Spinor

Нетензорное представление спиновой группы; представляет фермионы в физике Спинор визуализируется как вектор, указывающий вдоль ленты Мебиуса, демонстрирующий инверсию знака, когда круг («физическая система») непрерывно вращается на полный оборот на 360 °.

В геометрии и физике спинорыявляются элементами комплекса пространства, что может быть связано с Евклидово пространство. Подобно геометрическим вектором и более общим тензорам , спиноры трансформируются линейно, когда евклидово пространство подвергается небольшому (бесконечно малому ) вращению. Однако когда последовательность малых вращений составляется (интегрировано ) для формирования общего окончательного вращения, результирующее преобразование зависит от того, какая последовательность малых вращений была связана. Вращение от векторов и тензоров, вращается в свой отрицательный, когда пространство непрерывно вращается на полный оборот от 0 ° до 360 ° (см. Рисунок). Это свойство характеризует спиноры: спиноры можно рассматривать как «квадратные корни» векторов (хотя это неточно и может рассматривать как «квадратные корни» сечений векторных расслоений - в случае расслоения внешних алгебр кокасательного расслоения) они, таким образом, становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм).

Также возможно связать по существу устройство спинора с пространством Минковского, и в этом случае преобразования Лоренца из специальной теории относительности играют роль поворотов. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. В 1920-х годах физики появились, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента или «спина» электрона. и другие субатомные частицы.

Спиноры характеризуются особым образом, которые ведут себя при вращении. Они меняются по-разному, в зависимости не только от конечного общего поворота, но и от других деталей, как это вращение было достигнуто (непрерывным путем в группе вращения ). Существует два топологически различных разных класса (гомотопические классы ) путей через вращения, которые приводят к одинаковому общему вращению, как показано на головоломке трюк с поясом. Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. Группа вращения - это группа всех вращений, отслеживающих класс. Он вдвойне покрывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть двумя неэквивалентными способами в качестве конечной точки пути. Пространство спиноров по определению оснащено (комплексным) ным представлением спиновой группы, что означает, что элементы спиновой группы как линейные преобразования в пространстве спиноров, способ, который действительно зависит от класса гомотопии. С математической точки зрения спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращений SO (3).

Хотя обычно элементы пространства представления спиновой группы (или ее алгебры бесконечно малых вращений) могут быть определены просто как элементы пространства представления спиновой группы. 414>. Алгебра Клиффорда - это ассоциативная алгебра, которая может быть построена из евклидова пространства и его внутреннего продукта независимо от базиса. И спиновая группа, и ее алгебра естественным образом вкладываются в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать. Пространство Клиффорда работает на спинорном пространстве. После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представлений алгебры Клиффорда генерируется с помощью гамма-матриц, матриц, которые удовлетворяют набору канонических антикоммутационных источников. Спиноры - это конструкция-столбцы, на которых установлены эти матрицы. В трех евклидовом измерении, например, <105 спиновые матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц, а двухкомпонентные комплексные конструкции-столбцы, на которых эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, следовательно, и то, что именно представляет собой вектор, представляет собой «-столбец» (или спинор), по существу включает в себя выбор базисной и гамма-матриц. Как представление спиновой группы, эта реализация спинцов в виде (комплексных) векторов-столбцов будет либо неприводимой, если размерность нечетная, либо распадется на пару так называемых «половинных вращений» или представлений Вейля, если размерность четная.

• 1 Введение
• 2 Математическое определение
  • 2.1 Обзор
  • 2.2 Алгебры Клиффорда
  • 2.3 Спиновые группы
  • 2.4 Терминология в физике
  • 2.5 Спиноры в теории представлений
  • 2.6 Попытки интуитивного понимания
• 3 История
• 4 Примеры
  • 4.1 Два измерения
  • 4.2 Три измерения
• 5 Явные конструкции
  • 5.1 Компонентные спиноры
  • 5.2 Вспомогательные спиноры
  • 5.3 Минимальные идеалы
  • 5.4 Конструирование внешней алгебры
  • 5.5 Эрмитовы описывают пространство и спиноры
• 6 Разложение Клебша - Гордана
  • 6.1 Четные размерности
  • 6.2 Нечетные размерности
  • 6.3 Последствия
• 7 Резюме в малых размерах
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература

Постепенное вращение можно представить как ленту в пространстве. В головоломке трюка с ремнем показаны два руководства поворота с разными классами, один на 360 ° и один на 720 °. Решение головоломки - непрерывное манипулирование ремнем, фиксация концов, раскручивание его. Это невозможно при повороте на 360 °, но возможно при повороте на 720 °. Решение, показанное на второй анимации, дает явную гомотопию в группе вращения между поворотом на 720 ° и поворотом идентичности 0 °. Воспроизвести медиа Объект, прикрепленный к ремням или веревкам может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после того, как совершает поворот на 360 °, спираль меняет свою первоначальную конфигурацию. Ремни возвращаются к своей исходной конфигурации после вращения на 720 °. Воспроизвести медиа Более яркий пример, демонстрирующий, что это работает с любым струн. В пределе кусок твердого пространства может вращаться на месте таким образом, не разрываясь и не пересекаясь.

То, что описывает спиноры и отличает их от геометрических векторов, и других тензоров, является тонким. Рассмотреть возможность вращения системы. Ни один объект в самой системе не переместился, только координаты, поэтому всегда будет компенсирующее изменение значений координат при использовании к любому объекту системы. Например, геометрические компоненты имеют компоненты, которые вращаются так же, как и координаты. В более широком смысле, любой тензор , связанный с системой (например, напряжение некоторой среды), также имеет описание координат, которые корректируются для компенсации изменений в самой системе координат.

Спиноры не появляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах одного изолированного вращения координат. Скорее спиноры появляются, когда мы представляем себе систему поворота постепенно (непрерывно ) вращается между некоторой начальной и конечной конфигурациями. Для любого из знакомых и интуитивно понятных («тензорных») величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от точных деталей, как координаты пришли к своей окончательной конфигурации. Спиноры, с другой стороны, построены таким образом, что они чувствительны к тому, как вращающееся вращение системы доходит до них: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, что для любой окончательной конфигурации координат на самом деле есть два («топологически ») неэквивалентных отслеженных (непрерывных) системы поворота координат, которые приводят к такой же конфигурации. Эта неоднозначность называется гомотопическим классом соответствующим вращения. Головоломка трюк с ремнем (показывает) два разных поворота, одно на угол 2π, а другое на угол 4π, одинаковые окончательные конфигурации, но разные классы. Спиноры на самом деле демонстрируюту знака, которая действительно зависит от этого гомотопического класса. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых может не почувствовать класс.

Спиноры могут быть представлены как объекты с использованием выбора <2>декартовых координат. В трех евклидовых измерениях, например, спиноры могут быть сконструированы путем выбора спиновых матриц Паули, соответствующих (угловым моментам около) трем координатным осям. Это матрицы 2 × 2 с комплексными, а двухкомпонентные элементы комплексные структуры-столбцы, на которых эти матрицы соответствуют умножения матриц, являющиеся спинорами. В этом случае спиновая группа изоморфна группе 2 × 2 унитарных матриц с определителем единица, которая, естественно, находится внутри матричной алгебры. Эта группа выполняется путем сопряжения в реальном времени, натянутом на сами матрицы Паули, реализуя его как группу вращающихся между ними.

