Релятивистские волновые уравнения

редактировать
Волновые уравнения, относящиеся к специальной и общей теории относительности

В физике, в частности релятивистская квантовая механика (RQM) и ее приложения к физике элементарных частиц, релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скорости сравнимы со скоростью света. В контексте квантовой теории поля (QFT), уравнения определяют динамику квантовых полей.

решений уравнений, обычно обозначаемых как ψ или Ψ (греческий psi ), называются «волновыми функциями » в контексте RQM и «полями » в контексте QFT. Сами уравнения называются "волновыми уравнениями" или "уравнениями поля", потому что они имеют математическую форму волнового уравнения или генерируются из плотности лагранжиана и теоретико-полевого Уравнения Эйлера – Лагранжа (см. классическую теорию поля для получения дополнительной информации).

На изображении Шредингера волновая функция или поле является решением уравнения Шредингера ;

i ℏ ∂ ∂ t ψ = H ^ ψ {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ hat {H}} \ psi}i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ hat {H}} \ psi

один из постулатов квантовой механики. Все релятивистские волновые уравнения могут быть построены путем задания различных форм гамильтонова оператора Ĥ, описывающего квантовую систему. В качестве альтернативы, в формулировке интеграла по путям Фейнмана используется лагранжиан, а не гамильтонов оператор.

В более общем плане - современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, - это теория группы Лоренца, в которой спин частицы соответствует представлениям группы Лоренца.

Содержание

  • 1 История
    • 1.1 Начало 1920-х годов: классическая и квантовая механика
    • 1.2 Конец 1920-х годов: релятивистская квантовая механика частиц со спином 0 и спином 1/2
    • 1.3 1930-е – 1960-е годы: релятивистская квантовая механика высшего -спиновые частицы
    • 1.4 1960-е годы - настоящее время
  • 2 Линейные уравнения
    • 2.1 Линейные калибровочные поля
  • 3 Построение RWE
    • 3.1 Использование 4-векторов и соотношения энергии-импульса
    • 3.2 Представления Группа Лоренца
  • 4 Нелинейные уравнения
    • 4.1 Нелинейные калибровочные поля
    • 4.2 Спин 2
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
    • 6.1 Примечания
    • 6.2 Дополнительная литература

История

Начало 1920-х годов: классическая и квантовая механика

Провал классической механики применяется к молекулярной, атомной и ядерная система s и меньше вызвали потребность в новой механике: квантовой механике. Математическую формулировку вели Де Бройль, Бор, Шредингер, Паули, Гейзенберг и другие. примерно в середине 1920-х годов и в то время был аналогичен классической механике. Уравнение Шредингера и картинка Гейзенберга напоминают классические уравнения движения в пределе больших квантовых чисел и в виде сокращенных Постоянная Планка ħ, квант действия, стремится к нулю. Это принцип соответствия. В этот момент специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга, как первоначально предлагалось, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся со скоростью, близкой к скорости света, или когда количество частиц каждого типа изменяется (это происходит в реальных взаимодействиях частиц ; многочисленные формы распада частиц, аннигиляции, создание материи, создание пары и так далее).

Конец 1920-х: релятивистская квантовая механика частиц со спином 0 и спином 1/2

Описание квантово-механических систем, которые могли бы объяснить релятивистские эффекты, искали многие физики-теоретики; с конца 1920-х до середины 1940-х гг. Первая основа для релятивистской квантовой механики, т.е. специальной теории относительности, применяемой вместе с квантовой механикой, была найдена всеми, кто открыл то, что часто называют уравнением Клейна – Гордона :

- ℏ 2 ∂ 2 ψ ∂ T 2 + (ℏ с) 2 ∇ 2 ψ = (MC 2) 2 ψ, {\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ { 2}}} + (\ hbar c) ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi = (mc ^ {2}) ^ {2} \ psi \,,}- \ hbar ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} + (\ hbar c) ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi = (mc ^ {2}) ^ {2} \ psi \,,

