Структура реальности

редактировать

В математике, структура реальности в комплексном векторном пространстве V является разложение V на два вещественных подпространства, называемых вещественными и мнимыми частями V:

V = V R ⊕ i V R. {\ displaystyle V = V _ {\ mathbb {R}} \ oplus iV _ {\ mathbb {R}}.}

V = V_ \ mathbb {R} \ oplus i V_ \ mathbb {R}.

Здесь V R- действительное подпространство V, то есть подпространство V, рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами. Если V имеет комплексный размер n (действительный размер 2n), то V Rдолжен иметь действительный размер n.

Стандартная структура реальности в векторном пространстве $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n }$ - это разложение

С n знак равно R n ⊕ я R n. {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus i \, \ mathbb {R} ^ {n}.}

\ mathbb {C} ^ n = \ mathbb {R} ^ n \ oplus i \, \ mathbb {R} ^ n.

При наличии структуры реальности каждый вектор в V имеет действительную и мнимую части, каждая из которых является вектором в V R:

v = Re ⁡ {v} + i Im ⁡ {v} {\ displaystyle v = \ operatorname {Re} \ {v \} + i \, \ operatorname {Im} \ {v \}}

v = \ operatorname {Re} \ {v \} + i \, \ operatorname {Im} \ {v \}

В этом случае комплексно сопряженное вектора v определяется следующим образом:

v ¯ = Re ⁡ {v} - я Im ⁡ {v} {\ displaystyle {\ overline {v}} = \ operatorname {Re} \ {v \} - i \, \ operatorname {Im} \ {v \}}

\ overline v = \ operatorname {Re} \ {v \} - i \, \ operatorname {Im} \ {v \}

Это карта $v ↦ v ¯ {\ displaystyle v \ mapsto {\ overline {v}}}$ $v \ mapsto \ overline v$ является антилинейной инволюцией, т.е.

v ¯ ¯ = v, v + w ¯ = v ¯ + w ¯ и α v ¯ = α ¯ v ¯. {\ displaystyle {\ overline {\ overline {v}}} = v, \ quad {\ overline {v + w}} = {\ overline {v}} + {\ overline {w}}, \ quad {\ text {and}} \ quad {\ overline {\ alpha v}} = {\ overline {\ alpha}} \, {\ overline {v}}.}

\ overline {\ overline v} = v, \ quad \ overline {v + w} = \ overline {v} + \ overline {w}, \ quad \ text {и} \ quad \ overline {\ alpha v} = \ overline \ alpha \, \ overline {v}.

И наоборот, при антилинейной инволюции $v ↦ c (v) {\ displaystyle v \ mapsto c (v)}$ $v \ mapsto c (v)$ в комплексном векторном пространстве V, можно определить структуру реальности на V следующим образом. Пусть

Re ⁡ {v} = 1 2 (v + c (v)), {\ displaystyle \ operatorname {Re} \ {v \} = {\ frac {1} {2}} \ left (v + c (v) \ right),}

\ operatorname {Re} \ {v \} = \ frac {1} {2} \ left (v + c (v) \ right),

и определим

VR = {Re ⁡ {v} ∣ v ∈ V}. {\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}} = \ left \ {\ operatorname {Re} \ {v \} \ mid v \ in V \ right \}.}

V_ \ mathbb {R} = \ left \ {\ operatorname {Re} \ {v \} \ mid v \ in V \ right \}.

Тогда

V = VR ⊕ i VR. {\ displaystyle V = V _ {\ mathbb {R}} \ oplus iV _ {\ mathbb {R}}.}

V = V_ \ mathbb {R} \ oplus i V_ \ mathbb {R}.

На самом деле это разложение V как собственных подпространств реального линейный оператор c. Собственные значения c равны +1 и -1 с собственными подпространствами V Rи $i {\ displaystyle i}$ $i$ VRсоответственно. Как правило, сам оператор c, а не разложение собственного подпространства, которое он влечет за собой, упоминается как структура реальности на V.

См. Также

Ссылки

Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Vol. 2, Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-25267-6, MR 0838301