Вертикальный тангенс

редактировать

Вертикальный касательный к функции ƒ (x) при x = c.

В математике, в частности исчисление, вертикальная касательная - это касательная линия, которая является вертикальной. Поскольку вертикальная линия имеет бесконечный наклон, функция , у которой график имеет вертикальный тангенс, не дифференцируема в точка касания.

Содержание

1 Определение предела
2 Вертикальные выступы
3 Пример
4 Ссылки

Определение предела

Функция ƒ имеет вертикальную касательную в точке x = a, если коэффициент разности, используемый для определения производной, имеет бесконечный предел :

lim h → 0 f (a + h) - f (a) h = + ∞ или lim h → 0 f (a + h) - f (a) h = - ∞. {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ \ infty} \ quad {\ text {или}} \ quad \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {- \ infty}.}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ \ infty} \ quad {\ text {или}} \ quad \ lim _ {h \ to 0} {\ гидроразрыва {е (a + h) -f (a)} {h}} = {- \ infty}.}

Первый случай соответствует вертикальной касательной, идущей вверх, а во втором случае - наклонной вертикальной касательной. Неформально говоря, график имеет вертикальную касательную в точке x = a, если производная в точке a равна либо положительной, либо отрицательной бесконечности.

Для непрерывной функции часто можно обнаружить вертикальную касательную, взяв предел производной. Если

lim x → af '(x) = + ∞, {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f' (x) = {+ \ infty} {\ text {,}}}

\lim _{x\to a}f'(x)={+\infty }{\text{,}}

тогда должна иметь наклонную вверх вертикальную касательную в точке x = a. Аналогично, если

lim x → af '(x) = - ∞, {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f' (x) = {- \ infty} {\ text {,}}}

\lim _{x\to a}f'(x)={-\infty }{\text{,}}

, то ƒ должна иметь наклонную вниз вертикальную касательную в точке x = a. В этих ситуациях вертикальная касательная к ƒ появляется как вертикальная асимптота на графике производной.

Вертикальные выступы

Тесно связаны с вертикальными касательными вертикальными выступами. Это происходит, когда односторонние производные обе бесконечны, но одна положительна, а другая отрицательна. Например, если

lim h → 0 - f (a + h) - f (a) h = + ∞ и lim h → 0 + f (a + h) - f (a) h = - ∞, { \ displaystyle \ lim _ {h \ to 0 ^ {-}} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {+ \ infty} \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}} = {- \ infty} {\ text {,}}}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0 ^ {-}} {\ frac {f ( a + h) -f (a)} {h}} = {+ \ infty} \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} {\ frac {f ( a + h) -f (a)} {h}} = {- \ infty} {\ text {,}}}

то график ƒ будет иметь вертикальный выступ, который наклоняется вверх с левой стороны и вниз с правой стороны.

Как и в случае с вертикальными касательными, вертикальные перегибы иногда могут быть обнаружены для непрерывной функции путем изучения предела производной. Например, если

lim x → a - f ′ (x) = - ∞ и lim x → a + f ′ (x) = + ∞, {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {-} } f '(x) = {- \ infty} \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {x \ to a ^ {+}} f' (x) = {+ \ infty} {\ text {,}}}

\lim _{x\to a^{-}}f'(x)={-\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)={+\infty }{\text{,}}

тогда график ƒ будет иметь вертикальный выступ в точке x = a, который наклоняется вниз с левой стороны и вверх с правой стороны. Это соответствует вертикальной асимптоте на графике производной, которая идет к $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ слева и $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ справа.