Специальная функция, определяемая интегралом
График
функция (вверху) и
(внизу).
В математике экспоненциальный интеграл Ei является специальная функция на комплексной плоскости. Он определяется как один конкретный определенный интеграл отношения между экспоненциальной функцией и ее аргументом .
Содержание
- 1 Определения
- 2 Свойства
- 2.1 Сходящийся ряд
- 2.2 Асимптотический (расходящийся) ряд
- 2.3 Экспоненциальное и логарифмическое поведение: скобки
- 2.4 Определение Ein
- 2.5 Связь с другими функциями
- 2.6 Производные
- 2.7 Экспоненциальный интеграл мнимого аргумент
- 2.8 Приближение
- 3 Приложения
- 4 См. также
- 5 Примечания
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Определения
Для реальных ненулевых значений x экспоненциальный интеграл Ei (x) определяется как
алгоритм Риша показывает, что Ei не является элементарная функция. Вышеприведенное определение можно использовать для положительных значений x, но интеграл следует понимать в терминах главного значения Коши из-за сингулярности подынтегрального выражения в нуле.
Для сложных значений аргумента определение становится неоднозначным из-за точек ветвления в 0 и . Вместо Ei используются следующие обозначения:
(обратите внимание, что для положительных значений x мы имеем ).
Как правило, отрезок ветви берется на отрицательной действительной оси, а E 1 может быть определено аналитическим продолжением в другом месте комплекса самолет.
Для положительных значений действительной части можно записать
Поведение E 1 вблизи сечения ветви можно увидеть из следующего соотношения:
Свойства
Несколько свойств экспоненциального интеграла, приведенного ниже, в некоторых случаях позволяют избежать его явного вычисления с помощью определения выше.
Сходящийся ряд
Для реальных или сложные аргументы от отрицательной действительной оси, можно выразить как
где - эйлер– Константа Маскерони. Сумма сходится для всех комплексных , и мы берем обычное значение комплексного логарифма, имеющего ветвь вырезать по отрицательной действительной оси.
Эту формулу можно использовать для вычисления ute с операциями с плавающей запятой для вещественных между 0 и 2.5. Для , результат неточен из-за отмены.
Рамануджан :
Эти переменные ряды также можно использовать для получения хороших асимптотических оценок для малых x, например:
для .
Асимптотический (расходящийся) ряд
Относительная погрешность асимптотического приближения fo r другое число
членов в усеченной сумме
К сожалению, сходимость приведенного выше ряда происходит медленно для аргументов с большим модулем. Например, для x = 10 требуется более 40 терминов, чтобы получить правильный ответ до трех значащих цифр для . Однако существует приближение расходящегося ряда, которое может быть получено интегрированием по частям:
с ошибкой порядка и действителен для больших значений . Относительная ошибка приведенного выше приближения показана на рисунке справа для различных значений , количества членов в усеченной сумме (красным, розовым).
Экспоненциальное и логарифмическое поведение: брекетинг
Брекетинг
элементарными функциями
Из двух серий, предложенных в предыдущих подразделах, из этого следует, что ведет себя как отрицательная экспонента для больших значений аргумента и как логарифм для малых значений. Для положительных вещественных значений аргумента может быть заключено в скобки элементарными функциями следующим образом:
Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом; центральная часть отображается черным цветом, а правая часть - красным.
Определение по Ein
Оба и можно записать проще, используя целую функцию определяется как
(обратите внимание, что это просто чередующийся ряд в приведенном выше определении ). Тогда имеем
Связь с другими функциями
уравнение Куммера
обычно решается с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций и Но когда и то есть
мы имеем
для всех z. Секунда Тогда решение d определяется как E 1 (-z). Фактически,
с вычисленной производной at Другая связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями состоит в том, что E 1 является экспоненциальным умноженным на функцию U (1,1, z):
Экспоненциальный интеграл тесно связан с логарифмической интегральной функцией li (x) по формуле
для ненулевых вещественных значений .
