квадратный член. Следовательно, $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ $a\neq 0$ , и поэтому мы можем разделить на a и преобразовать уравнение в стандартную форму

x 2 + px + q = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}

x^{2}+px+q=0

где $p = ba {\ displaystyle p = {\ frac {b} {a}}}$ $p={\frac {b}{a}}$ и $q = ca {\ displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}$ $q={\frac {c}{a}}$ . Решение этой проблемы с помощью процесса, известного как завершение квадрата, приводит к квадратной формуле

x = - b ± b 2-4 ac 2 a, {\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

где символ "±" указывает, что оба

x = - b + b 2 - 4 ac 2 a и x = - b - b 2 - 4 ac 2 a {\ displaystyle x = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad x = {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также могут быть решены с использованием факторизации (обратный процесс - разложение, но для двух линейных членов иногда обозначают срыв ). В качестве примера факторинга:

x 2 + 3 x - 10 = 0, {\ displaystyle x ^ {2} + 3x-10 = 0,}

x^{2}+3x-10=0,

что то же самое, что и

(x + 5) (x - 2) = 0. {\ displaystyle (x + 5) (x-2) = 0.}

(x+5)(x-2)=0.

Из свойства нулевого произведения следует, что либо $x = 2 {\ displaystyle x = 2}$ $x = 2$ или $x = - 5 {\ displaystyle x = -5}$ $x = -5$ - решения, так как ровно один из факторов должен быть равен на ноль. Все квадратные уравнения будут иметь два решения в системе комплексных чисел, но не обязательно иметь какое-либо решение в системе вещественных чисел. Например,

x 2 + 1 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}

x^{2}+1=0

не имеет решения в виде вещественного числа, поскольку ни один квадрат действительного числа не равен −1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

(x + 1) 2 = 0. {\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = 0.}

(x+1)^{2}=0.

Для этого уравнения −1 является корнем из кратности 2. Это означает, что −1 появляется дважды, поскольку уравнение может быть переписано в факторизованной форме как

[x - (- 1)] [x - (- 1)] = 0. {\ displaystyle [x - (- 1)] [x - (- 1)] = 0.}

[x-(-1)][x-(-1)]=0.

Комплексные числа

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категория, которая включает действительные числа, мнимые числа, а также суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

x 2 + x + 1 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0}

x^{2}+x+1=0

имеет решения

x = - 1 + - 3 2 и x = - 1 - - 3 2. {\ displaystyle x = {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} \ quad \ quad {\ text {и}} \ quad \ quad x = {\ frac {-1- { \ sqrt {-3}}} {2}}.}

x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.

Поскольку $- 3 {\ displaystyle {\ sqrt {-3}}}$ ${\sqrt {-3}}$ не является действительным числом, оба эти решения для x - комплексные числа.

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

График логарифма с основанием 2 пересекает ось x (горизонтальная ось) в 1 и проходит через точки с координаты (2, 1), (4, 2) и (8, 3). Например, log 2 (8) = 3, потому что 2 = 8. График произвольно приближается к оси y, но не пересекает и не пересекает ее..

Экспоненциальное уравнение равно единице. который имеет форму $ax = b {\ displaystyle a ^ {x} = b}$ $a^x = b$ для $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ , у которого есть решение

X = log a ⁡ b = пер ⁡ б пер ⁡ a {\ displaystyle X = \ log _ {a} b = {\ frac {\ ln b} {\ ln a}}}

X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

когда $b>0 {\ displaystyle b>0}$ $b>0$ . Элементарные алгебраические методы используются, чтобы переписать данное уравнение указанным выше способом, прежде чем прийти к решению. Например, если

3 ⋅ 2 x - 1 + 1 = 10 {\ displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {x-1} + 1 = 10}

3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10

, то, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе стороны на 3, мы получим

2 x - 1 = 3 {\ displaystyle 2 ^ {x-1} = 3}

2^{x-1}=3

откуда

x - 1 = log 2 ⁡ 3 {\ displaystyle x -1 = \ log _ {2} 3}

x-1=\log _{2}3

или

x = log 2 ⁡ 3 + 1. {\ displaystyle x = \ log _ {2} 3 + 1.}

x=\log _{2}3+1.

Логарифмическое уравнение уравнение вида $loga (x) = b {\ displaystyle log_ {a} (x) = b}$ $log_a(x) = b$ для $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ , у которого есть решение

Икс = ab. {\ Displaystyle X = a ^ {b}.}

X=a^{b}.

Например, если

4 log 5 ⁡ (x - 3) - 2 = 6 {\ displaystyle 4 \ log _ {5 } (x-3) -2 = 6}

4\log _{5}(x-3)-2=6

тогда, добавив 2 к обеим частям уравнения и разделив обе части на 4, мы получим

log 5 ⁡ (x - 3) = 2 { \ displaystyle \ log _ {5} (x-3) = 2}

\log _{5}(x-3)=2

откуда

x - 3 = 5 2 = 25 {\ displaystyle x-3 = 5 ^ {2} = 25}

x-3=5^{2}=25

, откуда получаем

x = 28. {\ displaystyle x = 28.}

x=28.