В более общем смысле алгебра Клиффорда может быть построена из любого пространства V, снабженного (невырожденной) квадратичной формой, как евклидово пространство со стандартным скалярным произведением или пространство Минковского со стандартной метрикой Лоренца. пространство спиноров - это пространство векторов-столбцов с $2\; \lfloor \; dim\; \; V\; /\; 2\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; lfloor\; \backslash \; dim\; V\; /\; 2\; \backslash \; rfloor\}\}$компоненты. Ортогональная алгебра Ли (т. Е. Бесконечно малые «» вращения) и спиновая группа, связанная с квадратичной формой, обе (канонически) представленные в алгебре Клиффорда, поэтому каждая представленная алгебры Клиффорда также представляет представление алгебры Ли и спиновой группы. В зависимости от размерности и метрической сигнатуры эта реализация спиноров в виде векторов-столбцов может быть неприводимым или может распадаться на пару так называемых «полуспина» или представлений Вейля. Когда векторное пространство V четырехмерно, алгебра описывается гамма-матрицами.

Пространство спиноров формально определяется как фундаментальное представление алгебра Клиффорда. (Это может или не может разлагаться на неприводимые представления.) Пространство спиноров также может быть определено как спиновое представление ортогональной алгебры Ли. Эти спиновые представления также характеризуются как конечные проективные представления специальной ортогональной группы, которые не факторизуются через линейные представления. Эквивалентно спинор представляет собой элемент конечного группового представления спиновой группы, на который центр действует нетривиально.

Обзор

По сути, существует две основы для понятия спинора.

С точки зрения теории представлений некоторые заранее известно, что существуют представления алгебры Ли из ортогональной группы, которые не могут формироваться обычными тензорными конструкциями. Эти недостающие представления обозначаются как спинорные представления их и составляющие их спиноры. С этой точки зрения спинор должен принадлежать представлению двойного покрытия группы вращения SO (n, ℝ) или, в более общем смысле, двойного покрытия общей специальной ортогональной группы SO (p, q, ℝ) на пространствох с метрической сигнатурой группы (p, q). Эти двойные покрытия предоставляют собой группы Ли, называемые спиновыми группами Spin (n) или Spin (p, q). Все свойства спиноров, их приложений и производных объектов сначала проявляются в спиновой группе. Представления двойных накрытий этих групп двузначные проективные представления самих групп.

С геометрической точки зрения можно явно построить спиноры, а изучить, как они ведут себя под соответствующими групп Ли.. Этот последний подход имеет то преимущество, что дает конкретное и элементарное описание того, что такое спинор. Однако такое описание становится громоздким, когда требуются сложные свойства спиноров, такие как тождества Фирца.

Алгебры Клиффорда

Язык алгебр Клиффорда (иногда называемых геометрическими алгебрами ) дает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп., и различные отношения между представленми с помощью классификации алгебр Клиффорда. Это в степени устраняет необходимость в специальных конструкциях.

Подробно, пусть V - новое комплексное векторное пространство с невырожденной билинейной формой. Алгебра Клиффорда Cℓ (V, g) - это алгебра, порожденная V вместе с антикоммутационным использованием xy + yx = 2g (x, y). Это абстрактная версия алгебры, генерируемая матрицами гамма или Паули. Если V = ℂ, в стандартной форме g (x, y) = xy = x 1y1+... + x nynмы обозначаем алгебру Клиффорда через Cℓ n (ℂ). По выбору по выбору ортонормированного базиса новое векторное пространство с невырожденной изоморфно в этом стандартном примере, если dim ℂ (V) = n. Если n = 2k четно, Cℓ n (ℂ) изоморфна как алгебра (неоднозначным образом) алгебре Mat (2, ℂ) комплексных матриц 2 × 2 (посредством теорема Артина-Веддерберна и легко доказываемый факт, что алгебра Клиффорда центральная простая ). Если n = 2k + 1 нечетно, Cℓ 2k + 1 (ℂ) изоморфна алгебре Mat (2, ℂ) ⊕ Mat (2, ℂ) двух копий комплексных матриц 2 × 2. Следовательно, в любом случае использования до изоморфизма имеет исключительно обозначаемое представление (также называемое простым модулем Клиффорда ), обычно обозначаемое Δ, размерности 2. Временное алгебра Ли поэтому (V, g) вложено как подалгебра Ли в Cℓ (V, g), снабженное коммутатором алгебры Клиффорда в качестве скобки Ли, пространство ∆ также является представлением алгебры Ли, поэтому ( V, g) вызвал спин-представление. Это представление алгебры Ли неприводимо. Если n четно, он разбивается на два неприводимых представления Δ = Δ + ⊕ Δ -, называемых представлениями Вейляыми или полукруглыми представлениями.

Неприводимые представления над действительными в случае, когда V является вещественным векторным пространством, намного сложнее, и читателю отсылается к статье Алгебра Клиффорда для получения более подробной информации.

Спиновые представления

Спиновое представление Δ - это пространство, снабженное представленным представлением спиновой группы. Вертикальные стрелки изображают короткую точную последовательность ..

Спиноры образуют векторное пространство, обычно над комплексными числами, снабженное линейным представлением группы спиновой группой , которая не учитывается через представление группы вращений (см. диаграмму). Группа спинов - это группа вращений, отслеживающая гомотопический класс. Спиноры необходимы для кодирования информации о топологии группы вращений, потому что эта группа не является односвязной, а односвязная спиновая группа является ее двойным покрытием. Таким образом, для каждого вращения есть два элемента спиновой группы, которые изменяют его. Геометрические изображения и другие тензоры могут не почувствовать разницу между этими двумя элементами, но они имеют указанные знаки, когда они действуют на любом спинор в представлении. Если рассматривать элементы спиновой группы как гомотопические классы однопараметрических семейств вращений, вращающихся двумя различными гомотопическими классами путей к единице. Если однопараметрическое семейство визуализируется как визуализируется как визуализируется, параметр имеет параметр длины этой ленты (ее касательная, нормальная, бинормальная рамка фактически вращается), то есть эти два различных гомотопических класса визуализируются в два состояния головоломки трюк с поясом (выше). Пространство спиноров - это вспомогательное векторное пространство, которое может быть явно построено в координатах, но в конечном итоге существует только с точностью до изоморфизма, поскольку не существует «естественного» их построения, которое не полагалось бы на произвольный выбор, такой как системы координат. Понятие спиноров может быть связано в качестве вспомогательного математического объекта с любым векторным пространством, снабженным квадратичной формой , например, евклидовым пространством с его стандартным скалярным произведением или пространство Минковского с его метрикой Лоренца. В последнем случае «вращения» включают в себя бусты Лоренца, но в остальном теория по существу аналогична.

