Поле уклона

Визуальное представление решений дифференциального уравнения Поле уклона dy / dx = xx -2, с синей, красной и бирюзовой линиями: (x / 3) - (x / 2) -2x + 4, (x / 3) - (x / 2) -2x и (x / 3) - (x / 2) -2x-4, соответственно.

Решения первого порядка дифференциального уравнения скалярной функции y (x) можно нарисовать в 2-мерном пространстве с помощью x по горизонтали и y по вертикали. Возможные решения - это функции y (x), нарисованные сплошными линиями. Иногда решение дифференциального уравнения аналитически оказывается слишком громоздким. Тогда можно по-прежнему рисовать касательные кривых функций, например. на регулярной сетке. Касательные касаются функций в точках сетки. Однако поле направлений не зависит от хаотических аспектов дифференциального уравнения.

• 1 Определение
  • 1.1 Стандартный случай
  • 1.2 Общий случай системы дифференциальных уравнений
• 2 Общее приложение
• 3 Программное обеспечение для построения полей уклона
  • 3.1 Код поля направления в GNU Octave / MATLAB
  • 3.2 Пример кода для Maxima
  • 3.3 Пример кода для Mathematica
  • 3.4 Пример кода для SageMath
• 4 Примеры
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Стандартный случай

Поле наклона может быть определено для следующего типа дифференциальных уравнений

$y\; \prime \; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; f\; (x,\; y)\}$,

, который можно интерпретировать геометрически как задающий наклон касательной к графику решения дифференциального уравнения (интегральная кривая ) в каждой точке (x, y) в зависимости от координат точки.

Это можно рассматривать как творческий способ построения вещественной функции двух вещественных переменных $f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\}$как плоское изображение. В частности, для данной пары $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$вектор с компонентами $[1,\; f\; (x,\; y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [1,\; f\; (x,\; y)]\}$рисуется в точке $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$на $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$-плоскость. Иногда вектор $[1,\; f\; (x,\; y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [1,\; f\; (x,\; y)]\}$нормализуется, чтобы сделать график более привлекательным для человеческого глаза. Для рисования обычно используется набор пар $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$, образующих прямоугольную сетку.

Изоклина (серия линий с одинаковым уклоном) часто используется для дополнения поля уклона. В уравнении вида $y\; \prime \; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; f\; (x,\; y)\}$изоклина представляет собой линию в $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$-плоскость, полученная установкой $f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\}$равным константе.

Общий случай системы дифференциальных уравнений

Учитывая систему дифференциальных уравнений,

$dx\; 1\; dt\; =\; f\; 1\; (t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{1\}\}\; \{dt\}\}\; =\; f\_\; \{1\}\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$

$dx\; 2\; dt\; =\; f\; 2\; (t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{2\}\}\; \{dt\}\}\; =\; f\_\; \{2\}\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$

$⋮\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdots\}$

$dxndt\; =\; fn\; (t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{n\}\}\; \{dt\; \}\}\; =\; f\_\; \{n\}\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$

поле наклона представляет собой массив отметок наклона в фазовом пространстве (в любом количестве измерений в зависимости от количества соответствующих переменных; например, два в случае линейного ODE первого порядка, как показано справа). Каждая метка наклона центрируется в точке $(t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$и параллельна вектору

$(1\; f\; 1\; (t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; f\; 2\; (t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; ⋮\; fn\; (t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; f\_\; \{1\}\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; \backslash \; f\_\; \{2\}\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; f\_\; \{n\}\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$.

Число, положение и длина отметок уклона могут быть произвольными. Позиции обычно выбираются так, чтобы точки $(t,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$сделать однородную сетку. Стандартный случай, описанный выше, представляет собой $n\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1\}$. Общий случай поля наклона для систем дифференциальных уравнений непросто представить для $n>2\; \{\backslash \; displaystyle\; n>2\}$.

С компьютерами, сложные поля уклона могут быть быстро выполнены без утомления, поэтому лишь недавно они стали применяться на практике просто для того, чтобы почувствовать, каким должно быть решение, прежде чем искать явное общее решение. Конечно, компьютеры могут также просто решить для одного, если оно существует.

Если нет явного общего решения, компьютеры могут использовать поля наклона (даже если они не показаны) для численного поиска графических решений. Примеры таких подпрограмм: метод Эйлера, или лучше, методы Рунге – Кутта.

Различные программные пакеты могут строить поля уклона.

Поле направления c ода в GNU Octave / MATLAB

funn = @ (x, y) y-x; % function f (x, y) = y-x [x, y] = meshgrid (-5: 0,5: 5); % интервалов для наклонов x и y = funn (x, y); % матрица значений уклона dy = slopes. / sqrt (1 + slopes. ^ 2); % нормализовать линейный элемент... dx = ones (length (dy))./ sqrt (1 + slopes. ^ 2); %... величины для dy и dx h = quiver (x, y, dx, dy, 0,5); % построить набор полей направления (h, "maxheadsize", 0,1); % alter head size

Пример кода для Maxima

/ * поле для y '= xy (щелкните точку, чтобы получить интегральную кривую) * / plotdf (x * y, [x, -2,2], [у, -2,2]);

Пример кода для Mathematica

(* поле для y '= xy *) VectorPlot [{1, x * y}, {x, -2,2}, {y, -2, 2}]

Пример кода для SageMath

var ('x, y') plot_slope_field (x * y, (x, -2,2), (y, -2,2))

Примеры

• y '= x / y
• 

  Поле наклона

• 

  Интегральные кривые

• 

  Изоклины (синий), поле наклона (черный) и некоторые кривые решения (красный)

См. Также

• Примеры дифференциальных уравнений
• Векторное поле
• Применение преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям
• Список тем по динамическим системам и дифференциальным уравнениям
• Качественная теория дифференциальных уравнений

Ссылки

• Blanchard, Paul; Девани, Роберт Л. ; и Холл, Глен Р. (2002). Дифференциальные уравнения (2-е изд.). Брукс / Коул: обучение Томпсона. ISBN 0-534-38514-1

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Поле наклона». MathWorld.
• плоттер поля уклона (Java)
• плоттер поля уклона (JavaScript)