Уравнение Дирака в алгебре физического пространства

редактировать

Уравнение Дирака, как релятивистское уравнение, описывающее частицы со спином 1/2 в квантовой механике, может быть записано в терминах Алгебры физического пространства (APS), которая является случаем алгебры Клиффорда или геометрической алгебры, основанной на использование паравекторов.

Уравнение Дирака в APS, включая электромагнитное взаимодействие, читается как

i ∂ ¯ Ψ e 3 + e A ¯ Ψ = m Ψ ¯ † {\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} + e {\ bar {A}} \ Psi = m {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger}}

i \ bar {\ partial} \ Psi \ mathbf {e} _3 + e \ bar {A} \ Psi = m \ bar {\ Psi} ^ \ dagger

Другая форма уравнения Дирака в терминах алгебры пространства-времени был дан ранее Дэвидом Хестенесом.

В общем, уравнение Дирака в формализме геометрической алгебры имеет то преимущество, что обеспечивает прямую геометрическую интерпретацию.

Содержание

1 Связь со стандартной формой
2 Электромагнитный датчик
3 Ток
4 Уравнение Дирака второго порядка
5 Растворы для свободных частиц
- 5.1 Решения с положительной энергией
- 5.2 Решения с отрицательной энергией
6 Лагранжиан Дирака
7 См. Также
8 Ссылки
- 8.1 Учебники
- 8.2 Статьи

Связь со стандартной формой

Спинор можно записать с нулевым базисом как

Ψ = ψ 11 P 3 - ψ 12 P 3 e 1 + ψ 21 e 1 P 3 + ψ 22 P ¯ 3, {\ displaystyle \ Psi = \ psi _ { 11} P_ {3} - \ psi _ {12} P_ {3} \ mathbf {e} _ {1} + \ psi _ {21} \ mathbf {e} _ {1} P_ {3} + \ psi _ {22} {\ bar {P}} _ {3},}

\ Psi = \ psi _ {{11}} P_ {3} - \ psi _ {{12}} P_ {3} {\ mathbf {e}} _ {1} + \ psi _ {{21}} {\ mathbf {e}} _ {1} P_ {3} + \ psi _ {{22}} {\ bar {P}} _ {3},

такая, что представление спинора в терминах матриц Паули имеет вид

Ψ → (ψ 11 ψ 12 ψ 21 ψ 22) {\ Displaystyle \ Psi \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {11} \ psi _ {12} \\\ psi _ {21} \ psi _ {22} \ end {pmatrix} }}

\ Psi \ rightarrow {\ begin { pmatrix} \ psi _ {{11}} \ psi _ {{12}} \\\ psi _ {{21}} \ psi _ {{22}} \ end {pmatrix}}

Ψ ¯ † → (ψ 22 ∗ - ψ 21 ∗ - ψ 12 ∗ ψ 11 ∗) {\ displaystyle {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} - \ psi _ {21} ^ {*} \\ - \ psi _ {12} ^ {* } \ psi _ {11} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

{\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{22}} ^ {*} - \ psi _ {{21}} ^ {* } \\ - \ psi _ {{12}} ^ {*} \ psi _ {{11}} ^ {*} \ end {pmatrix}}

Стандартная форма уравнения Дирака может быть восстановлена путем разложения спинора на его правую и левую спинорные компоненты, которые извлекаются с помощью помощь проектора

P 3 = 1 2 (1 + e 3), {\ displaystyle P_ {3} = {\ frac {1} {2}} (1+ \ mathbf {e} _ {3}),}

P_ {3} = {\ frac {1} {2}} (1 + {\ mathbf {e}} _ {3}),

такой, что

Ψ L = Ψ ¯ † P 3 {\ displaystyle \ Psi _ {L} = {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3}}

\ Psi _ {L} = {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3}

Ψ R знак равно Ψ P 3 {\ Displaystyle \ Psi _ {R} = \ Psi P_ {3} ^ {}}

\ Psi _ {R} = \ Psi P_ {3} ^ {{}}

со следующим матричным представлением

Ψ L → (ψ 22 ∗ 0 - ψ 12 ∗ 0) {\ displaystyle \ Psi _ {L} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} 0 \\ - \ psi _ {12} ^ {*} 0 \ end {pmatrix}}}

