Экспоненциальный интеграл

редактировать

Специальная функция, определяемая интегралом График E 1 {\ displaystyle E_ {1}}E_ {1} функция (вверху) и функция Ei {\ displaystyle \ operatorname {Ei}}{\ displaystyle \ operatorname {Ei}} (внизу).

В математике экспоненциальный интеграл Ei является специальная функция на комплексной плоскости. Он определяется как один конкретный определенный интеграл отношения между экспоненциальной функцией и ее аргументом .

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Свойства
    • 2.1 Сходящийся ряд
    • 2.2 Асимптотический (расходящийся) ряд
    • 2.3 Экспоненциальное и логарифмическое поведение: скобки
    • 2.4 Определение Ein
    • 2.5 Связь с другими функциями
    • 2.6 Производные
    • 2.7 Экспоненциальный интеграл мнимого аргумент
    • 2.8 Приближение
  • 3 Приложения
  • 4 См. также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Определения

Для реальных ненулевых значений x экспоненциальный интеграл Ei (x) определяется как

Ei ⁡ (x) = - ∫ - x ∞ e - ttdt = ∫ - ∞ xettdt. {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = - \ int _ {- x} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \, dt = \ int _ {- { \ infty}} ^ {x} {\ frac {e ^ {t}} {t}} \, dt. \,}{\ displaystyle \ operatorname {Ei } (x) = - \ int _ {- x} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \, dt = \ int _ {- {\ infty}} ^ {x } {\ frac {e ^ {t}} {t}} \, dt. \,}

алгоритм Риша показывает, что Ei не является элементарная функция. Вышеприведенное определение можно использовать для положительных значений x, но интеграл следует понимать в терминах главного значения Коши из-за сингулярности подынтегрального выражения в нуле.

Для сложных значений аргумента определение становится неоднозначным из-за точек ветвления в 0 и ∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty . Вместо Ei используются следующие обозначения:

E 1 (z) = ∫ z ∞ e - t t d t, | A r g (z) | < π {\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ { z} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \, dt, \ qquad | {\ rm {Arg}} (z) | <\ pi}

(обратите внимание, что для положительных значений x мы имеем - E 1 (x) = Ei ⁡ (- x) {\ displaystyle -E_ {1} (x) = \ operatorname {Ei} (-x)}{\ displaystyle -E_ {1} (x) = \ operatorname {Ei} ( -x)} ).

Как правило, отрезок ветви берется на отрицательной действительной оси, а E 1 может быть определено аналитическим продолжением в другом месте комплекса самолет.

Для положительных значений действительной части z {\ displaystyle z}z можно записать

E 1 (z) = ∫ 1 ∞ e - tztdt = ∫ 0 1 е - z / uudu, ℜ (z) ≥ 0. {\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- tz}} { t}} \, dt = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {e ^ {- z / u}} {u}} \, du, \ qquad \ Re (z) \ geq 0.}{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- tz}} {t}} \, dt = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {e ^ {- z / u}} {u}} \, du, \ qquad \ Re (z) \ geq 0.}

Поведение E 1 вблизи сечения ветви можно увидеть из следующего соотношения:

lim δ → 0 + E 1 (- x ± i δ) = - Ei ⁡ (x) ∓ я π, х>0. {\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0+} E_ {1} (- x \ pm i \ delta) = - \ operatorname {Ei} (x) \ mp i \ pi, \ qquad x>0.}{\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta)=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi,\qquad x>0.}

Свойства

Несколько свойств экспоненциального интеграла, приведенного ниже, в некоторых случаях позволяют избежать его явного вычисления с помощью определения выше.

