Теорема Грина

Эта статья посвящена теореме на плоскости, связывающей двойные интегралы и линейные интегралы. По поводу теорем Грина, связывающих объемные интегралы, содержащие лапласиан, с поверхностными интегралами, см . Тождества Грина. Не путать с законом Грина для волн, приближающихся к береговой линии.

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая, Вейерштрасса, Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В векторном исчислении, теорема Грина связывает интеграл линии вокруг простого замкнутых кривой C к двойному интегралу над плоскостью области D, ограниченной С. Это двумерный частный случай теоремы Стокса.

• 1 Теорема
• 2 Доказательство, когда D - простая область
• 3 Доказательство для спрямляемых кривых Жордана
• 4 Действительность при разных гипотезах
• 5 Многосвязные регионы
• 6 Связь с теоремой Стокса
• 7 Связь с теоремой о расходимости
• 8 Расчет площади
• 9 История
• 10 См. Также
• 11 Источники
• 12 Дальнейшее чтение
• 13 Внешние ссылки

Пусть С будет положительно ориентированным, кусочно - гладким, простой замкнутой кривой в плоскости, и пусть D будет областью, ограниченная С. Если L и M - функции от ( x, y), определенные на открытой области, содержащей D и имеющей там непрерывные частные производные, то

${\ displaystyle {\ scriptstyle C}}$ ${\ Displaystyle (L \, dx + M \, dy) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) dx \, dy}$

где путь интегрирования вдоль С является против часовой стрелки.

В физике теорема Грина находит множество приложений. Один из них решает двумерные интегралы потока, утверждая, что сумма жидкости, истекающей из объема, равна полному истечению, суммированному для окружающей области. В плоской геометрии и, в частности, при топографической съемке, теорема Грина может использоваться для определения площади и центроида плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.

Если D представляет собой область простого типа, граница которой состоит из кривых C 1, C 2, C 3, C 4, можно продемонстрировать половину теоремы Грина.

Ниже приводится доказательство половины теоремы для упрощенной области D, области типа I, где C 1 и C 3 - кривые, соединенные вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует для другой половины теоремы, когда D - область типа II, где C 2 и C 4 - кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Объединив эти две части, теорема, таким образом, доказана для областей типа III (определенных как области, которые относятся как к типу I, так и типу II). Общий случай можно вывести из этого частного случая, разложив D на множество областей типа III.

Если можно показать, что если

${\ displaystyle \ oint _ {C} L \, dx = \ iint _ {D} \ left (- {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) dA}$

( 1)

а также

${\ Displaystyle \ oint _ {C} \ M \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} \ right) dA}$

( 2)

истинны, то теорема Грина немедленно следует для области D. Мы легко можем доказать ( 1) для областей типа I и ( 2) для областей типа II. Из этого следует теорема Грина для областей типа III.

Предположим, что область D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано на рисунке справа, следующим образом:

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ mid a \ leq x \ leq b, g_ {1} (x) \ leq y \ leq g_ {2} (x) \}}$

где g 1 и g 2 - непрерывные функции на [ a, b ]. Вычислите двойной интеграл в ( 1):

${\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {D} {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \, dA amp; = \ int _ {a} ^ {b} \, \ int _ {g_ {1} (x)} ^ {g_ {2} (x)} {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} (x, y) \, dy \, dx \\ amp; = \ int _ { a} ^ {b} \ left [L (x, g_ {2} (x)) - L (x, g_ {1} (x)) \ right] \, dx. \ end {выровнено}}}$

( 3)

Теперь вычислите линейный интеграл в ( 1). C можно переписать как объединение четырех кривых: C 1, C 2, C 3, C 4.

Для C 1 используйте параметрические уравнения : x = x, y = g 1 ( x), a ≤ x ≤ b. потом

${\ displaystyle \ int _ {C_ {1}} L (x, y) \, dx = \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {1} (x)) \, dx.}$

Для C 3 используйте параметрические уравнения: x = x, y = g 2 ( x), a ≤ x ≤ b. потом

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {3}} L (x, y) \, dx = - \ int _ {- C_ {3}} L (x, y) \, dx = - \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {2} (x)) \, dx.}$

Интеграл по C 3 отрицается, потому что он идет в отрицательном направлении от b к a, поскольку C ориентирован положительно (против часовой стрелки). На С 2 и С 4, х остается постоянной, значение

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {4}} L (x, y) \, dx = \ int _ {C_ {2}} L (x, y) \, dx = 0.}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {C} L \, dx amp; = \ int _ {C_ {1}} L (x, y) \, dx + \ int _ {C_ {2}} L (x, y) \, dx + \ int _ {C_ {3}} L (x, y) \, dx + \ int _ {C_ {4}} L (x, y) \, dx \\ amp; = \ int _ { a} ^ {b} L (x, g_ {1} (x)) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {2} (x)) \, dx. \ конец {выровнено}}}$

( 4)

Комбинируя ( 3) с ( 4), мы получаем ( 1) для областей типа I. Аналогичная обработка дает ( 2) для областей типа II. Сложив их вместе, мы получим результат для регионов III типа.