\ Psi _ {L} \ rightarrow { \ begin {pmatrix} \ psi _ {{22}} ^ {*} 0 \\ - \ psi _ {{12}} ^ {*} 0 \ end {pmatrix}}

Ψ R → (ψ 11 0 ψ 21 0) {\ displaystyle \ Psi _ {R} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {11} 0 \\\ psi _ {21} 0 \ end { pmatrix}}}

\ Psi _ {R} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{11}} 0 \\\ psi _ {{21}} 0 \ end {pmatrix}}

Уравнение Дирака также можно записать как

i ∂ Ψ ¯ † e 3 + e A Ψ ¯ † = m Ψ {\ displaystyle i \ partial {\ bar {\ Psi}} ^ { \ dagger} \ mathbf {e} _ {3} + eA {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} = m \ Psi}

i \ partial {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} {\ mathbf {e}} _ {3} + eA {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} = m \ Psi

Без электромагнитного взаимодействия следующее соответствующее уравнение получается из двух эквивалентных форм уравнения Дирака

(0 i ∂ ¯ i ∂ 0) (Ψ ¯ † P 3 Ψ P 3) = m (Ψ ¯ † P 3 Ψ P 3) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 i {\ bar {\ partial}} \\ i \ partial 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3} \\\ Psi P_ {3} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3} \\\ Psi P_ {3} \ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 i {\ bar {\ partial}} \\ i \ partial 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3} \\\ Psi P_ {3} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} {\ bar {\ Psi} } ^ {\ dagger} P_ {3} \\\ Psi P_ {3} \ end {pmatrix}}}

так, чтобы

(0 i ∂ 0 + i ∇ i ∂ 0 - i ∇ 0) (Ψ L Ψ R) = m (Ψ L Ψ R) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix } 0 i \ partial _ {0} + i \ nabla \\ i \ partial _ {0} -i \ nabla 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ Psi _ {L} \\\ Psi _ { R} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} \ Psi _ {L} \\\ Psi _ {R} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 i \ partial _ {0} + i \ nabla \\ i \ partial _ {0} -i \ nabla 0 \ end {pma trix}} {\ begin {pmatrix} \ Psi _ {L} \\\ Psi _ {R} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} \ Psi _ {L} \\\ Psi _ {R } \ end {pmatrix}}}

или в матричном представлении

i (( 0 1 1 0) ∂ 0 + (0 σ - σ 0) ⋅ ∇) (ψ L ψ R) = м (ψ L ψ R), {\ displaystyle i \ left ({\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}} \ partial _ {0} + {\ begin {pmatrix} 0 \ sigma \\ - \ sigma 0 \ end {pmatrix}} \ cdot \ nabla \ right) {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\\ psi _ {R} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\\ psi _ {R} \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle i \ left ({\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}} \ partial _ {0} + {\ begin {pmatrix} 0 \ sigma \ \ - \ sigma 0 \ end {pmatrix}} \ cdot \ nabla \ right) {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\\ psi _ {R} \ end {pmatrix}} = m {\ begin { pmatrix} \ psi _ {L} \\\ psi _ {R} \ end {pmatrix}},}

где второй столбец правого и левого спиноров можно отбросить, определив киральные спиноры с одним столбцом как

ψ L → (ψ 22 ∗ - ψ 12 ∗) {\ displaystyle \ psi _ {L} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} \\ - \ psi _ {12} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

\ psi _ {L} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{22}} ^ {*} \\ - \ psi _ {{12}} ^ {*} \ end {pmatrix}}

ψ R → (ψ 11 ψ 21) {\ displaystyle \ psi _ {R} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {11} \\\ psi _ {21} \ end {pmatrix}}}

\ psi _ {R} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{11}} \\\ psi _ {{21}} \ end {pmatrix}}

Стандартная релятивистская ковариантная форма уравнения Дирака в представлении Вейля можно легко идентифицировать $i γ μ ∂ μ ψ = m ψ, {\ displaystyle i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = m \ psi, }$ $i \ gamma ^ {\ mu}} \ partial _ {{\ mu}} \ psi = m \ psi,$ такой, что

