Логарифм

Функция, обратная экспоненциальной, которая преобразует продукты в суммы.

Графики функций логарифма с тремя обычно используемыми основаниями. Особые точки log b b = 1 обозначены пунктирными линиями, и все кривые пересекаются в log b 1 = 0. График логарифм с основанием 2 пересекает ось x при x = 1 и проходит через точки (2, 1), (4, 2) и (8, 3), отображая, например, log 2 (8) = 3 и 2 = 8. График произвольно приближается к оси y, но не соответствует ей.

В математике логарифм - это функция, обратная к возведению в степень. Это означает, что логарифм данного числа x является показателем степени, до которого необходимо возвести другое фиксированное число, основание b, чтобы получить это число x. В простейшем случае логарифм подсчитывает количество вхождений одного и того же множителя при повторном умножении; например, поскольку 1000 = 10 × 10 × 10 = 10, «логарифм по основанию 10» 1000 равен 3, или log 10 (1000) = 3. Логарифм от x до основания b обозначается как log b (x), или без круглых скобок, log b x, или даже без явного основания, log x, когда путаница невозможна или когда основание не имеет значения, например в нотации big O.

В более общем смысле возведение в степень позволяет возвести любое положительное действительное число в качестве основания в любую действительную степень, всегда давая положительный результат, поэтому log b (x) для любых двух положительных действительных чисел b и x, где b не равно 1, всегда является уникальным действительным числом y. Более точно, определяющее соотношение между возведением в степень и логарифмом:

$log\; b\; \; (x)\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; (x)\; =\; y\; \backslash \}$, если точно $на\; знак\; равно\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; b\; ^\; \{y\}\; =\; x\; \backslash \}$и $x>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x>0\}$и $b>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; b>\}$и $b\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; b\; \backslash \; neq\; 1\}$.

Например, log 2 64 = 6, как 2 = 64.

Логарифм по основанию 10 ( то есть b = 10) называется десятичным логарифмом и обычно используется в науке и технике. В основе натурального логарифма лежит число e (то есть b ≈ 2,718); его использование широко распространено в математике и физике из-за его более простого интеграла и производной. Двоичный логарифм использует основание 2 (то есть b = 2) и обычно используется в информатике. Логарифмы - это примеры вогнутых функций..

Логарифмы были введены Джоном Напье в 1614 году как средство упрощения вычислений. Они были быстро приняты навигаторами, учеными, инженерами, геодезистами и другими, чтобы упростить выполнение высокоточных вычислений. Используя таблицы логарифмов, утомительные шаги многозначного умножения могут быть заменены поиском в таблице и более простым сложением. Это возможно благодаря тому факту, который важен сам по себе, что логарифм произведения является суммой логарифмов факторов:

$log\; b\; \; (xy)\; =\; журнал\; b\; \; Икс\; +\; журнал\; b\; \; Y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; (xy)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; y,\; \backslash ,\}$

при условии, что b, x и y положительны, а b 1. Логарифмическая линейка , также основанная на логарифмах, позволяет выполнять быстрые вычисления без таблиц, но с меньшей точностью. Современное понятие логарифмов происходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в 18 веке, а также ввел букву e в качестве основания натуральных логарифмов.

Логарифмические шкалы уменьшают масштабные величины до крошечных масштабов. Например, децибел (дБ) - это единица, используемая для выражения отношения в виде логарифмов, в основном для мощности и амплитуды сигнала (из которых звуковое давление - типичный пример). В химии pH - это логарифмическая мера для кислотности водного раствора. Логарифмы - обычное дело в научных формулах, а также в измерениях сложности алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталами. Они помогают описывать частотные соотношения музыкальных интервалов, появляются в формулах, считающих простых чисел или приближающих факториалов, используется в некоторых моделях психофизики и может помочь в судебно-бухгалтерском учете.

Точно так же, как логарифм обращает возведение в степень, комплексный логарифм равен функция, обратная экспоненциальной функции, независимо от того, применяется ли она к действительным числам или комплексным числам. Модульный дискретный логарифм - другой вариант; он используется в криптографии с открытым ключом.

• 1 Мотивация и определение
  • 1.1 Возведение в степень
  • 1.2 Определение
  • 1.3 Примеры
• 2 Логарифмические идентификаторы
  • 2.1 Продукт, частное, мощность и корень
  • 2.2 Изменение основания
• 3 Особые основания
• 4 История
• 5 Таблицы логарифмов, правила слайдов и исторические приложения
  • 5.1 Таблицы журнала
  • 5.2 Вычисления
  • 5.3 Скользящие правила
• 6 Аналитические свойства
  • 6.1 Логарифмическая функция
  • 6.2 Обратная функция
  • 6.3 Производная и первообразная
  • 6.4 Интегральное представление натурального логарифма
  • 6.5 Трансцендентность логарифма
• 7 Вычисление
  • 7.1 Степенный ряд
  • 7.2 Приближение среднего арифметического и геометрического
  • 7.3 Алгоритм Фейнмана
• 8 Приложения
  • 8.1 Логарифмическая шкала
  • 8.2 Психология
  • 8.3 Теория вероятностей и статистика
  • 8.4 Вычислительная сложность
  • 8.5 Энтропия и хаос
  • 8.6 Фракталы
  • 8.7 Музыка
  • 8.8 Теория чисел
• 9 Обобщения
  • 9.1 Комплексный логарифм
  • 9.2 Инверсия других экспоненциальных функций
  • 9.3 Понятия, связанные с данным
• 10 См. Также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Сложение, умножение и возведение в степень - три из самых фундаментальных арифметических операций. Сложение, простейшее из них, отменяется вычитанием: когда вы прибавляете 5 к x, чтобы получить x + 5, чтобы отменить эту операцию, вам нужно вычесть 5 из x + 5. Умножение, следующая простейшая операция, отменяется деление : если вы умножите x на 5, чтобы получить 5x, вы затем можете разделить 5x на 5, чтобы вернуться к исходному выражению x. Логарифмы также отменяют основную арифметическую операцию возведения в степень. Возведение в степень - это когда вы увеличиваете число до определенной степени. Например, возведение 2 в степень 3 равно 8:

$2\; 3\; =\; 2\; \times \; 2\; \times \; 2\; =\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{3\}\; =\; 2\; \backslash \; times\; 2\; \backslash \; times\; 2\; =\; 8\}$

Общий случай это когда вы возводите число b в степень y, чтобы получить x:

$by\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{y\}\; =\; x\}$

Число b упоминается как основание этого выражения. Основание - это число, возведенное в определенную степень. В приведенном выше примере основание выражения $2\; 3\; =\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{3\}\; =\; 8\}$равно 2. Сделать основание предметом выражения легко: все, что вам нужно сделать, это взять корень y-й степени из обеих частей. Это дает:

$b\; =\; x\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{y\}]\; \{x\}\}\}$

Труднее сделать y объектом выражения. Логарифмы позволяют нам сделать это:

$y\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\}$log bx

Это выражение означает, что y равно степени, в которую вы должны возвести b, чтобы получить x. Эта операция отменяет возведение в степень, потому что логарифм x сообщает вам показатель степени, до которого было возведено основание.

Возведение в степень

В этом подразделе содержится краткий обзор операции возведения в степень, которая имеет фундаментальное значение для понимания логарифмов. Возведение b в n-ю степень, где n - натуральное число , выполняется путем умножения n множителей, равных b. N-я степень числа b записывается как b, так что

$bn\; =\; b\; \times \; b\; \times \; \cdots \; \times \; b\; ⏟\; n\; факторов\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{b\; \backslash \; times\; b\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; b\}\; \_\; \{n\; \{\backslash \; text\; \{факторы\}\}\}\}$

Возведение в степень можно расширить до b, где b - положительное число, а показатель степени y - любое действительное число. Например, b - это , обратное для b, то есть 1 / b. Возведение b в степень 1/2 - это квадратный корень из b.

В более общем смысле, возведение b в рациональную степень p / q, где p и q - целые числа, задается как

$bp\; /\; q\; =\; bpq,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{\; p\; /\; q\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{q\}]\; \{b\; ^\; \{p\}\}\},\}$

корень q-й степени из $bp\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{p\}\; \backslash !\; \backslash !\}$.

