Теорема Стокса

Не путать с обобщенной теоремой Стокса. Иллюстрация теоремы Стокса с поверхностью Σ, ее границей ∂Σ и вектором нормали n.

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая, Вейерштрасса, Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

Стокса теорема, известная также как Кельвин-Стокс теоремы после Кельвина и Джорджа Стокса, в фундаментальной теореме для локонов или просто завиток теоремы, является теорема в векторном исчислении на. Учитывая векторное поле, теорема связывает интеграл от ротора векторного поля на некоторой поверхности, на криволинейный интеграл от векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Стокса можно сформулировать одним предложением: линейный интеграл векторного поля по петле равен потоку его ротора через замкнутую поверхность. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Теорема Стокса является частным случаем обобщенной теоремы Стокса. В частности, векторное поле на можно рассматривать как 1-форму, и в этом случае его ротор является его внешней производной, 2-формой. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

• 1 Теорема
• 2 Доказательство
  • 2.1 Элементарное доказательство
    • 2.1.1 Первый шаг доказательства (параметризация интеграла)
    • 2.1.2 Второй шаг в доказательстве (определение отката)
    • 2.1.3 Третий шаг доказательства (второе уравнение)
    • 2.1.4 Четвертый шаг доказательства (сведение к теореме Грина)
  • 2.2 Доказательство с помощью дифференциальных форм
• 3 Приложения
  • 3.1 В гидродинамике
  • 3.2 Безвихревые поля
    • 3.2.1 Теоремы Гельмгольца
      • 3.2.1.1 Доказательство теоремы
  • 3.3 Консервативные силы
  • 3.4 Уравнения Максвелла
• 4 Примечания
• 5 ссылки

Пусть - гладкая ориентированная поверхность в R ³ с краем. Если векторное поле определено и имеет непрерывные частные производные первого порядка в области, содержащей, то ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ partial \ Sigma}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle \ iint _ {\ Sigma} (\ nabla \ times \ mathbf {A}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {a} = \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {A} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}.}$

Более точно, равенство говорит, что

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ iint _ {\ Sigma} \ left (\ left ({\ frac {\ partial R} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial Q} {\ partial z) }} \ right) \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z + \ left ({\ frac {\ partial P} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial R} {\ partial x}} \ right) \, \ mathrm {d} z \, \ mathrm {d} x + \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial P} {\ частичный y}} \ right) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \ right) \\ amp; = \ oint _ {\ partial \ Sigma} {\ Bigl (} P \, \ mathrm { d} x + Q \, \ mathrm {d} y + R \, \ mathrm {d} z {\ Bigr)}. \ end {выравнивается}}}$

Основная проблема точной формулировки теоремы Стокса состоит в определении понятия границы. Хорошо известно, что такие поверхности, как снежинка Коха, не имеют границы, интегрируемой по Риману, и понятие поверхностной меры в теории Лебега не может быть определено для нелипшицевой поверхности. Один (продвинутый) метод состоит в том, чтобы перейти к слабой формулировке и затем применить механизм геометрической теории меры ; для этого подхода см. формулу coarea. В этой статье, мы вместо того, чтобы использовать более элементарное определение, основанный на том, что граница может быть различима для полных одномерных подмножеств R ².

Пусть γ: [, Ь ] → R ² является кусочно - гладким Жорданом плоских кривым. Кривая Жордана теорема вытекает, что Г делит R ² на две компоненты, компактный один и другой, который не является компактным. Обозначим через D компактную часть; то D ограничено γ. Теперь достаточно перенести это понятие границы вдоль непрерывного отображения на нашу поверхность в R ³. Но у нас уже есть такая карта: на параметризации из Е.

Предположим, что ψ: D → R ³ гладкое, причем Σ = ψ ( D). Если Γ - это пространственная кривая, заданная формулой Γ ( t) = ψ ( γ ( t)), то мы называем Γ границей Σ, обозначаемой ∂Σ.

