Оператор углового момента

Оператор квантовой механики, связанный с симметрией вращения

В квантовой механике, оператор углового момента является одним из нескольких связанных операторов , аналогичных классическому угловому моменту. Оператор углового момента играет центральную роль в теории атомной и молекулярной физики и других квантовых задачах, связанных с вращательной симметрией. И в классических, и в квантово-механических системах угловой момент (вместе с импульсом и энергией ) является одним из трех фундаментальных свойств движения.

Есть несколько угловых моментов. операторы импульса: полный угловой момент (обычно обозначается J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначается L ) и спин угловой момент (для краткости спин, обычно обозначается S ). Термин «оператор углового момента» может (что сбивает с толку) относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется, см. Теорема Нётер.

Содержание

• 1 Обзор
  • 1.1 Орбитальный угловой момент
  • 1.2 Спиновый угловой момент
  • 1.3 Полный угловой момент
• 2 Коммутационные отношения
  • 2.1 Коммутационные отношения между компонентами
  • 2.2 Коммутационные отношения, включающие векторную величину
  • 2.3 Принцип неопределенности
• 3 Квантование
  • 3.1 Вывод с использованием лестничных операторов
  • 3.2 Визуальная интерпретация
  • 3.3 Квантование в макроскопических системах
• 4 Угловой момент как генератор вращений
  • 4.1 SU (2), SO (3) и вращения на 360 °
  • 4.2 Связь с теорией представлений
  • 4.3 Связь с коммутационными соотношениями
• 5 Сохранение углового момента
• 6 Связь по угловому моменту
• 7 Орбитальный угловой момент в сферических координатах
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература

Обзор

" Векторные конусы »полного углового момента J (фиолетовый), орбитального L (синий) и спина S (зеленый). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерениями компонентов углового момента (см. Ниже).

В квантовой механике угловой момент может относиться к одному из трех разных, но связанных между собой вещей.

Орбитальный угловой момент

классическое определение углового момента : $L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; p\}\}$. Квантово-механические аналоги этих объектов имеют одинаковое отношение:

$L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\; p\}\}$

где r - квантовый оператор положения,, p- квантовый оператор импульса, × - перекрестное произведение и L - оператор орбитального углового момента. L (как и p и r ) - векторный оператор (вектор, компонентами которого являются операторы), т.е. $L\; =\; (L\; x,\; L\; y,\; L\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; left\; (L\_\; \{x\},\; L\_\; \{y\},\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\}$где L x, L y, L z - три разных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и без спина, оператор орбитального углового момента может быть записан в базисе позиций как:

$L\; =\; -\; я\; \hslash \; (r\; \times \; \nabla )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; -i\; \backslash \; hbar\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; times\; \backslash \; nabla)\}$

где ∇ - векторный дифференциальный оператор, del.

Спиновый угловой момент

Существует другой тип углового момента, называемый спиновый угловой момент (чаще сокращается до вращения), представленный оператором спина S . Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это всего лишь метафора: спин - это внутреннее свойство частицы, не связанное ни с каким движением в пространстве. Все элементарные частицы имеют характерный спин, обычно отличный от нуля. Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (подробности ниже).

Полный угловой момент

Наконец, существует полный угловой момент J, который объединяет спин и орбитальный угловой момент частицы или системы:

$J\; =\; L\; +\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{S\}.\}$

Сохранение углового момента утверждает, что J для замкнутой системы, или J для всей вселенной сохраняется. Однако L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться назад и вперед между L и S, при этом остается общее J постоянный.

Коммутационные отношения

Коммутационные отношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, то есть его можно записать в терминах его векторных компонентов $L\; =\; (L\; Икс,\; L\; Y,\; L\; Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; left\; (L\_\; \{x\},\; L\_\; \{y\},\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\}$. Компоненты имеют следующие коммутационные отношения друг с другом:

$[L\; x,\; L\; y]\; =\; i\; \hslash \; L\; z,\; [L\; y,\; L\; z]\; =\; i\; \hslash \; L\; x,\; [L\; z,\; L\; x]\; =\; я\; \hslash \; L\; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [L\_\; \{x\},\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; right]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{z\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; left\; [L\_\; \{y\},\; L\_\; \{\; z\}\; \backslash \; right]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{x\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; left\; [L\_\; \{z\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{y\},\}$

где [,] обозначает коммутатор

$[X,\; Y]\; \equiv \; XY\; -\; YX.\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; \backslash \; Equiv\; XY-YX.\}$

Обычно это можно записать как

$[L\; l,\; L\; m]\; =\; i\; \hslash \; \sum \; n\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; lmn\; L\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [L\_\; \{l\},\; L\_\; \{m\}\; \backslash \; right]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{lmn\}\; L\_\; \{n\}\}$,

где l, m, n - индексы компонентов (1 для x, 2 для y, 3 для z), а ε lmn обозначает символ Леви-Чивиты.