Терминология в физике

Приведенные выше конструкции в терминах алгебры Клиффорда или теории представлений можно рассматривать как определение спиноров как геометрических объектов в нульмерном пространстве-времени. Чтобы получить спиноры физики, такие как спинор Дирака, можно расширить конструкцию, чтобы получить спиновую структуру в 4-мерном пространстве-времени (пространство Минковского ). Фактически, мы начинаем с касательного многообразия пространства-времени, каждая точка которого представляет собой 4-мерное векторное пространство с SO (3,1) -симметрией, а затем строим спиновую группу в каждой точке. Окрестности точек наделены понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция - это одно из расслоения, слои которого являются аффинными пространствами, преобразующимися относительно спиновой группы. После построения пучка волокон можно рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как уравнение Дирака или уравнение Вейля для пучка волокон. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения, которые являются плоскими волнами, имеющими симметрии, характерные для волокон, т.е. имеющие симметрии спиноров, как получено из (нульмерной) алгебры Клиффорда / теории представления спина над. Такие плоско-волновые решения (или другие решения) дифференциальных уравнений могут тогда правильно называться фермионами ; фермионы обладают алгебраическими качествами спиноров. По общему соглашению, термины «фермион» и «спинор» часто используются в физике взаимозаменяемо, как синонимы друг друга.

Похоже, что все элементарные частицы в природе со спином 1/2 описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино. Кажется, что нет никаких априорных причин, по которым это могло бы иметь место. Совершенно верным выбором для спиноров была бы некомплексифицированная версия Cℓ 2,2 (ℝ), спинор Майораны. Также, похоже, не существует какого-либо особого запрета на появление спиноров Вейля в природе в качестве элементарных частиц.

Спиноры Дирака, Вейля и Майорана взаимосвязаны, и их связь может быть выяснена на основе реальной геометрической алгебры. Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, в то время как спиноры Майораны являются действительными представлениями.

спиноров Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны, поскольку решения с плоскими волнами Вейля обязательно движутся со скоростью света; для массивных частиц необходимо уравнение Дирака. Первоначальное построение Стандартной модели физики элементарных частиц начинается с и электрона, и нейтрино как безмассовых спиноров Вейля; механизм Хиггса придает электронам массу; классическое нейтрино оставалось безмассовым и, таким образом, было примером спинора Вейля. Однако из-за наблюдаемой осцилляции нейтрино теперь считается, что это не спиноры Вейля, а, возможно, спиноры Майораны. Неизвестно, существуют ли в природе элементарные спинорные частицы Вейля.

Ситуация для физики конденсированного состояния иная: можно построить двух- и трехмерное «пространство-время» в большом количестве различных физических материалов, начиная от полупроводников К куда более экзотическим материалам. В 2015 году международная группа ученых под руководством Принстонского университета объявила, что они обнаружили квазичастицу, которая ведет себя как фермион Вейля.

Спиноры в теории представлений

Одно из основных математических приложений построения спиноров - сделать возможным явное построение линейных представлений алгебр Ли специальных ортогональных групп, и, следовательно, спинорные представления самих групп. На более глубоком уровне спиноры оказались в основе подходов к теореме Атьи – Зингера об индексе и обеспечивают конструкции, в частности, для дискретных серий представлений полупростые группы.

Спиновые представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензорных представлений, заданных конструкцией Вейля с помощью весов. В то время как веса тензорных представлений являются целочисленными линейными комбинациями корней алгебры Ли, веса спиновых представлений являются их полуцелыми линейными комбинациями. Подробные сведения можно найти в статье спин-представление.

Попытки интуитивного понимания

Спинор можно описать простыми терминами как «векторы пространства, преобразования которого определенным образом связаны с вращениями в физическом пространстве». Другими словами:

Спиноры... обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$измерений, каждый спинор, имеющий $2\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}$компоненты, где $n\; =\; 2\; \nu \; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\; \backslash \; nu\; +1\}$или $2\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; nu\}$.

Несколько способов проиллюстрировать повседневные аналогии были сформулированы в терминах трюка с тарелками, танглоидов и других примеров запутанность ориентации.

Тем не менее, общеизвестно, что эту концепцию трудно понять, о чем свидетельствует заявление Майкла Атия, которое пересказывает биограф Дирака Грэм Фармело:

Никто полностью не понимает спиноры. Их алгебра формально понятна, но их общее значение загадочно. В некотором смысле они описывают «квадратный корень» из геометрии, и так же, как для понимания квадратного корня из −1 потребовались столетия, то же самое можно сказать и о спинорах.

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картаном в 1913 году. Слово «спинор» было придумано Полом Эренфестом в его работе по квантовой физике.

Спиноры впервые были применены к математической физике Вольфгангом Паули в 1927 году, когда он представил свои спиновые матрицы. В следующем году Поль Дирак открыл полностью релятивистскую теорию электронного спина, показав связь между спинорами и лоренцевой системой. группа. К 1930-м годам Дирак, Пит Хайн и другие из Института Нильса Бора (тогда известного как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создали такие игрушки, как Танглоиды. обучать и моделировать исчисление спиноров.

Спинорные пространства были представлены как левые идеалы матричной алгебры в 1930 году Г. Жювет и Фриц Заутер. В частности, вместо представления спиноров в виде комплексных двумерных векторов-столбцов, как это сделал Паули, они представили их в виде комплекснозначных матриц 2 × 2, в которых только элементы левого столбца не равны нулю. Таким образом, спинорное пространство стало минимальным левым идеалом в Mat (2, ℂ).

В 1947 году Марсель Рис построил спинорные пространства как элементы минимального левого идеала. идеал алгебр Клиффорда. В 1966/1967 Дэвид Хестенес заменил спинорные пространства на четную подалгебру Cℓ 1,3 (ℝ) алгебры пространства-времени Cℓ 1,3 (ℝ). Начиная с 1980-х годов группа теоретической физики в Биркбек-колледже под руководством Дэвида Бома и Бэзила Хили разрабатывала алгебраические подходы к квантовой теории которые основываются на отождествлении Заутера и Рисса спиноров с минимальными левыми идеалами.

Некоторые простые примеры спиноров в низких размерностях возникают из рассмотрения четных подалгебр алгебры Клиффорда Cℓ p, q (ℝ). Это алгебра, построенная из ортонормированного базиса n = p + q взаимно ортогональных векторов при сложении и умножении, p из которых имеет норму +1, а q - норму -1, с правилом произведения для базисных векторов

$eiej\; =\; \{+\; 1\; i\; =\; j,\; i\; \in \; (1,\dots ,\; p)\; -\; 1\; i\; =\; j,\; i\; \in \; (p\; +\; 1,\dots ,\; n)\; -\; ejeii\; \ne \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\; e\_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +\; 1\; i\; =\; j,\; \backslash ,\; i\; \backslash \; in\; (1,\; \backslash \; ldots,\; p)\; \backslash \backslash \; -\; 1\; i\; =\; j,\; \backslash ,\; i\; \backslash \; in\; (p\; +1,\; \backslash \; ldots,\; n)\; \backslash \backslash \; -\; e\_\; \{j\}\; e\_\; \{i\}\; i\; \backslash \; neq\; j.\; \backslash \; End\; \{cases\}\}\}$

Два измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ 2, 0 (ℝ) создается на основе одного единичного скаляра, 1, двух ортогональных единичных векторов, σ 1 и σ 2, и одной единицы псевдоскаляр i = σ 1σ2. Из приведенных выше определений очевидно, что (σ 1) = (σ 2) = 1 и (σ 1σ2) (σ 1σ2) = −σ 1σ1σ2σ2= -1.