С указанными выше обозначениями, если F - любое гладкое векторное поле на R ³, то

$${\ Displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {F} \, \ cdot \, \ mathrm {d} {\ mathbf {\ Gamma}} = \ iint _ {\ Sigma} \ nabla \ times \ mathbf {F} \, \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {S}.}$$

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы принимаем теорему Грина, поэтому нас беспокоит, как свести трехмерную сложную задачу (теорема Стокса) к двумерной элементарной задаче (теорема Грина). При доказательстве этой теоремы математики обычно выводят ее как частный случай более общего результата, который формулируется в терминах дифференциальных форм и доказывается с использованием более сложной техники. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют серьезной подготовки, поэтому приведенное ниже доказательство их избегает и не предполагает каких-либо знаний, кроме знакомства с основным векторным исчислением. В конце этого раздела приводится краткое альтернативное доказательство теоремы Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Элементарное доказательство

Первый шаг доказательства (параметризация интеграла)

Как и в § Теорема, мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Пусть ψ и γ такие же, как в этом разделе, и заметим, что заменой переменных

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} {\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}} = \ oint _ {\ gamma} {\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y})) \ cdot \, \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y})} = \ oint _ {\ gamma} {\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y})) J _ {\ mathbf {y}} ({\ boldsymbol {\ psi}}) \, \ mathrm { d} \ mathbf {y}}}$

где Jψ обозначает матрицу Якоби функции ψ.

Пусть теперь { е у, е v } ортонормированный базис в координатных направлениях R 2. Признавая, что столбцы J y ψ являются в точности частными производными от ψ в точке y, мы можем разложить предыдущее уравнение по координатам как

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial \ Sigma} {\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}} amp; = \ oint _ {\ gamma} {\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y})) J _ {\ mathbf {y}} ({\ boldsymbol {\ psi}}) \ mathbf {e } _ {u} (\ mathbf {e} _ {u} \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {y}) + \ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y })) J _ {\ mathbf {y}} ({\ boldsymbol {\ psi}}) \ mathbf {e} _ {v} (\ mathbf {e} _ {v} \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {y})} \\ amp; = \ oint _ {\ gamma} {\ left (\ left (\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y})) \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} (\ mathbf {y}) \ right) \ mathbf {e} _ {u} + \ left (\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {y})) \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} (\ mathbf {y}) \ right) \ mathbf { e} _ {v} \ right) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {y}} \ end {align}}}$

Второй шаг в доказательстве (определение отката)

На предыдущем шаге предлагается определить функцию

${\ displaystyle \ mathbf {P} (u, v) = \ left (\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)) \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} (u, v) \ right) \ mathbf {e} _ {u} + \ left (\ mathbf {F} ({\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)) \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} \ right) \ mathbf {e} _ {v}}$

Это откат от F по ф, и, указанными выше, удовлетворяет

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} {\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}} = \ oint _ {\ gamma} {\ mathbf {P} (\ mathbf {y}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}}}$

Мы успешно свели одну сторону теоремы Стокса к двумерной формуле; перейдем к другой стороне.

Третий шаг доказательства (второе уравнение)

Сначала вычислите частные производные, фигурирующие в теореме Грина, с помощью правила произведения :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} amp; = {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ {\ boldsymbol {\ psi}})} {\ partial v}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} + (\ mathbf {F} \ circ {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v \, \ partial u}} \\ [5pt] {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} amp; = {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ {\ boldsymbol {\ psi}})} {\ partial u}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi} }} {\ partial v}} + (\ mathbf {F} \ circ {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial и \, \ частичное v}} \ конец {выровнено}}}$

