Научная нотация

Метод записи чисел, особенно очень больших или маленьких

Научная нотация - это способ выражения числа, которые слишком велики или слишком малы для удобной записи в десятичной форме. В Великобритании это может называться научная форма, стандартная индексная форма или стандартная форма . Эта нотация с десятичным основанием обычно используется учеными, математиками и инженерами, отчасти потому, что она может упростить некоторые арифметические операции. В научных калькуляторах это обычно называется режимом отображения «SCI».

Десятичное представление	Научное представление
2	2 × 10
300	3 × 10
4321,768	4,321768 × 10
-53000	−5,3 × 10
6720000000	6,72 × 10
0,2	2 × 10
987	9,87 × 10
0,00000000751	7,51 × 10

В экспоненциальной нотации все числа записываются в форме

m × 10

или m умноженных на десять в степени n, где показатель n - это целое число, а коэффициент m - любое действительное число. Целое число n называется порядком величины, а действительное число m называется мантиссой или мантиссой. Однако термин «мантисса» может вызвать путаницу, поскольку это название дробной части десятичного логарифма. Если значение отрицательное, то перед m стоит знак минус, как в обычной десятичной системе счисления. В нормализованной записи показатель степени выбирается так, чтобы абсолютное значение (модуль) мантиссы m было не менее 1, но меньше 10.

Десятичное число с плавающей запятой это компьютерная арифметическая система, тесно связанная с научным обозначением.

Содержание

• 1 Нормированное обозначение
• 2 Техническое обозначение
• 3 Значимые числа
  • 3.1 Расчетная конечная цифра
• 4 Обозначение E
  • 4.1 Примеры и другие обозначения
• 5 Порядок величины
• 6 Использование пробелов
• 7 Дополнительные примеры экспоненциальной записи
• 8 Преобразование чисел
  • 8.1 Десятичное в научное
  • 8.2 Научное в десятичное
  • 8.3 Экспоненциальное
• 9 Основные операции
• 10 Другие основы
• 11 См. Также
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Нормализованная запись

Любое данное действительное число может быть записано в форме m × 10 ^ во многих способами: например, 350 можно записать как 3,5 × 10 или 35 × 10 или 350 × 10.

В нормализованной научной нотации (называемой «стандартной формой» в Великобритании) показатель степени n выбирается таким образом, чтобы абсолютное значение m оставалось не меньше единицы, но меньше десяти (1 ≤ | м | <10). Таким образом, 350 записывается как 3,5 × 10. Эта форма позволяет легко сравнивать числа, так как показатель степени n дает число порядка величины. Это форма, которая требуется при использовании таблиц десятичных логарифмов. В нормализованной записи показатель степени n отрицателен для числа с абсолютным значением от 0 до 1 (например, 0,5 записывается как 5 × 10). 10 и показатель степени часто опускаются, когда показатель степени равен 0.

Нормализованная научная форма - это типичная форма выражения больших чисел во многих полях, за исключением ненормализованной формы, такой как инженерная нотация, желательно. Нормализованная научная нотация часто называется экспоненциальной нотацией - хотя последний термин является более общим и также применяется, когда m не ограничивается диапазоном от 1 до 10 (как, например, в инженерной нотации) и до оснований кроме 10 (например, 3,15 × 2 ^).

Инженерная нотация

Инженерная нотация (часто называемая режимом отображения «ENG» на научных калькуляторах) отличается от нормализованной научной нотации тем, что показатель степени n ограничен кратным из 3 Следовательно, абсолютное значение m находится в диапазоне 1 ≤ | m | < 1000, rather than 1 ≤ |m| < 10. Though similar in concept, engineering notation is rarely called scientific notation. Engineering notation allows the numbers to explicitly match their corresponding Префиксы SI, что облегчает чтение и устное общение. Например, 12,5 × 10 м можно прочитать как «двенадцать целых пять десятых нанометров» и записать как 12,5 нм, в то время как его эквивалент в научной системе обозначений 1,25 × 10 м, вероятно, будет читаться как «одна точка два-пять умножить на десять. -восьмерка-отрицание ».

Значащие цифры

Значащая цифра - это цифра в числе, повышающая его точность. Сюда входят все ненулевые числа, нули между значащими цифрами и нули , обозначенные как значащие. Начальные и конечные нули не имеют значения, потому что они существуют только для того, чтобы показать масштаб числа. Таким образом, 1230400 обычно имеет пять значащих цифр: 1, 2, 3, 0 и 4; последние два нуля служат только в качестве заполнителей и не добавляют точности к исходному числу.