Мы собираемся доказать следующее

Теорема. Позвольте быть спрямляемой, положительно ориентированной жордановой кривой в и обозначать ее внутреннюю область. Предположим, что это непрерывные функции со свойством, которое имеет вторую частную производную в каждой точке, имеет первую частную производную в каждой точке и что функции интегрируемы по Риману по. потом ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A, B: {\ overline {R}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle D_ {1} B, D_ {2} A: R \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle R}$

$${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} A \, dx + B \, dy = \ int _ {R} \ left (D_ {1} B (x, y) -D_ {2} A (x, y) \ right) \, d (x, y).}$$

Нам потребуются следующие леммы, доказательства которых можно найти в:

Лемма 1 (лемма о разложении). Предположим, что это спрямляемая положительно ориентированная жорданова кривая на плоскости, и пусть это будет ее внутренняя область. Для каждого положительного действительного пусть обозначает набор квадратов в плоскости, ограниченной линиями, где пробегает набор целых чисел. Тогда для этого существует разложение на конечное число неперекрывающихся подобластей таким образом, что ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ дельта)}$${\ Displaystyle х = м \ дельта, у = м \ дельта}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$

1. Каждая подобласть, содержащаяся, например, в квадрате от.${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {k}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ дельта)}$
2. Каждая из оставшихся подобластей, скажем, имеет в качестве границы спрямляемую жорданову кривую, образованную конечным числом дуг и частями сторон некоторого квадрата из.${\ Displaystyle R_ {к + 1}, \ ldots, R_ {s}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ дельта)}$
3. Каждую из пограничных областей можно заключить в квадрат с длиной ребра.${\ Displaystyle R_ {к + 1}, \ ldots, R_ {s}}$${\ displaystyle 2 \ delta}$
4. Если - положительно ориентированная граничная кривая, то${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {1} + \ Gamma _ {2} + \ cdots + \ Gamma _ {s}.}$
5. Количество приграничных областей не больше, где - длина.${\ displaystyle sk}$${\ displaystyle 4 \! \ left ({\ frac {\ Lambda} {\ delta}} + 1 \ right)}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Лемма 2. Позвольте быть спрямляемой кривой на плоскости и позвольте быть набором точек на плоскости, расстояние от (диапазон) не больше. Внешнее жордановое содержание этого множества удовлетворяет. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Delta _ {\ Gamma} (ч)}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ overline {c}} \, \, \ Delta _ {\ Gamma} (h) \ leq 2h \ Lambda + \ pi h ^ {2}}$

Лемма 3. Пусть - спрямляемая кривая в и пусть - непрерывная функция. потом ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle f: {\ text {диапазон}} \ Gamma \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {\ Gamma} f (x, y) \, dy \ right \ vert}$ а также

${\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {\ Gamma} f (x, y) \, dx \ right \ vert}$в котором есть колебание от диапазона.${\ displaystyle \ leq {\ frac {1} {2}} \ Lambda \ Omega _ {f},}$${\ displaystyle \ Omega _ {f}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Теперь мы готовы доказать теорему:

Доказательство теоремы. Позвольте быть произвольным положительным действительным числом. В силу непрерывности, и компактности, учитывая, существует такое, что всякий раз, когда две точки меньше, чем друг от друга, их образы при менее чем друг от друга. Для этого рассмотрим разложение, данное предыдущей леммой. У нас есть ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$${\ Displaystyle 0 lt;\ дельта lt;1}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {2}} \, \ delta}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} A \, dx + B \, dy = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy \ quad + \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy.}$

Положите. ${\ displaystyle \ varphi: = D_ {1} B-D_ {2} A}$

Для каждого кривая представляет собой положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно ${\ Displaystyle я \ в \ {1, \ ldots, к \}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy = \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ int _ {R_ {i}} \ varphi = \ int _ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} \, \ varphi.}$