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения:

$L\; \times \; L\; =\; я\; \hslash \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\}$

Коммутационные соотношения могут быть доказаны как прямое следствие канонические коммутационные отношения $[xl,\; pm]\; =\; i\; \hslash \; \delta \; lm\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\_\; \{l\},\; p\_\; \{m\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; delta\; \_\; \{lm\}\}$, где δ лм - дельта Кронекера.

В классической физике существует аналогичное соотношение:

$\{L\; i,\; L\; j\}\; =\; \epsilon \; ijk\; L\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{L\_\; \{i\},\; L\_\; \{j\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\; L\_\; \{k\}\}$

где L n - компонент классического оператора углового момента, и $\{,\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{,\; \backslash \}\}$- это скобка Пуассона.

Те же коммутационные соотношения применимы для других операторов углового момента (вращения и полного углового момента):

$[S\; l\; S\; м]\; знак\; равно\; я\; \hslash \; \sum \; N\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; lmn\; S\; N,\; [J\; l,\; J\; м]\; =\; я\; \hslash \; \sum \; N\; =\; 1\; 3\; \epsilon \; lmn\; J\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [S\_\; \{l\},\; S\_\; \{m\; \}\; \backslash \; right]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{lmn\}\; S\_\; \{n\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; [J\_\; \{l\},\; J\_\; \{m\}\; \backslash \; right]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{lmn\}\; J\_\; \{n\}\}$.

Можно предположить, что они выполняются по аналогии с L . В качестве альтернативы их можно получить, как описано ниже.

. Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли, а ε lmn - это его структурные константы . В этом случае алгебра Ли SU (2) или SO (3) в физической нотации ($su\; \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{su\}\; (\; 2)\}$или $so\; \; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{so\}\; (3)\}$соответственно в математической нотации), т.е. алгебра Ли, связанная с вращениями в трех Габаритные размеры. То же самое верно для J и S . Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения относятся к измерениям и погрешности, как обсуждается ниже.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (орбитального) углового момента N, спинового углового момента электрона S, и ядерный спиновый угловой момент I . Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, а не N . Как объяснил Ван Флек, компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к осям, закрепленным за молекулами, имеют разные коммутационные соотношения, чем те, которые приведены выше, которые относятся к компонентам вокруг осей, закрепленных в пространстве.

Коммутационные соотношения, включающие величину вектора

Как и любой вектор, величина может быть определена для оператора орбитального углового момента,

$L\; 2\; \equiv \; L\; x\; 2\; +\; L\; y\; 2\; +\; L\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equ\; L\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; L\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; +\; L\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$.

Lдругой квант оператор. Он коммутирует с компонентами L,

$[L\; 2,\; L\; x]\; =\; [L\; 2,\; L\; y]\; =\; [L\; 2,\; L\; z]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right]\; =\; 0\; ~.\; \backslash ,\}$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, - это начать с коммутационных соотношений [L ℓ, L m ] в предыдущем раздел:

Щелкните [показать] справа, чтобы увидеть доказательство [L, L x ] = 0, начиная с [L ℓ, L m ] коммутационные соотношения

$[L\; 2,\; L\; x]\; =\; [L\; x\; 2,\; L\; x]\; +\; [L\; y\; 2,\; L\; x]\; +\; [L\; z\; 2,\; L\; x]\; =\; L\; y\; [L\; y,\; L\; x]\; +\; [L\; y,\; L\; x]\; L\; y\; +\; L\; z\; [L\; z,\; L\; x]\; +\; [L\; z,\; L\; x]\; L\; z\; =\; L\; y\; (-\; i\; \hslash \; L\; z)\; +\; (-\; i\; \hslash \; L\; z)\; L\; Y\; +\; L\; Z\; (я\; \hslash \; L\; Y)\; +\; (я\; \hslash \; L\; Y)\; L\; Z\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [L\_\; \{x\}\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [L\_\; \{y\}\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [L\_\; \{z\}\; ^\; \{2\; \},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; left\; [L\_\; \{y\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [L\_\; \{y\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; L\_\; \{\; y\}\; +\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; left\; [L\_\; \{z\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [L\_\; \{z\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; L\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; =\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (-i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (-i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\; L\_\; \{y\}\; +\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; left\; (i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (i\; \backslash \; hbar\; L\_\; \{y\; \}\; \backslash \; right)\; L\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Математически L является инвариантом Казимира алгебры Ли SO (3) покрыто L.

Как и выше, в классической физике существует аналогичное соотношение:

$\{L\; 2,\; L\; x\}\; =\; \{L\; 2,\; L\; y\}\; =\; \{L\; 2,\; L\; z\}\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{L\; ^\; \{2\},\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; 0\}$

, где L i - компонент классического оператора углового момента, а $\{,\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{,\; \backslash \}\}$- это скобка Пуассона.

Возвращаясь к квантовому случаю, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спину и полному угловому моменту), а также,

$[S\; 2,\; S\; i]\; =\; 0,\; [J\; 2,\; J\; i]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lbrack\; S\; ^\; \{2\},\; S\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrack\; =\; 0,\; \backslash \backslash \backslash \; left\; \backslash \; lbrack\; J\; ^\; \{2\},\; J\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrack\; =\; 0.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Принцип неопределенности

В общем, в квантовой механике, когда два наблюдаемых оператора не коммутируют, они называются дополнительными наблюдаемыми. Две дополнительные наблюдаемые нельзя измерить одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределенности. Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть известна другая. Так же, как существует принцип неопределенности, связывающий положение и импульс, существуют принципы неопределенности для углового момента.