Наконец, любое иррациональное число (действительное число, которое не является рациональным) y может быть аппроксимировано с произвольной точностью рациональными числами. Это можно использовать для вычисления y-й степени числа b: например, $2\; \approx \; 1,414...\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1,414...\}$и $b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$все более хорошо аппроксимируется с помощью $b\; 1,\; b\; 1.4,\; b\; 1.41,\; b\; 1.414,...\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{1\},\; b\; ^\; \{1.4\},\; b\; ^\; \{1.41\},\; b\; ^\; \{1.414\},...\}$. Более подробное объяснение, а также формула b = b · b содержатся в статье о возведении в степень.

Определение

Логарифм положительного действительного числа x по основанию b - это показатель степени, на который необходимо возвести b, чтобы получить x. Другими словами, логарифм x по основанию b является решением y уравнения

$b\; y\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{y\}\; =\; x.\}$

Логарифм обозначается как "log b x" (произносится как "логарифм от x до основания b" или "логарифм по основанию b x "или (чаще всего)" журнал, основание b, x ").

В уравнении y = log b x значение y является ответом на вопрос «В какую степень необходимо возвести b, чтобы получить x?».

Примеры

• log 2 16 = 4, поскольку 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
• Логарифмы также могут быть отрицательными: $журнал\; 2\; 1\; 2\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; =\; -\; 1\; \backslash \; quad\}$, поскольку $2\; -\; 1\; =\; 1\; 2\; 1\; =\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; 2\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\}$
• журнал 10 150 составляет приблизительно 2,176, что находится между 2 и 3, точно так же, как 150 находится между 10 = 100 и 10 = 1000.
• Для любого основания b, log b b = 1 и log b 1 = 0, поскольку b = b и b = 1, соответственно.

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами, связывают логарифмы друг с другом.

Произведение, частное, степень и корень

Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм p-й степени числа равен p, умноженному на логарифм самого числа; логарифм корня p-й степени - это логарифм числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждая из идентичностей может быть получена после подстановки определений логарифма $x\; =\; b\; log\; b\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\; ^\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\}\}$или $y\; =\; b\; log\; b\; \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; b\; ^\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; y\}\}$в левой части.

	Формула	Пример
Продукт	$журнал\; b\; \; (xy)\; =\; журнал\; b\; \; x\; +\; log\; b\; \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; (xy)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; y\}$	$журнал\; 3\; \; 243\; =\; журнал\; 3\; \; (9\; \cdot \; 27)\; =\; журнал\; 3\; \; 9\; +\; журнал\; 3\; \; 27\; =\; 2\; +\; 3\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{3\}\; 243\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{3\}\; (9\; \backslash \; cdot\; 27)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{3\}\; 9+\; \backslash \; log\; \_\; \{3\}\; 27\; =\; 2\; +\; 3\; =\; 5\}$
Коэффициент	$log\; bxy\; =\; log\; b\; \; x\; -\; log\; b\; \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x-\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; y\}$	$журнал\; 2\; \; 16\; =\; журнал\; 2\; 64\; 4\; =\; журнал\; 2\; \; 64\; -\; журнал\; 2\; \; 4\; =\; 6\; -\; 2\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; 16\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; \backslash !\; \{\backslash \; Frac\; \{64\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; 64-\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; 4\; =\; 6-2\; =\; 4\}$
Мощность	$log\; b\; \; (XP)\; =\; p\; log\; b\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{p\}\; \backslash \; справа)\; =\; п\; \backslash \; журнал\; \_\; \{b\}\; x\}$	$журнал\; 2\; \; 64\; =\; журнал\; 2\; \; (2\; 6)\; =\; 6\; журнал\; 2\; \; 2\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; 64\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{\; 2\}\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; right)\; =\; 6\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; 2\; =\; 6\}$
Корень	$log\; b\; \; xp\; =\; log\; b\; \; xp\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{p\; \}]\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\}\; \{p\}\}\}$	$log\; 10\; \; 1000\; =\; 1\; 2\; log\; 10\; \; 1000\; =\; 3\; 2\; =\; 1,5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{\; 10\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1000\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 1000\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; =\; 1.5\}$

Изменение базы

Логарифм log b x может быть вычислен из логарифмов x и b относительно произвольного основания k по следующей формуле:

$log\; b\; \; x\; =\; журнал\; k\; \; x\; журнал\; k\; \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{k\}\; x\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{k\}\; b\}\}.\; \backslash ,\}$

Выведение коэффициента преобразования между логарифмами произвольного основания

Начиная с определяющего тождества $x\; =\; b\; log\; b\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\; ^\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\}\}$ , мы можем применить log k к обе стороны этого уравнения, чтобы получить $журнал\; k\; \; x\; =\; журнал\; k\; \; (b\; журнал\; b\; \; x)\; =\; журнал\; b\; \; x\; \cdot \; журнал\; k\; \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{k\}\; x\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; log\; \_\; \{k\}\; b\}$. Решение для $log\; b\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\}$дает: $log\; b\; \; x\; =\; log\; k\; \; x\; log\; k\; \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; log\; \_\; \{k\}\; x\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{k\}\; b\}\}\}$, показывает коэффициент преобразования из заданного $log\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{k\}\}$- значения к соответствующим им $log\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\}$-values, чтобы быть $(log\; k\; \; b)\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; log\; \_\; \{k\}\; b)\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

Обычные научные калькуляторы вычисляют логарифмы с основанием 10 и e. Логарифмы по основанию b могут быть определены с использованием любого из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

$log\; b\; \; x\; =\; log\; 10\; \; x\; log\; 10\; \; b\; =\; log\; e\; \; x\; log\; e\; \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{10\}\; x\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{10\}\; b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{e\}\; x\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{e\}\; b\}\}.\; \backslash ,\}$

Для числа x и его логарифма y = log b x с неизвестным основанием b, основание задается следующим образом:

$b\; =\; x\; 1\; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\},\}$

что можно увидеть, взяв определяющее уравнение $x\; =\; b\; log\; b\; \; x\; =\; by\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\; ^\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\}\; =\; b\; ^\; \{y\}\}$в степени $1\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{y\}\}.\}$

Графики логарифма для оснований 0,5, 2 и e

Среди всех вариантов основания три особенно распространены. Это b = 10, b = e (иррациональная математическая константа ≈ 2,71828) и b = 2 (двоичный логарифм ). В математическом анализе основание логарифма e широко распространено из-за аналитических свойств, описанных ниже. С другой стороны, логарифмы по основанию 10 легко использовать для ручных вычислений в десятичной системе счисления :

$log\; 10\; \; (10\; x)\; =\; log\; 10\; \; 10\; +\; log\; 10\; \; x\; =\; 1\; +\; журнал\; 10\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (10x)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 10+\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; x\; =\; 1\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; x.\; \backslash \}$

Таким образом, log 10 x относится к количеству десятичных цифр положительного целого числа x: количество цифр является наименьшим целым числом, строго большим, чем log 10 Икс. Например, log 10 1430 составляет приблизительно 3,15. Следующее целое число - 4, то есть 1430 цифр. В теории информации используются как натуральный логарифм, так и логарифм с основанием два, что соответствует использованию nats или биты в качестве основных единиц информации соответственно. Двоичные логарифмы также используются в информатике, где двоичная система используется повсеместно; в теории музыки, где отношение высоты тона, равное двум (октава ), является повсеместным, а цент - это двоичный логарифм (масштабированный на 1200) отношения между две смежные равномерные ноты в европейской классической музыке ; и в фотографии для измерения значений экспозиции.

В следующей таблице перечислены общие обозначения логарифмов для этих оснований и полей, в которых они используются. Многие дисциплины записывают log x вместо log b x, когда предполагаемая база может быть определена из контекста. Также встречается обозначение log x. В столбце «Обозначение ISO» перечислены обозначения, предложенные Международной организацией по стандартизации (ISO 80000-2 ). Поскольку нотация log x использовалась для всех трех баз (или когда база неопределенная или несущественная), предполагаемая база часто должна выводиться на основе контекста или дисциплины. В информатике журнал обычно относится к журналу 2, а в математике журнал обычно относится к журналу e. В других контекстах журнал часто означает журнал 10.