Когда число преобразуется в нормализованное экспоненциальное представление, оно уменьшается до числа от 1 до 10. Все значащие цифры остаются, но место, содержащее нули, больше не требуется. Таким образом, 1230400 станет 1,2304 × 10. Однако также существует вероятность того, что число может быть известно с точностью до шести или более значащих цифр, и в этом случае число будет показано (например) как 1,23040 × 10. Таким образом, дополнительным преимуществом научного обозначения является более четкое количество значащих цифр.

Предполагаемая последняя цифра (и)

В научных измерениях принято записывать все точно известные цифры измерений и оценивать по крайней мере одну дополнительную цифру, если есть какая-либо информация доступны, чтобы наблюдатель мог сделать оценку. Результирующее число содержит больше информации, чем было бы без этой дополнительной цифры (ов), и его (или их) можно считать значащей цифрой, потому что оно передает некоторую информацию, ведущую к большей точности измерений и в совокупности измерений (добавляя их или умножая). их вместе).

Дополнительная информация о точности может быть передана с помощью дополнительных обозначений. Часто бывает полезно знать, насколько точны последние цифры. Например, принятое значение единицы элементарного заряда может быть правильно выражено как 1,6021766208 (98) × 10 C, что является сокращением для (1.6021766208 ± 0,0000000098) × 10 C.

Обозначение E

Дисплей калькулятора, показывающий константу Авогадро в обозначении E

Большинство калькуляторов и многие компьютерные программы дают очень большие и очень маленькие результаты в экспоненциальное представление, обычно вызываемое клавишей EXP(для экспоненты), EEX(для ввода экспоненты), EE, EX, Eили × 10в зависимости от поставщика и модель. Поскольку надстрочные экспоненты, такие как 10, не всегда могут быть удобно отображены, буква E (или e) часто используется для обозначения «умножения на десять в степени» (что будет записано как «× 10») и за ним следует значение показателя степени; другими словами, для любых двух действительных чисел m и n использование «mEn» будет указывать на значение m × 10. В этом случае символ e не связан с математической константой e или экспоненциальная функция e (путаница, которая маловероятна, если научная запись представлена ​​заглавной E). Хотя E обозначает показатель степени, это обозначение обычно называют (научным) обозначением E, а не (научным) экспоненциальным обозначением. Использование нотации E облегчает ввод данных и удобочитаемость при текстовом общении, поскольку сводит к минимуму количество нажатий клавиш, позволяет избежать уменьшения размера шрифта и обеспечивает более простое и краткое отображение, но это не рекомендуется в некоторых публикациях.

Примеры и другие обозначения

• Нотация E уже использовалась разработчиками SHARE Operating System (SOS) для IBM 709 в 1958 году.
• В большинстве популярных языков программирования, 6.022E23(или 6.022e23) эквивалентно 6.022 × 10, и 1.6 × 10 будет записано 1.6E -35(например, Ada, Analytica, C /C ++, FORTRAN (начиная с FORTRAN II с 1958 года), MATLAB, Scilab, Perl, Java, Python, Lua, JavaScript и др.).
• После появления первых карманных калькуляторов, поддерживающих научную нотацию в 1972 году (HP-35,), термин «декапласт» стал иногда используется в em пробуждение сообществ пользователей к множителю степени десяти, чтобы лучше отличать его от "обычных" показателей. Точно так же буква «D» использовалась в машинописных цифрах. Это обозначение было предложено Джимом Дэвидсоном и опубликовано в выпуске за январь 1976 г. информационного бюллетеня Ричарда Дж. Нельсона Hewlett-Packard 65 Notes для пользователей HP-65, и он был принят и перенесен в сообщество Texas Instruments Ричардом К. Вандербургом, редактором информационного бюллетеня для пользователей в ноябре 1976 года.
• Дисплеи карманных калькуляторов со светодиодной подсветкой не отображали «е» или «е». Вместо этого одна или несколько цифр между мантиссой и экспонентой оставались пустыми (например, 6.022 23, например, в Hewlett-Packard HP-25 ) или пара меньших и немного были использованы повышенные цифры, зарезервированные для экспоненты (например, 6.022, например, в Commodore PR100 ).
• FORTRAN (по крайней мере, с FORTRAN IV по состоянию на 1961 год) также использует " D "для обозначения чисел двойной точности в экспоненциальном представлении.
• Аналогично, буква D использовалась в Sharp карманных компьютерах, PC-1480U, PC-1490U, PC-1490UII, PC-E500, PC-E500S, PC-E550, PC-E650 и PC-U6000 для обозначения 20-значных чисел двойной точности в экспоненциальном представлении в BASIC в период с 1987 по 1995.
• В языке программирования ALGOL 60 (1960) вместо буквы E используется нижний индекс десять «10 », например: 6.022 1023.
• Использование «10 » в различных стандартах Алгола представлял проблему в некоторых компьютерных системах, которые не обеспечивали такой символ «10 ». Как следствие, Стэнфордский университет Algol-W требовал использования одинарных кавычек, например 6.02486 '+ 23, а некоторые варианты советского Алгола допускали использование кириллического символа «ю », например 6.022ю + 23.
• Впоследствии язык программирования АЛГОЛ 68 предоставлял выбор из 4 символов: E, e, \или 10. Примеры: 6.022E23, 6.022e23, 6.022 \ 23или 6.022 1023.