Удобно, что второй член в разности обращается в нуль из-за равенства смешанных частей. Так,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} amp; = {\ frac { \ partial (\ mathbf {F} \ circ {\ boldsymbol {\ psi}})} {\ partial v}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} - {\ frac {\ partial (\ mathbf {F} \ circ {\ boldsymbol {\ psi}})} {\ partial u}} \ cdot {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} \\ [5pt] amp; = {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} (J _ {{\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F}) {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} (J_ { {\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F}) {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} amp;amp; {\ text {(цепное правило) }} \\ [5pt] amp; = {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} \ left (J _ {{\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F} - {(J _ {{\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F})} ^ {\ mathsf {T}} \ right) {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} \ end {align}}}$

Но теперь рассмотрим матрицу в этой квадратичной форме, то есть. Мы утверждаем, что эта матрица на самом деле описывает перекрестное произведение. ${\ displaystyle J _ {{\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F} - (J _ {{\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F}) ^ { \ mathsf {T}}}$

Чтобы быть точным, пусть - произвольная матрица 3 × 3 и пусть ${\ displaystyle A = (A_ {ij}) _ {ij}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} A_ {32} -A_ {23} \\ A_ {13} -A_ {31} \\ A_ {21} -A_ {12} \ end {bmatrix }}}$

Обратите внимание, что x ↦ a × x линейно, поэтому оно определяется его действием на базисные элементы. Но прямым расчетом

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (AA ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ mathbf {e} _ {1} amp; = {\ begin {bmatrix} 0 \\ a_ {3} \\ -a_ {2} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {e} _ {1} \\\ left (AA ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ mathbf {e} _ {2} amp; = {\ begin {bmatrix} -a_ {3} \\ 0 \\ a_ {1} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {e} _ {2} \ \\ left (AA ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ mathbf {e} _ {3} amp; = {\ begin {bmatrix} a_ {2} \\ - a_ {1} \\ 0 \ end { bmatrix}} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {e} _ {3} \ конец {выровнено}}}$$

Таким образом, ( A - A ^T) x = a × x для любого x. Подставляя J F для А, получим

${\ displaystyle \ left ({(J _ {{\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)} \ mathbf {F})} _ {\ psi (u, v)} - {(J _ {{\ boldsymbol { \ psi}} (u, v)} \ mathbf {F})} ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ mathbf {x} = (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ times \ mathbf { x}, \ quad {\ text {для всех}} \, \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

Теперь мы можем распознать разность частичных чисел как (скалярное) тройное произведение :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} amp; = {\ frac { \ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ times {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} \\ amp; = \ det {\ begin {bmatrix} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) ({\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)) amp; {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} (u, v) amp; {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} (u, v) \ end {bmatrix} } \ конец {выровнено}}}$

С другой стороны, определение поверхностного интеграла также включает тройное произведение - то же самое!

${\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \, d ^ {2} \ mathbf {S} amp; = \ iint _ {D} {( \ nabla \ times \ mathbf {F}) ({\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)) \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}}} {\ partial u} } (u, v) \ times {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} (u, v) \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v \ right)} \\ amp; = \ iint _ {D} \ det {\ begin {bmatrix} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) ({\ boldsymbol {\ psi}} (u, v)) amp; { \ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial u}} (u, v) amp; {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}}} {\ partial v}} (u, v) \ end {bmatrix}} \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v \ end {выровнены}}}$

Итак, получаем

${\ displaystyle \ iint _ {S} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \, \ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {S} = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial P_ {2}} {\ partial u}} - {\ frac {\ partial P_ {1}} {\ partial v}} \ right) \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d } v}$

Четвертый шаг доказательства (сведение к теореме Грина)

Объединение второго и третьего шагов с последующим применением теоремы Грина завершает доказательство.

Доказательство с помощью дифференциальных форм

R → R ³ можно отождествить с дифференциальными 1-формами на R ^{3 с} помощью отображения

${\ displaystyle F_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + F_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + F_ {3} \ mathbf {e} _ {3} \ mapsto F_ {1} \, \ mathrm {d} x + F_ {2} \, \ mathrm {d} y + F_ {3} \ mathrm {d} z}$.