Соотношение Робертсона – Шредингера дает следующий принцип неопределенности:

$\sigma \; L\; x\; \sigma \; L\; y\; \ge \; 2\; |\; ⟨L\; z⟩\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{L\_\; \{x\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{L\_\; \{y\}\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; langle\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |.\}$

где $\sigma \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{X\}\}$- стандартное отклонение в измеренных значениях X и $⟨X⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; X\; \backslash \; rangle\}$обозначает математическое ожидание X. Это неравенство также верно, если x, y, z переупорядочены или если L заменяется на J или S.

Следовательно, две ортогональные составляющие углового момента (например, L x и L y) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как как $L\; x\; =\; L\; y\; =\; L\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\; =\; L\_\; \{y\}\; =\; L\_\; \{z\}\; =\; 0\}$.

Однако возможно одновременно измерить или указать L и любой компонент L; например, L и L z. Это часто бывает полезно, и значения характеризуются азимутальным квантовым числом (l) и магнитным квантовым числом (m). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L и L z, но не L x или L y. Собственные значения связаны с l и m, как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется, то есть он не может изменяться непрерывно, а только "квантовыми скачками" между определенными допустимыми значениями. Для любой системы применяются следующие ограничения на результаты измерений, где $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- уменьшенная постоянная Планка :

Если вы измеряете...	... результат может быть...	Примечания
$L\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\}$	$(\hslash \; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; hbar\; m)\}$, где $m\; \in \; \{\dots ,\; -\; 2,\; -\; 1,\; 0,\; 1,\; 2,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; \{\backslash \; ldots,\; -2,\; -1,\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$	м иногда называют магнитным квантовым числом. Это же правило квантования выполняется для любого компонента L ; например, L x или L y. Это правило иногда называют пространственным квантованием .
$S\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\}$или $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$	$(\hslash \; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; hbar\; m)\}$, где $m\; \in \; \{\dots ,\; -\; 1,\; -\; 0,5,\; 0,\; 0,5,\; 1,\; 1.5,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; \{\backslash \; ldots,\; -1,\; -0.5,0,0.5,1,1.5,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$	Для S z, m иногда называется квантовым числом проекции спина. Для J z m иногда называют квантовым числом проекции полного углового момента. . Это же правило квантования выполняется для любого компонента S или J ; например, S x или J y.
$L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$	$(\hslash \; 2\; \ell \; (\ell \; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; ell\; (\backslash \; ell\; +1)\; \backslash \; right)\}$, где $\ell \; \in \; \{0,\; 1,\; 2,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$	L определяется как $L\; 2\; \equiv \; L\; x\; 2\; +\; L\; y\; 2\; +\; L\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; L\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; L\_\; \{\; y\}\; ^\; \{2\}\; +\; L\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$. $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$иногда называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом.
$S\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\}$	$(\hslash \; 2\; s\; (s\; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; s\; (s\; +\; 1)\; \backslash \; right)\}$, где $s\; \in \; \{0,\; 0.5,\; 1,\; 1.5,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,0.5,1,1.5,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$	s называется спиновое квантовое число или просто спин. Например, частица со спином 1/2 - это частица, где s = 1/2.
$J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$	$(\hslash \; 2\; j\; (j\; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; j\; (j\; +\; 1)\; \backslash \; right)\}$, где $j\; \in \; \{0,\; 0.5,\; 1,\; 1.5,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,0.5,1,1.5,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$	j иногда называется квантовым числом полного углового момента.
$L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$и $L\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\}$. одновременно	$(\hslash \; 2\; \ell \; (\ell \; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ell\; (\backslash \; ell\; +1)\; \backslash \; right)\}$для $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$и $(\hslash \; m\; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; m\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; right)\}$для $L\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\}$ где $\ell \; \in \; \{0,\; 1,\; 2,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\; \}$и $m\; \ell \; \in \; \{-\; \ell ,\; (-\; \ell \; +\; 1),\dots ,\; (\ell \; -\; 1),\; \ell \}\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{-\; \backslash \; ell,\; (-\; \backslash \; ell\; +1),\; \backslash \; ldots,\; (\backslash \; ell\; -1),\; \backslash \; ell\; \backslash \}\}$	(терминологию см. выше)
$S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\}$и $S\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\}$ одновременно	$(\hslash \; 2\; s\; (s\; +\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; s\; (s\; +1)\; \backslash \; right)\}$для $S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\}$и $(\hslash \; мс)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; right)\}$для $S\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\}$ где $s\; \in \; \{0,\; 0.5,\; 1,\; 1.5,\dots \}\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,0.5,1,1.5,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$и $ms\; \in \; \{-\; s,\; (-\; s\; +\; 1),\dots ,\; (s\; -\; 1),\; s\}\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{s\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{-\; s,\; (-\; s\; +\; 1),\; \backslash \; ldots,\; (s-1),\; s\; \backslash \}\}$	(терминологию см. выше)
$J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$и $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$ одновременно	$(\hslash \; 2\; j\; (j\; +\; 1))\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; j\; (j\; +\; 1)\; \backslash \; right)\}$для $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$и $(\hslash \; mj)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; hbar\; m\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\}$для $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$ где $j\; \in \; \{0,\; 0.5,\; 1,\; 1.5,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,0.5,1,1.5,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$и $mj\; \in \; \{-\; j,\; (-\; j\; +\; 1),\dots ,\; (j\; -\; 1),\; j\}\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{j\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{-\; j,\; (-\; j\; +\; 1),\; \backslash \; ldots,\; (j-1),\; j\; \backslash \}\}$	(См. Терминологию выше.)

