полулогарифмический график

Логарифмический тип полулогарифмического графика, определяемый логарифмической шкалой по оси Y и линейная шкала по оси абсцисс. На графике нанесены следующие линии: y = 10 (красный), y = x (зеленый), y = log (x) (синий). Линейно-логарифмический тип полулогарифмического графика, определяемый логарифмической функцией масштаб по оси x и линейный масштаб по оси y. Графические линии: y = 10 (красный), y = x (зеленый), y = log (x) (синий).

В науке и инженерии, a полулогарифмический график или полулогарифмический график (или полулогарифмическийграфик / график ), имеет одна ось в логарифмической шкале , другая - в линейной шкале. Это полезно для данных с экспоненциальными отношениями, где одна переменная охватывает большой диапазон значений, или для увеличения и визуализации этого - что вначале кажется прямой линией - на самом деле это медленное начало логарифмической кривой, которая вот-вот начнет резко увеличиваться, и изменения намного больше, чем предполагалось изначально.

Все уравнения вида $y\; =\; \lambda \; a\; \gamma \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; lambda\; a\; ^\; \{\backslash \; gamma\; x\}\}$образуют прямые линии при построении полулогарифмического графика, поскольку взятие логарифмов с обеих сторон дает

$log\; a\; \; y\; =\; \gamma \; x\; +\; log\; a\; \; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; y\; =\; \backslash \; gamma\; x\; +\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; \backslash \; lambda.\}$

Это линия с наклоном $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и $записать\; a\; \; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; \backslash \; lambda\}$вертикальное пересечение. Логарифмическая шкала обычно обозначается по основанию 10; иногда в базе 2:

$log\; \; (y)\; =\; (\gamma \; log\; \; (a))\; x\; +\; log\; \; (\lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (y)\; =\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; log\; (a))\; x\; +\; \backslash \; log\; (\backslash \; lambda).\}$

A log-linear (иногда log-lin) график имеет логарифмический масштаб по оси y - ось и линейный масштаб по оси абсцисс; a linear-log (иногда lin-log) - наоборот. Именование - вывод-ввод (y-x), порядок противоположный от (x, y).

На полулогарифмическом графике шаг шкалы по оси Y (или оси X) пропорционален логарифму числа, а не самому числу. Это эквивалентно преобразованию значений y (или значений x) в их журнал и построению данных в линейных масштабах. Логарифмический график использует логарифмическую шкалу для обеих осей и, следовательно, не является полулогарифмическим графиком.

Содержание

• 1 Уравнения
  • 1.1 Нахождение функции из полулогарифмического графика
    • 1.1.1 Линейно-логарифмический график
    • 1.1.2 Логарифмически-линейный график
• 2 Примеры из реальной жизни
  • 2.1 Фазовая диаграмма воды
  • 2.2 Развитие "свиного гриппа" в 2009 г.
  • 2.3 Рост микроорганизмов
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Уравнения

Уравнение линии на линейно-логарифмическом графике, где ось абсцисса масштабируется логарифмически (с логарифмической базой n), будет

$F\; (x)\; =\; m\; log\; n\; \; (x)\; +\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; =\; m\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x)\; +\; b.\; \backslash ,\}$

Уравнение для линии на логарифмически линейном графике с осью ординаты логарифмически в масштабе (с логарифмическим основанием n) будет:

$log\; n\; \; (F\; (x))\; =\; mx\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (F\; (x))\; =\; mx\; +\; b\}$

$F\; (x)\; =\; nmx\; +\; b\; =\; (nmx)\; (nb).\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; =\; n\; ^\; \{mx\; +\; b\}\; =\; (n\; ^\; \{mx\})\; (n\; ^\; \{b\}).\}$

Поиск функции из полулогарифмического графика

График линейного журнала

На графике линейного журнала выберите фиксированную точку (x 0, F 0), где F 0 является сокращением для F (x 0), где-то на прямой линии на приведенном выше графике, и далее в некоторой другой произвольной точке (x 1, F 1) на том же графике. Формула наклона графика:

$m\; =\; F\; 1\; -\; F\; 0\; log\; n\; \; (x\; 1\; /\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\_\; \{1\}\; -F\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\}\; /\; x\_\; \{0\})\}\}\}$

, что приводит к

$F\; 1\; -\; F\; 0\; =\; m\; log\; n\; \; (x\; 1\; /\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\; \}\; -F\_\; \{0\}\; =\; m\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\}\; /\; x\_\; \{0\})\}$

или

$F\; 1\; =\; m\; log\; n\; \; (x\; 1\; /\; x\; 0)\; +\; F\; 0\; знак\; равно\; м\; журнал\; N\; \; (Икс\; 1)\; -\; м\; журнал\; N\; \; (Икс\; 0)\; +\; F\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\; =\; m\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\}\; /\; x\_\; \{0\})\; +\; F\_\; \{\; 0\}\; =\; m\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\})\; -\; m\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{0\})\; +\; F\_\; \{0\}\}$

