Третья производная

В исчисление, ветвь математики, третья производная - это скорость, с которой вторая производная, или скорость изменения скорость изменения, меняется, используется для определения отклонения от нормы. Третья производная функции $f\; (x)\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; y\}$может быть обозначена как

$d\; 3\; ydx\; 3,\; f\; ‴\; (x)\; или\; d\; 3\; dx\; 3\; [f\; (x)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\},\; \backslash \; quad\; f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(x),\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\; \}\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}\; [f\; (x)].\}$

Могут использоваться и другие обозначения, но наиболее распространены приведенные выше.

Содержание

• 1 Математические определения
• 2 Приложения в геометрии
• 3 Приложения в физике
• 4 Экономический пример
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Математические определения

Пусть $f\; (x)\; =\; x\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{4\}\}$. Тогда $f\; \prime \; (x)\; =\; 4\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(x)\; =\; 4x\; ^\; \{3\}\}$и $f\; ″\; (x)\; =\; 12\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; 12x\; ^\; \{2\}\}$. Следовательно, третья производная от f (x) в данном случае равна

$f\; ‴\; (x)\; =\; 24\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(x)\; =\; 24x\}$

или, используя Leibniz обозначение,

$d\; 3\; dx\; 3\; [x\; 4]\; =\; 24\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}\; [x\; ^\; \{4\}]\; =\; 24x\}$

Сейчас для более общего определения. Пусть $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$- любая функция от x. Тогда третья производная от $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$дается следующим образом:

$d\; 3\; dx\; 3\; [f\; (x)]\; =\; ddx\; [f\; ″\; (x)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\}\; \{dx\; ^\; \{3\}\}\}\; [f\; (x)]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; [f\; \text{'}\text{'}\; (x)]\; \}$

Третья производная - это скорость, с которой вторая производная (f '' (x)) изменяется.

Применения в геометрии

В дифференциальной геометрии, кручение кривой - фундаментальное свойство кривых в трех измерениях - вычисляется с использованием третьего производные координатных функций (или вектор положения), описывающие кривую.

Приложения в физике

В физике, в частности кинематике, рывок определяется как третья производная функции положения объекта. По сути, это скорость, с которой изменяется ускорение. В математических терминах:

$j\; (t)\; =\; d\; 3\; rdt\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{dt\; ^\; \{3\}\}\; \}\}$

где j (t) - функция рывка относительно времени, а r (t) - функция положения объекта относительно времени.

Экономический пример

Во время предвыборной кампании за второй срок президент США Ричард Никсон объявил, что темпы роста инфляции снижаются, что было отмечено как " первый раз действующий президент использовал третью производную, чтобы выдвинуть свои аргументы в пользу переизбрания ». Поскольку инфляция сама по себе является производной - скоростью, с которой снижается покупательная способность денег, - то скорость роста инфляции является производной инфляции, противоположной по знаку второй производной по времени покупательной способности денег. Деньги. Заявление о том, что функция убывает, эквивалентно заявлению о том, что ее производная отрицательна, поэтому утверждение Никсона состоит в том, что вторая производная инфляции отрицательна, а третья производная покупательной способности положительна.

Однако заявление Никсона допускало рост инфляции, поэтому его заявление не было таким показателем стабильности цен, как кажется.

См. Также

• Производная (математика)
• Вторая производная

Ссылки