Четная подалгебра Cℓ 2,0 (ℝ), натянутая на четные базисные элементы Cℓ 2,0 (ℝ), определяет пространство спиноров через свои представления. Он состоит из реальных линейных комбинаций 1 и σ 1σ2. Как вещественная алгебра Cℓ 2,0 (ℝ) изоморфна полю комплексных чисел ℂ. В результате он допускает операцию сопряжения (аналогичную комплексному сопряжению ), иногда называемую обратной для элемента Клиффорда, определяемого как

$(a\; +\; b\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \ast \; =\; a\; +\; b\; \sigma \; 2\; \sigma \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; +\; b\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\})\; ^\; \{*\}\; =\; a\; +\; b\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}.\}$

который, согласно Клиффорду соотношений, можно записать

$(a\; +\; b\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \ast \; =\; a\; +\; b\; \sigma \; 2\; \sigma \; 1\; =\; a\; -\; b\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (a\; +\; b\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\})\; ^\; \{*\}\; =\; a\; +\; b\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; =\; ab\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}.\}$

Действие четного элемента Клиффорда γ ∈ Cℓ 2,0 (ℝ) на векторах, рассматриваемых как 1-градуированные элементы Cℓ 2,0 (ℝ), определяется отображением общего вектора u = a 1σ1+ a 2σ2на вектор

$\gamma \; (u)\; =\; \gamma \; u\; \gamma \; \ast ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; u\; \backslash \; gamma\; ^\; \{*\},\}$

где γ - сопряжение γ, а произведение - умножение Клиффорда. В этой ситуации спинор является обычным комплексным числом. Действие γ на спинор φ задается обычным комплексным умножением:

$\gamma \; (\varphi )\; =\; \gamma \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; phi\}$.

Важной особенностью этого определения является различие между обычными векторами и спинорами, проявляющееся в том, как четные элементы действуют на каждый из них по-разному. В общем, быстрая проверка соотношений Клиффорда показывает, что четные градуированные элементы сопряжены-коммутируют с обычными векторами:

$\gamma \; (u)\; =\; \gamma \; u\; \gamma \; \ast \; =\; \gamma \; 2\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; u\; \backslash \; gamma\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; u.\}$

С другой стороны, сравнивая с действием на спиноры, γ (φ) = γφ, γ на обычные векторы действует как квадрат его действия на спиноры.

Рассмотрим, например, последствия этого для вращения плоскости. Поворот вектора на угол θ соответствует γ = exp (θ σ 1σ2), так что соответствующее действие на спиноры осуществляется через γ = ± exp (θ σ 1σ2/ 2). В общем, из-за логарифмического ветвления невозможно выбрать знак согласованным способом. Таким образом, представление плоских вращений на спинорах двузначно.

В применении спиноров в двух измерениях обычно используют тот факт, что алгебра четных элементов (то есть просто кольцо комплексных чисел) идентична пространству спиноров. Итак, при злоупотреблении языком эти два понятия часто объединяются. Тогда можно говорить о «действии спинора на вектор». В общем случае такие утверждения бессмысленны. Но в измерениях 2 и 3 (применительно, например, к компьютерной графике ) они имеют смысл.

Примеры

• Четный элемент

$\gamma \; =\; 1\; 2\; (1\; -\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; (1-\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\})\}$

соответствует повороту вектора на 90 ° от σ 1 вокруг к σ 2, что можно проверить с помощью подтверждая, что

$1\; 2\; (1\; -\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \{a\; 1\; \sigma \; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 2\}\; (1\; -\; \sigma \; 2\; \sigma \; 1)\; =\; a\; 1\; \sigma \; 2\; -\; a\; 2\; \sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (1-\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\})\; \backslash \; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \}\; (1\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\})\; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; -a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\}$

Это соответствует вращению спинора всего на 45 °, однако:

$1\; 2\; (1\; -\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \{a\; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\}\; =\; a\; 1\; +\; a\; 2\; 2\; +\; -\; a\; 1\; +\; a\; 2\; 2\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; (1-\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\})\; \backslash \; \{a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; 2\}\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{-a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}$

• Аналогичным образом четный элемент γ = −σ 1σ2соотве тствует повороту вектора на 180 °:

$(-\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \{\; a\; 1\; \sigma \; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 2\}\; (-\; \sigma \; 2\; \sigma \; 1)\; =\; -\; a\; 1\; \sigma \; 1\; -\; a\; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\})\; \backslash \; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\; \}\; \backslash \}\; (-\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\})\; =\; -\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; -a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}$

но вращение спинора только 90 °:

$(-\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2)\; \{a\; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\}\; =\; a\; 2\; -\; a\; 1\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; 2\})\; \backslash \; \{a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \}\; =\; a\_\; \{2\}\; -a\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \}$

• Продолжая далее, четный элемент γ = −1 соответствует повороту вектора на 360 °:

$(-\; 1)\; \{a\; 1\; \sigma \; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 2\}\; (-\; 1)\; =\; a\; 1\; \sigma \; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; (-1)\; \backslash \; \{a\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \}\; \backslash ,\; (-\; 1)\; =\; a\_\; \{1\; \}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}$

, но вращение спинора на 180 °.

Трехмерное измерение

Алгебра Клиффорда Cℓ 3, 0(ℝ) is built up from a basis of one unit scalar, 1, three orthogonal unit vectors, σ1, σ2and σ3, the three unit bivectors σ1σ2, σ2σ3, σ3σ1and the pseudoscalar i = σ1σ2σ3. It is straightforward to show that (σ1) = (σ2) = (σ3) = 1, and (σ1σ2) = (σ2σ3) = (σ3σ1) = (σ1σ2σ3) = −1.

The sub-algebra of even-graded elements is made up of scalar dilations,

$u\; \prime \; =\; \rho \; (\; 1\; 2)\; u\; \rho \; (\; 1\; 2)\; =\; \rho \; u,\; \{\backslash displaystyle\; u\text{'}=\backslash rho\; ^\{\backslash left(\{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}\backslash right)\}u\backslash rho\; ^\{\backslash left(\{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}\backslash right)\}=\backslash rho\; u,\}$

and vector rotations

$u\; \prime \; =\; \gamma \; u\; \gamma \; \ast ,\; \{\backslash displaystyle\; u\text{'}=\backslash gamma\; u\backslash gamma\; ^\{*\},\}$

