Уравнение Вейля

редактировать

В физике, особенно в квантовом поле теории, уравнение Вейля является релятивистское волновое уравнение для описания безмассовых частиц со спином 1/2, называемых фермионами Вейля. Он назван в честь немецкого математика и математического физика Германа Вейля.

Содержание

1 Уравнение
- 1.1 Спиноры Вейля
- 1.2 Спиральность
2 Вывод
3 См. Также
4 Ссылки
5 Дополнительная литература
6 Внешние ссылки

Уравнение

Общее уравнение можно записать:

σ μ ∂ μ ψ = 0 {\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

\ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0

явно в единицах СИ :

I 2 1 c ∂ ψ ∂ t + σ x ∂ ψ ∂ x + σ y ∂ ψ ∂ Y + σ Z ∂ ψ ∂ Z знак равно 0 {\ Displaystyle I_ {2} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ sigma _ {x } {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ sigma _ {y} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} = 0}

I_ {2} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ sigma _ { y} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} = 0

где

σ μ = (σ 0, σ 1, σ 2, σ 3) = (I 2, σ x, σ y, σ z) {\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} = (\ sigma ^ {0}, \ sigma ^ {1}, \ sigma ^ {2}, \ sigma ^ {3}) = (I_ {2}, \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} = (\ sigma ^ { 0}, \ sigma ^ {1}, \ sigma ^ {2}, \ sigma ^ {3}) = (I_ {2}, \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z })}

- вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2 × 2 $I 2 {\ displaystyl e I_ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ для μ = 0 и матрицы Паули для μ = 1,2,3, а ψ - это волновая функция - одна из Вейль спиноры.

Двойственная форма уравнения обычно записывается как:

σ ¯ μ ∂ μ ψ = 0 {\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ { \ mu} \ psi = 0}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

где $σ ¯ μ = (I 2, - σ x, - σ y, - σ z) {\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu } = (I_ {2}, - \ sigma _ {x}, - \ sigma _ {y}, - \ sigma _ {z})}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} = (I_ {2}, - \ sigma _ {x}, - \ sigma _ {y}, - \ sigma _ {z})}$ .

спиноры Вейля

Термин "спинор Вейля" может относиться к одному из двух различных, но связанных объектов. Один относится к приведенным здесь решениям плоской волны уравнения Вейля. Другой относится к абстрактной алгебре спиноров как геометрических объектов в единственной точке пространства-времени (то есть абстрактных спиноров в нульмерном пространстве-времени). Эти абстрактные спиноры определены и подробно описаны в статьях о спиновой группе и матрицах Вейля – Брауэра. Алгебра нульмерных геометрических спиноров может быть расширена до четырехмерного пространства-времени (или до многообразий других измерений) с помощью спиновой структуры . Очень кратко, спиновые структуры можно принять как пучки волокон, где волокно является геометрическим спинором, трансформирующимся под действием спиновой группы. В этом случае решения уравнения Вейля представляют собой отдельные участки пучка.

Эти более формальные соображения не нужно понимать, чтобы дать базовые плоско-волновые решения уравнения Вейля. Эти решения представляют собой левый и правый спиноры Вейля, каждый из которых состоит из двух компонентов. Оба имеют вид

ψ (r, t) = (ψ 1 ψ 2) = χ e - i (k ⋅ r - ω t) = χ e - i (p ⋅ r - E t) / ℏ {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ end {pmatrix}} = \ chi e ^ {- i ( \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} = \ chi e ^ {- i (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) / \ hbar}}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf { r}, t) = {\ begin {pmatri x} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ end {pmatrix}} = \ chi e ^ {- i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t) } = \ chi e ^ {- i (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) / \ hbar}}

где

χ = (χ 1 χ 2) {\ displaystyle \ chi = {\ begin {pmatrix} \ chi _ {1} \\\ chi _ {2} \\\ end {pmatrix}}}

\ chi = {\ begin {pmatrix} \ chi _ {1} \\\ chi _ {2} \\\ end {pmatrix}}

является двухкомпонентным спинором, зависящим от импульса, который удовлетворяет

σ μ p μ χ = (I 2 E - σ → ⋅ p →) χ = 0 {\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ chi = (I_ {2} E - {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}) \ chi = 0}

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ chi = (I_ {2} E - {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}) \ chi = 0}

или

σ ¯ μ p μ χ = (I 2 E + σ → ⋅ п →) χ знак равно 0 {\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ chi = (I_ {2} E + {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}) \ chi = 0}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ chi = (I_ {2} E + {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}) \ chi = 0}