ψ = (ψ 22 ∗ - ψ 12 ∗ ψ 11 ψ 21) {\ displaystyle \ psi _ {=} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ { *} \\ - \ psi _ {12} ^ {*} \\\ psi _ {11} \\\ psi _ {21} \ end {pmatrix}}}

\ psi _ {=} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {{22}} ^ {*} \\ - \ psi _ {{12}} ^ {*} \\\ psi _ {{11}} \\\ psi _ {{21}} \ end {pmatrix}}

Даны два спинора $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ и $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ в APS и их соответствующие спиноры в стандартной форме как $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , можно проверить следующее тождество

ϕ † γ 0 ψ = ⟨Φ ¯ Ψ + (Ψ ¯ Φ) †⟩ S {\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ psi = \ langle {\ bar {\ Phi}} \ Psi + ({\ bar {\ Psi}} \ Phi) ^ {\ dagger} \ rangle _ {S}}

\ phi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ psi = \ langle {\ bar {\ Phi}} \ Psi + ({\ bar {\ Psi}} \ Phi) ^ {\ dagger} \ rangle _ { S}

такой, что

ψ † γ 0 ψ Знак равно 2 ⟨Ψ ¯ Ψ⟩ SR {\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ psi = 2 \ langle {\ bar {\ Psi}} \ Psi \ rangle _ {SR}}

\ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ psi = 2 \ langle {\ bar {\ Psi}} \ Psi \ rangle _ {{SR}}

Электромагнитный датчик

Уравнение Дирака инвариантно относительно глобального правого вращения, примененного к спинору типа

Ψ → Ψ ′ = Ψ R 0 {\ displaystyle \ Psi \ rightarrow \ Psi ^ {\ prime} = \ Psi R_ {0}}

\ Psi \ rightarrow \ Psi ^ {\ prime} = \ Psi R_ {0}

, так что кинетический член уравнения Дирака преобразуется как

i ∂ ¯ Ψ e 3 → i ∂ ¯ Ψ R 0 e 3 R 0 † R 0 = (i ∂ ¯ Ψ е 3 ′) р 0, {\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} \ rightarrow i {\ bar {\ partial}} \ Psi R_ {0} \ mathbf {e} _ {3} R_ {0} ^ {\ dagger} R_ {0} = (i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} ^ {\ prime}) R_ { 0},}

i { \ bar {\ partial}} \ Psi {\ mathbf {e}} _ {3} \ rightarrow i {\ bar {\ partial}} \ Psi R_ {0} {\ mathbf {e}} _ {3} R_ { 0} ^ {\ dagger} R_ {0} = (i {\ bar {\ partial}} \ Psi {\ mathbf {e}} _ {3} ^ {\ prime}) R_ {0},

где мы определяем следующий поворот

e 3 → e 3 ′ = R 0 e 3 R 0 † {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} \ rightarrow \ mathbf {e} _ {3} ^ {\ prime} = R_ {0} \ mathbf {e} _ {3} R_ {0} ^ {\ dagger}}

{\ mathbf {e}} _ {3} \ rightarrow {\ mathbf {e} } _ {3} ^ {\ prime} = R_ {0} {\ mathbf {e}} _ {3} R_ {0} ^ {\ dagger}

Массовый член преобразуется как

m Ψ † ¯ → m (Ψ R 0) † ¯ = m Ψ † ¯ R 0, {\ displaystyle m {\ overline {\ Psi ^ {\ dagger}}} \ rightarrow m {\ overline {(\ Psi R_ {0}) ^ {\ dagger}}} = m {\ overline {\ Psi ^ {\ dagger}}} R_ {0},}

m \ overline {\ Psi ^ {\ dagger}} \ rightarrow m \ overline {(\ Psi R_ {0}) ^ {\ dagger}} = m \ overline {\ Psi ^ {\ dagger}} R_ {0 },