Сходящийся ряд

Для реальных или сложные аргументы от отрицательной действительной оси, E 1 (z) {\ displaystyle E_ {1} (z)}E_1 (z) можно выразить как

E 1 (z) = - γ - ln ⁡ z - ∑ k = 1 ∞ (- z) kkk! (| Arg ⁡ (z) | < π) {\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\operatorname {Arg} (z)|<\pi)}{\ displaystyle E_ {1} (z) = - \ gamma - \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {k}} {k \; k!}} \ qquad (| \ operatorname { Arg} (z) | <\ pi)}

где γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma - эйлер– Константа Маскерони. Сумма сходится для всех комплексных z {\ displaystyle z}z , и мы берем обычное значение комплексного логарифма, имеющего ветвь вырезать по отрицательной действительной оси.

Эту формулу можно использовать для вычисления ute E 1 (x) {\ displaystyle E_ {1} (x)}{\ displaystyle E_ {1} (x)} с операциями с плавающей запятой для вещественных x {\ displaystyle x}x между 0 и 2.5. Для x>2.5 {\ displaystyle x>2.5}x>2.5 , результат неточен из-за отмены.

Рамануджан :

E i (x) = γ + ln ⁡ обнаружил более быстрый сходящийся ряд Икс + ехр ⁡ (Икс / 2) ∑ N знак равно 1 ∞ (- 1) N - 1 xnn! 2 N - 1 ∑ К знак равно 0 ⌊ (N - 1) / 2 ⌋ 1 2 К + 1 {\ Displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ exp {(x / 2)} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1 } x ^ {n}} {n! \, 2 ^ {n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} {\ frac {1} { 2k + 1}}}{\ rm Ei} (x) = \ gamma + \ ln x + \ exp {(x / 2)} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {п-1} х ^ п} {п! \, 2 ^ {n-1}} \ sum_ {к = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} \ frac {1} {2k + 1}

Эти переменные ряды также можно использовать для получения хороших асимптотических оценок для малых x, например:

1 - 3 x 4 ≤ E i (x) - γ - ln ⁡ x ≤ 1 - 3 x 4 + 11 x 2 36 {\ displaystyle 1 - {\ frac {3x} {4}} \ leq {\ rm {Ei}} (x) - \ gamma - \ ln x \ leq 1 - {\ frac { 3x} {4}} + {\ frac {11x ^ {2}} {36}}}{\ displaystyle 1 - {\ frac {3x} {4 }} \ leq {\ rm {Ei}} (x) - \ gamma - \ ln x \ leq 1 - {\ frac {3x} {4}} + {\ frac {11x ^ {2}} {36}} }

для x ≥ 0 {\ displaystyle x \ geq 0}{\ displaystyle x \ geq 0} .

Асимптотический (расходящийся) ряд

Относительная погрешность асимптотического приближения fo r другое число N {\ displaystyle ~ N ~}~ N ~ членов в усеченной сумме

К сожалению, сходимость приведенного выше ряда происходит медленно для аргументов с большим модулем. Например, для x = 10 требуется более 40 терминов, чтобы получить правильный ответ до трех значащих цифр для E 1 (z) {\ displaystyle E_ {1} (z)}E_1 (z) . Однако существует приближение расходящегося ряда, которое может быть получено интегрированием zez E 1 (z) {\ displaystyle ze ^ {z} E_ {1} (z)}{\ displaystyle ze ^ {z} E_ {1} (z)} по частям:

E 1 (Z) знак равно ехр ⁡ (- Z) Z ∑ N знак равно 0 N - 1 N! (- z) n {\ displaystyle E_ {1} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {n !} {(- z) ^ {n}}}}{\ displaystyle E_ {1} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {N -1} {\ frac {n!} {(- z) ^ {n}}}}

с ошибкой порядка O (N! z - N) {\ displaystyle O (N! z ^ {- N})}O (N! z ^ {- N}) и действителен для больших значений Re ⁡ (z) {\ displaystyle \ operatorname {Re} (z)}\ operatorname {Re} (z) . Относительная ошибка приведенного выше приближения показана на рисунке справа для различных значений N {\ displaystyle N}N, количества членов в усеченной сумме (N = 1 {\ displaystyle N = 1}N = 1 красным, N = 5 {\ displaystyle N = 5}N = 5 розовым).