(1)

по вставка оператора энергии и оператора импульса в релятивистское соотношение энергии-импульса :

E 2 - (pc) 2 = (mc 2) 2, {\ displaystyle E ^ {2} - (pc) ^ {2} = (mc ^ {2}) ^ {2} \,,}E ^ {2} - (pc) ^ {2} = (mc ^ {2}) ^ {2} \,,

(2)

Решения (1) являются скалярными поля. Уравнение KG нежелательно из-за его предсказания отрицательных энергий и вероятностей из-за квадратичной природы (2) - неизбежно в релятивистская теория. Это уравнение было первоначально предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам, только чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называют уравнением Шредингера ) по-прежнему имеет значение. Тем не менее, - (1) применимо к бозонам со спином 0 .

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могут предсказать тонкую структуру в спектре водорода. серия. Таинственным основным свойством было вращение. Первые двумерные спиновые матрицы (более известные как матрицы Паули ) были введены Паули в уравнении Паули ; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающее дополнительный член для частиц в магнитных полях, но это было феноменологическим. Вейль нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; уравнение Вейля для безмассовых фермионов со спином 1/2. Проблема была решена Дираком в конце 1920-х годов, когда он способствовал применению уравнения (2) к электрону - с помощью различных манипуляций он факторизовал уравнение в виде:

(Е с - α ⋅ п - β MC) (Е с + α ⋅ п + β MC) ψ = 0, {\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}} - {\ boldsymbol { \ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ right) \ left ({\ frac {E} {c}} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} + \ beta mc \ right) \ psi = 0 \,,}\ left ({\ frac {E} {c}} - {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ right) \ left ({\ frac {E} {c}} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} + \ beta mc \ right) \ psi = 0 \,,

(3A)

и одним из этих факторов является уравнение Дирака (см. ниже) после вставки операторов энергии и импульса. Впервые были введены новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистском волновом уравнении и объяснена тонкая структура водорода. Решениями для (3A) являются многокомпонентные спинорные поля, и каждый компонент удовлетворяет (1). Замечательный результат спинорных решений состоит в том, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина описывает античастицу ; в данном случае электрон и позитрон. Теперь известно, что уравнение Дирака применимо для всех массивных spin-1/2 фермионов. В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, а в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Несмотря на то, что уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно верно только для фермионов со спином 1/2 и по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией, что вызывало споры в то время (в частности, не всем физикам нравилось «море Дирака » состояний с отрицательной энергией).

1930-е – 1960-е: релятивистская квантовая механика частиц с более высокими спинами

Естественная проблема стала ясной: обобщить уравнение Дирака на частицы с любым спином; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно из-за формализма спинора, введенного Дираком в его уравнение, и недавних разработок в спинорном исчислении van der Waerden в 1929 г.), и в идеале с решениями с положительной энергией.

Это было введено и решено Майораном в 1932 г. путем отклоненного подхода к Дираку. Майорана считал один «корень» из (3A):

(E c + α ⋅ p - β mc) ψ = 0, {\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ right) \ psi = 0 \,,}\ left ({\ frac {E} {c}} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p } - \ beta mc \ right) \ psi = 0 \,,

(3B)

где ψ - спинорное поле с бесконечным числом компонент, неприводимое к конечному числу тензоров или спиноров, чтобы убрать неопределенность в знаке. Матрицы αи β - это бесконечномерные матрицы, связанные с бесконечно малыми преобразованиями Лоренца. Он не требовал, чтобы каждый компонент 3Bудовлетворял уравнению (2), вместо этого он регенерировал уравнение, используя лоренц-инвариант действие, по принципу наименьшего действия и применение теории группы Лоренца.

Майорана внес и другие важные вклады, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различных измерений (5, 6 и 16). Их предвосхитили позже (более сложным образом) де Бройль (1934) и Даффин, Кеммер и Петио (около 1938–1939) см. алгебру Даффина – Кеммера – Петио. Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новым математическим инструментом в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнер потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году.