Радикальные уравнения

x 3 2 ≡ Икс 3 2 {\ Displaystyle {\ overset {} {\ underset {} {{\ sqrt [{2}] {x ^ {3}}} \ Equiv x ^ {\ frac {3} {2}}} }}}

{\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная черта означает, что уравнение верно для всех значений x

Радикальное уравнение - это уравнение, которое включает знак радикала, который включает квадратные корни, $x, {\ displaystyle {\ sqrt { x}},}$ ${\sqrt {x}},$ кубический корень, $x 3 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}}$ ${\sqrt[{3}]{x}}$ и корень n-й степени, $xn {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ . Напомним, что корень n-й степени можно переписать в экспоненциальном формате, так что $xn {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ эквивалентно $x 1 n { \ Displaystyle x ^ {\ frac {1} {n}}}$ $x^{\frac{1}{n}}$ . В сочетании с регулярными показателями (степенями) получается $x 3 2 {\ displaystyle {\ sqrt [{2}] {x ^ {3}}}}$ $\sqrt[2]{x^3}$ (квадратный корень из x в кубе), можно переписать как $x 3 2 {\ displaystyle x ^ {\ frac {3} {2}}}$ $x^{\frac{3}{2}}$ . Итак, обычная форма радикального уравнения: $xmn = a {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x ^ {m}}} = a}$ ${\sqrt[ {n}]{x^{m}}}=a$ (эквивалент $xmn = a {\ displaystyle x ^ {\ frac {m} {n}} = a}$ $x^{{\frac {m}{n}}}=a$ ), где m и n - целые числа. Имеет реальное решение (я):

n нечетно	n четно. и $a ≥ 0 {\ displaystyle a \ geq 0}$ $a \ge 0$	n и m четное . и $a < 0 {\displaystyle a<0}$ $a<0$	n четное, m нечетное, и $a < 0 {\displaystyle a<0}$ $a<0$
$x = amn {\ displaystyle x = {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ $x={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ эквивалентно $x = (an) m {\ displaystyle x = \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}$ $x=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}$	$x = ± amn {\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ $x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ эквивалентно $x = ± (an) m {\ displaystyle x = \ pm \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}$ $x=\pm \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}$	$x = ± amn {\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{ n}] {a ^ {m}}}}$ $x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}$	нет реального решения

n нечетно

n четно. и

a ≥ 0 {\ displaystyle a \ geq 0}

a \ge 0

n и m четное . и

a < 0 {\displaystyle a<0}

a<0

n четное, m нечетное, и

a < 0 {\displaystyle a<0}

a<0

x = amn {\ displaystyle x = {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}

x={\sqrt[{n}]{a^{m}}}

эквивалентно

x = (an) m {\ displaystyle x = \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}

x=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}

x = ± amn {\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}

x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}

эквивалентно

x = ± (an) m {\ displaystyle x = \ pm \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}

x=\pm \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}

x = ± amn {\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{ n}] {a ^ {m}}}}

x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}

нет реального решения

Например, если:

(x + 5) 2/3 = 4 {\ displaystyle (x + 5) ^ {2 / 3} = 4}

(x+5)^{2/3}=4

, затем

x + 5 = ± (4) 3, x + 5 = ± 8, x = - 5 ± 8, {\ displaystyle {\ begin {align} x + 5 = \ pm ({\ sqrt {4}}) ^ {3}, \\ x + 5 = \ pm 8, \\ x = - 5 \ pm 8, \ end {align}}}

{\begin{aligned}x+5=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5=\pm 8,\\x=-5\pm 8,\end{aligned}}

и, следовательно,

x = 3 или x = - 13 {\ displaystyle x = 3 \ quad {\ text {or}} \ quad x = -13}

x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13

Система линейных уравнений

Существуют разные методы решения система линейных уравнений с двумя переменными.

Метод исключения

Набор решений для уравнений

x - y = - 1 {\ displaystyle xy = -1}

x - y = -1

3 x + y = 9 {\ displaystyle 3x + y = 9}

3x + y = 9

- это единственная точка (2, 3).

Пример решения системы линейных уравнений с использованием метода исключения:

{4 x + 2 y = 14 2 x - y = 1. {\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y = 14 \\ 2x-y = 1. \ End {cases}}}

{\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}

Умножение членов во второй уравнение на 2:

4 x + 2 y = 14 {\ displaystyle 4x + 2y = 14}

4x+2y=14

4 x - 2 y = 2. {\ displaystyle 4x-2y = 2.}

4x-2y=2.

Сложение двух уравнения вместе, чтобы получить:

8 x = 16 {\ displaystyle 8x = 16}

8x=16

, что упрощается до

x = 2. {\ displaystyle x = 2.}

x=2.

Поскольку тот факт, что $x = 2 {\ displaystyle x = 2}$ $x = 2$ известен, тогда можно вывести, что $y = 3 {\ displaystyle y = 3}$ $y = 3$ по любому из оригиналов два уравнения (используя 2 вместо x). Полное решение этой проблемы:

{x = 2 y = 3. {\ displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end { case}}}

{\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; y мог быть разрешен до x.