Экспоненциальное и логарифмическое поведение: брекетинг

Брекетинг E 1 {\ displaystyle E_ {1}}E_ {1} элементарными функциями

Из двух серий, предложенных в предыдущих подразделах, из этого следует, что E 1 {\ displaystyle E_ {1}}E_ {1} ведет себя как отрицательная экспонента для больших значений аргумента и как логарифм для малых значений. Для положительных вещественных значений аргумента E 1 {\ displaystyle E_ {1}}E_ {1} может быть заключено в скобки элементарными функциями следующим образом:

1 2 e - x ln (1 + 2 x) < E 1 ( x) < e − x ln ( 1 + 1 x) x>0 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \, \ ln \! \ Left (1 + {\ frac {2} {x}} \ right) 0}{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}

Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом; центральная часть E 1 (x) {\ displaystyle E_ {1} (x)}{\ displaystyle E_ {1} (x)} отображается черным цветом, а правая часть - красным.

Определение по Ein

Оба Ei {\ displaystyle \ operatorname {Ei}}{\ displaystyle \ operatorname {Ei}} и E 1 {\ displaystyle E_ {1}}E_ {1} можно записать проще, используя целую функцию Ein {\ displaystyle \ operatorname {Ein}}{\ displaystyle \ operatorname {Ein}} определяется как

Ein ⁡ (z) = ∫ 0 z (1 - e - t) dtt = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 zkkk! {\ Displaystyle \ operatorname {Ein } (z) = \ int _ {0} ^ {z} (1-e ^ {- t}) {\ frac {dt} {t}} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1} z ^ {k}} {k \; k!}}}{\ displaystyle \ operatorname {Ein} (z) = \ int _ {0} ^ {z} (1-e ^ {- t}) {\ frac {dt} {t}} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {k + 1} z ^ {k}} {k \; k!}}}

(обратите внимание, что это просто чередующийся ряд в приведенном выше определении E 1 { \ Displaystyle \ mathrm {E} _ {1}}{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1}} ). Тогда имеем

E 1 (z) = - γ - ln ⁡ z + E i n (z) | Arg ⁡ (z) | < π {\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi }{\ displaystyle E_ {1} (z) \, = \, - \ gamma - \ ln z + {\ rm {Ein}} (z) \ qquad | \ operatorname {Arg} (z) | <\ pi}
Ei ⁡ (x) = γ + ln ⁡ x - Ein ⁡ (- x) x>0 {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) \, = \, \ gamma + \ ln x- \ operatorname { Ein} (-x) \ qquad x>0}{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x>0}

Связь с другими функциями

уравнение Куммера

zd 2 wdz 2 + (b - z) dwdz - aw = 0 {\ displaystyle z {\ displaystyle z {\ displaystyle z {\ displaystyle z {\ displaystyle z {\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) {\ frac {dw} {dz}} - aw = 0}z \ frac {d ^ 2w} {dz ^ 2} + (bz) \ frac {dw} {dz} - aw = 0

обычно решается с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций M (a, b, z) {\ displaystyle M (a, b, z)}M (a, b, z) и U (a, b, z). {\ Displaystyle U ( a, b, z).}{\ displaystyle U (a, b, z).} Но когда a = 0 {\ displaystyle a = 0}a = 0 и b = 1, {\ displaystyle b = 1, }{\ displaystyle b = 1,} то есть

zd 2 wdz 2 + (1 - z) dwdz = 0 {\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (1-z) {\ frac {dw} {dz}} = 0}{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + ( 1-z) {\ frac {dw} {dz}} = 0}

мы имеем

M (0, 1, z) = U (0, 1, z) = 1 {\ displaystyle M ( 0,1, z) = U (0,1, z) = 1}{\ displaystyle M (0,1, z) = U (0,1, z) = 1}