where

$\gamma \; =\; cos\; \; (\; \theta \; 2)\; -\; \{\; a\; 1\; \sigma \; 2\; \sigma \; 3\; +\; a\; 2\; \sigma \; 3\; \sigma \; 1\; +\; a\; 3\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; \}\; sin\; \; (\; \theta \; 2)\; =\; cos\; \; (\; \theta \; 2)\; -\; i\; \{\; a\; 1\; \sigma \; 1\; +\; a\; 2\; \sigma \; 2\; +\; a\; 3\; \sigma \; 3\; \}\; sin\; \; (\; \theta \; 2)\; =\; cos\; \; (\; \theta \; 2)\; -\; i\; v\; sin\; \; (\; \theta \; 2)\; \}\; \{\backslash displaystyle\; \backslash left.\{\backslash begin\{aligned\}\backslash gamma\; =\backslash cos\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)-\backslash \{a\_\{1\}\backslash sigma\; \_\{2\}\backslash sigma\; \_\{3\}+a\_\{2\}\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash sigma\; \_\{1\}+a\_\{3\}\backslash sigma\; \_\{1\}\backslash sigma\; \_\{2\}\backslash \}\backslash sin\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)\backslash \backslash =\backslash cos\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)-i\backslash \{a\_\{1\}\backslash sigma\; \_\{1\}+a\_\{2\}\backslash sigma\; \_\{2\}+a\_\{3\}\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash \}\backslash sin\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)\backslash \backslash =\backslash cos\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)-iv\backslash sin\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)\backslash end\{aligned\}\}\backslash right\backslash \}\}$(1)

corresponds to a vecto r rotation through an angle θ about an axis defined by a unit vector v = a1σ1+ a2σ2+ a3σ3.

As a special case, it is easy to see that, if v = σ3, this reproduces the σ1σ2rotation considered in the previous section; and that such rotation leaves the coefficients of vectors in the σ3direction invariant, since

$[\; cos\; \; (\; \theta \; 2)\; -\; i\; \sigma \; 3\; sin\; \; (\; \theta \; 2)\; ]\; \sigma \; 3\; [\; cos\; \; (\; \theta \; 2)\; +\; i\; \sigma \; 3\; sin\; \; (\; \theta \; 2)\; ]\; =\; [\; cos\; 2\; \; (\; \theta \; 2)\; +\; sin\; 2\; \; (\; \theta \; 2)\; ]\; \sigma \; 3\; =\; \sigma \; 3.\; \{\backslash displaystyle\; \backslash left[\backslash cos\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)-i\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash sin\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)\backslash right]\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash left[\backslash cos\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)+i\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash sin\; \backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)\backslash right]=\backslash left[\backslash cos\; ^\{2\}\backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)+\backslash sin\; ^\{2\}\backslash left(\{\backslash frac\; \{\backslash theta\; \}\{2\}\}\backslash right)\backslash right]\backslash sigma\; \_\{3\}=\backslash sigma\; \_\{3\}.\}$

The bivectors σ2σ3, σ3σ1and σ1σ2are in fact Hamilton's quaternions i, j, and k, discovered in 1843:

$i\; =\; -\; \sigma \; 2\; \sigma \; 3\; =\; -\; i\; \sigma \; 1\; j\; =\; -\; \sigma \; 3\; \sigma \; 1\; =\; -\; i\; \sigma \; 2\; k\; =\; -\; \sigma \; 1\; \sigma \; 2\; =\; -\; i\; \sigma \; 3\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}\backslash mathbf\; \{i\}\; =-\backslash sigma\; \_\{2\}\backslash sigma\; \_\{3\}=-i\backslash sigma\; \_\{1\}\backslash \backslash \backslash mathbf\; \{j\}\; =-\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash sigma\; \_\{1\}=-i\backslash sigma\; \_\{2\}\backslash \backslash \backslash mathbf\; \{k\}\; =-\backslash sigma\; \_\{1\}\backslash sigma\; \_\{2\}=-i\backslash sigma\; \_\{3\}\backslash end\{aligned\}\}\}$

With the identification of the even-graded elements with the algebra ℍ of quaternions, as in the case of two dimensions the only representation of the algebra of even-graded elements is on itself. Thus the (real) spinors in three-dimensions are quaternions, and the action of an even-graded element on a spinor is given by ordinary quaternionic multiplication.

Note that the expression (1) for a vector rotation through an angle θ, the angle appearing in γ was halved. Thus the spinor rotation γ(ψ) = γψ (ordinary quaternionic multiplication) will rotate the spinor ψ through an angle one-half the measure of the angle of the corresponding vector rotation. Once again, the problem of lifting a vector rotation to a spinor rotation is two-valued: the expression (1) with (180° + θ/2) in place of θ/2 will produce the same vector rotation, but the negative of the спинорное вращение.

Спинор / кватернионное представление вращений в 3D становится все более распространенным в компьютерной геометрии и других приложениях из-за заметной краткости соответствующей матрицы спинов и простоты, с которой их можно перемножить для вычисления комбинированный эффект последовательных вращений вокруг разных осей.

Пространство спиноров может быть построено явно с помощью конкретных и абстрактных конструкций. Эквивалентность этих конструкций является следствием единственности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда. Полный пример в размерности 3 см. В разделе спиноры в трех измерениях.

Компонентные спиноры

Для векторного пространства V и квадратичной формы g явное матричное представление алгебры Клиффорда Cℓ (V, g) можно определить следующим образом. Выбираем ортонормированный базис e… e для V, т. е. g (ee) = η, где η = ± 1 и η = 0 для μ ≠ ν. Пусть k = ⌊n / 2⌋. Зафиксируем набор матриц γ… γ размером 2 × 2 так, чтобы γγ + γγ = 2η1 (т.е. зафиксировать соглашение для гамма-матриц ). Тогда сопоставление e → γ однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры Cℓ (V, g) → Mat (2, ℂ), перевод моном e… e в алгебре Клиффорда в произведении матриц γ… γ и продолжая линейно. Пространство Δ = ℂ, на котором установлена ​​гамма-матрицы, теперь является пространством спиноров. Однако необходимо явно строить такие матрицы. В измерении 3 определения гамма-матриц как сигма-матриц Паули дает начало знакомым двухкомпонентным спинорам, используемым в нерелятивистской квантовой механике. Аналогичным образом, использование гамма-матриц Дирака 4 × 4 дает 4-компонентные спиноры Дирака, используемые в 3 + 1-мерной релятивистской квантовой теории поля. В общем, для определения требуемого типа можно использовать матрицы Вейля - Брауэра.

. В этой представлении алгебры Клиффорда Cℓ (V, g), алгебры Ли so (V, g) и группа Spin Spin (V, g), все зависит от выбора ортонормированного базиса и выбора гамма-матриц. Это может вызвать путаницу в соглашение, но инварианты, такие как трассировки, не зависит от выбора. В частности, все физически наблюдаемые величины не должны зависеть от такого выбора. Эта конструкция спинор может быть представлена ​​как вектор из 2 комплексных чисел и обозначается спинорными индексами (обычно α, β, γ). В физической литературе абстрактные спинорные индексы часто используются для обозначения спиноров, даже когда используется абстрактная спинорная конструкция.