Дирак в 1936 году и Фирц и Паули в 1939 году построили уравнения из симметричных по всем индексам неприводимых спиноров A и B для массивной частицы спин n + ½ для целого числа n (значения индексов с точками см. в нотации Ван дер Вардена ):

p γ α ˙ A ϵ 1 ϵ 2 ⋯ ϵ n α ˙ β ˙ 1 β ˙ 2 ⋯ β ˙ N = mc B γ ϵ 1 ϵ 2 ⋯ ϵ n β ˙ 1 β ˙ 2 ⋯ β ˙ n {\ displaystyle p _ {\ gamma {\ dot {\ alpha}}} A _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcB _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}}}p _ {\ gamma {\ dot {\ alpha}}} A _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{ \ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcB _ {\ гамма \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}}

(4A)

p γ α ˙ B γ ϵ 1 ϵ 2 ⋯ ϵ N β ˙ 1 β ˙ 2 ⋯ β ˙ N = mc A ϵ 1 ϵ 2 ⋯ ϵ n α ˙ β ˙ 1 β ˙ 2 ⋯ β ˙ n {\ displaystyle p ^ {\ gamma {\ dot {\ alpha }}} B _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = м cA _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}}}p ^ {\ gamma {\ dot {\ alpha}}} B _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ { n}} ^ {{\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcA _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ { 2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}}

(4B)

где p - импульс как ковариантный спинорный оператор. Для n = 0 уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака, а A и B вместе преобразуются как исходный спинор Дирака. Исключение либо A, либо B показывает, что каждый из A и B выполняет (1).

В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на частицах со спином ⁄ 2 и вывели уравнение Рариты-Швингера, включив лагранжиан для его генерации, а затем обобщил уравнения, аналогичные вращению n + ½ для целого n. В 1945 году Паули предложил статью Майораны 1932 года Бхабха, который вернулся к общим идеи, введенные Майораной в 1932 году. Бхабха и Любански предложили полностью общую систему уравнений, заменив массовые члены в (3A) и (3B) произвольной константой, при соблюдении набора условий, которые должны

Наконец, в 1948 году (в том же году, когда Фейнман сформулировал интеграл по путям ), Баргманн и Вигнер сформулировал общее уравнение для массивных частиц, которые могут иметь любой спин, рассматривая уравнение Дирака с полностью симметричным конечно-компонентным спинором и используя группу Лоренца. теория (как это сделал Майорана): уравнения Баргмана – Вигнера. В начале 1960-х годов переформулировка уравнений Баргмана – Вигнера была сделана Стивеном Вайнбергом, уравнением Джооса – Вайнберга. В то время различные теоретики проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высоким спином.

1960-е годы - настоящее время

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной проблемой в квантовой теории. Это все еще область современных исследований, потому что проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные прогнозы (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют.

Линейные уравнения

Следующие уравнения имеют решения, которые удовлетворяют принципу суперпозиции, то есть волновые функции являются аддитивными.

На всем протяжении используются стандартные обозначения обозначения тензорного индекса и обозначения наклонной черты Фейнмана, включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобных компонентов индексированных величин. Волновые функции обозначаются ψ, а ∂ μ являются компонентами оператора с четырьмя градиентами.