для всех z. Секунда Тогда решение d определяется как E 1 (-z). Фактически,

E 1 (- z) = - γ - i π + ∂ [U (a, 1, z) - M (a, 1, z)] ∂ a, 0 < A r g ( z) < 2 π {\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }{\ displaystyle E_ {1} (- z) = - \ gamma -i \ pi + {\ frac {\ partial [U (a, 1, z) -M (a, 1, z)]} {\ partial a}}, \ qquad 0 <{\ rm {Arg}} (z) <2 \ pi}

с вычисленной производной at a = 0. {\ displaystyle a = 0.}a = 0. Другая связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями состоит в том, что E 1 является экспоненциальным умноженным на функцию U (1,1, z):

E 1 (z) = e - z U (1, 1, z) {\ displaystyle E_ {1} (z) = e ^ {- z} U (1,1, z)}{\ displaystyle E_ {1} (z) = e ^ {- z} U (1,1, z)}

Экспоненциальный интеграл тесно связан с логарифмической интегральной функцией li (x) по формуле

li ⁡ (ex) = Ei ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {li} ( e ^ {x}) = \ operatorname {Ei} (x)}{\ displaystyle \ operatorname {li} (e ^ {x}) = \ operatorname {Ei} (x)}

для ненулевых вещественных значений x {\ displaystyle x}x .

Экспоненциальный интеграл также может быть обобщен на

E п (Икс) знак равно ∫ 1 ∞ е - xttndt, {\ displaystyle E_ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {n }}} \, dt,}{ \ displaystyle E_ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \, dt,}

, который можно записать как частный случай неполной гамма-функции :

E n (x) = xn - 1 Γ (1 - n, x). {\ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x).}{\ displaystyle E_ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x).}

Обобщенную форму иногда называют функцией Мисры φ m (x) { \ displaystyle \ varphi _ {m} (x)}\ varphi_m (x) , определяемый как

φ m (x) = E - m (x). {\ displaystyle \ varphi _ {m} (x) = E _ {- m} (x).}{\ displaystyle \ varphi _ {m} (x) = E _ {- m} (x).}

Включение логарифма определяет обобщенную интегро-экспоненциальную функцию

E sj (z) = 1 Γ (j + 1) ∫ 1 ∞ (журнал ⁡ t) je - zttsdt. {\ Displaystyle E_ {s} ^ {j} (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (j + 1)}} \ int _ {1} ^ {\ infty} (\ log t) ^ {j } {\ frac {e ^ {- zt}} {t ^ {s}}} \, dt.}{\ displaystyle E_ {s} ^ {j} (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (j + 1)}} \ int _ {1} ^ {\ infty} ( \ log t) ^ {j} {\ frac {e ^ {- zt}} {t ^ {s}}} \, dt.}

Неопределенный интеграл:

Ei ⁡ (a ⋅ b) = ∬ eabdadb {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (a \ cdot b) = \ iint e ^ {ab} \, da \, db}{\ displaystyle \ operatorname {Ei} (a \ cdot b) = \ iint e ^ {ab} \, da \, db}

похож по форме на обычную производящую функцию для d (n) {\ displaystyle d (n)}d (n) , количество делителей из n {\ displaystyle n}n :

∑ n = 1 ∞ d (n) xn = ∑ a знак равно 1 ∞ ∑ б знак равно 1 ∞ xab {\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} d (n) x ^ {n} = \ sum \ limits _ {a = 1} ^ { \ infty} \ sum \ limits _ {b = 1} ^ {\ infty} x ^ {ab}}\ sum \ limits_ { n = 1} ^ {\ infty} d (n) x ^ {n} = \ sum \ limits_ {a = 1} ^ {\ infty} \ sum \ limits_ {b = 1} ^ {\ infty} x ^ { ab}

Производные

Производные обобщенных функций E n {\ displaystyle E_ { n}}E_ {n} можно вычислить по формуле

E n ′ (z) = - E n - 1 (z) (n = 1, 2, 3,…) {\ displaystyle E_ {n} '(z) = - E_ {n-1} (z) \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots)}{\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots)}

Обратите внимание, что функция E 0 {\ displaystyle E_ { 0}}E_ {0} легко оценить (что делает эту рекурсию полезной), поскольку это просто e - z / z {\ displaystyle e ^ {- z} / z}е ^ {- z} / z .