В этой стоячей волне на круговой струне круг разбит ровно на 8 длин волн. Такая стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн вроде 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов

Распространенным способом получения приведенных выше правил квантования является метод лестничных операторов. Определены операторы лестничной диаграммы:

$J\; +\; \equiv \; J\; x\; +\; i\; J\; y,\; J\; -\; \equiv \; J\; x\; -\; i\; J\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; J\; \_\; \{+\}\; \backslash \; Equiv\; J\_\; \{x\}\; +\; iJ\_\; \{y\},\; \backslash \backslash \; J\; \_\; \{-\}\; \backslash \; Equiv\; J\_\; \{x\}\; -iJ\_\; \{y\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Предположим, что состояние $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$- состояние на одновременной собственной основе $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$и $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$(т. е. состояние с одним определенным значением $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$и одним, определенное значение $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$). Тогда, используя коммутационные соотношения, можно доказать, что $J\; +\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{+\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$и $J\; -\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{-\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$также находятся в одновременном собственном базисе с тем же значением $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$, но где $J\; z\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$увеличивается или уменьшается на $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$соответственно. (Также возможно, что один или оба этих вектора результатов являются нулевыми векторами.) (Для доказательства см. оператор лестницы # Угловой момент.)

Путем манипулирования этими операторами лестницы и Используя правила коммутации, можно доказать почти все приведенные выше правила квантования.

Щелкните [показать] справа, чтобы увидеть более подробную информацию в доказательстве правил квантования с помощью лестничного оператора.