• десятичный экспоненциальный символ является частью стандарта Unicode., например 6,022⏨23. Он включен как U + 23E8 ⏨ ДЕСЯТИЧНЫЙ ЭКСПОНЕНТНЫЙ СИМВОЛ для использования в языках программирования Algol 60 и Algol 68.
• Серия TI-83 и TI-84 Plus калькуляторов используют стилизованный символ E для отображения десятичной экспоненты и символ 10 для обозначения эквивалентного оператора × 10 ^ .
• Simula язык программирования требует использования (или для long ), например: 6.022 23(или 6.022 23).
• Язык Wolfram Language (используемый в Mathematica ) допускает сокращенную запись 6.022 * ^ 23(вместо этого Eобозначает математическую константу e ).

Порядок величины

Научная нотация также позволяет проводить более простые сравнения по порядку величины. Масса протона составляет 0,0000000000000000000000000016726 кг. Если записано как 1,6726 × 10 кг, легче сравнить эту массу с массой электрона, указанной ниже. порядок отношения значений масс может быть получено путем сравнения показателей вместо более подверженной ошибкам задачи подсчета ведущих нулей. В этом случае -27 больше, чем -31, и, следовательно, протон примерно на четыре порядка (в 10 000 раз) массивнее электрона.

Научная нотация также позволяет избежать недоразумений из-за региональных различий в определенных количественных показателях, таких как миллиард, что может означать 10 или 10.

В физике и астрофизике число порядков величины между двумя числами иногда называют «dex», сокращением «десятичной экспоненты» (см. fe Соотношения химического содержания ). Например, если два числа находятся в пределах 1 dex друг от друга, то отношение большего числа к меньшему меньше 10. Могут использоваться дробные значения, поэтому, если в пределах 0,5 dex, отношение меньше 10, и поэтому на.

Использование пробелов

В нормализованной экспоненциальной записи, в E-записи и в инженерной записи пробел (который в верстке может быть представлен пробелом нормальной ширины или тонким пробелом ), который разрешен только до и после «×» или перед «E», иногда опускается, хотя это не так часто делается перед алфавитным символом.

Дополнительные примеры научного обозначения

• Масса электрона составляет около 0,000000000000000000000000000000910938356 кг. В научных обозначениях это записывается как 9,10938356 × 10 кг (в единицах СИ).
• Масса Земли составляет около 5972400000000000000000000 кг. В научных обозначениях это написано 5,9724 × 10 кг.
• Окружность Земли составляет приблизительно 40000000 м. В научных обозначениях это 4 × 10 м. В технических обозначениях это пишется 40 × 10 м. В стиле письма SI это может быть 40 мм (40 мегаметров).
• дюйм определяется как ровно 25,4 мм. Указание значения 25,400 мм показывает, что значение верное с точностью до микрометра. Приблизительное значение только с двумя значащими цифрами будет 2,5 × 10 мм. Поскольку количество значащих цифр не ограничено, длину дюйма можно при необходимости записать как (скажем) 2,54000000000 × 10 мм.
• Гиперинфляция - проблема, которая возникает, когда слишком много деньги печатаются в связи с тем, что товаров слишком мало, что вызывает рост инфляции на 50% и более за один месяц; валюты имеют тенденцию терять свою внутреннюю стоимость со временем. В некоторых странах уровень инфляции составлял 1 миллион процентов или более за один месяц, что обычно приводит к отказу от валюты страны вскоре после этого. В ноябре 2008 года ежемесячный уровень инфляции зимбабвийского доллара достиг 79,6 миллиарда процентов; приблизительное значение с тремя значащими цифрами будет 7,96 × 10 процентов.