Экспоненциальный интеграл от мнимого аргумента

E 1 (ix) {\ displaystyle E_ {1} (ix)}{\ displaystyle E_ {1} (ix)} против x {\ displaystyle x}x ; действительная часть черная, мнимая часть красная.

Если z {\ displaystyle z}z является мнимым, у него есть неотрицательная действительная часть, поэтому мы можем использовать формулу

E 1 (z) Знак равно ∫ 1 ∞ е - tztdt {\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- tz}} {t}} \, dt}{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- tz} } {t}} \, dt}

, чтобы получить связь с тригонометрическими интегралами Si {\ displaystyle \ operatorname {Si}}{\ displaystyle \ operatorname {Si}} и Ci {\ displaystyle \ operatorname {Ci}}{\ displaystyle \ имя оператора {Ci}} :

E 1 (ix) = я [- 1 2 π + Si ⁡ (x)] - Ci ⁡ (x) (x>0) {\ displaystyle E_ {1} (ix) = i \ left [- {\ tfrac {1} {2}} \ pi + \ operatorname {Si} (x) \ right] - \ operatorname {Ci} (x) \ qquad (x>0)}{\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}

Реальная и мнимая части>E 1 (ix) {\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1} (ix)}{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1} (ix)} нанесены на рисунок справа черной и красной кривыми.

Приближения

Было около формулы для экспоненциальной интегральной функции. К ним относятся:

