Классификация разрывов

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике, функциях и приложениях. Однако не все функции являются непрерывными. Если функция не является непрерывной в точке в ее области, говорят, что у нее есть разрыв . Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным множеством , плотным множеством или даже всей областью определения функции. В данной статье описывается классификация разрывов в простейшем случае, когда функции одной действительной переменной принимают действительные значения.

колебание функции в точке количественно оценивает эти неоднородности следующим образом:

• в устраняемой неоднородности расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• в скачкообразном скачке размер скачка представляет собой колебание (при условии, что значение в точке лежит между этими пределами двух сторон);
• на существенном скачке колебания измеряют несуществование лимита. Предел является постоянным.

Особым случаем является, если функция расходится до бесконечности или минус бесконечности, и в этом случае колебания не определены (в расширенных вещественных числах это устранимый разрыв).

• 1 Классификация
  • 1.1 Устраняемая неоднородность
  • 1.2 Непрерывность скачка
  • 1.3 Существенная несплошность
• 2 Набор разрывов функции
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Источники
• 7 Внешние ссылки

Для каждого из следующих случаев рассмотрим действительную функцию f действительной переменной x, определенную в окрестности точки x 0, при котором f не является непрерывным.

Устранимый разрыв

Функция в примере 1, устраняемый разрыв

Рассмотрим функцию

Точка x 0 = 1 является устранимый разрыв. Для такого рода разрывов:

односторонний предел от отрицательного направления:

$L\; -\; =\; lim\; x\; \to \; x\; 0\; -\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{-\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{-\}\}\; f\; (x)\}$

и односторонний предел от положительного направления:

$L\; +\; =\; lim\; x\; \to \; x\; 0\; +\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{+\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{+\}\}\; f\; (x)\}$

при x 0 оба существуют, конечны и равны L = L = L. Другими словами, поскольку два односторонних предела существуют и равны, предел L функции f (x) при приближении x к x 0 существует и равен этому же значению. Если ac Если фактическое значение f (x 0) не равно L, то x 0 называется устранимым разрывом . Этот разрыв можно удалить, чтобы сделать f непрерывным в точке x 0, или, точнее, функция

$g\; (x)\; =\; \{f\; (x)\; x\; \ne \; x\; 0\; L\; x\; =\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f\; (x)\; x\; \backslash \; neq\; x\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; L\; x\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

непрерывно при x = x 0.

термин «устранимая прерывность» иногда является злоупотреблением терминологией для случаев, когда ограничения в обоих направлениях существуют и равны, в то время как функция undefined в точке x 0. Такое использование является оскорбительным, поскольку непрерывность и прерывность функции - это понятия, определенные только для точек в области определения функции. Такая точка, не входящая в домен, правильно называется устранимой сингулярностью.

скачкообразный разрыв

Функция в примере 2, скачкообразный разрыв

Рассмотрим функцию

Тогда точка x 0 = 1 является скачкообразным разрывом.

В этом случае единственного предела не существует, потому что существуют односторонние пределы L и L и конечны, но не равны: поскольку, L ≠ L, предел L не существует. Тогда x 0 называется скачкообразным разрывом, скачкообразным разрывом или разрывом первого рода. Для этого типа разрывов функция f может иметь любое значение в x 0.

Существенный разрыв

Функция в примере 3, существенный разрыв

Для существенного разрыва, только на e из двух односторонних пределов может не существовать или быть бесконечным. Рассмотрим функцию

Тогда точка $x\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; 1\}$является существенным разрывом.

В этом случае $L\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{-\}\}$не существует, а $L\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{+\}\}$бесконечно, что удовлетворяет в два раза больше условий существенного разрыва. Таким образом, x 0 является существенным разрывом, бесконечным разрывом или разрывом второго рода (это отличается от существенной сингулярности, которая часто используется при изучении функций комплексных переменных.)

Множество точек, в которых функция является непрерывной, всегда является Gδмножеством. Набор разрывов - это Fσнабор.

Набор разрывов s монотонной функции не более чем счетно. Это теорема Фроды.

Функция Тома разрывна в каждой рациональной точке, но непрерывна в каждой иррациональной точке. Согласно первому абзацу не существует функции, непрерывной в каждой рациональной точке, но разрывной в каждой иррациональной точке.

индикаторная функция рациональных чисел, также известная как функция Дирихле, везде прерывна.

• Устранимая сингулярность
• Математическая особенность
• Расширение по непрерывности

• Малик, Южная Каролина; Арора, Савита (1992). Математический анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-470-21858-4.

• «Прерывистые». PlanetMath.
• «Discontinuity» от Эд Пегг младший, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Вайсштейн, Эрик У. «Непрерывность». MathWorld.
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press