В уравнениях матрицы , матрицы Паули обозначаются σ, в которых μ = 0, 1, 2, 3, где σ - 2 × 2 единичная матрица :

σ 0 = (1 0 0 1) {\ displaystyle \ sigma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \\\ end {pmatrix}}}\ sigma ^ {0} = {\ begin {pmatrix } 1 0 \\ 0 1 \\\ конец {pmatrix}}

и другой матрицы имеют свои обычные представления. Выражение

σ μ ∂ μ ≡ σ 0 ∂ 0 + σ 1 ∂ 1 + σ 2 ∂ 2 + σ 3 ∂ 3 {\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ Equiv \ sigma ^ {0} \ partial _ {0} + \ sigma ^ {1} \ partial _ {1} + \ sigma ^ {2} \ partial _ {2} + \ sigma ^ {3} \ partial _ {3}}\ сигма ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} \ Equiv \ sigma ^ {0} \ partial _ {0} + \ sigma ^ {1} \ partial _ {1} + \ sigma ^ {2} \ partial _ {2} + \ sigma ^ {3} \ partial _ {3}

- матрица 2 × 2 , оператор, которая действует на 2-компонентные спинорные поля.

гамма-матрицы обозначаются γ, в котором снова μ = 0, 1, 2, 3, и есть несколько представлений для выбора. Матрица γ не обязательно является единичной матрицей 4 × 4 . Выражение

i ℏ γ μ ∂ μ + mc ≡ i ℏ (γ 0 ∂ 0 + γ 1 ∂ 1 + γ 2 ∂ 2 + γ 3 ∂ 3) + mc (1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) {\ Displaystyle i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc \ Equiv i \ hbar (\ gamma ^ {0} \ partial _ {0} + \ gamma ^ {1} \ partial _ {1} + \ gamma ^ {2} \ partial _ {2} + \ gamma ^ {3} \ partial _ {3}) + mc {\ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \ \ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {pmatrix}}}i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc \ Equiv i \ hbar (\ gamma ^ {0} \ partial _ {0} + \ gamma ^ {1} \ partial _ { 1} + \ gamma ^ {2} \ partial _ {2} + \ gamma ^ {3} \ partial _ {3}) + mc {\ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end { pmatrix}}

- матричный матричный 4 × 4 оператор, который действует на 4-компонентные спинорные поля.

. такие термины, как «mc» скалярное умножение на единичную матрицу соответствующего измерения , общие размеры составляют 2 × 2 или 4 × 4 и обычно не являются написано для простоты.

Частицы спиновое квантовое число sИмяУравнениеТипичные частицы, описываемые уравнением
0Уравнение Клейна – Гордона (ℏ ∂ μ + imc) ( ℏ ∂ μ - imc) ψ знак равно 0 {\ displaystyle (\ hbar \ partial _ {\ mu} + imc) (\ hbar \ partial ^ {\ mu} -imc) \ psi = 0}(\ hbar \ partial _ {\ mu} + imc) (\ hbar \ partial ^ {\ mu} - imc) \ psi = 0 Безмассовое или массивное вращение -0 частица (например, бозоны Хиггса ).
1/2Уравнение Вейля σ μ ∂ μ ψ = 0 {\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}\ sigma ^ {\ mu} \ par tial _ {\ mu} \ psi = 0 Безмассовый спин-1 / 2 частицы.
Уравнение Дирака (i ℏ ∂ / - mc) ψ = 0 {\ displaystyle \ left (i \ hbar \ partial \! \! \! / - mc \ right) \ psi = 0}\ left (i \ hbar \ partial \! \! \! / - mc \ right) \ psi = 0 Массивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны ).
Двухчастичные уравнения Дирака [(γ 1) μ (p 1 - A ~ 1) μ + m 1 + S ~ 1] Ψ = 0, {\ displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1} - {\ tilde {A}} _ {1}) ^ {\ mu} + m_ {1} + {\ tilde {S}} _ {1}] \ Psi = 0,}[( \ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1} - {\ tilde {A}} _ {1}) ^ {\ mu} + m_ {1} + {\ tilde {S}} _ { 1}] \ Psi = 0,

[(γ 2) μ (p 2 - A ~ 2) μ + m 2 + S ~ 2] Ψ = 0. {\ displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} ( p_ {2} - {\ tilde {A}} _ {2}) ^ {\ mu} + m_ {2} + {\ tilde {S}} _ {2}] \ Psi = 0.}[(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2} - {\ tilde {A}} _ {2}) ^ {\ mu} + m_ {2} + {\ tilde {S}} _ {2}] \ Psi = 0.