, чтобы мы могли проверить инвариантность формы уравнения Дирака. Более требовательное требование состоит в том, чтобы уравнение Дирака было инвариантным относительно локального калибровочного преобразования типа $R = exp ⁡ (- т.е. χ e 3) {\ displaystyle R = \ exp (-ie \ chi \ mathbf {e} _ {3})}$ $R = \ exp (-ie \ chi {\ mathbf {e}} _ {3})$

В этом случае кинетический член преобразуется как

i ∂ ¯ Ψ e 3 → (i ∂ ¯ Ψ) R e 3 + (e ∂ ¯ χ) Ψ р {\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} \ rightarrow (я {\ bar {\ partial}} \ Psi) R \ mathbf {e} _ {3 } + (e {\ bar {\ partial}} \ chi) \ Psi R}

i {\ bar {\ partial}} \ Psi { \ mathbf {e}} _ {3} \ rightarrow (i {\ bar {\ partial}} \ Psi) R {\ mathbf {e}} _ {3} + (e {\ bar {\ partial}} \ chi) \ Psi R

, так что левая часть уравнения Дирака преобразуется ковариантно как

i ∂ ¯ Ψ e 3 - e A ¯ Ψ → ( я ∂ ¯ Ψ р е 3 R † - е (A + ∂ χ) ¯ Ψ) R, {\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} -e {\ bar {A}} \ Psi \ rightarrow (i {\ bar {\ partial}} \ Psi R \ mathbf {e} _ {3} R ^ {\ dagger} -e {\ overline {(A + \ partial \ chi)} } \ Psi) R,}

i {\ bar {\ partial}} \ Psi {\ mathbf {e}} _ {3} -e {\ bar {A}} \ Psi \ rightarrow (i {\ bar {\ partial}} \ Psi R {\ mathbf {e}} _ {3} R ^ {\ dagger} -e \ overline {(A + \ partial \ chi)} \ Psi) R,

где мы указываем на необходимость выполнения преобразования электромагнитного датчика. Массовый член трансформируется, как и в случае с глобальным вращением, поэтому форма уравнения Дирака остается неизменной.

Ток

Ток определяется как

J = Ψ Ψ †, {\ displaystyle J = \ Psi \ Psi ^ {\ dagger},}

J = \ Psi \ Psi ^ {\ dagger},

, что соответствует непрерывности уравнение

⟨∂ ¯ J⟩ S = 0 {\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ partial}} J \ right \ rangle _ {S} = 0}

\ left \ langle {\ bar {\ partial}} J \ right \ rangle _ {{S}} = 0

уравнение Дирака второго порядка

Применение уравнения Дирака к самому себе приводит к уравнению Дирака второго порядка

(- ∂ ∂ ¯ + AA ¯) Ψ - i (2 e ⟨A ∂ ¯⟩ S + e F) Ψ e 3 = m 2 Ψ {\ displaystyle (- \ partial {\ bar {\ partial}} + A {\ bar {A}}) \ Psi -i (2e \ left \ langle A {\ bar {\ partial}} \ right \ rangle _ {S} + eF) \ Psi \ mathbf {e} _ {3} = m ^ {2} \ Psi}

(- \ partial {\ bar {\ partial}} + A {\ bar {A}}) \ Psi - я (2e \ left \ langle A {\ bar {\ partial}} \ right \ rangle _ {S} + eF) \ Psi {\ mathbf {e}} _ {3} = m ^ {2} \ Psi

Растворы свободных частиц

Решения с положительной энергией

Решение для свободной частицы с импульсом $p = p 0 + p {\ displaystyle p = p ^ {0} + \ mathbf {p}}$ $p = p ^ {0} + {\ mathbf {p}}$ и положительной энергией $p 0>0 {\ displaystyle p ^ {0}>0}$ $p^{0}>0$ это

Ψ = p m R (0) exp ⁡ (- i ⟨p x ¯⟩ S e 3). {\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt {\ frac {p} {m}}} R (0) \ exp (-i \ left \ langle p {\ bar {x}} \ right \ rangle _ {S} \ mathbf {e} _ {3}).}

\ Psi = {\ sqrt {{\ frac {p} {m}}}} R (0) \ exp (-i \ left \ langle p {\ bar {x}} \ right \ rangle _ {S} {\ mathbf {e}} _ {3}).