Абстрактные спиноры

Есть по крайней мере два различных, но по эквивалентных способах абстрактного определения спиноров. Один из подходов направлен на определение минимальных идеалов для левого действия C of (V, g) на самом себе. Это подпространства алгебры Клиффорда вида Cℓ (V, g) ω, допускающие очевидное действие Cℓ (V, g) левым умножением: c: xω → cxω. Есть два варианта этой темы: можно найти либо примитивный элемент ω, являющийся нильпотентным, который является алгебры Клиффорда, либо элемент, который является идемпотентом. Конструкция через нильпотентные элементы более фундаментальна в том смысле, что затем из нее может быть получен идемпотент. Таким образом спинорные представления отождествляются с некоторыми подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход состоит в том, чтобы построить новое пространство с использованием выделенного подпространства в V, а указать пространство алгебры Клиффорда вне этого пространства пространства.

При любом подходе фундаментальным понятием является понятие изотропного подпространства W. Каждая конструкция зависит от начальной свободы выбора этого подпространства. С физической точки зрения это соответствует тому факту, что не существует протокола измерения, который должен указать основу для спинового пространства, даже если задан предпочтительный базис для V.

Как и выше, мы пусть (V, g) будет n-мерным комплексным пространством, снабженным невырожденной билинейной формой. Если V - эффективное чистое пространство, то мы заменим его V его комплексификацией V ⊗ ℝ ℂ и пусть g обозначает индуцированную билинейную форму на V ⊗ ℝ ℂ. Пусть W - максимальное изотропное подпространство, то есть максимальное подпространство в V такое, что g | W = 0. Если n = 2k четно, то пусть W - изотропное подпространство, дополнительное к W. Если n = 2k + 1 нечетно, пусть W - максимальное изотропное подпространство с W ∩ W = 0, и пусть U - ортогональное дополнение к W ⊕ W. Как в четном, так и в нечетномерном случае W и W имеют размерность k. В нечетномерном случае U одномерно, натянуто на единичный вектор u.

Минимальные идеалы

Буква W ′ изотропен, умножение элементов W ′ внутри Cℓ (V, g) является перекосом. Следовательно, ошиб в W ′ антикоммутируют, и Cℓ (W ′, g | W ′) = Cℓ (W ′, 0) - это просто внешняя алгебра ΛW ′. Следовательно, k-кратное произведение W 'на себя, W', одномерно. Пусть ω - образующая W ′. В терминах базиса w ′ 1,…, w ′ k из W ′, одна из возможностей состоит в том, чтобы установить

$\omega \; =\; w\; 1\; \prime \; w\; 2\; \prime \; \cdots \; нед.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; w\; \text{'}\_\; \{1\}\; w\text{'}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; w\; \text{'}\_\; \{k\}.\}$

Обратите внимание, что ω = 0 (т. е. ω является нильпотентным порядком 2), и, более того, w′ω = 0 для всех w ′ ∈ W ′. Несложно доказать следующие факты:

1. Если n = 2k, то левый идеал ∆ = Cℓ (V, g) является минимальным левым идеалом. Кроме того, это расщепляется на два спиновых пространства Δ + = Cℓω и Δ - = Cℓω при ограничении действия четной алгебры Клиффорда.
2. Если n = 2k + 1, то единичного события u на левый идеал Cℓ (V, g) ω разбивает пространство на пару изоморфных неприводимых подпространств (оба обозначаются Δ), соответствующие значениям +1 и −1 соответственно..

Подробно предположим, например, что n четное. Предположим, что I - ненулевой левый идеал, поддержся в Cℓ (V, g) ω. Мы покажем, что I должно быть равенство Cℓ (V, g) ω, доказав, что он содержит ненулевое скалярное кратное ω.

Зафиксируем базис w i в W и дополнительный базис w i ′ в W ′ так, чтобы

wiwj′ + w j′wi= δ ij и

(wi) = 0, (w i ′) = 0.

Обратите внимание, что любой элемент I должен иметь форму αω, в силу нашего предположения, что I ⊂ Cℓ (V, g) ω. Пусть αω ∈ I - любой такой элемент. Используя выбранный базис, мы можем записать

, где a i1…ip- скаляры, а B j - вспомогательные элементы алгебры Клиффорда. Теперь заметим, что произведение

Выберем любой ненулевой моном a в разложении α с максимальной однородной степенью по элементу w i:

$a\; =\; ai\; 1\dots \; i\; max\; wi\; 1\dots \; wi\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; a\_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\}\; w\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; w\_\; \{i\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\}\}$(без суммирования),

тогда

$wi\; max\; \prime \; \cdots \; wi\; 1\; \prime \; \alpha \; \omega \; =\; ai\; 1\dots \; i\; max\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \text{'}\_\; \{i\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\}\; \backslash \; cdots\; w\text{'}\; \_\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; omega\; =\; a\_\; \{i\_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; i\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\}\; \backslash \; omega\}$

- ненулевое скалярное кратное ω, если требуется.

Обратите внимание, что для четного n это вычисление также показывает, что

$\Delta \; =\; C\; \ell \; (W)\; \omega \; =\; (\Lambda \; \ast \; W)\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\; \backslash \; ell\; (W)\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; Lambda\; ^\; \{*\}\; W\; \backslash \; right)\; \backslash \; omega\}$.

как векторное пространство. В последнем равенстве мы снова использовали, что W изотропна. С точки зрения физики, это показывает, что Δ создается как пространство Фока посредством создания спиноров с использованием антикоммутирующих агентов создания в W, действующих на вакуум ω.

Конструкция внешней алгебры

Вычисления с минимальной идеальной конструкцией предполагают, что спинорное представление также может быть определено напрямую с помощью внешней алгебры Λ W = ⊕ j Λ W изотропного подпространства W. Пусть Δ = Λ W обозначает внешнюю алгебру W, рассматриваемую только как векторное пространство. Это будет спиновое представление, и его элементы будут называться спинорами.

Действие алгебры Клиффорда на Δ сначала открывает элемент из V на Δ, что это действие учитывает отношение Клиффорда и таким образом, расширяется до гомоморфизма полной алгебры Клиффорда в кольцо эндоморфизмов End (Δ) посредством универсальных свойств алгебр Клиффорда. Детали немного отличаются в зависимости от того, четный или нечетный размер V.

Когда dim (V) четное, V = W ⊕ W ′, где W ′ - выбранное изотропное дополнение. Следовательно, любой v ∈ V однозначно разлагается как v = w + w ′ с w ∈ W и w ′ ∈ W ′. Действие v на спинор определяется выражением

$c\; (v)\; w\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; wn\; =\; (ϵ\; (w)\; +\; i\; (w\; \text{'}))\; (w\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; wn)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (v)\; w\_\; \{1\; \}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; w\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; epsilon\; (w)\; +\; i\; \backslash \; left\; (w\; \text{'}\backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (w\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; w\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$

где i (w ′) - внутренний продукт с w ′, использующий невырожденную квадратичную форму для идентификации V с V, а ε (w) обозначает Внешний продукт. Можно проверить, что

$c\; (u)\; c\; (v)\; +\; c\; (v)\; c\; (u)\; =\; 2\; g\; (u,\; v),\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (u)\; \backslash ,\; c\; (v)\; +\; c\; (v))\; \backslash ,\; c\; (u)\; =\; 2\; \backslash ,\; g\; (u,\; v)\; \backslash ,,\}$

и поэтому c уважает отношения Клиффорда и продолжается до гомоморфизма от алгебры Клиффорда до End (Δ).