Перед тем, как начать основное доказательство, мы отметим полезный факт: $J\; x\; 2,\; J\; y\; 2,\; J\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{x\}\; ^\; \{2\},\; J\_\; \{y\}\; ^\; \{2\},\; J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$являются положительно-полуопределенными операторами, что означает, что все их собственные значения неотрицательны. Это также означает, что то же самое верно и для их сумм, включая $J\; 2\; =\; J\; x\; 2\; +\; J\; y\; 2\; +\; J\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\; =\; J\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; J\_\; \{\; y\}\; ^\; \{2\}\; +\; J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$и $(J\; 2\; -\; J\; z\; 2)\; =\; (J\; x\; 2\; +\; J\; y\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\; J\; ^\; \{2\}\; -J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (J\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; J\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$. Причина в том, что квадрат любого эрмитова оператора всегда положительно полуопределен. (Эрмитов оператор имеет действительные собственные значения, поэтому квадраты этих собственных значений неотрицательны.) Как и выше, предположим, что состояние $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$- состояние в одновременном собственном основании $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$и $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$. Его собственное значение относительно $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$можно записать в виде $\hslash \; 2\; j\; (j\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\; \}\; j\; (j\; +\; 1)\}$для некоторого действительного числа j>0 (потому что, как упоминалось в предыдущем абзаце, $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$имеет неотрицательные собственные значения), а его собственное значение относительно $J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\}$может быть записано $\hslash \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; m\}$для некоторого действительного числа m. Вместо $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$мы будем использовать более наглядное обозначение $|\; \psi ⟩\; =\; |\; j,\; m⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle\}$. Затем рассмотрим последовательность («лестницу») состояний $\{\dots ,\; J\; -\; J\; -\; |\; j,\; m⟩,\; J\; -\; |\; j,\; m⟩,\; |\; j,\; m⟩,\; J\; +\; |\; j,\; m⟩,\; J\; +\; J\; +\; |\; j,\; m⟩,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; ldots\; \backslash ;,\; \backslash ;\; J\; \_\; \{-\}\; J\; \_\; \{-\}\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle,\; \backslash ;\; J\; \_\; \{-\}\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle,\; \backslash ;\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle,\; \backslash ;\; J\; \_\; \{+\}\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle,\; \backslash ;\; J\; \_\; \{+\}\; J\; \_\; \{+\}\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle,\; \backslash ;\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$ Некоторые записи в этом бесконечная последовательность может быть нулевым вектором (как мы увидим). Однако, как описано выше, все ненулевые записи имеют одинаковое значение $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$, а среди ненулевых записей каждая запись имеет значение <160.>J z {\ displaystyle J_ {z}}, что ровно на $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$больше, чем предыдущая запись. В этой лестничной диаграмме может быть только конечное число ненулевых элементов с бесконечными копиями нулевого вектора слева и справа. Причина в том, что, как упоминалось выше, $(J\; 2\; -\; J\; z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (J\; ^\; \{2\}\; -J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\})\}$положительно-полуопределенное, поэтому, если какое-либо квантовое состояние является собственным вектором как $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$, так и $J\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$, прежнее собственное значение больше. Все состояния в лестнице имеют одно и то же собственное значение $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\}$, но идущие очень далеко влево или вправо, $J\; z\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$собственное значение становится все больше и больше. Единственное возможное решение, как уже упоминалось, состоит в том, что в лестнице имеется только конечное число ненулевых элементов. Теперь рассмотрим последнюю ненулевую запись справа от лестницы, $|\; j,\; m\; m\; a\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; j,\; m\_\; \{max\}\; \backslash \; rangle\}$. Это состояние имеет свойство $J\; +\; |\; j,\; m\; m\; a\; x⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{+\}\; |\; j,\; m\_\; \{max\}\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$. Как показано в статье оператор лестничной диаграммы, $J\; +\; |\; j,\; m⟩\; =\; \hslash \; j\; (j\; +\; 1)\; -\; m\; (m\; +\; 1)\; |\; j,\; m\; +\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{+\}\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{j\; (j\; +\; 1)\; -m\; (m\; +\; 1)\}\}\; |\; j,\; m\; +\; 1\; \backslash \; rangle\}$ Если это ноль, то $j\; (j\; +\; 1)\; =\; m\; max\; (m\; max\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; (j\; +\; 1)\; =\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; \backslash \; left\; (m\_\; \{\; \backslash \; text\; \{max\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}$, поэтому $j\; =\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; m\}$или $j\; =\; -\; m\; -\; 1\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; j\; =\; -m-1\}$. Однако, поскольку $J\; 2\; -\; J\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\; -J\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}$является положительно-полуопределенным, $\hslash \; 2\; j\; (j\; +\; 1)\; \ge \; (\hslash \; m)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; j\; (j\; +\; 1)\; \backslash \; geq\; (\backslash \; hbar\; m)\; ^\; \{2\}\}$, что означает, что единственная возможность: $m\; max\; =\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; =\; j\}$. Точно так же рассмотрим первую ненулевую запись слева от лестницы, $|\; j,\; m\; min⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; j,\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; \backslash \; rangle\}$. Это состояние имеет свойство $J\; -\; |\; j,\; m\; min⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{-\}\; \backslash \; left\; |\; j,\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$. Как показано в статье оператор лестничной диаграммы, $J\; -\; |\; j,\; m⟩\; =\; \hslash \; j\; (j\; +\; 1)\; -\; m\; (m\; -\; 1)\; |\; j,\; m\; -\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{-\}\; |\; j,\; m\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{j\; (j\; +\; 1)\; -m\; (m-1)\}\}\; |\; j,\; m-1\; \backslash \; rangle\}$ Как и выше, единственная возможность состоит в том, что $m\; min\; =\; -\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; =\; -\; j\}$ Поскольку m изменяется на 1 на каждой ступени лестницы, $(j\; -\; (-\; j))\; \{\backslash \; displaystyle\; (j\; -\; (-\; j))\}$- целое число, поэтому j - целое или полуцелое число (0, 0,5, 1 или 1,5...).

Поскольку S и L имеют те же отношения коммутации, что и J, для них работает тот же лестничный анализ.

Анализ лестничных операторов не объясняет один аспект приведенных выше правил квантования: тот факт, что L (в отличие от J и S ) не может иметь полуцелые квантовые числа. Этот факт можно доказать (по крайней мере, в частном случае одной частицы), записав все возможные собственные функции L и L z (это сферические гармоники ) и увидев явно, что ни у одного из них нет полуцелых квантовых чисел. Альтернативный вывод ниже.

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Поскольку угловые моменты являются квантовыми операторами, их нельзя нарисовать как векторы, как в классической механике. Тем не менее, их обычно изображают таким образом эвристически. Справа изображен набор состояний с квантовыми числами $\ell \; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; =\; 2\}$и $m\; \ell \; =\; -\; 2,\; -\; 1,\; 0,\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; =\; -\; 2,\; -1,0,1,2\}$для пяти конусов снизу вверх. С $|\; L\; |\; =\; L\; 2\; =\; \hslash \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; L\; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}$, все векторы показаны с длиной $\hslash \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}$. Кольца представляют собой тот факт, что $L\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\}$известен с уверенностью, но $L\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\}$и $L\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{y\}\}$неизвестны; поэтому каждый классический вектор соответствующей длины и z-компоненты рисуется, образуя конус. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$и $m\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}$может быть где-то на этом конусе, хотя его нельзя определить для одной системы (поскольку компоненты $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$не коммутируют друг с другом).