Это решение является унимодулярным

Ψ Ψ ¯ = 1 {\ displaystyle \ Psi {\ bar {\ Psi}} = 1}

\ Psi {\ bar {\ Psi}} = 1

, и ток напоминает классическая собственная скорость

u = pm {\ displaystyle u = {\ frac {p} {m}}}

u = {\ frac {p} { m}}

J = Ψ Ψ † = pm {\ displaystyle J = \ Psi {\ Psi} ^ {\ dagger } = {\ frac {p} {m}}}

J = \ Psi {\ Psi} ^ {\ dagger} = {\ frac {p} {m}}

Решения с отрицательной энергией

Решение для свободной частицы с отрицательной энергией и импульсом $p = - | p 0 | - p = - p ′ {\ displaystyle p = - | p ^ {0} | - \ mathbf {p} = -p ^ {\ prime}}$ $p = - | p ^ {0} | - {\ mathbf {p}} = - p ^ {\ prime}$ is

Ψ = ip ′ m R (0) ехр ⁡ (я ⟨п 'Икс ¯⟩ S е 3), {\ Displaystyle \ Psi = я {\ sqrt {\ гидроразрыва {p ^ {\ prime}} {м}}} R (0) \ ехр (i \ left \ langle p ^ {\ prime} {\ bar {x}} \ right \ rangle _ {S} \ mathbf {e} _ {3}),}

\ Psi = i {\ sqrt {{\ frac {p ^ {\ prime}} { m}}}} R (0) \ exp (i \ left \ langle p ^ {\ prime} {\ bar {x}} \ right \ rangle _ {S} {\ mathbf {e}} _ {3}),

Это решение анти-унимодулярное

Ψ Ψ ¯ = - 1 {\ displaystyle \ Psi {\ bar {\ Psi}} = - 1}

\ Psi {\ bar {\ Psi}} = - 1

, а течение напоминает классическую правильную скорость $u = pm {\ displaystyle u = {\ frac { p} {m}}}$ $u = {\ frac {p} { m}}$

J = Ψ Ψ † = - pm, {\ displaystyle J = \ Psi {\ Psi} ^ {\ dagger} = - {\ frac {p} {m}},}

J = \ Psi {\ Psi} ^ {\ dagger} = - {\ frac {p} {m}},

, но с замечательной особенностью: «время бежит в обратном направлении»

dtd τ = ⟨pm⟩ S < 0 {\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}=\left\langle {\frac {p}{m}}\right\rangle _{S}<0}

{ \ frac {dt} {d \ tau}} = \ left \ langle {\ frac {p} {m}} \ right \ rangle _ {S} <0

Лагранжиан Дирака

L = ⟨i ∂ Ψ ¯ † е 3 Ψ ¯ - е A Ψ ¯ † Ψ ¯ - m Ψ Ψ ¯⟩ S {\ displaystyle L = \ langle i \ partial {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} \ mathbf {e} _ {3 } {\ bar {\ Psi}} - eA {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} {\ bar {\ Psi}} - m \ Psi {\ bar {\ Psi}} \ rangle _ {S} }

L = \ langle i \ partial {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} {\ mathbf {e}} _ {3} {\ bar {\ Psi}} - eA {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} {\ bar {\ Psi}} - m \ Psi {\ bar {\ Psi}} \ rangle _ {S}

См. Также

Список литературы

Учебники

Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
W. Э. Бейлис, редактор, Клиффордская (геометрическая) алгебра с приложениями к физике, математике и инженерии, Биркхойзер, Бостон, 1996. ISBN 0-8176-3868-7

Статьи

Бейлис, WE (1 марта 1992 г.). «Классические собственные спины и уравнение Дирака». Physical Review A. Американское физическое общество (APS). 45 (7): 4293–4302. DOI : 10.1103 / Physreva.45.4293. ISSN 1050-2947.
Гестен, Дэвид (1975). «Наблюдаемые, операторы и комплексные числа в теории Дирака». Журнал математической физики. Издательство AIP. 16 (3): 556–572. doi : 10.1063 / 1.522554. ISSN 0022-2488.