Написать дифференциальную 1-форму, связанную с функцией F, как amp; omega F. Тогда можно вычислить, что

${\ displaystyle \ star \ omega _ {\ nabla \ times \ mathbf {F}} = \ mathrm {d} \ omega _ {\ mathbf {F}}}$

где ★ - звезда Ходжа, а - внешняя производная. Таким образом, по обобщенной теореме Стокса ${\ displaystyle \ mathrm {d}}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} {\ mathbf {F} \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}} = \ oint _ {\ partial \ Sigma} {\ omega _ {\ mathbf {F}}} = \ int _ {\ Sigma} {\ mathrm {d} \ omega _ {\ mathbf {F}}} = \ int _ {\ Sigma} {\ star \ omega _ {\ nabla \ times \ mathbf {F}}} = \ iint _ {\ Sigma} {\ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \, \ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {S}}}$

В гидродинамике

В этом разделе мы обсудим ламеллярное векторное поле, основанное на теореме Стокса.

Безвихревые поля

Определение 2-1 (безвихревое поле). Гладкое векторное поле F на открытом U ⊆ R ³ является безвихревым, если ∇ × F = 0.

Если область F является односвязной, то F является консервативным векторным полем.

Теоремы Гельмгольца

В этом разделе мы представим теорему, которая выводится из теоремы Стокса и характеризует векторные поля без вихрей. В гидродинамике это называется теоремами Гельмгольца.

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике). Пусть U ⊆ R ³ - открытое подмножество с ламеллярным векторным полем F и пусть c 0, c 1: [0, 1] → U - кусочно гладкие петли. Если существует функция H: [0, 1] × [0, 1] → U такая, что

• [TLH0] H кусочно гладкая,
• [TLH1] H ( t, 0) = c 0 ( t) для всех t ∈ [0, 1],
• [TLH2] H ( t, 1) = c 1 ( t) для всех t ∈ [0, 1],
• [TLH3] H (0, s) = H (1, s) для всех s ∈ [0, 1].

Потом,

${\ Displaystyle \ int _ {c_ {0}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} c_ {0} = \ int _ {c_ {1}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} c_ {1}}$

В некоторых учебниках, таких как Лоуренс, связь между c 0 и c 1, указанная в теореме 2-1, называется «гомотопической», а функция H: [0, 1] × [0, 1] → U - «гомотопией между c 0 и c. 1 ". Однако «гомотопия» или «гомотопия» в вышеупомянутом смысле отличаются (сильнее, чем) типичные определения «гомотопии» или «гомотопии»; последнее опускает условие [TLH3]. Поэтому с этого момента мы будем называть гомотопию (гомотоп) в смысле теоремы 2-1 трубчатой ​​гомотопией (соответственно трубчато-гомотопической).

Доказательство теоремы

Определения γ 1,..., γ 4

В дальнейшем мы злоупотребляем обозначениями и используем « + » для конкатенации путей в фундаментальном группоиде и « - » для изменения ориентации пути на противоположное.

Пусть D = [0, 1] × [0, 1], и разделим ∂ D на четыре отрезка γ j.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma _ {1}: [0,1] \ to D; \ quad amp; \ gamma _ {1} (t) = (t, 0) \\\ gamma _ {2 }: [0,1] \ в D; \ quad amp; \ gamma _ {2} (s) = (1, s) \\\ gamma _ {3}: [0,1] \ to D; \ quad amp; \ gamma _ {3} (t) = (1-t, 1) \\\ gamma _ {4}: [0,1] \ to D; \ quad amp; \ gamma _ {4} (s) = (0, 1-с) \ end {выровнены}}}$

так что

$${\ displaystyle \ partial D = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3} + \ gamma _ {4}}$$

По нашему предположению, что c 1 и c 2 кусочно гладкие гомотопные, существует кусочно гладкая гомотопия H: D → M

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {i} (t) amp; = H (\ gamma _ {i} (t)) amp;amp; i = 1,2,3,4 \\\ Gamma (t) amp; = H (\ gamma (t)) = (\ Gamma _ {1} \ oplus \ Gamma _ {2} \ oplus \ Gamma _ {3} \ oplus \ Gamma _ {4}) (t) \ end {выровнено}} }$

Пусть S -образ D при H. Что

${\ displaystyle \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} S = \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} \ Gamma}$

сразу следует из теоремы Стокса. F является ламеллярным, поэтому левая часть исчезает, т.е.