Квантование в макроскопических системах

Считается, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако они не имеют наблюдаемого эффекта, поэтому это не было проверено. Например, если $L\; z\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\; /\; \backslash \; hbar\}$приблизительно равно 100000000, практически не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелое число, например 100000000.2 - дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента - это как генератор вращений. Более конкретно, пусть $R\; (n\; ^,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi)\}$будет оператором вращения, который вращает любое квантовое состояние вокруг оси $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$на угол $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$. Поскольку $\varphi \; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$, оператор $R\; (n\; ^,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi)\}$приближается к оператору идентичности, потому что поворот на 0 ° отображает все состояния на себя. Тогда оператор углового момента $J\; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$вокруг оси $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$определяется как:

$J\; n\; ^\; \equiv \; i\; \hslash \; lim\; \varphi \; \to \; 0\; R\; (n\; ^,\; \varphi )\; -\; 1\; \varphi \; =\; i\; \hslash \; \partial \; R\; (n\; ^,\; \varphi )\; \partial \; \varphi \; |\; \varphi \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; шляпа\; \{п\}\}\; \backslash \; экв\; я\; \backslash \; hbar\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; phi\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; -1\}\; \{\backslash \; phi\}\}\; =\; \backslash \; left.i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; phi\; =\; 0\}\}$

, где 1 - оператор идентичности. Также заметьте, что R - аддитивный морфизм: $R\; (n\; ^,\; \varphi \; 1\; +\; \varphi \; 2)\; =\; R\; (n\; ^,\; \varphi \; 1)\; R\; (n\; ^,\; \varphi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$; как следствие

$R\; (n\; ^,\; \varphi )\; =\; ехр\; \; (-\; я\; \varphi \; J\; n\; ^\; \hslash )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; phi\; J\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right)\}$

где exp - матричная экспонента.

Проще говоря, оператор полного углового момента характеризует, как изменяется квантовая система при ее вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов поворота. В верхнем блоке показаны две частицы со спиновыми состояниями, схематически обозначенными стрелками.

1. Оператор R, связанный с J, вращает всю систему.
2. Оператор R пространственный, связанный с L, вращает положения частиц без изменения их внутренних спиновых состояний.
3. Оператор R internal, связанный с S, вращает внутренние спиновые состояния частиц без изменения их положения.

Так же, как J является генератором для операторов вращения,, Lи S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

$R\; пространственный\; (n\; ^,\; \varphi )\; =\; exp\; \; (-\; i\; \varphi \; L\; n\; ^\; \hslash ),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{пространственный\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; phi\; L\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right),\}$

вращает положение (в пространстве) всех частиц и полей, не меняя внутреннего (спинового) состояния любой частицы. Аналогично, оператор

$R\; internal\; (n\; ^,\; \varphi )\; =\; exp\; \; (-\; i\; \varphi \; S\; n\; ^\; \hslash ),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{internal\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; phi\; S\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right),\}$

вращает внутреннее (вращательное) состояние всех частицы, без перемещения каких-либо частиц или полей в пространстве. Отношение J= L+ Sпроисходит от:

$R\; (n\; ^,\; \varphi )\; =\; R\; внутренний\; (n\; ^,\; \varphi )\; R\; пространственный\; (n\; ^,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{internal\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{пространственный\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\}$

ie если позиции поворачиваются, а затем вращаются внутренние состояния, тогда вращается вся система в целом.

SU (2), SO (3) и вращения на 360 °

Хотя можно было ожидать, что $R\; (n\; ^,\; 360\; \circ )\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; 360\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\}$(поворот на 360 ° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым числом (1/2, 3/2 и т. д.), $R\; (n\; ^,\; 360\; \circ )\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; 360\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; 1\}$, а когда это целое число, $R\; (n\; ^,\; 360\; \circ )\; =\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; 360\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; +\; 1\}$. Математически структура вращения во Вселенной отличается от SO (3), группа трехмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU (2), который идентичен SO (3) для небольших поворотов, но где вращение на 360 ° математически отличается от вращения на 0 °. (Однако поворот на 720 ° аналогичен повороту на 0 °.)

С другой стороны, $R\; пространственный\; (n\; ^,\; 360\; \circ )\; =\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{\backslash \; text\; \{пространственный\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; 360\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; +\; 1\}$при любых обстоятельствах, потому что вращение пространственной конфигурации на 360 ° это то же самое, что и без вращения. (Это отличается от вращения внутреннего (спинового) состояния частицы на 360 °, которое может быть или не совпадать с отсутствием вращения вообще.) Другими словами, $R\; пространственный\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{\; Операторы\; \backslash \; text\; \{пространственный\}\}\}$несут структуру SO (3), а $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $R\; internal\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{internal\}\}\}$несут структуру SU (2).

Из уравнения $+\; 1\; =\; R\; пространственный\; (z\; ^,\; 360\; \circ )\; знак\; равно\; ехр\; \; (-\; 2\; \pi \; я\; L\; Z\; /\; \hslash )\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; 1\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{пространственный\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{z\}\},\; 360\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-2\; \backslash \; pi\; iL\_\; \{z\}\; /\; \backslash \; hbar\; \backslash \; right)\}$, выбирается собственное состояние $L\; z\; |\; \psi ⟩\; =\; m\; \hslash \; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{z\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; m\; \backslash \; hbar\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$и рисует

$e\; -\; 2\; \pi \; im\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; im\}\; =\; 1\}$

что означает, что квантовые числа орбитального углового момента могут быть только целыми, а не полуцелыми числами.