Массивный частицы со спином 1/2 (такие как электроны ).
Уравнение Майорана i ℏ ∂ / ψ - mc ψ c = 0 {\ displaystyle i \ hbar \ partial \! \! \! / \ Psi -mc \ psi _ {c} = 0}i \ hbar \ partial \! \! \! / \ Psi -mc \ psi _ {c} = 0 Массивные частицы Майораны.
уравнение Брейта i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (∑ i H ^ D (i) + ∑ i>j 1 rij - ∑ i>j B ^ ij) Ψ {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = \ left (\ sum _ {i} {\ hat {H}} _ {D} (i) + \ sum _ {i>j } {\ frac {1} {r_ {ij}}} - \ sum _ {i>j} {\ hat {B}} _ {ij} \ right) \ Psi}i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j} {\ гидроразрыва {1} {r_ {ij}}} - \ sum _ {i>j} {\ hat {B}} _ {ij} \ right) \ Psi Две массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ) электромагнитно взаимодействуют до первого порядка в теории возмущений.
1Уравнения МаксвеллаQED с использованием калибровки Лоренца )∂ μ ∂ μ A ν = e ψ ¯ γ ν ψ {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = e {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ nu} \ psi}\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = e {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ nu} \ psi Фотоны, безмассовая часть спина 1 es.
Уравнение Прока ∂ μ (∂ μ A ν - ∂ ν A μ) + (mc ℏ) 2 A ν = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}) + \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} A ^ {\ nu} = 0 }\ partial _ {\ mu} (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}) + \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} A ^ {\ nu} = 0 Массивная частица со спином 1 (например, W- и Z-бозоны ).
3/2Уравнение Рариты – Швингера ϵ μ ν ρ σ γ 5 γ ν ∂ ρ ψ σ + m ψ μ = 0 {\ displaystyle \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma } \ gamma ^ {5} \ gamma _ {\ nu} \ partial _ {\ rho} \ psi _ {\ sigma} + m \ psi ^ {\ mu} = 0}\ epsilon ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ gamma ^ {5} \ gamma _ {\ nu} \ partial _ {\ rho} \ psi _ {\ sigma} + m \ psi ^ {\ mu} = 0 Массивные частицы со спином 3/2.
sУравнения Баргмана – Вигнера (- i ℏ γ μ ∂ μ + mc) α 1 α 1 ′ ψ α 1 ′ α 2 α 3 ⋯ α 2 s = 0 {\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {1} '} \ psi _ {\ alpha' _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2s}} = 0}(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}=0

(- i ℏ γ μ ∂ μ + mc) α 2 α 2 ′ ψ α 1 α 2 ′ α 3 ⋯ α 2 s = 0 { \ Displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha '_ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2s}} = 0}(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}=0

⋮ {\ displaystyle \ qquad \ vdots}\ qquad \ vdots

(- я ℏ γ μ ∂ μ + mc) α 2 s α 2 s ′ ψ α 1 α 2 α 3 ⋯ α 2 s ′ = 0 {\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {2s} \ alpha '_ {2s}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha' _ {2s}} = 0}(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2s}\alpha '_{2s}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2s}}=0

где ψ - 4-компонентный спинор ранга 2.

Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).
Уравнение Джооса – Вайнберга [(i ℏ) 2 s γ μ 1 μ 2 ⋯ μ 2 s ∂ μ 1 ∂ μ 2 ⋯ ∂ μ 2 s + (mc) 2 s] ψ = 0 {\ displaystyle [(i \ hbar) ^ {2s} \ gamma ^ {\ mu _ {1} \ му _ {2} \ cdots \ mu _ {2s}} \ partial _ {\ mu _ {1}} \ partial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ partial _ {\ mu _ {2s}} + (mc) ^ {2s} ] \ psi = 0}{\ displaystyle [(i \ hbar) ^ {2s} \ gamma ^ {\ mu _ {1} \ mu _ {2} \ cdots \ mu _ {2s}} \ partial _ {\ mu _ {1}} \ partial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ partial _ {\ mu _ {2s}} + ( mc) ^ {2s}] \ psi = 0} Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).