Каждая точка приграничной области находится на расстоянии не более чем от. Таким образом, если - объединение всех приграничных регионов, то ; следовательно, по лемме 2. Заметим, что ${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {2}} \, \ delta}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K \ subset \ Delta _ {\ Gamma} (2 {\ sqrt {2}} \, \ delta)}$${\ displaystyle c (K) \ leq {\ overline {c}} \, \ Delta _ {\ Gamma} (2 {\ sqrt {2}} \, \ delta) \ leq 4 {\ sqrt {2}} \, \ delta +8 \ pi \ delta ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {R} \ varphi \, \, - \ int _ {\ bigcup _ {i = 1} ^ {k} R_ {i}} \ varphi = \ int _ {K} \ varphi.}$

Это дает

${\ Displaystyle \ left \ vert \ sum _ {я = 1} ^ {k} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy \ quad - \ int _ {R} \ varphi \ right \ vert \ leq M \ delta (1+ \ pi {\ sqrt {2}} \, \ delta) {\ text {для некоторых}} Mgt; 0.}$

Мы также можем выбрать так, чтобы правая часть последнего неравенства была${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle lt;\ varepsilon.}$

Замечание в начале этого доказательства подразумевает, что колебания и на каждой граничной области не больше. У нас есть ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ int _ {\ Gamma _ {i}} A \, dx + B \, dy \ right \ vert \ leq {\ frac {1} {2}} \ varepsilon \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ Lambda _ {i}.}$

По лемме 1 (iii)

${\ displaystyle \ sum _ {i = k + 1} ^ {s} \ Lambda _ {i} \ leq \ Lambda + (4 \ delta) \, 4 \! \ left ({\ frac {\ Lambda} {\ delta}} + 1 \ right) \ leq 17 \ Lambda +16.}$

Комбинируя их, мы наконец получаем

${\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {\ Gamma} A \, dx + B \, dy \ quad - \ int _ {R} \ varphi \ right \ vert lt;C \ varepsilon,}$

для некоторых. Так как это верно для всех, мы закончили. ${\ displaystyle Cgt; 0}$${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$

Гипотеза последней теоремы - не единственная, при которой формула Грина верна. Еще один распространенный набор условий:

Предполагается, что функции по-прежнему непрерывны. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемыми по Фреше в каждой точке. Отсюда следует существование всех производных по направлениям, в частности, где, как обычно, - канонический упорядоченный базис. Кроме того, мы требуем, чтобы функция была интегрируемой по Риману. ${\ displaystyle A, B: {\ overline {R}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle D_ {e_ {i}} A =: D_ {i} A, D_ {e_ {i}} B =: D_ {i} B, \, i = 1,2}$${\ Displaystyle (е_ {1}, е_ {2})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle D_ {1} B-D_ {2} A}$${\ displaystyle R}$

Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:

Теорема (Коши). Если - спрямляемая жорданова кривая в и если - непрерывное отображение, голоморфное во всей внутренней области, то ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f: {\ text {закрытие внутренней области}} \ Gamma \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f = 0,}$

интеграл является комплексным контурным интегралом.

Доказательство. Мы рассматриваем комплексную плоскость как. Теперь определим, что эти функции явно непрерывны. Хорошо известно, что и являются Фреше-дифференцируема и что они удовлетворяют уравнениям Коши-Римана:. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle u, v: {\ overline {R}} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y).}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle D_ {1} v + D_ {2} u = D_ {1} u-D_ {2} v = {\ text {нулевая функция}}}$

Теперь, анализируя суммы, использованные для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma} е = \ int _ {\ Gamma} и \, dx-v \, dy \ quad + i \ int _ {\ Gamma} v \, dx + u \, dy,}$

интегралы на правой стороне являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство.

Теорема. Пусть - положительно ориентированные спрямляемые жордановы кривые, удовлетворяющие ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}, \ Gamma _ {1}, \ ldots, \ Gamma _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {i} \ subset R_ {0}, amp;amp; {\ text {if}} 1 \ leq i \ leq n \\\ Gamma _ {i} \ subset \ mathbb { R} ^ {2} \ setminus {\ overline {R}} _ {j}, amp;amp; {\ text {if}} 1 \ leq i, j \ leq n {\ text {and}} i \ neq j, \ конец {выровнен}}}$

где - внутренняя область. Позволять ${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$

${\ displaystyle D = R_ {0} \ setminus ({\ overline {R}} _ {1} \ cup {\ overline {R}} _ {2} \ cup \ cdots \ cup {\ overline {R}} _ {n}).}$

Предположим, что и - непрерывные функции, ограничение которых на дифференцируемо по Фреше. Если функция ${\ displaystyle p: {\ overline {D}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle q: {\ overline {D}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle (x, y) \ longmapsto {\ frac {\ partial q} {\ partial e_ {1}}} (x, y) - {\ frac {\ partial p} {\ partial e_ {2}}} (х, у)}$