База b	Имя для журнала bx	Нотация ISO	Другие записи	Используется в
2	двоичном логарифме	lb x	ld x, log x, lg x, log 2x	информатика, теория информации, теория музыки, фотография
e	натуральный логарифм	ln x	log x. (в математике и многих языках программирования ), log ex	математике, физике, химии,. статистика, экономика, теория информации и инженерия
10	десятичный логарифм	lg x	log x, log 10x. (в инженерии, биология, астрономия)	различные инженерные поля (см. децибел и см. ниже),. логарифм таблицы, портативные калькуляторы, спектроскопия
b	логарифм по основанию b	log bx		математика

История логарифмов в семнадцатом веке Европа - это открытие новой функции, которая расширяет эдал область анализа, выходящую за рамки алгебраических методов. Метод логарифмов был публично предложен Джоном Напье в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного правила логарифмов). До изобретения Напьера существовали и другие методы схожего объема, такие как простаферез или использование таблиц прогрессий, широко разработанные Йостом Бюрджи около 1600 года. Нэпьер ввел термин для логарифма в среднелатинском языке, «logarithmorum», производное от греческого, буквально означающее «число-отношение», от слова «logos»: пропорция, соотношение, слово «+ арифмос» число.

десятичный логарифм числа - это индекс той степени десяти, которая равна числу. Говоря о числе, требующем такого количества цифр, является грубым намеком на десятичный логарифм, и Архимед назвал его «порядком числа». Первые действительные логарифмы были эвристическими методами, превращавшими умножение в сложение, что способствовало быстрым вычислениям. Некоторые из этих методов использовали таблицы, полученные из тригонометрических тождеств. Такие методы называются простафаэрез.

Изобретение функции, теперь известной как натуральный логарифм, началось как попытка выполнить квадратур прямоугольного гипербола от Грегуара де Сен-Винсента, бельгийского иезуита, проживающего в Праге. Архимед написал Квадратуру параболы в третьем веке до нашей эры, но квадратура для гиперболы ускользнула от всех усилий, пока Сент-Винсент не опубликовал свои результаты в 1647 году. Соотношение, которое логарифм обеспечивает между геометрическая прогрессия в его аргументе и арифметическая прогрессия значений, подсказанная A. А. де Сараса, чтобы связать квадратуру Сент-Винсента и традицию логарифмов в простаферезисе, что привело к термину «гиперболический логарифм», синониму натурального логарифма. Вскоре новую функцию оценили Христиан Гюйгенс и Джеймс Грегори. Обозначение Log y было принято Лейбницем в 1675 году, а в следующем году он соединил его с интегралом $\int \; d\; y\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{y\}\}.\}$

До того, как Эйлер разработал свою современную концепцию сложных натуральных логарифмов, Роджер Котес имел почти эквивалентный результат, когда в 1714 году показал, что

$журнал\; \; (соз\; \; \theta \; +\; я\; грех\; \; \theta )\; =\; я\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; =\; i\; \backslash \; theta\}$

Британская энциклопедия 1797 года Объяснение логарифмов

Упростив сложные вычисления до того, как стали доступны калькуляторы и компьютеры, логарифмы способствовали развитию науки, особенно астрономии. Они имели решающее значение для достижений в съемке, астрономической навигации и других областях. Пьер-Симон Лаплас назвал логарифмы

"... замечательным изобретением, которое, сокращая до нескольких дней многомесячный труд, удваивает жизнь астронома и избавляет его от ошибки и отвращение неотделимы от долгих вычислений. "

Поскольку функция f (x) = b является обратной функцией log b x, ее назвали антилогарифмом .

таблицами журнала

Ключевым инструментом, сделавшим возможным практическое использование логарифмов, была таблица логарифмов. Первая такая таблица была составлена ​​Генри Бриггсом в 1617 году, сразу после изобретения Нэпьера, но с нововведением в использовании 10 в качестве основы. Первая таблица Бриггса содержала десятичных логарифмов всех целых чисел в диапазоне 1–1000 с точностью до 14 цифр. Впоследствии были написаны таблицы с увеличивающимся объемом. В этих таблицах перечислены значения log 10 x для любого числа x в определенном диапазоне с определенной точностью. Для вычислений повсеместно использовались логарифмы с основанием 10, отсюда и название «десятичный логарифм», поскольку числа, различающиеся в 10 раз, имеют логарифмы, различающиеся целыми числами. Десятичный логарифм x можно разделить на целую часть и дробную часть, известную как характеристика и мантисса. Таблицы логарифмов должны включать только мантиссу, поскольку характеристика может быть легко определена путем подсчета цифр от десятичной точки. Характеристика 10 · x равна единице плюс характеристика x, а их мантиссы одинаковы. Таким образом, используя трехзначную таблицу журнала, логарифм 3542 аппроксимируется следующим образом:

$log\; 10\; \; 3542\; =\; log\; 10\; \; (1000\; \cdot \; 3,542)\; =\; 3\; +\; log\; 10\; \; 3,542\; \approx \; 3\; +\; log\; 10\; \; 3,54\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3542\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (1000\; \backslash \; cdot\; 3.542)\; =\; 3\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3.542\; \backslash \; приблизительно\; 3+\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3.54\; \backslash ,\}$

Более высокая точность может быть получено с помощью интерполяции :

$log\; 10\; 3542\; \approx \; 3\; +\; log\; 10\; \; 3,54\; +\; 0,2\; (log\; 10\; \; 3,55\; -\; log\; 10\; \; 3,54)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3542\; \backslash \; приблизительно\; 3+\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3,54\; +\; 0,2\; (\backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3,55-\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; 3,54)\; \backslash ,\}$

Значение 10 может быть определено обратным поиском в той же таблице, поскольку логарифм монотонная функция.

Вычисления

Произведение и частное двух положительных чисел c и d обычно вычислялись как сумма и разность их логарифмов. Произведение cd или частное c / d было получено в результате поиска антилогарифма суммы или разности по той же таблице:

$cd\; =\; 10\; log\; 10\; \; c\; 10\; log\; 10\; \; d\; =\; 10\; log\; 10\; \; c\; +\; log\; 10\; \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; cd\; =\; 10\; ^\; \{\backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; c\}\; \backslash ,\; 10\; ^\; \{\backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; d\}\; =\; 10\; ^\; \{\backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; c\; +\; \backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\; \}\; d\}\; \backslash ,\}$

и

$cd\; =\; cd\; -\; 1\; =\; 10\; log\; 10\; \; c\; -\; log\; 10\; \; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\; =\; cd\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; 10\; ^\; \{\backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; c-\; \backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; d\}.\; \backslash ,\}$

Для ручные вычисления, требующие какой-либо заметной точности, выполнение поиска двух логарифмов, вычисление их суммы или разности и поиск антилогарифма намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними методами, такими как простафаэрез, который полагается на тригонометрические тождества.

Вычисления степеней и корней сводятся к умножению или делению и поиску на

$cd\; =\; (10\; log\; 10\; c)\; d\; =\; 10\; d\; log\; 10\; \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{d\}\; =\; \backslash \; left\; (10\; ^\; \{\backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; c\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{d\}\; =\; 10\; ^\; \{d\; \backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; c\}\; \backslash ,\}$

и

$cd\; =\; c\; 1\; d\; =\; 10\; 1\; d\; log\; 10\; \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{d\}]\; \{c\}\}\; =\; c\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{d\}\}\; =\; 10\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{d\}\}\; \backslash \; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; c\; \}.\; \backslash ,\}$

Тригонометрические вычисления облегчены таблицами, содержащими десятичные логарифмы тригонометрических функций.

Правила скольжения

Еще одним важным применением была линейка скольжения, пара логарифмически разделенных шкал, используемых для расчета. Нескользящая логарифмическая шкала, правило Гюнтера, была изобретена вскоре после изобретения Нэпьера. Уильям Отред усовершенствовал его, чтобы создать логарифмическую линейку - пару логарифмических шкал, подвижных относительно друг друга. Числа расположены на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Соответствующее перемещение верхней шкалы означает механическое добавление логарифмов, как показано здесь:

Схематическое изображение логарифмической линейки. Начиная с 2 на нижней шкале, прибавьте расстояние к 3 на верхней шкале, чтобы добраться до продукта 6. Логарифмическая линейка работает, потому что она отмечена так, что расстояние от 1 до x пропорционально логарифму x.

Например, добавление расстояния от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Логарифмическая линейка была важным инструментом вычислений для инженеров и ученых до 1970-х годов, поскольку она позволяла, за счет точности, выполнять вычисления гораздо быстрее, чем методы, основанные на таблицах.