Преобразование чисел

Преобразование числа в этих случаях означает преобразование числа в научную форму записи, преобразование обратно в десятичную форму или в изменить показательную часть уравнения. Ничто из этого не меняет фактического числа, только то, как оно выражено.

Десятичное число в научное

Во-первых, переместите десятичный разделитель на достаточное количество раз, чтобы поместить значение числа в желаемый диапазон, от 1 до 10 для нормализованного представления. Если десятичная дробь была перемещена влево, добавьте × 10; вправо, × 10. Чтобы представить число 1,230,400 в нормализованном экспоненциальном представлении, десятичный разделитель будет перемещен на 6 цифр влево и добавлен × 10, в результате получится 1,2304 × 10. У числа -0,0040321 десятичный разделитель сдвинулся бы на 3 цифры вправо вместо влево и в результате дал бы -4,0321 × 10.

Научное представление в десятичное

Для преобразования числа из научного представления в десятичное, сначала удалите × 10в конце, затем сдвиньте десятичный разделитель на n цифр вправо (положительное n) или левое (отрицательное n). Десятичный разделитель числа 1,2304 × 10 сместился бы на 6 цифр вправо и стал бы 1,230,400, а при -4,0321 × 10 его десятичный разделитель сдвинулся бы на 3 цифры влево и составил бы -0,0040321.

Экспоненциальная

Преобразование между различными представлениями одного и того же числа в научной нотации с разными экспоненциальными значениями достигается путем выполнения противоположных операций умножения или деления на степень десяти над мантиссой и вычитания или сложения единицы на показательной части. Десятичный разделитель в мантиссе сдвигается на x разрядов влево (или вправо), а x прибавляется к экспоненте (или вычитается из нее), как показано ниже.

1,234 × 10 = 12,34 × 10 = 123,4 × 10 = 1234

Основные операции

Для двух чисел в экспоненциальном представлении

$x\; 0\; =\; m\; 0\; \times \; 10\; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; m\_\; \{0\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{n\_\; \{0\}\}\}$

и

$x\; 1\; =\; m\; 1\; \times \; 10\; n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; m\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\}$

Умножение и деление выполняются с использованием правил для операций с возведением в степень :

$x\; 0\; x\; 1\; =\; m\; 0\; m\; 1\; \times \; 10\; n\; 0\; +\; n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; =\; m\_\; \{0\}\; m\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{n\_\; \{0\}\; +\; n\_\; \{1\}\}\}$

и

$x\; 0\; x\; 1\; знак\; равно\; м\; 0\; м\; 1\; \times \; 10\; n\; 0\; -\; n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{0\}\}\; \{m\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; умножить\; на\; 10\; ^\; \{n\_\; \{0\}\; -n\_\; \{1\}\}\}$

Вот некоторые примеры:

$5,67\; \times \; 10\; -\; 5\; \times \; 2,34\; \times \; 10\; 2\; \approx \; 13,3\; \times \; 10\; -\; 5\; +\; 2\; =\; 13,3\; \times \; 10\; -\; 3\; =\; 1,33\; \times \; 10\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 5.67\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\; \backslash \; times\; 2.34\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; 13,3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\; +\; 2\}\; =\; 13,3\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 3\}\; =\; 1,33\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 2\}\}$

и

$2,34\; \times \; 10\; 2\; 5,67\; \times \; 10\; -\; 5\; \approx \; 0,413\; \times \; 10\; 2\; -\; (-\; 5)\; =\; 0,413\; \times \; 10\; 7\; =\; 4,13\; \times \; 10\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2.34\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2\}\}\; \{5.67\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\}\}\; \backslash \; app\; rox\; 0,413\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2\; -\; (-\; 5)\}\; =\; 0,413\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{7\}\; =\; 4,13\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{6\}\}$

Сложение и вычитание требует числа, которые должны быть представлены с использованием одной и той же экспоненциальной части, так что мантиссу можно просто добавить или вычесть:

$x\; 0\; =\; m\; 0\; \times \; 10\; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; =\; m\_\; \{0\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{\; n\_\; \{0\}\}\}$и $x\; 1\; =\; m\; 1\; \times \; 10\; n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; m\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\}$с $n\; 0\; =\; n\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\; =\; n\_\; \{1\}\}$

