Логарифмическая интегральная функция

редактировать

Специальная функция, определяемая интегралом

В математике, логарифмическая интегральная функция или интегральный логарифм li (x) - это специальная функция. Это актуально в задачах физики и имеет теоретико-числовое значение. В частности, согласно теореме Зигеля-Вальфиса это очень хорошее приближение к функции подсчета простых чисел, которая определяется как число простые числа меньше или равны заданному значению $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

График логарифмической интегральной функции

Содержание

1 Интегральное представление
2 Логарифмический интеграл смещения
3 Специальные значения
4 Последовательное представление
5 Асимптотическое разложение
6 Теоретико-числовое значение
7 См. Также
8 Ссылки

Интегральное представление

Логарифмический интеграл имеет интеграл представление, определенное для всех положительных действительных чисел x ≠ 1 с помощью определенного интеграла

li ⁡ (x) = ∫ 0 xdt ln ⁡ t. {\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}.}

Здесь ln обозначает натуральный логарифм. Функция 1 / (ln t) имеет особенность при t = 1, а интеграл для x>1 интерпретируется как главное значение Коши,

li ⁡ (x) = lim ε → 0 + (∫ 0 1 - ε dt ln ⁡ t + ∫ 1 + ε xdt ln ⁡ t). {\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {dt} {\ ln t} } + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {dt} {\ ln t}} + \ int _ {1+ \ va repsilon} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} \ right).}

Логарифмический интеграл смещения

Логарифмический смещение интеграл или логарифмический интеграл Эйлера определяется как

Li ⁡ (x) = ∫ 2 xdt ln ⁡ t = li ⁡ (x) - li ⁡ (2). {\ displaystyle \ operatorname {Li} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} = \ operatorname {li} (x) - \ operatorname {li} ( 2).}

{\ Displaystyle \ OperatorName {Li} (х) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} = \ operatorname {li} (x) - \ operatorname {li} (2).}

Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.

Особые значения

Функция li (x) имеет единственный положительный ноль; это происходит при x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 ; это число известно как константа Рамануджана – Солднера.

−Li (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284

Это $- (Γ (0, - ln ⁡ 2) + я π) {\ displaystyle - (\ Gamma \ left (0, - \ ln 2 \ right) + i \, \ pi)}$ $- (\ Gamma \ left (0, - \ пер 2 \ вправо) + я \, \ пи)$ где $Γ (a, x) {\ displaystyle \ Gamma \ left (a, x \ right)}$ $\ Гамма \ влево (а, х \ вправо)$ - неполная гамма-функция. Его следует понимать как главное значение Коши функции.

Последовательное представление

Функция li (x) связана с экспоненциальным интегралом Ei (x) посредством уравнения

li (x) = Ei (ln ⁡ x), {\ displaystyle {\ hbox {li}} (x) = {\ hbox {Ei}} (\ ln x), \, \!}

{\ hbox {li}} (x) = {\ hbox {Ei}} (\ ln х), \, \!

, что действительно для x>0. Это тождество обеспечивает представление li (x) в виде ряда

li ⁡ (e u) = Ei (u) = γ + ln ⁡ | u | + ∑ N знак равно 1 ∞ U N N ⋅ N! U ≠ 0, {\ displaystyle \ operatorname {li} (e ^ {u}) = {\ hbox {Ei}} (u) = \ gamma + \ ln | u | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {u ^ {n} \ over n \ cdot n!} \ quad {\ text {for}} u \ neq 0 \ ;,}

{\ displaystyle \ operatorname {li} ( e ^ {u}) = {\ hbox {Ei}} (u) = \ gamma + \ ln | u | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {u ^ {n} \ over n \ cdot n!} \ quad {\ text {for}} u \ neq 0 \ ;,}