A более глубокое изучение логарифмов требует концепции функции . Функция - это правило, которое по одному числу дает другое число. Примером является функция, производящая x-ю степень числа b из любого действительного числа x, где основание b является фиксированным числом. Эта функция записывается: $f\; (x)\; =\; b\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; b\; ^\; \{x\}.\; \backslash ,\}$

Логарифмическая функция

Чтобы оправдать определение логарифмов, необходимо показать, что уравнение

$bx\; =\; y\; \{\; \backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{x\}\; =\; y\; \backslash ,\}$

имеет решение x, и это решение уникально при условии, что y положительно, а b положительно и не равно 1. Для доказательства этого факта требуется теорема о промежуточном значении из элементарного исчисления. Эта теорема утверждает, что непрерывная функция , которая производит два значения m и n, также производит любое значение, лежащее между m и n. Функция является непрерывной, если она не «прыгает», то есть если ее график можно нарисовать, не поднимая перо.

Можно показать, что это свойство сохраняется для функции f (x) = b. Поскольку f принимает сколь угодно большие и сколь угодно малые положительные значения, любое число y>0 находится между f (x 0) и f (x 1) для подходящего x 0 и x 1. Следовательно, теорема о промежуточном значении гарантирует, что уравнение f (x) = y имеет решение. Более того, есть только одно решение этого уравнения, потому что функция f является строго возрастающей (для b>1) или строго убывающей (для 0 < b < 1).

Единственным решением x является логарифм от y до основания b, log b y. Функция, которая присваивает y его логарифм, называется функцией логарифма или логарифмической функцией (или просто логарифмом).

Функция log b x по существу характеризуется формулой продукта

$log\; b\; \; (xy)\; =\; log\; b\; \; x\; +\; log\; b\; \; y.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; (xy)\; =\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; y.\}$

Точнее, логарифм по любому основанию b>1 - это единственная увеличивающая функция f от положительных вещественных чисел до вещественных, удовлетворяющих условию f (b) = 1 и

$f\; (xy)\; =\; f\; (x)\; +\; f\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (xy)\; =\; f\; (x)\; +\; f\; (y).\}$

Обратная функция

График функция логарифма log b (x) (синий) получается путем отражения графика функции b (красный) на диагональной линии (x = y).

Формула для логарифма ap Оуэр, в частности, говорит, что для любого числа x

$log\; b\; \; (b\; x)\; =\; x\; log\; b\; \; b\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{x\}\; \backslash \; right)\; =\; x\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; b\; =\; x.\}$

В прозе берется x-я степень b, а затем Логарифм по основанию b возвращает x. И наоборот, для положительного числа y формула

$b\; log\; b\; \; y\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{\backslash \; log\; \_\; \{b\}\; y\}\; =\; y\}$

говорит, что сначала логарифм, а затем возведение в степень дает назад y. Таким образом, два возможных способа объединения (или составления ) логарифмов и возведения в степень возвращают исходное число. Следовательно, логарифм по основанию b - это функция, обратная для f (x) = b.

Обратные функции тесно связаны с исходными функциями. Их графики соответствуют друг другу при обмене координатами x и y (или при отражении от диагональной линии x = y), как показано справа: точка (t, u = b) на графике f дает точку (u, t = log b u) на графике логарифма и наоборот. Как следствие, log b (x) расходится до бесконечности (становится больше любого заданного числа), если x растет до бесконечности, при условии, что b больше единицы. В этом случае log b (x) является возрастающей функцией. Для b < 1, logb(x) вместо этого стремится к минус бесконечности. Когда x приближается к нулю, log b x стремится к минус бесконечности для b>1 (плюс бесконечность для b < 1, respectively).

Производная и первообразная

График натурального логарифма (зеленый) и его касательная в точке x = 1,5 (черный)

Аналитические свойства функций переходят к их обратным. Таким образом, поскольку f (x) = b - непрерывная и дифференцируемая функция, то и log b y. Грубо говоря, непрерывная функция дифференцируема, если ее график не имеет острых "углов". Более того, поскольку производная функции f (x) оценивается как ln (b) b в силу свойств экспоненциальной функции правило цепочки подразумевает, что производная log b x задается как

$ddx\; log\; b\; \; x\; =\; 1\; x\; ln\; \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{b\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; ln\; b\}\}.\}$

То есть наклон касательной , касающейся графика логарифма с основанием b в точке (x, log b (x)), равен 1 / (x ln (b)

Производная ln x равна 1 / x; отсюда следует, что ln x является уникальный первообразный 1 / x, который имеет значение 0 для x = 1. Именно эта очень простая формула побудила квалифицировать натуральный логарифм как «естественный»; это также одна из основных причин важности константы e.

Производная с обобщенным функциональным аргументом f (x) равна

$d\; d\; x\; ln\; \; f\; (x)\; =\; f\; \prime \; (x)\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; ln\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\}\}.\}$

Частное в правой части называется логарифмической производной от f. Вычисление f '(x) с помощью производной ln (f (x)) известно как логарифмическое дифференцирование. Первообразная натурального логарифма ln (x) равна:

$\int \; ln\; \; (x)\; d\; x\; =\; x\; ln\; \; (x)\; -\; x\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; ln\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; x\; \backslash \; ln\; (x)\; -x\; +\; C.\}$

Связанные формулы, такие как первообразные логарифмов с другими основаниями, могут быть получены из этого уравнения, используя изменение оснований.

Интегральное представление натурального логарифма

натуральный логарифм от t - это заштрихованная область под графиком функции f (x) = 1 / x ( величина, обратная x).

Натуральный логарифм от t равняется определенному интегралу :

$ln\; \; (t)\; =\; \int \; 1\; t\; 1\; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Другими словами, ln (t) равняется площади между Ось x и график функции 1 / x в диапазоне от x = 1 до x = t. Это следствие основной теоремы исчисления и того факта, что производная ln (x) равна 1 / x. Правая часть этого уравнения может служить определением натурального логарифма . Формулы логарифма произведения и мощности могут быть выведены из этого определения. Например, формула произведения ln (tu) = ln (t) + ln (u) выводится как:

$ln\; \; (tu)\; =\; \int \; 1\; tu\; 1\; xdx\; =\; (1)\; \int \; 1\; t\; 1\; xdx\; +\; \int \; ttu\; 1\; xdx\; =\; (2)\; ln\; \; (t)\; +\; \int \; 1\; u\; 1\; wdw\; =\; ln\; \; (t)\; +\; ln\; \; (u).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; (tu)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{tu\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{(1)\}\; \{=\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{1\; \}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{tu\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{(2)\}\; \{=\}\}\; \backslash \; ln\; (t)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{u\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{w\}\}\; \backslash ,\; dw\; =\; \backslash \; ln\; (t)\; +\; \backslash \; ln\; (u).\}$

Равенство (1) разбивает интеграл на две части, а равенство (2) представляет собой замену переменной (w = x / t). На рисунке ниже разделение соответствует разделению области на желтую и синюю части. Изменение масштаба левой синей области по вертикали с коэффициентом t и сжатие с тем же коэффициентом по горизонтали не изменяет ее размер. При правильном перемещении область снова соответствует графику функции f (x) = 1 / x. Следовательно, левая синяя область, которая представляет собой интеграл от f (x) от t до tu, совпадает с интегралом от 1 до u. Тем самым равенство (2) подтверждается более геометрическим доказательством.

Наглядное доказательство формулы произведения натурального логарифма

Формула мощности ln (t) = r ln (t) может быть получена аналогичным образом:

$ln\; \; (tr)\; =\; \int \; 1\; tr\; 1\; xdx\; =\; \int \; 1\; t\; 1\; wr\; (rwr\; -\; 1\; dw)\; =\; r\; \int \; 1\; t\; 1\; wdw\; =\; r\; ln\; \; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (t\; ^\; \{r\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{t\; ^\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{t\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{w\; ^\; \{r\}\}\}\; \backslash \; left\; (rw\; ^\; \{r-1\}\; \backslash ,\; dw\; \backslash \; right)\; =\; r\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{w\}\; \}\; \backslash ,\; dw\; =\; r\; \backslash \; ln\; (t).\}$

Второе равенство использует замену переменных (интегрирование заменой ), w = x.