Связь с теорией представлений

Начиная с определенного квантового состояния $|\; \psi \; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; rangle\}$, рассмотрим набор состояний $R\; (n\; ^,\; \varphi )\; |\; \psi \; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$для всех возможных $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, то есть набор состояний, возникающих в результате поворота начального состояния в всячески. Это векторное пространство , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они формируют представление группы Ли SU (2) (для R и R внутреннее) или SO (3) (для R пространственный).

Из связи между J и операторами вращения,

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, он образует представление алгебры Ли $su\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (2)\}$или $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$.

(Алгебры Ли SU (2) и SO (3) идентичны.)

Вышеупомянутый вывод оператора лестницы - это метод классификации представлений алгебры Ли SU (2).

Связь с коммутационными соотношениями

Классические вращения не коммутируют друг с другом: например, вращение 1 ° вокруг оси x, затем на 1 ° вокруг оси y дает немного другое общее вращение, чем поворот на 1 ° вокруг оси y, затем на 1 ° вокруг оси x. Внимательно проанализировав этот некоммутативный Таким образом, можно вывести коммутационные соотношения операторов углового момента.

(Эта же вычислительная процедура - один из способов ответить на математический вопрос «Что такое алгебра Ли в Группы Ли SO (3) или SU (2) ? ")

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет энергию и динамику системы. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений:

$R\; H\; R\; -\; 1\; =\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; RHR\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; H\}$

, где R - оператор вращения. Как следствие, $[H,\; R]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; R]\; =\; 0\}$, а затем $[H,\; J]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; \backslash \; mathbf\; \{J\}]\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\}$из-за связи между J и R. По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H является вращательно-инвариантным (сферически симметричным), то полный угловой момент J сохраняется. Это пример теоремы Нётер.

. Если H - это просто гамильтониан для одной частицы, то полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (т. Е. когда функция потенциальной энергии зависит только от $|\; r\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; right\; |\}$). С другой стороны, H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда инвариантен относительно вращения, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы, независимо от ориентации. Это основание для утверждения, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина, J= L, поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S или обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Связь углового момента

Часто два или более вида углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, в спин-орбитальной связи угловой момент может передаваться между L и S, но сохраняется только общее J= L+ S. В другом примере, в атоме с двумя электронами, каждый имеет свой собственный угловой момент J1и J2, но сохраняется только общее J= J1+ J2.

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь между, с одной стороны, состояниями, где $(J\; 1)\; z,\; (J\; 1)\; 2,\; (J\; 2)\; z,\; (J\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (J\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{z\},\; \backslash \; left\; (J\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\; \backslash \; left\; (J\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{z\},\; \backslash \; left\; (J\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$все имеют определенные значения, и, с другой стороны, состояния, где $(J\; 1)\; 2,\; (J\; 2)\; 2,\; J\; 2,\; J\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (J\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\; \backslash \; left\; (J\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\; J\; ^\; \{2\},\; J\_\; \{z\}\}$все имеют определенные значения, так как последние четыре обычно сохраняются (постоянные движения). Процедура перехода между этими основаниями заключается в использовании коэффициентов Клебша – Гордана.

. Одним из важных результатов в этой области является то, что соотношение между квантовыми числами для $(J\; 1)\; 2,\; (J\; 2)\; 2,\; J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (J\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\; \backslash \; left\; (J\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\; J\; ^\; \{2\}\}$:

$j\; \in \; \{|\; j\; 1\; -\; j\; 2\; |,\; (|\; j\; 1\; -\; j\; 2\; |\; +\; 1),\dots ,\; (j\; 1\; +\; j\; 2)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; |\; j\_\; \{1\}\; -j\_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |,\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; j\_\; \{1\}\; -j\_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; +1\; \backslash \; right),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; left\; (j\_\; \{1\}\; +\; j\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Для атом или молекула с J= L+ S, символ члена дает квантовые числа, связанные с операторами $L\; 2,\; S\; 2,\; J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\},\; S\; ^\; \{2\; \},\; J\; ^\; \{2\}\}$.