Спиновое представление Δ далее распадается на пару неприводимых комплексных представлений группы Спина (представления половин спина, или спиноры Вейля) через

$\Delta \; +\; =\; \Lambda \; четный\; W,\; \Delta \; -\; =\; \Lambda \; нечетный\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; =\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; text\; \{even\}\}\; W,\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; =\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}\; W\}$.

При тусклом (V) нечетно, V = W ⊕ U ⊕ W ′, где U натянуто на единичный вектор u, ортогональный W. Действие Клиффорда c определено, как и раньше, на W ⊕ W ′, в то время как действие Клиффорда (кратное) u определяется формулой

$c\; (u)\; \alpha \; =\; \{\alpha ,\; если\; \alpha \; \in \; \Lambda ,\; даже\; W\; -\; \alpha ,\; если\; \alpha \; \in \; \Lambda \; нечетное\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (u)\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; hbox\; \{if\}\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; text\; \{even\}\}\; W\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; hbox\; \{if\}\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}\; W\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

Как и раньше, проверяется, что c соблюдает отношения Клиффорда, и таким образом индуцируется гомоморфизм.

Эрмитовы пространства и спиноры

Если внутреннее пространство V имеет дополнительное расширение, которое обеспечивает разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, то определение спиноров (любым методом) становится естественным.

Основным примером является реальное пространство V является эрмитовым векторным пространством (V, h), т. Е. V оснащено сложной структурой J, которое является ортогональным преобразованием относительно внутреннего произведения g на V. Тогда V ⊗ ℝ ℂ разбивается в собственные подпространства ± i в J. Эти собственные подпространства изотропны для комплексирования g и может быть отождествлен с комплексным векторным пространством (V, J) и его комплексно сопряженным (V, −J). Следовательно, для эрмитова пространства (V, h) новое пространство Λ. ℂV (а также его комплексно сопряженное Λ. ℂV) является спинорным пространством для лежащего в основе действительного евклидова пространства.

С каждым Клиффорда, указанным выше, но со сжатием с использованием эрмитовой формы, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке почти эрмитова многообразия и является причиной того, что почти комплексное многообразие (в частности, каждое симплектическое многообразие ) спиновую структуру. Аналогичным образом, представляет собой компьютерное расслоение на множестве органов Spin.

На возможен ряд разложений Клебша - Гордана тензорное произведение одного представления спина на другое. Эти разложения выражают тензорное произведение через альтернирующие представления ортогональной группы.

Для действительного или комплексного случая альтернативными представлениями являются

• Γr= ΛV, представление ортогональной группы на косых тензорах ранга r.

Кроме того, для действительных ортогональных групп существуют три символов (одномерные представления)

• σ+: O (p, q) → {−1, +1}, заданные как σ + (R) = −1, если R меняет пространственную ориентацию V, +1, если R меняет пространственную ориентацию V. (Пространственный характер.)
• σ−: O (p, q) → {−1, +1}, задаваемый σ - (R) = -1, если R меняет временную ориентацию V на противоположную, +1, если R меняет временную ориентацию V. (Временной символ.)
• σ = σ +σ−. (Ориентирующий символ.)

Разложение Клебша - Гордана позволяет, среди прочего, определить:

• действие спиноров на языке.
• A Эрмитова метрика на комплексных представлениях реальных спиновых групп.
• A оператор Дирака для каждого представления спина.

Четкие измерения

Если n = 2k четно, то тензорное произведение Δ с противоположным представлением разлагается как

$\Delta \; \otimes \; \Delta \; \ast \; \cong \; ⨁\; p\; знак\; равно\; 0\; N\; \Gamma \; p\; \cong \; ⨁\; p\; знак\; равно\; 0\; К\; -\; 1\; (\Gamma \; p\; \oplus \; \sigma \; \Gamma \; p)\; \oplus \; \Gamma \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{p\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{p\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{p\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; oplus\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{k\}\}$

который можно увидеть, рассматривая (в явной конструкции) действие алгебры Клиффорда на разложимых элементов αω ⊗ βω ′. Крайняя правая формулировка следует из свойств преобразования звездного оператора Ходжа. Заметим, что при ограничении на четную алгебру Клиффорда парные слагаемые Γ p ⊕ σΓ p изоморфны, но под полной алгеброй Клиффорда они не являются.

Существует естественное отождествление Δ с его контрагредиентным представлением через сопряжение в алгебре Клиффорда:

$(\alpha \; \omega )\; \ast \; =\; \omega \; (\alpha \; \ast ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; omega)\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; ^\; Итак\; \{*\}\; \backslash \; right).\}$

, Δ ⊗ Δ также разлагается указанным выше образом. Кроме того, в четной алгебре Клиффорда представления полеспина разлагаются

$\Delta \; +\; \otimes \; \Delta \; +\; \ast \; \cong \; \Delta \; -\; \otimes \; \Delta \; -\; \ast \; \cong \; ⨁\; p\; =\; 0\; k\; \Gamma \; 2\; p\; \Delta \; +\; \otimes \; \Delta \; -\; \ast \; \cong \; \Delta \; -\; \otimes \; \Delta \; +\; \ast \; \cong \; ⨁\; п\; знак\; равно\; 0\; К\; -\; 1\; \Gamma \; 2\; p\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{2p\}\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{2p\; +\; 1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\; \}\}$

Для комплексных представлений реальных алгебр Клиффорда соответствующая структура реальности на комплексной алгебре Клиффорда спускается в пространство спиноров (посредством явной конструкции в терминах минимальных идеалов, например). Таким образом, мы получаем комплексно сопряженное Δ представления Δ, и, как видно, выполняется следующий изоморфизм:

$\Delta \; ¯\; \cong \; \sigma \; -\; \Delta \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; Delta\; ^\; \{*\}\}$

В частности, обратите внимание, что представление Δ ортохронной спиновой группы является унитарным представлением. В общем случае существуют разложения Клебша - Гордана

$\Delta \; \otimes \; \Delta \; ¯\; \cong \; ⨁\; p\; =\; 0\; k\; (\sigma \; -\; \Gamma \; p\; \oplus \; \sigma \; +\; \Gamma \; p).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{p\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; +\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{p\}\; \backslash \; right).\}$

В метрической сигнатуре (p, q) для сопряженных полуспиновых представлений выполняются следующие изоморфизмы

• Если q четно, то $\Delta \; ¯\; +\; \cong \; \sigma \; -\; \otimes \; \Delta \; +\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \_\; \{+\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; ^\; \{*\}\}$и $\Delta \; ¯\; -\; \cong \; \sigma \; -\; \otimes \; \Delta \; -\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \_\; \{-\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; ^\; \{*\}.\}$
• Если q нечетное, то $\Delta \; ¯\; +\; \cong \; \sigma \; -\; \otimes \; \Delta \; -\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \_\; \{+\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; ^\; \{*\}\}$и $\Delta \; ¯\; -\; \cong \; \sigma \; -\; \otimes \; \Delta \; +\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \_\; \{-\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; ^\; \{*\}.\}$

Используя эти изоморфизмы, можно вывести аналогичные разложения для тензорные произведения представлений полуспина Δ ± ⊗ Δ ±.