Сумма обратных натуральных чисел,

$1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; \cdots \; +\; 1\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; 1\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; \}\},\}$

называется гармоническим рядом. Он тесно связан с натуральным логарифмом : поскольку n стремится к бесконечности, разница,

$\sum \; k\; =\; 1\; n\; 1\; k\; -\; ln\; \; (n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; -\; \backslash \; ln\; (n),\}$

сходится (т.е. становится произвольно близким) к числу, известному как Константа Эйлера – Маскерони γ = 0,5772.... Это соотношение помогает при анализе производительности таких алгоритмов, как quicksort.

Превышение логарифма

Действительные числа, которые не являются алгебраические называются трансцендентными ; например, π и e являются такими числами, но $2–3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}$нет. Почти все действительные числа трансцендентны. Логарифм - это пример трансцендентной функции . The Gelfond–Schneider theorem asserts that logarithms usually take transcendental, i.e., "difficult" values.

The logarithm keys (LOG for base-10 and LN for base-e) on a TI-83 Plus graphing calculator

Logarithms are easy to compute in some cases, such as log10(1000) = 3. In general, logarithms can be calculated using power series or the arithmetic–geometric mean, or be retrieved from a precalculated logarithm table that provides a fixed precision.Newton's method, an iterative method to solve equations approximately, can also be used to calculate the logarithm, because its inverse function, the exponential function, can be computed efficiently. Using look-up tables, CORDIC -like methods can be used to compute logarithms by using only the operations of addition and bit shifts. Moreover, the binary logarithm algorithm calculat es lb (x) рекурсивно на основе многократного возведения x в квадрат с использованием отношения

$log\; 2\; \; (x\; 2)\; =\; 2\; log\; 2\; \; |\; х\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; |\; x\; |.\}$

Степенный ряд

Ряд Тейлора

Ряд Тейлора ln (z) с центром в точке z = 1. Анимация показывает первые 10 приближений, а также 99-е и 100-е. Приближения не сходятся за пределами расстояния 1 от центра.

Для любого действительного числа z, которое удовлетворяет 0 < z < 2, the following formula holds:

$ln\; \; (z)\; =\; (z\; -\; 1)\; 1\; 1\; -\; (z\; -\; 1)\; 2\; 2\; +\; (z\; -\; 1)\; 3\; 3\; -\; (z\; -\; 1)\; 4\; 4\; +\; \cdots \; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; k\; +\; 1\; (z\; -\; 1)\; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; ln\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{1\}\}\; \{1\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{4\}\}\; \{4\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{k\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это сокращенное обозначение того, что ln (z) может быть приближено к все более точное значение по следующим выражениям:

$(z\; -\; 1)\; (z\; -\; 1)\; -\; (z\; -\; 1)\; 2\; 2\; (z\; -\; 1)\; -\; (z\; -\; 1)\; 2\; 2\; +\; (z\; -\; 1)\; 3\; 3\; ⋮\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lllll\}\; (z-1)\; \backslash \backslash \; (z-1)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; (z-1)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(z-1)\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Например, при z = 1,5 третье приближение дает 0,4167, что примерно на 0,011 больше, чем ln (1,5) = 0,405465. Эта серия приближает ln (z) с произвольной точностью при условии, что количество слагаемых достаточно велико. Таким образом, в элементарном исчислении ln (z) является пределом этого ряда. Это ряд Тейлора от натурального логарифма при z = 1. Ряд Тейлора ln (z) обеспечивает особенно полезное приближение к ln (1 + z), когда z мало., | z | < 1, since then

$ln\; \; (1\; +\; z)\; =\; z\; -\; z\; 2\; 2\; +\; z\; 3\; 3\; \cdots \; \approx \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (1\; +\; z)\; =\; z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; приблизительно\; z.\}$

Например, при z = 0,1 приближение первого порядка дает ln (1,1) ≈ 0,1, что менее чем на 5% от правильного значения 0,0953.

Более эффективный ряд

Другой ряд основан на функции гиперболического тангенса площади :

$ln\; \; (z)\; =\; 2\; \cdot \; artanh\; z\; -\; 1\; z\; +\; 1\; =\; 2\; (z\; -\; 1\; z\; +\; 1\; +\; 1\; 3\; (z\; -\; 1\; z\; +\; 1)\; 3\; +\; 1\; 5\; (z\; -\; 1\; z\; +\; 1)\; 5\; +\; \cdots ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (z)\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; operatorname\; \{artanh\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z\; +\; 1\}\}\; =\; 2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z\; +\; 1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right),\}$

для любого действительного числа z>0. Используя сигма-нотацию, это также записывается как

$ln\; \; (z)\; =\; 2\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; 2\; k\; +\; 1\; (z\; -\; 1\; z\; +\; 1)\; 2\; k\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (z)\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2k\; +\; 1\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{z\; +\; 1\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\; +\; 1\}.\}$

Этот ряд может быть получен из вышеуказанного ряда Тейлора. Он сходится быстрее, чем ряд Тейлора, особенно если z близко к 1. Например, для z = 1,5 первые три члена второго ряда аппроксимируют ln (1,5) с ошибкой примерно 3 × 10. Быстрая сходимость для z, близкого к 1, может быть использована следующим образом: учитывая приближение с низкой точностью y ≈ ln (z) и положив

$A\; =\; z\; exp\; \; (y),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{z\}\; \{\backslash \; exp\; (y)\}\},\; \backslash ,\}$

логарифм z равен:

$ln\; \; (z)\; =\; y\; +\; ln\; \; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (z)\; =\; y\; +\; \backslash \; ln\; (A).\; \backslash ,\}$

Чем лучше начальное приближение y, тем ближе A к 1, поэтому его логарифм может быть вычислен эффективно. A можно вычислить с помощью ряда экспонент , который быстро сходится при условии, что y не слишком велик. Вычисление логарифма большего z можно уменьшить до меньших значений z, записав z = a · 10, так что ln (z) = ln (a) + b · ln (10).

Для вычисления логарифма целых чисел можно использовать похожий метод. Помещая $z\; =\; n\; +\; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{n\}\}\}$в приведенный выше ряд, получаем, что:

$ln\; \; (N\; +\; 1)\; знак\; равно\; ln\; \; (N)\; +\; 2\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; 2\; К\; +\; 1\; (1\; 2\; N\; +\; 1)\; 2\; К\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; (n\; +\; 1)\; =\; \backslash \; ln\; (n)\; +2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2k\; +\; 1\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2k\; +\; 1\}.\}$

Если известен логарифм большого целого числа n, то этот ряд дает быстро сходящийся ряд для log (n + 1) с скорость сходимости из $1\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\}$.

Приближение среднего арифметического и среднего геометрического

среднее арифметико-геометрическое дает высокоточную аппроксимацию натурального логарифма. Сасаки и Канада показали в 1982 году, что он был особенно быстрым для точности от 400 до 1000 десятичных знаков, в то время как методы серии Тейлора обычно были быстрее, когда требовалась меньшая точность. В их работе ln (x) аппроксимируется с точностью до 2 (или p точных битов) по следующей формуле (из-за Карла Фридриха Гаусса ):

$ln\; \; (x)\; \approx \; \pi \; 2\; M\; (1,\; 2\; 2\; -\; м\; /\; х)\; -\; м\; пер\; \; (2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пер\; (х)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; pi\}\; \{2M\; (1,2\; ^\; \{2-м\}\; /\; х)\}\}\; -\; м\; \backslash \; ln\; (2).\}$

Здесь M (x, y) обозначает среднее арифметико-геометрическое значений x и y. Оно получается путем многократного вычисления среднего значения $(x\; +\; y)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; /\; 2\}$(среднее арифметическое ) и $xy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{xy\}\}\}$(среднее геометрическое ) x и y затем позвольте этим двум числам стать следующими x и y. Два числа быстро сходятся к общему пределу, который является значением M (x, y). m выбирается таким образом, что

$x\; 2\; m>2\; p\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{m\}>2\; ^\; \{p\; /\; 2\}.\; \backslash ,\}$

, чтобы обеспечить требуемую точность. Чем больше m, тем больше M (x, y) вычисление требует большего количества шагов (начальные x и y находятся дальше друг от друга, поэтому требуется больше шагов для схождения), но дает большую точность. Константы pi и ln (2) могут быть вычислены с помощью быстро сходящихся рядов.