где γ ≈ 0,57721 56649 01532... OEIS : A001620 - это постоянная Эйлера – Маскерони. Более быстро сходящийся ряд по Рамануджану равен

li ⁡ (x) = γ + ln ⁡ ln ⁡ x + x ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 (ln ⁡ x) nn ! 2 N - 1 ∑ К знак равно 0 ⌊ (N - 1) / 2 ⌋ 1 2 К + 1. {\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ gamma + \ ln \ ln x + {\ sqrt {x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { n-1} (\ ln x) ^ {n}} {n! \, 2 ^ {n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} {\ frac {1} {2k + 1}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ gamma + \ ln \ ln x + {\ sqrt {x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} (\ ln x) ^ {n}} {n! \, 2 ^ {n -1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} {\ frac {1} {2k + 1}}.}

Асимптотическое разложение

Асимптотическое поведение при x → ∞:

li ⁡ (x) = O (x ln ⁡ x). {\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = O \ left ({x \ over \ ln x} \ right) \ ;.}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = O \ left ({x \ over \ ln x} \ right) \ ;.}

где $O {\ displaystyle O}$ $O$ - это нотация большой буквы O. Полное асимптотическое разложение есть

li ⁡ (x) ∼ x ln ⁡ x ∑ k = 0 ∞ k! (пер ⁡ Икс) К {\ Displaystyle \ OperatorName {li} (х) \ sim {\ гидроразрыва {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k! } {(\ ln x) ^ {k}}}}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(\ ln x) ^ { k}}}}

или

li ⁡ (x) x / ln ⁡ x ∼ 1 + 1 ln ⁡ x + 2 (ln ⁡ x) 2 + 6 (ln ⁡ х) 3 + ⋯. {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {li} (x)} {x / \ ln x}} \ sim 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {2} {(\ ln x) ^ {2}}} + {\ frac {6} {(\ ln x) ^ {3}}} + \ cdots.}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {li} (x)} {x / \ ln x}} \ sim 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {2} {(\ ln x) ^ {2}}} + {\ frac {6} {(\ ln x) ^ {3}}} + \ cdots.}

Это дает следующее более точное асимптотическое поведение:

li ⁡ (x) - x ln ⁡ x знак равно O (x ln 2 ⁡ x). {\ displaystyle \ operatorname {li} (x) - {x \ over \ ln x} = O \ left ({x \ over \ ln ^ {2} x} \ right) \ ;.}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) - {x \ over \ ln x} = O \ left ({x \ over \ ln ^ {2} x} \ right) \ ;.}

в качестве асимптотики При расширении этот ряд не сходится : это разумное приближение, только если ряд усечен до конечного числа членов и используются только большие значения x. Это разложение следует непосредственно из асимптотического разложения для экспоненциального интеграла .

. Отсюда следует, например, что мы можем заключить li в скобки:

1 + 1 ln ⁡ x < li ⁡ ( x) ln ⁡ x x < 1 + 1 ln ⁡ x + 3 ( ln ⁡ x) 2 {\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} <\ operatorname {li} (x) {\ frac {\ ln x} {x} } <1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {3} {(\ ln x) ^ {2}}}}

для всех $ln ⁡ x ≥ 11 {\ displaystyle \ ln x \ geq 11}$ ${\ displaystyle \ ln x \ geq 11}$ .

Теоретико-числовое значение

Логарифмический интеграл важен в теории чисел, поскольку он появляется в оценках количества простых чисел, меньших заданного значения. Например, теорема о простых числах утверждает, что:

π (x) ∼ Li ⁡ (x) {\ displaystyle \ pi (x) \ sim \ operatorname {Li} (x)}

\ pi (x) \ sim \ operatorname {Li} (x)

где $π (x) {\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ обозначает количество простых чисел, меньших или равных $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Предполагая, что Гипотеза Римана, мы получаем еще более сильную:

Li ⁡ (x) - π (x) = O (x log ⁡ x) {\ displaystyle \ operatorname {Li} (x) - \ pi (x) = O ({\ sqrt {x}} \ log x)}

{\ displaystyle \ operatorname {Li} (x) - \ pi (x) = O ({\ sqrt {x}} \ log x)}

См. Также

Ссылки

^Вайсштейн, Эрик У. «Логарифмический интеграл». MathWorld.
^Абрамовиц и Стегун, стр. 230, 5.1.20

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 5". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Temme, NM (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248