Eigenspinor

В квантовой механике eigenspinor рассматриваются как базисные векторы, представляющие общее состояние спина частицы. Строго говоря, это вовсе не векторы, а фактически спиноры. Для одиночной частицы со спином 1/2 их можно определить как собственные векторы матриц Паули.

• 1 Общие собственные спины
• 2 Частица со спином 1/2
• 3 Пример использования
• 4 Свойства
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

В квантовой механике спин частицы или совокупности частицы квантуются. В частности, все частицы имеют полуцелый или целочисленный спин. В самом общем случае собственные спины для системы могут быть довольно сложными. Если у вас есть набор частиц с числом Авогадро , каждая из которых имеет два (или более) возможных состояния спина, записать полный набор собственных спинов было бы практически невозможно. Однако собственные спины очень полезны при работе со спинами очень небольшого числа частиц.

Самый простой и наиболее яркий пример собственных спинов - это частицы со спином 1/2. Вращение частицы состоит из трех компонентов, соответствующих трем пространственным измерениям: $S\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x\}\}$, $S\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{y\}\}$и $S\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\}$. Для частицы со спином 1/2 существует только два возможных собственных состояния спина: спин вверх и спин вниз. Вращение обозначается как матрица столбцов: $\chi \; +\; =\; [1\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$и уменьшение скорости вращения равно $\chi \; -\; =\; [0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

Таким образом, каждая компонента углового момента имеет два собственных спина. По соглашению, направление z выбрано так, чтобы иметь следующие значения: $\chi \; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\}$и $\chi \; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\}$заявляет как его собственные спины. Собственные спины для двух других ортогональных направлений следуют из этого соглашения:

$S\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\}$:

$\chi \; +\; z\; =\; [1\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; ^\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$\chi \; -\; z\; =\; [0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; ^\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\; \}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{bmatrix\}\}\}$

$S\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x\}\}$:

$\chi \; +\; x\; =\; 1\; 2\; [1\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; ^\; \{x\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$\chi \; -\; x\; =\; 1\; 2\; [1\; -\; 1]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; ^\; \{x\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$S\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{y\}\}$:

$\chi \; +\; y\; =\; 1\; 2\; [1\; я]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; ^\; \{y\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; я\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{bmatrix\}\}\}$

$\chi \; -\; y\; =\; 1\; 2\; [1\; -\; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; ^\; \{y\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; -\; i\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Сферические координаты (r, θ, φ): радиальное расстояние r, полярный угол θ (theta ) и азимутальный угол φ (phi ).

Все эти результаты являются лишь частными случаями собственных спиноров. для направления, заданного θ и φ в сферических координатах, эти собственные спины:

$\chi \; +\; =\; [cos\; \; (\theta \; /\; 2)\; ei\; \phi \; sin\; \; (\theta \; /\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$\chi \; -\; =\; [-\; e\; -\; я\; \phi \; грех\; \; (\theta \; /\; 2)\; соз\; \; (\theta \; /\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -e\; ^\; \{-\; я\; \backslash \; varphi\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\; \backslash \backslash \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Предположим, что есть частица со спином 1/2 в состоянии $\chi \; =\; 1\; 5\; [\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$. Чтобы определить вероятность нахождения частицы в состоянии со спином вверх, мы просто умножаем состояние частицы на сопряженную матрицу собственных спинов, представляющую спин вверх, и возводим результат в квадрат. Таким образом, собственный спинор позволяет нам отбирать часть состояния частицы, которая находится в том же направлении, что и собственный спинор. Сначала умножаем:

$c\; +\; =\; [1\; 0]\; \ast \; \chi \; =\; 1\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \_\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; *\; \backslash \; chi\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}$.

Теперь мы просто возводим это значение в квадрат, чтобы получить вероятность того, что частица будет обнаружена в состоянии вращения вверх:

$P\; +\; =\; 1\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{+\; \}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 5\}\}$

Каждый набор собственных спиноров образует полный, ортонормированный базис. Это означает, что любое состояние можно записать как линейную комбинацию спиноров базиса.

Собственные спины являются собственными векторами матриц Паули в случае одиночной частицы со спином 1/2.

• Спин
• Спинор
• Собственный вектор
• Матрицы Паули

• Дэвид Дж. Гриффитс (2005) Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• де ла Пенья, Луис (2006). Introducción a la mecánica cuántica (3 edición). México DF: Fondo de Cultura Económica. ISBN 968-16-7856-7.