Алгоритм Фейнмана

Работая в Национальной лаборатории Лос-Аламоса над Манхэттенским проектом, Ричард Фейнман разработал алгоритм битовой обработки, похожий на деление в столбик. и позже был использован в Connection Machine. Алгоритм использует тот факт, что каждое действительное число может быть представлено как произведение различных факторов вида $1\; +\; 2\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +2\; ^\; \{-\; k\}\}$. Алгоритм последовательно строит этот продукт $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$: если , то $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$изменяется на $P\; \cdot \; (1\; +\; 2\; -\; к)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; cdot\; (1\; +\; 2\; ^\; \{-\; k\})\}$. Затем он независимо увеличивает $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$на единицу. Алгоритм останавливается, когда $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$становится достаточно большим, чтобы обеспечить желаемую точность. Поскольку $журнал\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (x)\}$- это сумма членов формы $log\; \; (1\; +\; 2\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (1\; +\; 2\; ^\; \{-\; k\})\}$соответствующие тем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, для которых множитель $1\; +\; 2\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; 2\; ^\; \{-\; k\}\}$был включен в продукт $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, $log\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (x)\}$может быть вычислено простым сложением, используя таблицу $log\; \; (1\; +\; 2\; -\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (1\; +\; 2\; ^\; \{-\; k\})\}$для всех $к\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Для таблицы логарифмов можно использовать любое основание.

A nautilus, отображающие логарифмическую спираль

Логарифмы имеют множество приложений внутри и за пределами математики. Некоторые из этих случаев связаны с понятием масштабной инвариантности. Например, каждая камера раковины наутилуса является приблизительной копией следующей, масштабированной с постоянным коэффициентом. Это приводит к логарифмической спирали. Закон Бенфорда о распределении ведущих цифр также можно объяснить масштабной инвариантностью. Логарифмы также связаны с самоподобием. Например, логарифмы появляются при анализе алгоритмов, которые решают проблему, разделяя ее на две похожие меньшие проблемы и исправляя их решения. Размеры самоподобных геометрических фигур, то есть фигур, части которых напоминают общую картину, также основываются на логарифмах. Логарифмические шкалы используются для количественной оценки относительного изменения значения, а не его абсолютной разницы. Более того, поскольку логарифмическая функция log (x) очень медленно растет для больших x, для сжатия крупномасштабных научных данных используются логарифмические масштабы. Логарифмы также встречаются во многих научных формулах, таких как уравнение Циолковского, уравнение Фенске или уравнение Нернста.

Логарифмическая шкала

Логарифмическая диаграмма, изображающая значение одной Goldmark в Papiermark во время немецкой гиперинфляции в 1920-е годы

Научные величины часто выражаются в виде логарифмов других величин с использованием логарифмической шкалы. Например, децибел - это единица измерения, связанная с логарифмической шкалой величинами. Он основан на десятичном логарифме отношений - десятикратном десятичном логарифме отношения мощности или 20-кратном десятичном логарифме отношения напряжения. Он используется для количественной оценки потерь уровней напряжения при передаче электрических сигналов, для описания уровней мощности звуков в акустике и поглощения света в полях спектрометрии и оптика. Отношение сигнал-шум , описывающее количество нежелательного шума по отношению к (значимому) сигналу, также измеряется в децибелах. Аналогичным образом, пиковое отношение сигнал / шум обычно используется для оценки качества звука и методов сжатия изображения с использованием логарифма.

Сила землетрясения измеряется десятичным логарифмом энергии, излучаемой при землетрясении. Используется в шкале магнитуды момента или шкале магнитуды Рихтера. Например, землетрясение силой 5.0 баллов высвобождает 32 раза (10), а землетрясение 6.0 высвобождает в 1000 (10) раз больше энергии, чем 4.0. Другая логарифмическая шкала - видимая величина. Он измеряет яркость звезд логарифмически. Еще один пример - pH в химии ; pH представляет собой отрицательное значение десятичного логарифма активности ионов гидроксония (форма водород ионы H. поглощаются водой). Активность ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10 моль · л, следовательно, pH равен 7. Уксус обычно имеет pH около 3. Разница в 4 соответствует соотношению активности 10, т.е. То есть активность иона гидроксония уксуса составляет около 10 моль · л.

В полулогарифмических (логарифмических) графиках для визуализации используется концепция логарифмического масштаба: одна ось, обычно вертикальная, масштабируется логарифмически. Например, диаграмма справа сжимает резкое увеличение с 1 миллиона до 1 триллиона до того же места (на вертикальной оси), что и увеличение с 1 до 1 миллиона. На таких графиках экспоненциальные функции вида f (x) = a · b отображаются в виде прямых линий с наклоном, равным логарифму b. Логарифмически графики масштабируют обе оси логарифмически, в результате чего функции вида f (x) = a · x изображаются как прямые линии с наклоном, равным показателю k. Это применяется при визуализации и анализе степенных законов.

Психологии

Логарифмы встречаются в нескольких законах, описывающих человеческое восприятие : Закон Хика предлагает логарифмическую связь между время, которое люди тратят на выбор альтернативы, и количество вариантов, которые у них есть. Закон Фиттса предсказывает, что время, необходимое для быстрого перемещения к целевой области, является логарифмической функцией расстояния до цели и ее размера. В психофизике закон Вебера-Фехнера предлагает логарифмическую связь между стимулом и ощущением, например, фактический и воспринимаемый вес предмет, который несет человек. (Этот «закон», однако, менее реалистичен, чем более современные модели, такие как степенной закон Стивенса.)

Психологические исследования показали, что люди с небольшим математическим образованием склонны оценивать величины логарифмически, то есть они размещают число на неотмеченной строке в соответствии с его логарифмом, так что 10 находится так близко к 100, как 100 - к 1000. Повышение уровня образования смещает это к линейной оценке (расположение 1000 в 10 раз дальше) в некоторых обстоятельства, в то время как логарифмы используются, когда числа, которые должны быть построены, трудно построить линейно.

Теория вероятностей и статистика

Три функции плотности вероятности (PDF) случайных величин с логарифмически- нормальные распределения. Параметр местоположения μ, равный нулю для всех трех показанных PDF, является средним логарифмом случайной величины, а не средним значением самой переменной. Распределение первых цифр (в%, красные полосы) в население 237 стран мира. Черные точки обозначают распределение, предсказанное законом Бенфорда.

Логарифмы возникают в теории вероятностей : закон больших чисел требует, чтобы для честной монеты, по мере того, как количество подбрасываний монеты увеличивается до бесконечности, наблюдаемая доля голов приближается к половине. Колебания этой пропорции примерно наполовину описываются законом повторного логарифма.

. Логарифмы также встречаются в логнормальных распределениях. Когда логарифм случайной величины имеет нормальное распределение, говорят, что переменная имеет логнормальное распределение. Логнормальные распределения встречаются во многих областях, везде, где переменная формируется как произведение многих независимых положительных случайных величин, например, при изучении турбулентности.

Логарифмы используются для оценки максимального правдоподобия параметрических статистических моделей. Для такой модели функция правдоподобия зависит по крайней мере от одного параметра, который необходимо оценить. Максимум функции правдоподобия возникает при том же значении параметра, что и максимум логарифма правдоподобия («логарифм правдоподобия»), поскольку логарифм является возрастающей функцией. Логарифмическое правдоподобие легче максимизировать, особенно для умноженных правдоподобий для независимых случайных величин.

Закон Бенфорда описывает появление цифр во многих наборах данных, например как высоты зданий. Согласно закону Бенфорда вероятность того, что первая десятичная цифра элемента в выборке данных будет d (от 1 до 9), равна log 10 (d + 1) - log 10 (d) вне зависимости от единицы измерения. Таким образом, можно ожидать, что около 30% данных будут иметь первую цифру 1, 18% начинаются с 2 и т. Д. Аудиторы исследуют отклонения от закона Бенфорда для выявления мошенничества в бухгалтерском учете.

Сложность вычислений

Анализ алгоритмы - это раздел информатики, изучающий производительность алгоритмов (компьютерных программ, решающих определенную проблему). Логарифмы полезны для описания алгоритмов, которые делят проблему на более мелкие и объединяют решения подзадач.

