Устранимая особенность

редактировать

График параболы с устранимой сингулярностью в точке x = 2

В комплексный анализ, устранимая особенность голоморфной функции - это точка, в которой функция не определена, но можно переопределить функцию в этой точке в таким образом, чтобы результирующая функция была регулярной в окрестности этой точки.

Например, (ненормализованная) функция sinc

sinc (z) = sin ⁡ zz {\ displaystyle {\ text {sinc}} (z) = {\ frac {\ sin z } {z}}}

{\ text {sinc}} (z) = {\ frac {\ sin z} {z}}

имеет особенность в точке z = 0. Эту особенность можно удалить, определив $sinc (0): = 1 {\ displaystyle {\ text {sinc}} (0): = 1 }$ ${\ displaystyle {\ text {sinc}} (0): = 1}$ , который является пределом для $sinc {\ displaystyle {\ text {sinc}}}$ ${\ displaystyle {\ text {sinc}}}$ , когда z стремится к 0. В результате получается функция голоморфный. В этом случае проблема была вызвана тем, что $sinc {\ displaystyle {\ text {sinc}}}$ ${\ displaystyle {\ text {sinc}}}$ была задана неопределенная форма. Разложение в степенной ряд для $sin ⁡ (z) z {\ displaystyle {\ frac {\ sin (z)} {z}}}$ ${\ frac {\ sin (z)} {z}}$ вокруг особой точки показывает, что

sinc ( г) знак равно 1 Z (∑ К знак равно 0 ∞ (- 1) kz 2 к + 1 (2 к + 1)!) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ (- 1) kz 2 к (2 к + 1)! = 1 - z 2 3! + z 4 5! - z 6 7! + ⋯. {\ displaystyle {\ text {sinc}} (z) = {\ frac {1} {z}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k + 1)!}} = 1 - {\ frac {z ^ {2}} {3!}} + {\ Frac {z ^ {4}} {5!}} - {\ frac {z ^ {6}} {7!}} + \ cdots.}

{\ text {sinc}} (z) = {\ frac {1} {z}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} \ Right) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k + 1)!}} = 1 - {\ frac {z ^ {2}} {3!}} + {\ frac {z ^ {4}} {5! }} - {\ frac {z ^ {6}} {7!}} + \ cdots.

Формально, если $U ⊂ C {\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}}$ $U \ subset \ mathbb { C}$ является открытое подмножество комплексной плоскости $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , $a ∈ U {\ displaystyle a \ in U}$ $a \ in U$ точка из $U {\ displaystyle U}$ $U$ и $f: U ∖ {a} → C {\ displaystyle f: U \ setminus \ {a \} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $f: U \ setminus \ {a \} \ rightarrow \ mathbb {C}$ является голоморфной функцией, тогда $a {\ displaystyle a}$ $a$ называется устранимой сингулярностью для $f {\ displaystyle f}$ $f$ , если существует голоморфная функция $g: U → C {\ displaystyle g: U \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $g: U \ rightarrow \ mathbb {C}$ , которая совпадает с $f {\ displaystyle f}$ $f$ на $U ∖ {a} {\ displaystyle U \ setminus \ {a \}}$ $U \ setminus \ {a \}$ . Мы говорим, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ голоморфно расширяем на $U {\ displaystyle U}$ $U$ , если такой $g {\ displaystyle g}$ $g$ существует.

Содержание

1 Теорема Римана
2 Другие виды особенностей
3 См. Также
4 Внешние ссылки

Теорема Римана

Теорема Римана об устранимых особенностях выглядит следующим образом:

Теорема. Пусть $D ⊂ C {\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C}}$ - открытое подмножество комплексной плоскости, $a ∈ D {\ displaystyle a \ in D}$ $a \ in D$ точка $D {\ displaystyle D}$ $D$ и $f {\ displaystyle f}$ $f$ определена голоморфная функция на множестве $D ∖ {a} {\ displaystyle D \ setminus \ {a \}}$ $D \ setminus \ {a \ }$ . Следующие значения эквивалентны:

$f {\ displaystyle f}$ $f$ голоморфно расширяется на $a {\ displaystyle a}$ $a$ .
$f {\ displaystyle f}$ $f$ непрерывно расширяется на $a {\ displaystyle a}$ $a$ .
Существует окрестность из $a {\ displaystyle a}$ $a$ , на которой $f {\ displaystyle f }$ $f$ ограничено.
$lim z → a (z - a) f (z) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} (za) f (z) = 0}$ $\ lim _ {z \ to a} (za) f (z) = 0$ .

Импликации 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 тривиальны. Чтобы доказать 4 ⇒ 1, сначала напомним, что голоморфность функции в $a {\ displaystyle a}$ $a$ эквивалентна ее аналитической в $a {\ displaystyle a}$ $a$ (proof ), т.е. имеющий представление в виде степенного ряда. Определим

h (z) = {(z - a) 2 f (z) z ≠ a, 0 z = a. {\ displaystyle h (z) = {\ begin {cases} (za) ^ {2} f (z) z \ neq a, \\ 0 z = a. \ end {cases}}}

h (z) = {\ begin {cases} (za) ^ {2} f (z) z \ neq a, \\ 0 z = a. \ end {cases}}

Ясно, что h голоморфна на D \ {a}, и существует

h ′ (a) = lim z → a (z - a) 2 f (z) - 0 z - a = lim z → a (z - a) f (z) = 0 {\ displaystyle h '(a) = \ lim _ {z \ to a} {\ frac {(za) ^ {2} f (z) -0} {za}} = \ lim _ { z \ to a} (za) f (z) = 0}

h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0

на 4, следовательно, h голоморфна на D и имеет ряд Тейлора относительно a:

h (z) = c 0 + c 1 (z - а) + с 2 (г - а) 2 + с 3 (г - а) 3 + ⋯. {\ displaystyle h (z) = c_ {0} + c_ {1} (za) + c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + \ cdots \,. }

h ( z) = c_ {0} + c_ {1} (za) + c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + \ cdots \,.

Имеем c 0 = h (a) = 0 и c 1 = h '(a) = 0; поэтому

h (z) = c 2 (z - a) 2 + c 3 (z - a) 3 + ⋯. {\ displaystyle h (z) = c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + \ cdots \,.}

h (z) = c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + \ cdots \,.

Следовательно, где z ≠ a, мы имеем :

f (z) = h (z) (z - a) 2 = c 2 + c 3 (z - a) + ⋯. {\ displaystyle f (z) = {\ frac {h (z)} {(za) ^ {2}}} = c_ {2} + c_ {3} (za) + \ cdots \,.}

f (z) = {\ frac {h (z)} {(za) ^ {2}}} = c_ {2} + c_ {3} (za) + \ cdots \,.

Однако

g (z) = c 2 + c 3 (z - a) + ⋯. {\ displaystyle g (z) = c_ {2} + c_ {3} (z-a) + \ cdots \,.}

g (z) = c_ {2} + c_ {3} (za) + \ cdots \,.

голоморфен на D, таким образом, это расширение f.

Другие виды особенностей

В отличие от функций действительного переменного, голоморфные функции достаточно жесткие, чтобы их изолированные особенности можно было полностью классифицировать. Сингулярность голоморфной функции на самом деле либо не является особенностью вообще, то есть устранимой особенностью, либо является одним из следующих двух типов:

В свете теоремы Римана при наличии неустранимой особенности можно спросить, существует ли естественная особенность. число $m {\ displaystyle m}$ $m$ такое, что $lim z → a (z - a) m + 1 f (z) = 0 {\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow a } (za) ^ {m + 1} f (z) = 0}$ $\ lim _ {z \ rightarrow a} (za) ^ {m + 1} f (z) = 0$ . В этом случае $a {\ displaystyle a}$ $a$ называется pole of $f {\ displaystyle f}$ $f$ . и наименьшее из таких $m {\ displaystyle m}$ $m$ - это order из $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Таким образом, устранимые особенности - это в точности полюса порядка 0. Голоморфная функция равномерно раздувается вблизи других своих полюсов.
Если изолированная особенность $a {\ displaystyle a}$ $a$ из $f {\ displaystyle f}$ $f$ не является ни съемным, ни полюсом, это называется существенной особенностью. Великая теорема Пикара показывает, что такая $f {\ displaystyle f}$ $f$ отображает каждую проколотую открытую окрестность $U ∖ {a} {\ displaystyle U \ setminus \ { a \}}$ $U \ setminus \ {a \}$ на всю комплексную плоскость, за возможным исключением не более одной точки.

См. также

Внешние ссылки

Удаляемая особая точка в Энциклопедия математики