Теоремы Гельмгольца

редактировать

Чтобы узнать о других значениях, см теорему Гельмгольца (значения).

В механике жидкости, теоремы Гельмгольца, названные в честь Германа фон Гельмгольца, описывают трехмерное движение жидкости в окрестностях вихревых нитей. Эти теоремы применимы к невязким потокам и потокам, где влияние вязких сил мало и им можно пренебречь.

Три теоремы Гельмгольца следующие:

Первая теорема Гельмгольца: Сила вихревой нити постоянна по ее длине.
Вторая теорема Гельмгольца: Вихревая нить не может заканчиваться в жидкости; он должен доходить до границ жидкости или образовывать замкнутый путь.
Третья теорема Гельмгольца: При отсутствии вращающих внешних сил жидкость, которая изначально является безвихревой, остается безвихревой.

Теоремы Гельмгольца применимы к невязким потокам. При наблюдении вихрей в реальных жидкостях сила вихрей всегда постепенно спадает из-за диссипативного эффекта вязких сил.

Альтернативные выражения трех теорем следующие: 1. Сила вихревой трубки не меняется со временем. 2. Элементы жидкости, лежащие на вихревой линии, в какой-то момент продолжают лежать на этой вихревой линии. Проще говоря, вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Также вихревые линии и трубы должны иметь вид замкнутого контура, продолжаться до бесконечности или начинаться / заканчиваться на твердых границах. 3. Элементы жидкости, изначально свободные от завихренности, остаются без завихренности.

Теоремы Гельмгольца находят применение в понимании:

Создание подъемной силы на профиле

Пусковой вихрь

Подковообразный вихрь

Вихри крыла.

Теоремы Гельмгольца теперь обычно доказываются со ссылкой на теорему Кельвина о циркуляции. Однако теоремы Гельмгольца были опубликованы в 1858 году, за девять лет до публикации в 1867 году теоремы Кельвина. Между двумя мужчинами было много разговоров по поводу вихревых линий, и было много ссылок на применение их теорем к изучению дымовых колец.

Ноты

^ Kuethe и Schetzer, основы аэродинамики, раздел 2.14
^ Сила вихревой трубки ( циркуляции ) определяется как:
${\ displaystyle \ Gamma = \ int _ {A} {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {n}} dA = \ oint _ {c} {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {s}}}$ $\ Gamma = \ int _ {{A}} {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {n}} dA = \ oint _ {{c}} {\ vec {u}} \ cdot d {\ vec {s}}$
где - также циркуляция, - вектор завихренности, - вектор нормали к поверхности A, образованный путем взятия поперечного сечения вихревой трубки с элементарной площадью dA, - вектор скорости на замкнутой кривой C, которая ограничивает поверхностно - A. Условное обозначение для определения направления обращения и нормали к поверхности A дается правилом правого винта. Третья теорема утверждает, что эта сила одинакова для всех поперечных сечений A трубы и не зависит от времени. Это эквивалентно высказыванию ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Гамма$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ vec {\ omega}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ $\ vec {n}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec {u}}$
${\ displaystyle {\ frac {D \ Gamma} {Dt}} = 0}$ ${\ frac {D \ Gamma} {Dt}} = 0$
^ Гельмгольц, Х. "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 55. ISSN 0075-4102.

Ссылки

MJ Lighthill, Неформальное введение в теоретическую механику жидкости, Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853630-5
П.Г. Саффман, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-42058-X
Г. К. Бэтчелор, Введение в динамику жидкости, Cambridge University Press (1967, переиздано в 2000 г.).
Кунду, П., Коэн, И., Механика жидкости, 2-е издание, Academic Press, 2002.
Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 4-е издание, Academic Press: San Diego (1995), стр. 92–93
AM Kuethe и JD Schetzer (1959), Основы аэродинамики, 2-е издание. John Wiley amp; Sons, Inc. ISBN Нью-Йорка 0-471-50952-3