Путем прямого действия получаем, что

(σ ¯ ν p ν) (σ μ p μ) χ = (σ ν p ν) (σ ¯ μ п μ) χ знак равно п μ п μ χ знак равно (E 2 - p → ⋅ p →) χ = 0 {\ displaystyle ({\ bar {\ sigma}} ^ {\ nu} p _ {\ nu}) (\ сигма ^ {\ mu} p _ {\ mu}) \ chi = ( \ sigma ^ {\ nu} p _ {\ nu}) ({\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} p _ {\ mu}) \ chi = p _ {\ mu} p ^ {\ mu} \ chi = (E ^ {2} - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {p}}) \ chi = 0}

{\ displaystyle ({\ bar {\ sigma}} ^ {\ nu} p _ {\ nu}) (\ sigma ^ {\ mu} p _ {\ mu}) \ chi = (\ sigma ^ {\ nu} p _ {\ nu}) ({ \ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} p _ {\ mu}) \ chi = p _ {\ mu} p ^ {\ mu} \ chi = (E ^ {2} - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {p}}) \ chi = 0}

и приходит к выводу, что уравнения соответствуют частице, которая безмассовая. В результате величина импульса pнапрямую связана с волновым вектором kпосредством соотношений Де Бройля как:

| p | = ℏ | k | = ℏ ω / c → | k | знак равно ω / с {\ Displaystyle | \ mathbf {p} | = \ hbar | \ mathbf {k} | = \ hbar \ omega / c \, \ rightarrow \, | \ mathbf {k} | = \ omega / c}

| \ mathbf {p} | = \ hbar | \ mathbf {k} | = \ hbar \ omega / c \, \ rightarrow \, | \ mathbf {k} | = \ omega / c

Уравнение может быть записано в терминах левосторонних и правосторонних спиноров как:

σ μ ∂ μ ψ R = 0 σ ¯ μ ∂ μ ψ L = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {R} = 0 \\ {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {L} = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {R} = 0 \\ {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {L} = 0 \ end {align}}

Спиральность

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности λ частиц, проекции оператора углового момента Jна момент импульса p:

p ⋅ J | p, λ⟩ = λ | p | | п, λ⟩ {\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {J} \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle = \ lambda | \ mathbf {p} | \ left | \ mathbf { p}, \ lambda \ right \ rangle}

\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {J} \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle = \ lambda | \ mathbf {p} | \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle

Здесь $λ = ± 1/2 {\ displaystyle \ lambda = \ pm 1/2}$ $\ lambda = \ pm 1/2$ .

Вывод

Уравнения получаются из плотности Лагранжа

L = i ψ R † σ μ ∂ μ ψ R {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ psi _ {R} ^ {\ dagger} \ sigma ^ {\ mu } \ partial _ {\ mu} \ psi _ {R}}

{\ mathcal {L} } = i \ psi _ {R} ^ {\ dagger} \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {R}

L = я ψ L † σ ¯ μ ∂ μ ψ L {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ psi _ {L} ^ {\ dagger} {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {L}}

{\ mathcal {L}} = i \ psi _ {L} ^ {\ dagger} {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {L}

При лечении спинора и его сопряженного (обозначается $† {\ displaystyle \ dagger}$ $\ dagger$ ) в качестве независимых переменных, получается соответствующее уравнение Вейля.

См. Также

полуметалл Вейля
уравнение Дирака (которое описывает массивные частицы со спином 1/2)
Оператор углового момента
Оператор импульса
Спин (физика)

Ссылки

Дополнительная литература

Демистификация квантовой теории поля, D. McMahon, McGraw-Hill (США), 2008, ISBN 978 -0-07-154382-8
Физика элементарных частиц (2-е издание), BR Мартин, Дж. Шоу, Manchester Physics, John Wiley Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
- 3-е издание, 2013 г.
Суперсимметрия демистифицирована, П. Лабелль, МакГроу-Хилл (США), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
Дорога к реальности, Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN 0-679-77631-1
Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Фермионы Вейля наконец-то обнаружены». Мир физики. Проверено 22 ноября 2018 г.
Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Материалы природы. 14 (9): 863. doi : 10.1038 / nmat4411. ISSN 1476-1122. PMID 26288972.
Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). "Где твари Вейля". APS Physics. Проверено 22 ноября 2018 г.
Цзя, Шуанг; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия». Материалы природы. 15 : 1140.

Внешние ссылки