Линейные калибровочные поля

Уравнение Даффина – Кеммера – Петио представляет собой альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:

(i ℏ β a ∂ a - mc) ψ = 0 {\ displaystyle (i \ hbar \ beta ^ {a} \ partial _ {a} -mc) \ psi = 0}(i \ hbar \ beta ^ {a} \ partial _ {a} -mc) \ psi = 0

Построение RWE

с использованием 4-векторов и энергии –Импульсное отношение

Начать со стандартной специальной теории относительности (SR) 4-векторов

4- позиция X μ = X = (ct, x →) {\ displaystyle X ^ {\ mu} = \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {\ mathbf {x}}})}{\ displaystyle X ^ {\ mu} = \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {\ mathbf {x}}})}
4- скорость U μ = U = γ (c, u →) {\ displaystyle U ^ {\ mu} = \ mathbf {U} = \ gamma (c, {\ vec {\ mathbf {u}}})}{\ displaystyle U ^ {\ му} = \ mathbf {U} = \ gamma (с, {\ vec {\ mathbf {u}}})}
4-импульс п μ знак равно (E c, p →) {\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {\ mathbf {p}}} \ right)}{\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ mathbf { P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {\ mathbf {p}}} \ right)}
4-волновой вектор K μ = K = (ω c, k →) {\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right)}{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right)}
4- градиент ∂ μ = ∂ = (∂ tc, - ∇ →) {\ Displaystyle \ partial ^ {\ mu} = \ mathbf {\ p artial} = \ left ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, - {\ vec {\ mathbf {\ nabla}}}} \ right)}{ \ Displaystyle \ partial ^ {\ mu} = \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, - {\ vec {\ mathbf {\ nabla}}} \ справа)}

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан другому на скаляр Лоренца :

U = dd τ X {\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d} {d \ tau}} \ mathbf {X}}{\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d} {d \ tau}} \ mathbf {X}} , где τ {\ displaystyle \ tau}\ tau - это собственное время
P = mo U {\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {o} \ mathbf {U} }{\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {o} \ mathbf {U}} , где mo {\ displaystyle m_ {o}}m_ {o} - масса покоя
K = (1 / ℏ) P {\ displaystyle \ mathbf {K} = (1 / \ hbar) \ mathbf {P}}{\ displaystyle \ mathbf {K} = (1 / \ hbar) \ mathbf {P}} , который является 4-векторной версией соотношения Планка – Эйнштейна и де Бройля волна материи отношение
∂ = - i K {\ displaystyle \ mathbf {\ partial} = -i \ mathbf {K}}{\ displaystyle \ mathbf {\ partial} = -i \ mathbf {K}} , который является 4-градиентной версией сложных плоских волн

. Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждой из них:

U ⋅ U знак равно (с) 2 {\ Displaystyle \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {U} = (с) ^ {2}}{\ displaystyle \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {U} = (c) ^ {2}}
P ⋅ P = ( moc) 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = (m_ {o} c) ^ {2}}{\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = (m_ {o} c) ^ {2}}
К ⋅ K = (moc ℏ) 2 {\ displaystyle \ mathbf {K } \ cdot \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}{\ displaystyle \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {K} = \ left ({ \ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}
∂ ⋅ ∂ = (- imoc ℏ) 2 = - (moc ℏ) 2 {\ displaystyle \ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {-im_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2} = - \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}{\ displaystyle \ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {-im_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2} = - \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}

Последнее уравнение является фундаментальным квантовым соотношением.

При применении к скалярному полю Лоренца ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi мы получаем уравнение Клейна – Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.