Нечетные размерности

Если n = 2k + 1 нечетно, то

$\Delta \; \otimes \; \Delta \; \ast \; \cong \; ⨁\; p\; =\; 0\; k\; \Gamma \; 2\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{2p\}.\}$

В реальном случае снова изоморфизм выполнен

$\Delta \; ¯\; \cong \; \sigma \; -\; \Delta \; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; Delta\; ^\; \{*\}.\}$

, следовательно, существует разложение Клебша - Гордана (снова с использованием звезды Ходжа для дуализации), задаваемое

$\Delta \; \otimes \; \Delta \; ¯\; \cong \; \sigma \; -\; \Gamma \; 0\; \oplus \; \sigma \; +\; \Gamma \; 1\; \oplus \; \cdots \; \oplus \; \sigma \; \pm \; \Gamma \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; sigma\; \_\; \{-\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\; \}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{+\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; dots\; \backslash \; oplus\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{k\}\}$

Последствия

Есть много далеких -достигающие следствия разложений Клебша - Гордана спинорных пространств. Наиболее фундаментальные из них к теории электрона Дирака, среди требований которой -

• способ к произведениям двух спиноров ϕψ как скаляра. С физической точки зрения спинор определяет амплитуду вероятности для квантового состояния.
• Способ рассмотрения произведения ψϕ должен как вектор. Это особенность теории физического пространства.
• Способ рассмотрения спинора как действующего на вектор с помощью такого выражения, как ψvψ. С физической точки зрения это представляет собой электрический ток согласно электромагнитной теории Максвелла, или, в более общем смысле, ток вероятности.

• в одном измерением (тривиальный пример), одно спинорное представление формально является Майораном, действительным одномерным представлением, которое не преобразуется.
• В двух евклидовых измерениях левое и правое Вейлевское спинор - это однокомпонентные комплексные представления, то есть комплексные числа, которые умножаются на e при повороте на угол φ.
• Трех евклидовых представлений одного спинора является двумерным и кватернионный. Существование спиноров в 3-х измерениях следует из изоморфизма групп SU (2) ≅ Спин (3), который позволяет нам определить действие Спина (3) на комплексном 2-компонентном столбце (спинор); генераторы SU (2) могут быть записаны как матрицы Паули.
• В четырех евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм имеет вид Spin (4) ≅ SU (2) × SU (2). Существует два неэквивалентных кватернионных 2-компонентных спинора Вейля, и каждый из них преобразуется только под действием одного из факторов SU (2).
• В 5 евклидовых измеренийх соответствующий изоморфизм - это Spin (5) ≅ USp (4) ≅ Sp (2), из которого следует, что единичное спинорное представление является 4-мерным и кватернионным.
• В шести евклидовых измерениях изоморфизм Spin (6) ≅ SU (4) гарантирует, что существует представляют собой два 4-мерных комплексных представления Вейля, которые являются комплексно сопряженными друг с другом.
• В 7 евклидовых измерениях единственное спинорное представление является 8-мерным и действительным; не существует изоморфизмов алгебры Ли из другой серии (A или C), начиная с этого измерения.
• В 8 евклидовых измерениях есть два вещественных 8-мерных представления Вейля – Майорана, которые связаны с 8-мерным вещественное векторное представление с помощью специального свойства Spin (8), называемого тройственностью.
• В измерениях d + 8, количество различных неприводимых спинорных представлений и их реальность (являются ли они реальными, псевдореальными, или сложный) имитирует структуру в размерах d, но их размеры в 16 раз больше; это позволяет разобраться во всех остальных случаях. См. периодичность Ботта.
• В пространстве-времени с p пространственными и q временными направлениями, измерения, рассматриваемые как измерения над комплексными числами, совпадают со случаем (p + q) -мерного евклидова пространства, но проекции реальности имитировать структуру в | p - q | Евклидовы измерения. Например, в 3 + 1 измерениях есть два неэквивалентных комплекса Вейля (как в 2 измерениях) 2-компонентных (как в 4 измерениях) спинора, что следует из изоморфизма SL (2, ℂ) ≅ Spin (3,1

Метрическая подпись	Вейль, комплекс		Сопряжение	Дирак,. комплекс	Майорана – Вейль, настоящий		Майорана,. real
	левша	правша			левша	правша
(2,0)	1	1	взаимно	2	–	–	2
(1,1)	1	1	Собственный	2	1	1	2
(3,0)	–	–	–	2	–	–	–
(2,1)	–	–	–	2	–	–	2
(4,0)	2	2	Собственный	4	–	–	–
(3,1)	2	2	Взаимная	4	–	–	4
(5,0)	–	–	–	4	–	–	–
(4,1)	–	–	–	4	–	–	–
(6,0)	4	4	Взаимная	8	–	–	8
(5,1)	4	4	Собственная	8	–	–	–
(7,0)	–	–	–	8	–	–	8
(6,1)	–	–	–	8	–	–	–
(8,0)	8	8	Собственный	16	8	8	16
(7,1)	8	8	Взаимный	16	–	–	16
(9,0)	–	–	–	16	–	–	16
(8,1)	–	–	–	16	–	–	16

• Энион
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Эйгенспинор
• Теория Эйнштейна – Картана
• Проективное представление
• Чистый спинор
• Спин-½
• Связка спиноров
• Суперзаряд
• Теория твисторов

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Американский журнал математики. Издательство Университета Джона Хопкинса. 57 (2): 425–449. DOI : 10.2307 / 2371218. JSTOR 2371218.
• Картан, Эли (1913). «Группы проекторов, которые несут инвариантную многоплановую плоскость» (PDF). Бык. Soc. Математика. Пт. 41 : 53–96. doi : 10.24033 / bsmf.916.
• Картан Эли (1981) [1966]. Теория спиноров (переиздание ред.). Париж, Франция: Герман (1966); Dover Publications (1981). ISBN 978-0-486-64070-9.
• Chevalley, Claude (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда (переиздание). Издательство Колумбийского университета (1954); Спрингер (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• Дирак, Поль М. (1928). «Квантовая теория электрона». Труды Лондонского королевского общества A. 117 (778): 610–624. Bibcode : 1928RSPSA.117..610D. doi : 10.1098 / rspa.1928.0023. JSTOR 94981.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 0-387-97495-4. MR 1153249.
• Гилки, Питер Б. (1984). Теория инвариантности: уравнение теплопроводности и теорема Атьи – Зингера об индексе. Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-20-9.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-329650-4.
• Хитчин, Найджел Дж. (1974). «Гармонические спиноры». Успехи в математике. 14 : 1–55. doi : 10.1016 / 0001-8708 (74) 90021-8. MR 0358873.
• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мари-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08542-0.
• Паули, Вольфганг (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik. 43 (9–10): 601–632. Bibcode : 1927ZPhy... 43..601P. doi : 10.1007 / BF01397326. S2CID 128228729.
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, В. (1988). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. Спиноры и пространство-время. 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-34786-6.
• Томонага, Син-Итиро (1998). «Лекция 7: Величина, которая не является ни векторной, ни тензорной». История спина. Издательство Чикагского университета. п. 129. ISBN 0-226-80794-0.