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах. Угловой момент в пространственном представлении равен

$L = i ℏ (θ ^ sin ⁡ (θ) ∂ ∂ ϕ - ϕ ^ ∂ ∂ θ) = i (x ^ (sin ⁡ (ϕ) ∂ ∂ θ + cot ⁡ (θ) cos ⁡ (ϕ) ∂ ∂ ϕ) + y ^ (- cos ⁡ (ϕ) ∂ ∂ θ + cot ⁡ (θ) sin ⁡ (ϕ) ∂ ∂ ϕ) - z ^ ∂ ∂ ϕ) L + = ℏ ei ϕ (∂ ∂ θ + i cot ⁡ (θ) ∂ ∂ ϕ), L - = ℏ e - i ϕ (- ∂ ∂ θ + i cot ⁡ (θ) ∂ ∂ ϕ), L 2 = - ℏ 2 (1 sin ⁡ (θ) ∂ ∂ θ (sin ⁡ (θ) ∂ ∂ θ) + 1 sin 2 ⁡ (θ) ∂ 2 ∂ ϕ 2), L z = - i ℏ ∂ ∂ ϕ. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} = i \ hbar \ left ({\ frac {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ sin (\ theta)}} {\ frac { \ partial} {\ partial \ phi}} - {\ hat {\ boldsymbol {\ phi}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) \\ = i \ hbar \ left ( {\ hat {\ mathbf {x}}} \ left (\ sin (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + \ cot (\ theta) \ cos (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right) + {\ hat {\ mathbf {y}}} \ left (- \ cos (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + \ cot (\ theta) \ sin (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {z}}} {\ frac {\ partial} { \ partial \ phi}} \ right) \\ L _ {+} = \ hbar e ^ {i \ phi} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + i \ cot (\ theta) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right), \\ L _ {-} = \ hbar e ^ {- i \ phi} \ left (- {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + i \ cot (\ theta) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right), \\ L ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left ( {\ frac {1} {\ sin (\ theta)}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin (\ theta) {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} (\ theta)}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right), \\ L_ {z} = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}}. \ end {align}}}$

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть выражена угловой момент. Это приводит к соотношению

$\Delta \; =\; 1\; r\; 2\; \partial \; \partial \; r\; (r\; 2\; \partial \; \partial \; r)\; -\; L\; 2\; \hslash \; 2\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

При решении для нахождения собственных состояний оператора $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\}$, мы получаем следующее

$L\; 2\; |\; l,\; m⟩\; =\; \hslash \; 2\; l\; (l\; +\; 1)\; |\; l,\; m⟩\; L\; z\; |\; l,\; m⟩\; =\; \hslash \; m\; |\; l,\; м⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\; ^\; \{2\}\; |\; l,\; m\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; l\; (l\; +\; 1)\; |\; l,\; m\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; L\_\; \{z\}\; |\; l,\; m\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; hbar\; m\; |\; l,\; m\; \backslash \; rangle\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где

$⟨\theta ,\; \varphi \; |\; l,\; м⟩\; знак\; равно\; Y\; l,\; м\; (\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi\; |\; l,\; m\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; Y\_\; \{l,\; m\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$

- сферические гармоники.

См. Также

• вектор Рунге – Ленца (используется для описания формы и ориентации тел на орбите)
• преобразование Холстейна – Примакова
• карта Иордании (Бозонная модель углового момента Швингера )
• Векторная модель атома
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Сферический базис
• Тензорный оператор
• Орбитальная намагниченность
• Орбитальный угловой момент свободных электронов
• Орбитальный угловой момент света

Литература

1. ^Введение в квантовую механику, Ричард Л. Либофф, 2-е издание, ISBN 0-201-54715-5
2. ^Арулдхас, Г. (2004-02-01). "формула (8.8)". Квантовая механика. п. 171. ISBN 978-81-203-1962-2.
3. ^Шанкар Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. п. 319. ISBN 9780306447907.
4. ^H. Гольдштейн, К. П. Пул и Дж. Сафко, Классическая механика, 3-е издание, Addison-Wesley 2002, стр. 388 и далее.
5. ^ Литтлджон, Роберт (2011). «Конспект лекций по вращению в квантовой механике» (PDF). Physics 221B Spring 2011. Проверено 13 января 2012 г.
6. ^J. Х. Ван Флек (1951). «Связь векторов углового момента в молекулах». Ред. Мод. Phys. 23 : 213. doi : 10.1103 / RevModPhys.23.213.
7. ^Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику. Прентис Холл. п. 146.
8. ^Goldstein et al, p. 410
9. ^Введение в квантовую механику: с приложениями к химии, Линус Полинг, Эдгар Брайт Уилсон, стр. 45, ссылка на книги Google
10. ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику. Прентис Холл. стр. 147 –149.
11. ^Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику. Прентис Холл. С. 148 –153.
12. ^Бес, Дэниел Р. (2007). Квантовая механика. Продвинутые тексты по физике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 70. DOI : 10.1007 / 978-3-540-46216-3. ISBN 978-3-540-46215-6.
13. ^Сравните и сопоставьте с противоположным классическим L.
14. ^Sakurai, JJ Napolitano, J (2010), Modern Quantum Mechanics ( 2-е издание) (Пирсон) ISBN 978-0805382914
15. ^Швингер, Джулиан (1952). Об угловом моменте (PDF). Комиссия по атомной энергии США.

Дополнительная литература

• Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9
• Квантовая механика, Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
• Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
• Physics of Atoms and Molecules, BH Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
• Angular Momentum. Понимание пространственных аспектов в химии и физике, Р. Н. Заре, Wiley-Interscience, 1991, ISBN 978-0-47-1858928