${\ Displaystyle 0 = \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} \ Gamma = \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ oint _ {\ Gamma _ {i}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} \ Gamma}$

Поскольку H трубчатая, Γ 2 = −Γ 4. Таким образом, линейные интегралы вдоль Γ 2 ( s) и Γ 4 ( s) сокращаются, оставляя

${\ Displaystyle 0 = \ oint _ {\ Gamma _ {1}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} \ Gamma + \ oint _ {\ Gamma _ {3}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} \ Gamma}$

С другой стороны, c 1 = Γ 1 и c 3 = −Γ 3, так что требуемое равенство следует почти сразу.

Консервативные силы

Теорема Гельмгольца объясняет, почему работа, выполняемая консервативной силой при изменении положения объекта, не зависит от пути. Сначала введем лемму 2-2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2. Пусть U ⊆ R ³ быть открытым подмножеством, с пластинчатой векторным полем F и кусочно - гладкой петли гр 0: [0, 1] → U. Зафиксируем точку p ∈ U, если существует гомотопия (трубчатая гомотопия) H: [0, 1] × [0, 1] → U такая, что

• [SC0] Н является кусочно - гладкой,
• [SC1] H ( t, 0) = c 0 ( t) для всех t ∈ [0, 1],
• [SC2] H ( t, 1) = p для всех t ∈ [0, 1],
• [SC3] H (0, s) = H (1, s) = p для всех s ∈ [0, 1].

Потом,

${\ Displaystyle \ int _ {c_ {0}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} c_ {0} = 0}$

Лемма 2-2 следует из теоремы 2–1. В лемме 2-2 критически важно существование H, удовлетворяющего [SC0] - [SC3]. Если U односвязен, такой H существует. Определение односвязного пространства следующее:

Определение 2-2 (односвязное пространство). Пусть M ⊆ R ⁿ непусто и линейно связно. M называется односвязным тогда и только тогда, когда для любой непрерывной петли c: [0, 1] → M существует непрерывная трубчатая гомотопия H: [0, 1] × [0, 1] → M от c до неподвижной точки. p ∈ c ; то есть,

• [SC0' ] Н является непрерывным,
• [SC1] H ( t, 0) = c ( t) для всех t ∈ [0, 1],
• [SC2] H ( t, 1) = p для всех t ∈ [0, 1],
• [SC3] H (0, s) = H (1, s) = p для всех s ∈ [0, 1].

Утверждение, что «для консервативной силы работа по изменению положения объекта не зависит от пути», может показаться, что оно следует незамедлительно. Но напомним, что простая связность гарантирует только существование непрерывной гомотопии, удовлетворяющей [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

Однако пробел в регулярности устраняется аппроксимационной теоремой Уитни. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2-2. Пусть U ⊆ R ³ В открытого и просто связанно с безвихревым векторным полем F. Для всех кусочно-гладких петель c: [0, 1] → U

${\ Displaystyle \ int _ {c_ {0}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} c_ {0} = 0}$

Уравнения Максвелла

Смотрите также: уравнения Максвелла § Циркуляция и завиток

В физике электромагнетизма, Стокс теорема дает обоснование эквивалентности дифференциальной форме уравнения Максвелла-Фарадея и уравнения Максвелла-Ампера и интегральной форме этих уравнений. Для закона Фарадея теорема Стокса применяется к электрическому полю. ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {l}} = \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf { E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$

Для закона Ампера теорема Стокса применяется к магнитному полю. ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {l}} = \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf { Б} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$