Например, чтобы найти число в отсортированном списке, Алгоритм двоичного поиска проверяет среднюю запись и переходит к половине до или после средней записи, если число все еще не найдено. Этот алгоритм требует в среднем log 2 (N) сравнений, где N - длина списка. Точно так же алгоритм сортировки слиянием сортирует несортированный список, разделяя его на половины и сортируя их сначала перед объединением результатов. Для алгоритмов сортировки слиянием обычно требуется время , приблизительно пропорциональное N · log (N). Основание логарифма здесь не указывается, потому что результат изменяется только на постоянный коэффициент, когда используется другое основание. Постоянный коэффициент обычно не учитывается при анализе алгоритмов в рамках стандартной модели единой стоимости.

Говорят, что функция f (x) логарифмически растет, если f (x) равна (точно или приблизительно) пропорционально логарифму x. (Однако в биологических описаниях роста организма этот термин используется для обозначения экспоненциальной функции.) Например, любое натуральное число N может быть представлено в двоичной форме не более чем в log 2 (N) + 1 бит. Другими словами, объем памяти, необходимый для хранения N, логарифмически увеличивается с N.

Энтропия и хаос

Бильярд на овальном бильярдном столе. Две частицы, начиная с центра под углом, различающимся на один градус, идут по траекториям, которые хаотически расходятся из-за отражений на границе.

Энтропия в целом является мерой беспорядка некоторой системы. В статистической термодинамике энтропия S некоторой физической системы определяется как

$S\; =\; -\; k\; \sum \; i\; p\; i\; ln\; \; (p\; i).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -k\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; ln\; (p\_\; \{i\}).\; \backslash ,\}$

Сумма по всем возможным состояниям i рассматриваемой системы, например по позициям частиц газа в контейнере. Кроме того, p i - это вероятность того, что состояние i достигается, а k - постоянная Больцмана. Точно так же энтропия в теории информации измеряет количество информации. Если получатель сообщения может ожидать любое из N возможных сообщений с равной вероятностью, то количество информации, передаваемой любым таким сообщением, количественно определяется как log 2 (N) бит.

Показатели Ляпунова используйте логарифмы, чтобы оценить степень хаотичности динамической системы. Например, для частицы, движущейся по овальному бильярдному столу, даже небольшие изменения начальных условий приводят к очень разным траекториям частицы. Такие системы хаотичны в детерминированном способе, потому что небольшие ошибки измерения начального состояния предсказуемо приводят к существенно различным конечным состояниям. По крайней мере, один показатель Ляпунова детерминированно хаотической системы положителен.

Фракталы

Треугольник Серпинского (справа) построен путем многократной замены равносторонних треугольников на три меньших.

Логарифмы встречаются в определениях измерения из фракталов. Фракталы - это геометрические объекты, которые самоподобны : мелкие части воспроизводят, по крайней мере приблизительно, всю глобальную структуру. Треугольник Серпинского (на фото) может быть покрыт тремя собственными копиями, каждая из которых имеет стороны, равные половине исходной длины. Это делает размерность этой структуры по Хаусдорфу ln (3) / ln (2) ≈ 1,58. Другое основанное на логарифмах понятие размерности получается путем подсчета количества ящиков, необходимых для покрытия рассматриваемого фрактала.

Музыка

Четыре различных октавы, показанные на линейной шкале, а затем показанные на логарифмической шкале (когда ухо их слышит).

Логарифмы связаны с музыкальными тонами и интервалами. В равной темперации соотношение частот зависит только от интервала между двумя тонами, а не от конкретной частоты или высоты тона отдельных тонов. Например, нота A имеет частоту 440 Гц, а B-flat имеет частоту 466 Гц. Интервал между A и B-flat составляет полутон, как и интервал между B-flat и B (частота 493 Гц). Соответственно, соотношения частот совпадают:

$466440\; \approx \; 493466\; \approx \; 1.059\; \approx \; 2\; 12.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{466\}\; \{440\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{493\}\; \{466\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1.059\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; [\{12\}]\; \{2\}\}.\}$

Следовательно, логарифмы может использоваться для описания интервалов: интервал измеряется в полутонах путем взятия логарифма по основанию 2 для отношения частота, а логарифм по основанию 2 для отношения частот выражает интервал в центах, сотые доли полутона. Последний используется для более тонкого кодирования, так как он необходим для неравных темпераментов.

Интервал . (два тона воспроизводятся одновременно)	1/12 тона воспроизведение	Полутон воспроизведение	Просто мажорная треть игра	мажорная третья игра	Тритон игра	Октава игра
Соотношение частот r	$2\; 1\; 72\; \approx \; 1.0097\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{72\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1.0097\}$	$2\; 1\; 12\; \approx \; 1.0595\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1,0595\}$	$5\; 4\; =\; 1,25\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{5\}\; \{4\}\}\; =\; 1,25\}$	$2\; 4\; 12\; =\; 2\; 3\; \approx \; 1,2599\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{12\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; приблизительно\; 1,2599\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$2\; 6\; 12\; =\; 2\; \approx \; 1,4142\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{12\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; приблизительно\; 1,4142\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$2\; 12\; 12\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{12\}\; \{12\}\}\; =\; 2\}$
Соответствующее количество полутонов . $log\; 2\; 12\; \; (r)\; =\; 12\; log\; 2\; \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{\backslash \; sqrt\; [\{12\; \}]\; \{2\}\}\; (r)\; =\; 12\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; (r)\}$	$1\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash ,\}$	$1\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; 1\; \backslash ,\}$	$\approx \; 3,8631\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\; 3,8631\; \backslash ,\}$	$4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash ,\}$	$6\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash ,\}$	$12\; \{\backslash \; displaystyle\; 12\; \backslash ,\}$
Соответствующее количество центов . $log\; 2\; 1200\; \; (r)\; =\; 1200\; log\; 2\; \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{\backslash \; sqrt\; [\{1200\}]\; \{2\}\}\; (r)\; =\; 1200\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; (r)\}$	$16\; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 16\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$	$100\; \{\backslash \; displaystyle\; 100\; \backslash ,\}$	$\approx \; 386.31\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\; 386.31\; \backslash ,\}$	$400\; \{\backslash \; displaystyle\; 400\; \backslash ,\}$	$600\; \{\backslash \; displaystyle\; 600\; \backslash ,\}$	$1200\; \{\backslash \; displaystyle\; 1200\; \backslash ,\}$

Теория чисел

Natural логарифмы тесно связаны с подсчетом простых чисел (2, 3, 5, 7, 11,...), важной темой в теории чисел. Для любого целого числа x количество простых чисел, меньших или равных x, обозначается π (x). Теорема о простых числах утверждает, что π (x) приблизительно определяется как

$x\; ln\; \; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; ln\; (x)\}\},\}$

в том смысле, что отношение π (x) и этой дроби приближается к 1, когда x стремится к бесконечности. Как следствие, вероятность того, что случайно выбранное число от 1 до x является простым, обратно пропорциональна количеству десятичных цифр числа x. Гораздо лучшая оценка π (x) дается функцией логарифмического интеграла смещения Li (x), определяемой как

$L\; i\; (x)\; =\; \int \; 2\; x\; 1\; ln\; \; (t)\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Li\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{2\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ln\; (t)\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Гипотеза Римана, одна из старейших открытых математических гипотез, может быть сформулирована в терминах сравнения π (x) и Li (x). Теорема Эрдеша – Каца, описывающая количество различных простых множителей, также включает в себя натуральный логарифм.

Логарифм n факториала, n! = 1 · 2 ·... · n, определяется как

$ln\; \; (n!)\; =\; Ln\; \; (1)\; +\; ln\; \; (2)\; +\; \cdots \; +\; ln\; \; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (n!)\; =\; \backslash \; ln\; (1)\; +\; \backslash \; ln\; (2)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; ln\; (n).\; \backslash ,\}$

Это можно использовать для получения формулы Стирлинга, приближение п! для больших n.

Комплексный логарифм

Полярная форма z = x + iy. И φ, и φ 'являются аргументами z.

Все комплексные числа a, которые решают уравнение

$ea\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{a\}\; =\; z\}$

, вызываются комплексные логарифмы z, когда z (рассматривается как) комплексное число. Комплексное число обычно представляется как z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i - мнимая единица, квадрат которой равен -1. Такое число можно визуализировать в виде точки на комплексной плоскости , как показано справа. Полярная форма кодирует ненулевое комплексное число z его абсолютным значением, то есть (положительным, действительным) расстоянием r до исходной точки, и угол между действительной осью (x) Re и линией, проходящей через начало координат и z. Этот угол называется аргументом z.