Экспоненциальный интеграл также может быть обобщен на
, который можно записать как частный случай неполной гамма-функции :
Обобщенную форму иногда называют функцией Мисры , определяемый как
Включение логарифма определяет обобщенную интегро-экспоненциальную функцию
Неопределенный интеграл:
похож по форме на обычную производящую функцию для , количество делителей из :
Производные
Производные обобщенных функций можно вычислить по формуле
Обратите внимание, что функция легко оценить (что делает эту рекурсию полезной), поскольку это просто .
Экспоненциальный интеграл от мнимого аргумента
против
; действительная часть черная, мнимая часть красная.
Если является мнимым, у него есть неотрицательная действительная часть, поэтому мы можем использовать формулу
, чтобы получить связь с тригонометрическими интегралами и :
Реальная и мнимая части>E 1 (ix) {\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1} (ix)}нанесены на рисунок справа черной и красной кривыми.
Приближения
Было около формулы для экспоненциальной интегральной функции. К ним относятся:
- Приближение Свами и Охиджа
- где
- Приближение Аллена и Гастингса
- где
- Раскрытие непрерывной дроби
- где:
- , где является эйлером –Константа Маскерони.
Применения
- Зависящая от времени теплопередача
- Неравновесный поток подземных вод в растворе Тейса (называется скважинной функцией)
- Перенос излучения в атмосферах звезд и планет
- Уравнение радиальной диффузии для транзисторов nt или нестационарный поток с линейными источниками и стоками
- Решения уравнения переноса нейтронов в упрощенных 1-D геометриях
См. также
Примечания
Ссылки
- Абрамовиц, Милтон; Ирен Стегун (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Абрамовиц и Стегун. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0., Глава 5.
- Бендер, Карл М.; Стивен А. Орзаг (1978). Современные математические методы для ученых и инженеров. Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-004452-4.
- Блейстейн, Норман; Ричард А. Хандельсман (1986). Асимптотические разложения интегралов. Дувр. ISBN 978-0-486-65082-1 .
- Басбридж, Айда У. (1950). «Об интегро-экспоненциальной функции и вычислении некоторых интегралов с ее участием». Кварта. J. Math. (Оксфорд). 1 (1): 176–184. Bibcode : 1950QJMat... 1..176B. doi : 10.1093 / qmath / 1.1.176.
- Станкевич, А. (1968). «Таблицы интегро-экспоненциальных функций». Acta Astronomica. 18 : 289. Bibcode : 1968AcA.... 18..289S.
- Sharma, R.R.; Зохури, Бахман (1977). «Общий метод точной оценки экспоненциальных интегралов E 1 (x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. Bibcode : 1977JCoPh..25..199S. doi : 10.1016 / 0021-9991 (77) 90022-5.
- Кёльбиг, К.С. (1983). «Об интеграле exp (−μt) tlogt dt». Математика. Comput. 41 (163): 171–182. doi : 10.1090 / S0025-5718-1983-0701632-1.
- Милгрэм, М.С. (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция». Математика вычислений. 44 (170): 443–458. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4. JSTOR 2007964. MR 0777276.
- Мишра, Рама Дхар; Родился М. (1940). «Об устойчивости кристаллических решеток. II». Математические труды Кембриджского философского общества. 36 (2): 173. Bibcode : 1940PCPS... 36..173M. doi : 10.1017 / S030500410001714X.
- Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Майно, Г. (1988). «Об вычислении обобщенных экспоненциальных интегралов E ν (x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. Bibcode : 1988JCoPh..78..278C. doi : 10.1016 / 0021-9991 (88) 90050-2.
- Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Майно, Г. (1990). «Недавние результаты для обобщенных экспоненциальных интегралов». Компьютерная математика. Applic. 19 (5): 21–29. doi : 10.1016 / 0898-1221 (90) 90098-5.
- МакЛауд, Аллан Дж. (2002). «Эффективное вычисление некоторых обобщенных экспоненциальных интегралов». J. Comput. Appl. Математика. 148 (2): 363–374. Bibcode : 2002JCoAm.138..363M. doi : 10.1016 / S0377-0427 (02) 00556-3.
- Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.3. Экспоненциальные интегралы», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Temme, NM (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Внешние ссылки