Метод подстановки

Другой способ решения той же системы линейных уравнений - подстановка.

{4 x + 2 y = 14 2 x - y = 1. {\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y = 14 \\ 2x-y = 1. \ End {cases}}}

{\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}

Эквивалент для y можно вывести с помощью одного из двух уравнений. Используя второе уравнение:

2 x - y = 1 {\ displaystyle 2x-y = 1}

2x-y=1

Вычитая $2 x {\ displaystyle 2x}$ $2x$ из каждой стороны уравнения:

2 x - 2 x - y = 1-2 x - y = 1-2 x {\ displaystyle {\ begin {align} 2x-2x-y = 1-2x \\ - y = 1-2x \ end {выровнено}}}

\begin{align}2x - 2x - y = 1 - 2x \\ - y = 1 - 2x \end{align}

и умножаем на -1:

y = 2 x - 1. {\ displaystyle y = 2x-1.}

y=2x-1.

Использование этого значения y в первом уравнении исходной системы:

4 x + 2 (2 x - 1) = 14 4 x + 4 x - 2 = 14 8 x - 2 = 14 {\ displaystyle {\ begin {align} 4x + 2 (2x-1) = 14 \\ 4x + 4x-2 = 14 \\ 8x-2 = 14 \ end {align}}}

\begin{align}4x + 2(2x - 1) = 14\\ 4x + 4x - 2 = 14 \\ 8x - 2 = 14 \end{align}

Добавляем 2 с каждой стороны уравнения:

8 x - 2 + 2 = 14 + 2 8 x = 16 {\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2=14+2\\8x=16\end{aligned}}}

\begin{align}8x - 2 + 2 = 14 + 2 \\ 8x = 16 \end{align}

which simplifies to

x = 2 {\displaystyle x=2 }

x=2

Using this value in one of the equations, the same solution as in the previous method is obtained.

{ x = 2 y = 3. {\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}

{\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}

This is not the only way to solve this specific system; in this case as well, y could have been solved before x.

Other types of systems of linear equations

Inconsistent systems

The equations

3 x + 2 y = 6 {\displaystyle 3x+2y=6}

3x + 2y = 6

and

3 x + 2 y = 12 {\displaystyle 3x+2y=12}

3x + 2y = 12

are parallel and cannot intersect, and is unsolvable.

Plot of a quadratic equation (red) and a linear equation (blue) that do not intersect, and consequently for which there is no common solution.

In the above example, a solution exists. However, there are also systems of equations which do not have any solution. Such a system is called inconsistent. An obvious example is

{ x + y = 1 0 x + 0 y = 2. {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y=1\\0x+0y=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}

\begin{cases}\begin{align} x + y = 1 \\ 0x + 0y = 2\,. \end{align} \end{cases}

As 0≠2, the second equation in the system has no solution. Therefore, the system has no solution. However, not all inconsistent systems are recognized at first sight. As an example, consider the system

{ 4 x + 2 y = 12 − 2 x − y = − 4. {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y=12\\-2x-y=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}

\begin{cases}\begin{align}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -4\,. \end{align}\end{cases}

Multiplying by 2 both sides of the second equation, and adding it to the first one results in

0 x + 0 y = 4, {\displaystyle 0x+0y=4\,,}

0x+0y = 4 \,,

which clearly has no solution.

Undetermined systems

There are also systems which have infinitely many solutions, in contrast to a system with a unique solution (meaning, a unique pair of values for x and y) For example:

{ 4 x + 2 y = 12 − 2 x − y = − 6 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{aligned}}\end{cases}}}

{\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{aligned}}\end{cases}}

Isolating y in the second equation:

y = − 2 x + 6 {\displaystyle y=-2x+6}

y=-2x+6

And using this value in the first equation in the system:

4 x + 2 ( − 2 x + 6) = 12 4 x − 4 x + 12 = 12 12 = 12 {\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}

\begin{align}4x + 2(-2x + 6) = 12 \\ 4x - 4x + 12 = 12 \\ 12 = 12 \end{align}

The equality is true, but it does not provide a value for x. Indeed, one can easily verify (by just filling in some values of x) that for any x there is a solution as long as $y = − 2 x + 6 {\displaystyle y=-2x+6}$ $y = -2x + 6$ . There is an infinite number of solutions for this system.

Over- and underdetermined systems

Systems with more variables than the number of linear equations are called underdetermined. Such a system, if it has any solutions, does not have a unique one but rather an infinitude of them. An example of such a system is

{ x + 2 y = 10 y − z = 2. {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y=10\\y-z=2.\end{aligned}}\end{cases}}}

{\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y=10\\y-z=2.\end{aligned}}\end{cases}}

When trying to solve it, one is led to express some variables as functions of the other ones if any solutions exist, but cannot express all solutions numerically because there are an infinite number of them if there are any.

A system with a higher number of equations than variables is called overdetermined. If an overdetermined system has any solutions, necessarily some equations are linear combinations of the others.