  • Приближение Свами и Охиджа
E 1 (x) = (A - 7,7 + B) - 0,13, {\ displaystyle E_ {1} (x) = \ left (A ^ {- 7,7} + B \ right) ^ {- 0,13},}{\ displaystyle E_ {1} (x) = \ left (A ^ {- 7.7} + B \ right) ^ {- 0.13},}
где
A = ln ⁡ [(0,56146 x + 0,65) (1 + x)] B = x 4 e 7,7 x (2 + x) 3,7 { \ Displaystyle {\ begin {align} A = \ ln \ left [\ left ({\ frac {0,56146} {x}} + 0,65 \ right) (1 + x) \ right] \\ B = x ^ {4} e ^ {7.7x} (2 + x) ^ {3.7} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} A = \ ln \ left [\ left ({\ frac {0,56146} {x}} + 0,65 \ справа) (1 + x) \ right] \\ B = x ^ {4} e ^ {7.7x} (2 + x) ^ {3.7} \ end {align}}}
  • Приближение Аллена и Гастингса
E 1 (x) = {- ln ⁡ x + a T x 5, Икс ≤ 1 е - xxb T x 3 c T x 3, x ≥ 1 {\ displaystyle E_ {1} (x) = {\ begin {cases} - \ ln x + {\ textbf {a}} ^ {T} { \ textbf {x}} _ {5}, x \ leq 1 \\ {\ frac {e ^ {- x}} {x}} {\ frac {{\ textbf {b}} ^ {T} {\ textbf {x}} _ {3}} {{\ textbf {c}} ^ {T} {\ textbf {x}} _ {3}}}, x \ geq 1 \ end {cases}}}{\ displaystyle E_ {1} (x) = {\ begin {cases} - \ ln x + {\ textbf {a}} ^ {T} {\ textbf {x }} _ {5}, x \ leq 1 \\ {\ frac {e ^ {- x}} {x}} {\ frac {{\ textbf {b}} ^ {T} {\ textb f {x}} _ {3}} {{\ textbf {c}} ^ {T} {\ textbf {x}} _ {3}}}, x \ geq 1 \ end {cases}}}
где
a ≜ [- 0,57722, 0,99999, - 0,24991, 0,05519, - 0,00976, 0,00108] T b ≜ [0,26777, 8,63476, 18,05902, 8,57333] T c ≜ [3,95850, 21,09965, 25,63296, 9,57332] T xk ≜ [x 0, x 1,…, xk] T {\ displaystyle {\ begin {align} {\ textbf {a}} \ треугольникq [-0,5772 2,0,99999, -0,24991,0,05519, -0,00976,0,00108] ^ {T} \\ {\ textbf {b}} \ треугольник [0,26777,8.63476,18.05902,8.57333] ^ {T} \\ {\ textbf {c }} \ треугольникq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332] ^ {T} \\ {\ textbf {x}} _ {k} \ треугольникq [x ^ {0}, x ^ {1}, \ dots, x ^ {k}] ^ {T} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ textbf {a}} \ треугольникq [-0.57722,0.99999, -0.24991,0.05519, -0.00976,0.00108] ^ {T} \\ {\ textbf {b}} \ треугольник [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333] ^ {T} \\ { \ textbf {c}} \ треугольникq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332] ^ {T} \\ {\ textbf {x}} _ {k} \ треугольникq [x ^ {0}, x ^ {1}, \ точки, x ^ {k}] ^ {T} \ end {align}}}
  • Раскрытие непрерывной дроби
E 1 (x) = e - xx + 1 1 + 1 x + 2 1 + 2 x + 3 …. {\ displaystyle E_ {1} (x) = {\ cfrac {e ^ {- x}} {x + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {x + {\ cfrac {2} {1+) {\ cfrac {2} {x + {\ cfrac {3} {\ dots}}}}}}}}}}}}.}{\ displaystyle E_ {1} (x) = {\ cfrac {e ^ {- x}} {x + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {x + {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {2} {x + {\ cfrac {3} {\ dots}}}}}} }}}}}}}.}
  • Приближение Барри и др.
Е 1 (Икс) знак равно е - Икс G + (1 - G) е - Икс 1 - G пер ⁡ [1 + G x - 1 - G (h + bx) 2], {\ displaystyle E_ {1 } (x) = {\ frac {e ^ {- x}} {G + (1-G) e ^ {- {\ frac {x} {1-G}}}}}} \ ln \ left [1+ { \ frac {G} {x}} - {\ frac {1-G} {(h + bx) ^ {2}}} \ right],}{\ displayst yle E_ {1} (x) = {\ frac {e ^ {- x}} {G + (1-G) e ^ {- {\ frac {x} {1-G}}}}} \ ln \ left [1 + {\ frac {G} {x}} - {\ frac {1-G} {(h + bx) ^ {2}}} \ right],}
где:
h = 1 1 + xx + h ∞ q 1 + qq = 20 47 x 31 26 h ∞ = (1 - G) (G 2-6 G + 12) 3 G (2 - G) 2 bb = 2 (1 - G) G (2 - G) G = е - γ {\ Displaystyle {\ begin {align} h = {\ frac {1} {1 + x {\ sqrt {x}}}} + {\ frac {h _ {\ infty} q} {1 + q}} \\ q = {\ frac {20} {47}} x ^ {\ sqrt {\ frac {31} {26}}} \\ h _ {\ infty} = {\ frac {(1- G) (G ^ {2} -6G + 12)} {3G (2-G) ^ {2} b}} \\ b = {\ sqrt {\ frac {2 (1-G)} {G (2 -G)}}} \\ G = e ^ {- \ gamma} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} h = {\ frac {1} {1 + x {\ sqrt {x}}}} + {\ frac {h _ {\ infty} q} {1 + q}} \\ q = {\ frac {20} {47}} x ^ {\ sqrt {\ frac {31} {26}}} \\ h_ {\ infty} = {\ frac {(1-G) (G ^ {2} -6G + 12)} {3G (2-G) ^ {2} b}} \\ b = {\ sqrt {\ frac {2 (1-G)} {G (2-G)}}} \\ G = e ^ {- \ gamma} \ end {align}}}
, где γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma является эйлером –Константа Маскерони.

Применения

См. также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 10:02:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте