G _δ набор

В математической области топологии, A G amp; delta множество является подмножеством из топологического пространства, которое является счетным пересечением из открытых множеств. Обозначение возникло в немецком языке с G для Gebiet ( немецкий: область или окрестности), означающего открытое множество в этом случае и δ для Durchschnitt ( немецкий: пересечение). Также используется термин внутренний ограничивающий набор. Множества G δ и двойственные им множества F 𝜎 являются вторым уровнем борелевской иерархии.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 свойства
  • 3.1 Основные свойства
  • 3.2 Непрерывность действительных функций
• 4 G δ пространство
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 ссылки

В топологическом неформатированном пространстве G amp; delta множество является счетным пересечением из открытых множеств. Множества G δ - это в точности уровень Π⁰ _{2множества борелевской иерархии.}

• Любое открытое множество тривиально является множеством G δ.
• В иррациональных числах являются G amp; delta множества в действительных числах. Они могут быть записаны в виде счетного пересечения открытых множеств (верхний индекс, обозначающий дополнение ), где является рациональным. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ {д \} ^ {с}}$ ${\ displaystyle q}$
• Множество рациональных чисел является не а ^ amp; delta множества в. Если бы было пересечение открытых множеств, каждое из них было бы плотным в, потому что оно плотно в. Однако приведенная выше конструкция дала иррациональные числа как счетное пересечение открытых плотных подмножеств. Пересечение обоих этих множеств дает пустое множество как счетное пересечение открытых плотных множеств в, что является нарушением теоремы Бэра о категории. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Множество непрерывности любой вещественной функции является G amp; delta подмножество своей области (смотрите раздел свойства для более общего и полного заявления).
• Множество нулей производной всюду дифференцируемой вещественнозначной функции на является множеством G δ ; это может быть плотное множество с пустой внутренней частью, как показывает конструкция Помпейу. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Более сложный пример множества G δ дается следующей теоремой:

Теорема: множество содержит плотное G δ подмножество метрического пространства. (См. Функцию Вейерштрасса § Плотность нигде не дифференцируемых функций. ) ${\ displaystyle D = \ left \ {f \ in C ([0,1]): f {\ text {не дифференцируем ни в одной точке}} [0,1] \ right \}}$${\ Displaystyle С ([0,1])}$

Понятие множеств G δ в метрических (и топологических ) пространствах связано с понятием полноты метрического пространства, а также с теоремой Бэра о категории. См. Результат о полностью метризуемых пространствах в списке свойств ниже.

${\ displaystyle \ mathrm {G _ {\ delta}}}$множества и их дополнения также важны в реальном анализе, особенно в теории меры.

Основные свойства

• Дополнением множества А G amp; delta множества является F сг множество, и наоборот.
• Пересечение счетного числа множеств G δ является множеством G δ.
• Объединение конечного числа множеств G δ является множеством G δ.
• Счетное объединение G δ множеств (которое можно было бы назвать G δσ множеством), вообще говоря, не является G δ множеством. Например, рациональные числа не образуют множество G δ.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• В топологическом пространстве, множество нулей каждой вещественной непрерывной функции является G amp; delta множества, так как есть пересечение открытых множеств,.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle \ {x \ in X: -1 / n lt;f (x) lt;1 / n \}}$${\ Displaystyle (п = 1,2, \ ldots)}$
• В метризуемом пространстве каждое замкнутое множество является множеством G δ и, соответственно, каждое открытое множество является множеством F σ. Действительно, замкнутое множество - это нулевое множество непрерывной функции, где указывает расстояние от точки до множества. То же самое и в псевдометризуемых пространствах.${\ Displaystyle F \ substeq X}$${\ Displaystyle е (х) = d (х, F)}$${\ displaystyle d}$
• В первом счетном пространстве T 1 каждый элемент является множеством G δ.
• Подпространство из полностью метризуемом пространства сам по себе вполне метризуемо тогда и только тогда, когда является G amp; delta множества в.${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$

Следующие результаты относятся к польским пространствам :

• Позвольте быть польское пространство. Тогда подмножество с топологией подпространства является польским тогда и только тогда, когда оно является множеством G δ в.${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle G \ substeq X}$ ${\ displaystyle X}$
• Топологическое пространство является польским тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно G δ подмножеству компактного метрического пространства. ${\ displaystyle X}$

Множество непрерывности действительных функций

Свойство множеств состоит в том, что они являются возможными множествами, на которых функция из топологического пространства в метрическое пространство непрерывна. Формально: множество точек, в которых такая функция непрерывна, является множеством. Это потому, что непрерывность в точке может быть определена формулой, а именно: для всех положительных целых чисел существует открытое множество, содержащее такое, что для всех в. Если значение фиксировано, то множество, для которого существует такое соответствующее открытое множество, само является открытым множеством (являющимся объединением открытых множеств), а универсальный квантор on соответствует (счетному) пересечению этих множеств. В реальной строке верно и обратное; для любого подмножества G δ вещественной прямой существует функция, непрерывная точно в точках из. Как следствие, хотя иррациональные числа могут быть множеством точек непрерывности функции (см. Функцию попкорна ), невозможно построить функцию, которая была бы непрерывной только на рациональных числах. ${\ displaystyle \ mathrm {G _ {\ delta}}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathrm {G _ {\ delta}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {0}}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle д (е (х), е (у)) lt;1 / п}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A}$

A G amp; delta ; пространство является топологическим пространством, в котором каждое замкнутое множество является G amp; delta ; множество ( Джонсон 1970). Нормальное пространство, которое является также G amp; delta пространства называется совершенно нормальным. Например, любое метризуемое пространство совершенно нормально.

• F σ множество, двойственное понятие; обратите внимание, что «G» - немецкий ( Gebiet ), а «F» - французский ( fermé ).
• P -пространство, любое пространство, обладающее тем свойством, что каждоемножествоG δ открыто

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология. Heldermann Verlag, Берлин. ISBN   3-88538-006-4.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология. ван Ностранд. п.  134.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   978-0-486-68735-3. Руководство по ремонту   0507446.
• Fremlin, DH (2003) [2003]. «4, Общая топология». Теория меры, Том 4. Петербург, Англия: Логистика электронных книг. ISBN   0-9538129-4-4. Архивировано из оригинала на 1 ноября 2010 года. Проверено 1 апреля 2011 года.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( переиздание Dover 1970 года), Addison-Wesley
• Джонсон, Рой А. (1970). «Компактное неметризуемое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является G-дельтой». Американский математический ежемесячник. 77 (2): 172–176. DOI : 10.2307 / 2317335. JSTOR   2317335.