[∂ ⋅ ∂ + (moc ℏ) 2] ψ = 0 {\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} + \ left ({\ frac {m_ {o} c} { \ hbar}} \ right) ^ {2}] \ psi = 0}{\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} + \ слева ({\ frac {m_ {o } c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] \ psi = 0} : в 4-векторном формате
[∂ μ ∂ μ + (moc ℏ) 2] ψ = 0 {\ displaystyle [\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} + \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] \ psi = 0}{\ displaystyle [\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} + \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] \ psi = 0} : в тензорном формате
[(ℏ ∂ μ + imoc) (ℏ ∂ μ - imoc)] ψ = 0 {\ displaystyle [(\ hbar \ partial _ {\ mu} + im_ {o} c) (\ hbar \ partial ^ {\ mu} -im_ {o} c)] \ psi = 0}{\ displaystyle [(\ hbar \ partial _ {\ mu} + im_ {o} c) (\ hbar \ partial ^ {\ mu} -im_ {o} c)] \ psi = 0} : в факторизованном тензорном формате

Уравнение Шредингера - это скорость предельный случай (v << c) of the уравнение Клейна – Гордона.

Когда отношение применяется к четырехвекторному полю A μ {\ displaystyle A ^ {\ mu}}A ^ {\ mu} вместо скалярного поля Лоренца ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi , тогда получается уравнение Прокакалибровке Лоренца ):

[∂ ⋅ ∂ + (moc ℏ) 2] A μ = 0 {\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} + \ left ({\ fra c {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] A ^ {\ mu} = 0}{\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial } + \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] A ^ {\ mu} = 0}

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает бесплатное уравнение Максвеллашкале Лоренца )

[∂ ⋅ ∂] A μ = 0 {\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}] A ^ {\ mu} = 0}{\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}] A ^ {\ mu} = 0}

Представления группы Лоренца

При собственном ортохронном преобразовании Лоренца x → Λx в пространстве Минковского, все одночастичные квантовые состояния ψ σ спина j со спиновой z-компонентой σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца :

ψ (Икс) → D (Λ) ψ (Λ - 1 Икс) {\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi (\ Lambda ^ {- 1} x)}\ psi (x) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi (\ Lambda ^ {- 1} x)

где D (Λ) - некоторое конечномерное представление, т.е. матрица. Здесь ψ рассматривается как вектор-столбец , содержащий компоненты с допустимыми значениями σ. квантовые числа j и σ, а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение σ может встречаться более одного раза в зависимости от представления. Ниже рассматриваются представления с несколькими возможными значениями j.

неприводимые представления помечаются парой полуцелых или целых чисел (A, B). Все остальные представления могут быть построены с использованием различных стандартных методов, таких как взятие тензорных произведений и прямых сумм. В частности, пространство-время само образует 4-векторное представление (1/2, 1/2), так что Λ ∈ D '. Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразуются по представлению (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2). В общем, пространство представления (A, B) имеет подпространства, которые находятся в подгруппе пространственных вращений, SO (3), преобразовываются несводимо, как объекты спина j, где каждое допустимое значение:

j = A + B, A + B - 1,..., | А - Б |, {\ displaystyle j = A + B, A + B-1,..., | A-B |,}j = A + B, A + B-1,..., | AB |,

встречается ровно один раз. В общем случае тензорные произведения неприводимых представлений приводимы; они разлагаются как прямые суммы неприводимых представлений.

Представления D и D могут каждое по отдельности представлять частицы со спином j. Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения

Существуют уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные калибровочные поля

Спин 2

R μ ν - 1 2 г μ ν р + г μ ν Λ знак равно 8 π G с 4 T μ ν {\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ более 2} g _ {\ mu \ nu} \, R + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} \, R + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}
Решением является метрическое тензорное поле, а не волновую функцию.

См. также

Ссылки

Примечания

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-06-03 12:18:41
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте