Идентификатор Fierz

редактировать

Перезаписывает билинейные модели произведение 2 спиноров как линейная комбинация произведений билинейных спиноров

В теоретической физике тождество Фирца является тождество, которое позволяет переписать билинейные произведения двух спиноров как линейную комбинацию произведений билинейных индивидуальных спиноров. Он назван в честь швейцарского физика Маркуса Фирца.

. Существует версия тождества Фирца для спиноров Дирака и другая версия для спиноров Вейля. Кроме размеров 3 + 1, существуют версии для других размеров.

Спинорные билинейи можно рассматривать как элементы алгебры Клиффорда. Тогда тождество Фирца является конкретной реализацией отношения к внешней алгебре. В частности, при работе в четырех измерениях пространства-времени бивектор $ψ χ ¯ {\ displaystyle \ psi {\ bar {\ chi}}}$ ${\ displaystyle \ psi {\ bar {\ chi}}}$ может быть разложен в терминах матриц Дирака, что охватывает пространство:

$ψ χ ¯ = 1 4 (c S 1 + c V μ γ μ + c T μ ν T μ ν + c A μ γ μ γ 5 + c П γ 5) {\ displaystyle \ psi {\ bar {\ chi}} = {\ frac {1} {4}} (c_ {S} \ mathbb {1} + c_ {V} ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} + c_ {T} ^ {\ mu \ nu} T _ {\ mu \ nu} + c_ {A} ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {5} + c_ { P} \ gamma _ {5})}$ ${\ displaystyle \ psi {\ bar {\ chi}} = {\ frac {1} {4}} (c_ {S} \ mathbb {1} + c_ {V} ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} + c_ {T} ^ {\ mu \ nu} T _ {\ mu \ nu} + c_ {A} ^ {\ mu} \ gamma _ { \ mu} \ gamma _ {5} + c_ {P} \ gamma _ {5})}$ .

Коэффициенты: $c S = (χ ¯ ψ), c V μ = (χ ¯ γ μ ψ), c T μ ν = - (χ ¯ T μ ν ψ), с A μ знак равно - (χ ¯ γ μ γ 5 ψ), с P = (χ ¯ γ 5 ψ) {\ displaystyle c_ {S} = ({\ bar {\ chi}} \ psi), c_ {V} ^ {\ mu} = ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi), c_ {T} ^ {\ mu \ nu} = - ({\ bar {\ chi}} T ^ {\ mu \ nu} \ psi), c_ {A} ^ {\ mu} = - ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma _ {5} \ psi), c_ {P} = ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ psi)}$ ${\ displaystyle c_ {S} = ({\ bar {\ chi}} \ psi), c_ {V} ^ {\ mu} = ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi), c_ {T} ^ {\ mu \ nu} = - ({\ bar {\ chi}} T ^ { \ mu \ nu} \ psi), c_ {A} ^ {\ mu} = - ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma _ {5} \ psi), c_ {P} = ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ psi)}$ , и обычно определяются с использованием ортогональности базиса при операции трассировки. Помещая вышеупомянутое разложение между желаемыми гамма-структурами, тождества для сжатия двух билинейных Дирака одного и того же типа могут быть записаны с коэффициентами в соответствии со следующей таблицей.

Продукт	S	V	T	A	P
S × S =	1/4	1/4	-1/4	-1/4	1/4
V × V =	1	-1/2	0	-1/2	-1
T × T =	−3/2	0	−1/2	0	−3/2
A × A =	−1	−1/2	0	−1/2	1
P × P =	1/4	-1/4	-1/4	1/4	1/4

где $S = χ ¯ ψ, V = χ ¯ γ μ ψ, T = χ ¯ [γ μ, γ ν] ψ / 2 2, A = χ ¯ γ 5 γ μ ψ, P = χ ¯ γ 5 ψ {\ Displaystyle S = {\ bar {\ chi}} \ psi,, ~ V = {\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi, ~ T = { \ bar {\ chi}} [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu}] \ psi / 2 {\ sqrt {2}}, ~ A = {\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi, ~ P = {\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ psi}$ ${\ displaystyle S = {\ bar {\ chi}} \ psi,, ~ V = {\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi, ~ T = {\ bar {\ chi}} [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu}] \ psi / 2 {\ sqrt {2}}, ~ A = {\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi, ~ P = {\ бар {\ chi}} \ gamm а _ {5} \ psi}$ . Стол симметричен относительно отражения от центрального элемента.

Знаки в таблице соответствуют случаю коммутирующих спиноров, в противном случае, как и в случае фермионов в физике, все коэффициенты меняют знаки.

Например, в предположении коммутирующих спиноров, произведение V × V можно разложить как,

(χ ¯ γ μ ψ) (ψ ¯ γ μ χ) = (χ ¯ χ) ( ψ ¯ ψ) - 1 2 (χ ¯ γ μ χ) (ψ ¯ γ μ ψ) - 1 2 (χ ¯ γ μ γ 5 χ) (ψ ¯ γ μ γ 5 ψ) - (χ ¯ γ 5 χ) (ψ ¯ γ 5 ψ). {\ displaystyle \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ chi \ right) = \ left ({\ bar {\ chi}} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ psi \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar { \ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ psi \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma _ {5} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {5} \ psi \ right) - \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {5} \ psi \ right) ~.}

{\ displaystyle \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ chi \ right) = \ left ({\ bar {\ chi}} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ psi \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ psi \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma _ { 5} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {5} \ psi \ right) - \ left ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ chi \ right) \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {5} \ psi \ right) ~.}

Комбинации билинейных линий, соответствующих собственным векторам транспонированной матрицы, преобразуются в те же комбинации с собственными значениями ± 1. Например, снова для коммутирующих спиноров: V × V + A × A,

(χ ¯ γ μ ψ) (ψ ¯ γ μ χ) + (χ ¯ γ 5 γ μ ψ) (ψ ¯ γ 5 γ μ χ) = - ((χ ¯ γ μ χ) (ψ ¯ γ μ ψ) + (χ ¯ γ 5 γ μ χ) (ψ ¯ γ 5 γ μ ψ)). {\ displaystyle ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi) ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ chi) + ({\ bar {\ chi} } \ gamma _ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi) ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {5} \ gamma _ {\ mu} \ chi) = - (~ ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ chi) ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ psi) + ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ chi) ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {5} \ gamma _ {\ mu} \ psi) ~) ~.}

{\ displaystyle ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi) ({ \ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ chi) + ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi) ({\ bar {\ psi }} \ gamma _ {5} \ gamma _ {\ mu} \ chi) = - (~ ({\ bar {\ chi}} \ gamma ^ {\ mu} \ chi) ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {\ mu} \ psi) + ({\ bar {\ chi}} \ gamma _ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ chi) ({\ bar {\ psi}} \ gamma _ {5 } \ gamma _ {\ mu} \ psi) ~) ~.}

Упрощения возникают, когда рассматриваемые спиноры Майорановские спиноры, или киральные фермионы, поскольку тогда некоторые члены в разложении могут исчезнуть по причинам симметрии. Например, для антикоммутирующих спиноров на этот раз из изложенного выше легко следует, что

χ ¯ 1 γ μ (1 + γ 5) ψ 2 ψ ¯ 3 γ μ (1 - γ 5) χ 4 = - 2 χ ¯ 1 (1 - γ 5) χ 4 ψ ¯ 3 (1 + γ 5) ψ 2. {\ displaystyle {\ bar {\ chi}} _ {1} \ gamma ^ {\ mu} (1+ \ gamma _ {5}) \ psi _ {2} {\ bar {\ psi}} _ {3} \ gamma _ {\ mu} (1- \ gamma _ {5}) \ chi _ {4} = - 2 {\ bar {\ chi}} _ {1} (1- \ gamma _ {5}) \ chi _ {4} {\ bar {\ psi}} _ {3} (1+ \ gamma _ {5}) \ psi _ {2}.}

{\ displaystyle {\ bar {\ chi}} _ {1} \ гамма ^ {\ mu} (1+ \ gamma _ {5}) \ psi _ {2} {\ bar {\ psi}} _ {3} \ gamma _ {\ mu} (1- \ gamma _ {5}) \ chi _ {4} = - 2 {\ bar {\ chi}} _ {1} (1- \ gamma _ {5}) \ chi _ {4} {\ bar {\ psi}} _ {3} (1+ \ гамма _ {5}) \ psi _ {2}.}

Ссылки

Вывод тождеств для переписывания любого скалярного сжатия билинейных Дирака можно найти в 29.3.4 из L. Б. Окунь (1980). Лептоны и кварки. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-86924-1.
См. Также приложение B.1.2 в T. Ортин (2004). Гравитация и струны. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82475-0.
Kennedy, A.D. (1981). «Алгебры Клиффорда в 2ω измерениях». Журнал математической физики. 22 (7): 1330–7. doi : 10.1063 / 1.525069.
Пал, Палаш Б. (2007). «Независимые от репрезентации манипуляции со спинорами Дирака». arXiv :physics/0703214.