Абсолютное значение r z определяется как

$r\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Использование геометрической интерпретации $sin\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\}$и $cos\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\}$и их периодичность в $2\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi,\}$любое комплексное число z может быть обозначено как

$Z\; знак\; равно\; Икс\; +\; Iy\; знак\; равно\; р\; (соз\; \; \phi \; +\; я\; грех\; \; \phi )\; =\; г\; (соз\; \; (\phi \; +\; 2\; к\; \pi )\; +\; я\; грех\; \; (\phi \; +\; 2\; к\; \pi )),\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; =\; х\; +\; iy\; =\; r\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi)\; =\; r\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\; +\; i\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)),\}$

для любого целого числа номер k. Очевидно, аргумент z не определен однозначно: и φ, и φ '= φ + 2kπ являются допустимыми аргументами z для всех целых чисел k, потому что добавление 2kπ радиан или k⋅360 ° к φ соответствует "намотке "вокруг начала координат против часовой стрелки на k оборотов. Результирующее комплексное число всегда z, как показано справа для k = 1. Можно выбрать ровно один из возможных аргументов z в качестве так называемого главного аргумента, обозначенного Arg (z), с большой буквы A, потребовав φ, чтобы принадлежать одному, удобно выбранному витку, например, или Эти области, где аргумент z определяется однозначно, называются ветвями функции аргумента.

Основная ветвь (-π, π] комплексного логарифма Log (z). Черная точка в точке z = 1 соответствует нулевому абсолютному значению и более яркие, более насыщенные цвета относятся к большему абсолютному значению оттенок цвета кодирует аргумент Log (z).

Формула Эйлера соединяет тригонометрические функции синус и косинус к комплексной экспоненте :

$ei\; \phi \; =\; cos\; \; \phi \; +\; i\; sin\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi.\}$

Используя эту формулу и снова периодичность, выполняются следующие тождества:

$z\; =\; r\; (cos\; \; \phi \; +\; i\; sin\; \; \phi )\; =\; r\; (cos\; \; (\phi \; +\; 2\; k\; \pi )\; +\; i\; sin\; \; (\; \phi \; +\; 2\; k\; \pi ))\; =\; rei\; (\phi \; +\; 2\; k\; \pi )\; =\; e\; ln\; \; (r)\; ei\; (\phi \; +\; 2\; k\; \pi )\; =\; e\; ln\; \; (r)\; +\; i\; (\phi \; +\; 2\; k\; \pi )\; =\; eak,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lll\}\; z\; =\; r\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; r\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\; +\; i\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; re\; ^\; \{i\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\}\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{\backslash \; ln\; (r)\}\; e\; ^\; \{i\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\}\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{\backslash \; ln\; (r)\; +\; i\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi)\}\; =\; e\; ^\; \{a\_\; \{k\}\},\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

где ln (r) - уникальный вещественный натуральный логарифм, a k обозначает комплексные логарифмы z, а k - произвольное целое число. Следовательно, комплексные логарифмы z, которые представляют собой все те комплексные значения a k, для которых a k -я степень e равна z, представляют собой бесконечно много значений

$ak\; знак\; равно\; пер\; \; (г)\; +\; я\; (\phi \; +\; 2\; К\; \pi ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; пер\; (г)\; +\; я\; (\backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi),\; \backslash \; quad\}$для произвольные целые числа k.

Если взять k такое, что $\phi \; +\; 2\; k\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; +\; 2k\; \backslash \; pi\}$находится в пределах определенного интервала для основных аргументов, тогда a k называется главным значением логарифма, обозначается Log (z), снова с большой буквы L. Главный аргумент любого положительного действительного числа x равен 0; следовательно, Log (x) - действительное число и равно действительному (натуральному) логарифму. Однако приведенные выше формулы для логарифмов произведений и степеней не обобщают до главного значения комплексного логарифма.

На иллюстрации справа изображен Log (z), ограничивая аргументы z на интервал (-π, π]. Таким образом, соответствующая ветвь комплексного логарифма имеет разрывы по всей отрицательной действительной оси x, что можно увидеть по скачку оттенка там. Этот разрыв возникает в результате перехода на другую граница в той же ветви при пересечении границы, т. е. не изменяется до соответствующего значения k непрерывно соседней ветви. Такой локус называется отрезком ветви . Снятие ограничений диапазона на аргумент приводит к отношения "аргумент z", и, следовательно, "логарифм z", многозначные функции.

Обратные значения других экспоненциальных функций

Возведение в степень происходит во многих областях математики, и его обратная функция часто называют логарифмом. Например, логарифм матрицы является (многозначной) функцией, обратной экспоненциальной матрице . Другой пример - p-адический логарифм, функция, обратная p-адической экспоненте. Оба определены через ряд Тейлора, аналогично реальному случаю. В контексте дифференциальной геометрии, экспоненциальное отображение отображает касательное пространство в точке многообразия в окрестность этой точки. Обратное к нему также называется логарифмической (или логарифмической) картой.

В контексте конечных групп возведение в степень дается путем многократного умножения одного элемента группы b на себя. Дискретный логарифм - это целое число n, которое решает уравнение

$b\; n\; =\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; =\; x,\; \backslash ,\}$

, где x - элемент группы. Возведение в степень может быть эффективным, но считается, что дискретный логарифм очень трудно вычислить в некоторых группах. Эта асимметрия имеет важные приложения в криптографии с открытым ключом, такой как, например, в обмене ключами Диффи-Хеллмана, подпрограмме, которая позволяет безопасный обмен криптографическими ключами по незащищенные информационные каналы. Логарифм Зека связан с дискретным логарифмом в мультипликативной группе ненулевых элементов конечного поля.

Дополнительные логарифмоподобные обратные функции включают двойной логарифм ln (ln (x)), супер- или гипер-4-логарифм (небольшой вариант которого в информатике называется повторный логарифм ), W-функция Ламберта и логит. Они являются функциями, обратными двойной экспоненциальной функции , тетрации, f (w) = we и логистической функции соответственно.

Связанные понятия

С точки зрения теории групп, журнал идентичности (cd) = log (c) + log (d) выражает групповой изоморфизм между положительным действительным числом при умножении и действительным числом при сложении. Логарифмические функции - единственные непрерывные изоморфизмы между этими группами. Посредством этого изоморфизма мера Хаара (мера Лебега ) dx на вещественных числах соответствует мере Хаара dx / x на положительных действительных числах. Неотрицательные числа имеют не только умножение, но и сложение, и образуют полукольцо, называемое вероятностным полукольцом ; это фактически полуполе. Затем логарифм преобразует умножение в сложение (логарифмическое умножение) и добавляет сложение в логарифмическое сложение (LogSumExp ), что дает изоморфизм полуколец между полукольцом вероятности и логарифмическим полукольцом..

Логарифмические единичные формы df / f появляются в комплексном анализе и алгебраической геометрии как дифференциальные формы с логарифмическими полюсами.

Полилогарифм - это функция, определяемая как

$Li\; s\; \; (z)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; zkks.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Li\}\; \_\; \{s\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{z\; ^\; \{k\}\; \backslash \; over\; k\; ^\; \{s\}\}.\}$

Это связанный с натуральным логарифмом соотношением Li 1 (z) = −ln (1 - z). Кроме того, Li s (1) равно дзета-функция Римана ζ (s).

• Кологарифм
• Десятичный показатель ( dex)
• Экспоненциальная функция
• Индекс логарифмических статей
• Логарифмическая запись

• Средства массовой информации, связанные с логарифмом в Wikimedia Commons
• Словарь определения логарифма в Викисловаре
• Логарифм (математика) в Британской энциклопедии
• Weisstein, Eric W., «Логарифм», MathWorld
• Академия Хана: Логарифмы, бесплатные микролекции онлайн
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Колин Байфлит, Обучающее видео по логарифмам, получено 12 октября 2010 г.
• Эдвард Райт, Перевод работы Нэпьера по логарифмам, заархивировано с оригинала 3 декабря 2002 г., получено 12 октября 2010 CS1 maint: неподходящий URL (ссылка )
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1911), «Журнал арифм. " ", в Chisholm, Hugh (ed.), Encyclopædia Britannica, 16(11-е изд.), Cambridge University Press, стр. 868–77