Затем добавьте или вычтите значения:

$x\; 0\; \pm \; x\; 1\; =\; (m\; 0\; \pm \; m\; 1)\; \times \; 10\; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; pm\; x\_\; \{1\}\; =\; (m\_\; \{0\}\; \backslash \; pm\; m\_\; \{1\})\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{n\_\; \{0\}\}\}$

Пример:

$2,34\; \times \; 10–5\; +\; 5,67\; \times \; 10–6\; =\; 2,34\; \times \; 10–5\; +\; 0,567\; \times \; 10–5\; =\; 2,907\; \times \; 10–5\; \{\backslash \; displaystyle\; 2.34\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\; +5,67\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-6\}\; =\; 2,34\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\; +0,567\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\; =\; 2,907\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 5\}\}$

Другие основания

В то время как основание десять равно обычно используется для научных обозначений, могут использоваться и степени других оснований, следующая из наиболее часто используемых оснований - 2.

Например, в экспоненциальной системе счисления с основанием 2 число 1001 b в двоичном (= 9 d) записывается как 1.001 b × 2 d или 1,001 b × 10 b с использованием двоичных чисел (или короче 1,001 × 10, если двоичный контекст очевиден). В обозначении E это записывается как 1.001 b E11 b (или короче: 1.001E11) с буквой E, которая теперь обозначает «умножить на два (10 b) к власти »здесь. Чтобы лучше отличить этот показатель с основанием 2 от показателя с основанием 10, показатель с основанием 2 иногда также обозначается буквой B вместо E, сокращенное обозначение, первоначально предложенное Брукхейвенской национальной лабораторией в 1968 году, как в 1.001 b B11 b (или короче: 1.001B11). Для сравнения, то же самое число в десятичном представлении : 1,125 × 2 (с использованием десятичного представления) или 1,125B3 (с использованием десятичного представления). Некоторые калькуляторы используют смешанное представление для двоичных чисел с плавающей запятой, где показатель степени отображается как десятичное число даже в двоичном режиме, поэтому приведенное выше становится 1,001 b × 10 b или короче 1,001B3.

Это тесно связано с представлением с основанием 2 с плавающей запятой, обычно используемым в компьютерной арифметике, и использованием двоичных префиксов МЭК (например, 1B10 для 1 × 2 (киби ), 1B20 для 1 × 2 (меби ), 1B30 для 1 × 2 (гиби ), 1B40 для 1 × 2 (Теби )).

Подобно B (или b), буквы H (или h) и O (или o, или C) иногда также используются для обозначения умножения на 16 или 8 в степени, как в 1,25 = 1,40 h × 10 h = 1,40H0 = 1,40h0, или 98000 = 2,7732 o × 10 o = 2,7732o5 = 2,7732C5.

Еще одно похожее соглашение для обозначения экспонент с основанием 2 - это использование буквы P (или p, для «степени»). В этой нотации значение всегда должно быть шестнадцатеричным, тогда как показатель всегда должен быть десятичным. Эта нотация может быть получена реализациями семейства функций printf в соответствии со спецификацией C99 и (Single Unix Specification ) IEEE Std 1003.1 Стандарт POSIX при использовании спецификаторов преобразования% a или% A. Начиная с C ++ 11, C ++ функции ввода-вывода могут также анализировать и распечатывать P-нотацию. Между тем, эта нотация была полностью принята языковым стандартом начиная с C ++ 17. Apple Swift также поддерживает его. Это также требуется стандартом двоичных чисел с плавающей запятой IEEE 754-2008. Пример: 1.3DEp42 представляет 1.3DE h × 2.

Инженерная нотация может рассматриваться как научная нотация с основанием 1000.

См. Также

• Двоичный префикс
• Позиционное обозначение
• Экспериментальное представление переменных
• Техническое обозначение
• Плавающая точка
• ISO 31-0
• ISO 31-11
• Значимая цифра
• Числа Сучжоу написаны с порядком величины и единицей измерения под значащей
• Код RKM

Ссылки

Внешние ссылки

Искать научная нотация в Викисловаре, бесплатный словарь.

• Конвертер десятичной в научную нотацию
• Конвертер научной нотации в десятичную
• Научная нотация в повседневной жизни
• Упражнение по преобразованию в и из научной нотации
• Конвертер научной нотации
• научная нотация глава из Уроки электрических цепей, том 1 DC, бесплатная электронная книга и серия Уроки электрических цепей.