интегрируема по Риману, то ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ int _ {\ Gamma _ {0}} p (x, y) \, dx + q (x, y) \, dy- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ int _ {\ Gamma _ {i}} p (x, y) \, dx + q (x, y) \, dy \\ [5pt] = {} amp; \ int _ {D} \ left \ {{\ frac {\ partial q} {\ partial e_ {1}}} (x, y) - {\ frac {\ partial p} {\ partial e_ {2}}} (x, y) \ right \ } \, d (x, y). \ end {выровнено}}}$

Теорема Грина является частным случаем теоремы Кельвина – Стокса, когда она применяется к области на плоскости. ${\ displaystyle xy}$

Мы можем дополнить двумерное поле до трехмерного с компонентом z, который всегда равен 0. Напишите F для векторной функции. Начнем с левой части теоремы Грина: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (L, M, 0)}$

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy) = \ oint _ {C} (L, M, 0) \ cdot (dx, dy, dz) = \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}.}$

Теорема Кельвина – Стокса:

${\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} = \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, dS.}$

Поверхность - это просто область на плоскости, с единичной нормалью, определенной (по соглашению), чтобы иметь положительный компонент z, чтобы соответствовать определениям "положительной ориентации" для обеих теорем. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

Выражение внутри интеграла принимает вид

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = \ left [\ left ({\ frac {\ partial 0} {\ partial y}} - {\ frac {\ частичный M} {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial 0} {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \ mathbf {k} \ right] \ cdot \ mathbf {k} = \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right).}$

Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина

${\ displaystyle \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, dS = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \, dA.}$

Теорема Грина также является прямым результатом общей теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм и внешних производных :

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ oint _ {C} L \, dx + M \, dy = \ oint _ {\ partial D} \ omega = \ int _ {D} \, d \ omega \\ [5pt] = {} amp; \ int _ {D} {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \, dy \ wedge \, dx + {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} \, dx \ wedge \, dy = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy. \ end {align}}}$

Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теоремы о расходимости :

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \, dV =}$ ${\ displaystyle \ partial \ scriptstyle V}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \, dS.}$

где - расходимость на двумерном векторном поле, а - направленный наружу единичный вектор нормали на границе. ${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим единичную нормаль в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина это вектор, касательный вдоль кривой, а кривая C - это положительно ориентированная (т. Е. Против часовой стрелки) кривая вдоль границы, внешняя нормаль будет вектором, который указывает на 90 ° вправо от нее; один выбор был бы. Длина этого вектора равна So${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle d \ mathbf {r} = (dx, dy)}$${\ displaystyle (dy, -dx)}$${\ textstyle {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} = ds.}$${\ displaystyle (dy, -dx) = \ mathbf {\ hat {n}} \, ds.}$

Начнем с левой части теоремы Грина:

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy) = \ oint _ {C} (M, -L) \ cdot (dy, -dx) = \ oint _ {C} (M, -L) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, ds.}$

Применяя теорему о двумерной расходимости при, получаем правую часть теоремы Грина: ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = (M, -L)}$

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (M, -L) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, ds = \ iint _ {D} \ left (\ nabla \ cdot (M, -L) \ right) \, dA = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} \ right) \, dA.}$

Теорема Грина может быть использована для вычисления площади с помощью линейного интеграла. Площадь плоской области определяется выражением ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} dA.}$

Выберите и так, чтобы площадь была равна ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial y}} = 1}$

${\ Displaystyle A = \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy).}$

Возможные формулы для площади включения ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle A = \ oint _ {C} x \, dy = - \ oint _ {C} y \, dx = {\ tfrac {1} {2}} \ oint _ {C} (- y \, dx + x \, dy).}$

Он назван в честь Джорджа Грина, который сформулировал аналогичный результат в статье 1828 года под названием «Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма». В 1846 году Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой теорема Грина была указана в качестве предпоследнего предложения. Фактически, это первая печатная версия теоремы Грина в том виде, в каком она встречается в современных учебниках. Бернхард Риман дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексного переменного.

• Планиметр  - Инструмент для измерения площади.
• Метод зарядов изображения - метод, используемый в электростатике, который использует преимущество теоремы единственности (полученной из теоремы Грина)
• Формула Шнурка - частный случай теоремы Грина для простых многоугольников

• Marsden, Jerrold E.; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа». Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. С. 518–608. ISBN   0-7167-4992-0.

• Теорема Грина о MathWorld