, что означает, что

$F\; (x)\; =\; m\; log\; n\; \; (x)\; +\; константа\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; =\; m\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x)\; +\; constant\}$

Другими словами, F пропорционально логарифму x, умноженному на наклон прямая линия его линейного графика плюс константа. В частности, прямая линия на линейно-логарифмическом графике, содержащая точки (F 0, x 0) и (F 1, x 1) будет иметь функцию:

$F\; (x)\; =\; (F\; 1\; -\; F\; 0)\; [log\; n\; \; (x\; /\; x\; 0)\; log\; n\; \; (x\; 1\; /\; x\; 0)]\; +\; F\; 0\; =\; (F\; 1\; -\; F\; 0)\; журнал\; x\; 1\; x\; 0\; \; (xx\; 0)\; +\; F\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\; =\; (F\_\; \{1\}\; -F\_\; \{0\})\; \{\backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\; /\; x\_\; \{0\})\}\; \{\backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (x\_\; \{1\}\; /\; x\_\; \{0\})\}\}\; \backslash \; right]\}\; +\; F\_\; \{0\}\; =\; (F\_\; \{1\}\; -F\_\; \{0\})\; \backslash \; log\; \_\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; +\; F\_\; \{0\}\}$

журнал -линейный график

На логарифмическом графике (логарифмический масштаб по оси y) выберите фиксированную точку (x 0, F 0), где F 0 - это сокращение для F (x 0), где-то на прямой линии на приведенном выше графике, и далее в некоторой другой произвольной точке (x 1, F 1) на том же графике. Формула наклона графика:

$m\; =\; log\; n\; \; (F\; 1\; /\; F\; 0)\; x\; 1\; -\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (F\_\; \{1\}\; /\; F\_\; \{0\})\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\}\}\}$

, что приводит к

$log\; n\; \; (F\; 1\; /\; F\; 0)\; =\; m\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (F\_\; \{1\}\; /\; F\_\; \{0\})\; =\; m\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\}$

Обратите внимание, что n = F 1. Следовательно, журналы можно инвертировать, чтобы найти:

$F\; 1\; F\; 0\; =\; нм\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{F\_\; \{1\}\}\; \{F\_\; \{0\}\}\}\; =\; n\; ^\; \{m\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\}\}$

или

$F\; 1\; =\; F\; 0\; нм\; (x\; 1\; -\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\; =\; F\_\; \{0\}\; n\; ^\; \{m\; (\; x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\}\}$

Это можно обобщить для любой точки, вместо F 1:

$F\; (x)\; =\; F\; 0\; n\; (x\; -\; x\; 0\; x\; 1\; -\; x\; 0)\; log\; п\; \; (F\; 1\; /\; F\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x)\; =\; \{F\_\; \{0\}\}\; n\; ^\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-x\_\; \{0\}\}\; \{x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\})\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; log\; \_\; \{n\}\; (F\_\; \{1\}\; /\; F\_\; \{0\})\}\}$

Примеры из реальной жизни

Фазовая диаграмма воды

In физика и химия, график логарифма давления в зависимости от температуры может быть использован для иллюстрации различных фаз вещества, как показано ниже для воды :

лог-линейная диаграмма давление – температура , фазовая диаграмма воды. Римские цифры обозначают различные ледяные фазы.

прогрессирование «свиного гриппа» в 2009 г.

Хотя десять является наиболее распространенным основанием, бывают случаи, когда другие Основания более подходят, как в этом примере:

Полулогарифмический график случаев и смертей во время вспышки гриппа A (H1N1) в 2009 г.. Обратите внимание, что в то время как горизонтальная (время) ось является линейной с равномерным интервалом между датами, вертикальная (по случаям) ось является логарифмической, при этом равномерно расположенные деления помечены последовательными степенями двойки. Полулогарифмический график позволяет легче увидеть, когда инфекция перестала распространяться с максимальной скоростью, т.е. прямая линия на этом экспоненциальном графике и начинает изгибаться, указывая на более медленную скорость. Это может указывать на то, что какая-то форма действий по смягчению работает, например. социальное дистанцирование.

Рост микробов

В биологии и биологической инженерии изменение количества микробов из-за бесполого воспроизводство и истощение питательных веществ обычно иллюстрируется полулогарифмическим графиком. Время обычно представляет собой независимую ось с логарифмом числа или массы бактерий или других микробов в качестве зависимой переменной. Это формирует график с четырьмя отдельными фазами, как показано ниже.

Кривая роста бактерий

См. Также

• Номограмма, более сложные графики
• Нелинейная регрессия # Преобразование, для преобразования нелинейной формы в полулогарифмическую форму, поддающуюся неитеративному вычислению
• График журнала-журнала

Ссылки