Закон Грина

Волновое уравнение для открытого канала

Отправной точкой являются линеаризованные одномерные уравнения Сен-Венана для открытого канала прямоугольного сечения (вертикальные боковые стенки). Эти уравнения описывают эволюцию волны с возвышением свободной поверхности и горизонтальной скоростью потока с горизонтальной координатой вдоль оси канала и временем: ${\ Displaystyle \ eta (х, т)}$${\ Displaystyle и (х, т),}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; b \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (b \, h \, u)} {\ partial x}} = 0, \\ amp; {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + g \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = 0, \ end {выровнено}}}$

где - сила тяжести Земли (принятая за константу), - средняя глубина воды, - ширина канала и обозначают частные производные по пространству и времени. Медленное изменение ширины и глубины с расстоянием вдоль оси канала учитывается путем обозначения их как и где - малый параметр: Два приведенных выше уравнения можно объединить в одно волновое уравнение для высоты поверхности: ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ partial / \ partial t}$${\ Displaystyle \ partial / \ partial x}$ ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle б (\ му х)}$${\ Displaystyle ч (\ му х),}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu \ ll 1.}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {g} {b}} \, {\ frac {\ partial} {\ partial x }} \ left (b \, h \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) = 0,}$   и со скоростью, следующей из  ${\ displaystyle u = -g \ int {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \; \ mathrm {d} t.}$

( 1 )

В методе Лиувилля – Грина подход состоит в том, чтобы преобразовать указанное выше волновое уравнение с неоднородными коэффициентами в однородное (без учета некоторых малых остатков в терминах). ${\ displaystyle \ mu}$

Преобразование в фазу волны как независимая переменная

Следующим шагом является применение преобразования координат, вводя время пробега (или фазу волны ), заданное как ${\ Displaystyle \ тау}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {g \, h}},}$   так   ${\ displaystyle \ tau = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h (\ mu s)}}} \; \ mathrm {d} s}$

и связаны между собой быстродействием. Вводя медленную переменную и обозначая производные от и по простому числу, например, -производные в волновом уравнении, уравнение. ( 1) стать: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {gh}}.}$ ${\ Displaystyle X = \ mu x}$${\ displaystyle b (X)}$${\ displaystyle h (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b '= \ mathrm {d} b / \ mathrm {d} X,}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ tau}} \ right) ^ {- 1} \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial \ tau}} = {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h}}} \, {\ frac { \ partial \ eta} {\ partial \ tau}} \ qquad {\ text {and}} \\ amp; {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (b \, h \, {\ frac { \ partial \ eta} {\ partial x}} \ right) = b \, h \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial x ^ {2}}} + \ mu \ left ( b '\, h + b \, h' \ right) \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = {\ frac {b} {g}} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial \ tau ^ {2}}} + \ mu \, {\ frac {b '\, h + {\ tfrac {1} {2}} \, b \, h'} {\ sqrt {gh}}} \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial \ tau}}. \ end {align}}}$

Теперь волновое уравнение ( 1 ) преобразуется в:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial \ tau ^ {2}} } - \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ left ({\ frac {b '} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h '} {h}} \ right) \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial \ tau}} = 0.}$

( 2 )

Следующим шагом является преобразование уравнения таким образом, чтобы оставались только отклонения от однородности во втором порядке приближения, т.е. пропорциональные ${\ displaystyle \ mu ^ {2}.}$

Дальнейшее преобразование к однородности

Уравнение однородной волны (т.е. уравнение ( 2 ), когда оно равно нулю) имеет решения для бегущих волн постоянной формы, распространяющихся либо в отрицательном, либо в положительном направлении. Для неоднородного случая, рассматривая волны, распространяющиеся в положительном направлении, Грин предлагает приближенное решение: ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ eta = F (т \ пм \ тау)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ эта (\ тау, т) = \ тета (Х) \, F (т- \ тау).}$

( 3 )

потом

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial t ^ {2}}} amp; = \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2 } F} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}}, \\ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial \ tau}} amp; = \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d } F} {\ mathrm {d} \ tau}} + \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ Theta '\, F \ qquad {\ text {and}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial \ tau ^ {2}}} amp; = \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \, \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ Theta '\, {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau }} + \ mu ^ {2} \, g \, h \, \ Theta '' \, F. \ end {align}}}$

Теперь левая часть уравнения. ( 2 ) становится:

${\ displaystyle \ mu \, {\ sqrt {g \, h}} \, \ left (2 \, {\ frac {\ Theta '} {\ Theta}} + {\ frac {b'} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h '} {h}} \ right) \, \ Theta \, {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau}} + \ mu ^ {2} \, g \, h \, \ left ({\ frac {\ Theta ''} {\ Theta '}} + {\ frac {b'} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h '} {h}} \ right) \, \ Theta' \, F.}$

Итак, предлагаемое решение в формуле. ( 3 ) удовлетворяет уравнению. ( 2 ), а значит, и уравнение. ( 1 ) помимо вышеуказанных двух членов, пропорциональных и, с ошибкой в ​​решении, может быть сделан порядок при условии ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mu \ ll 1.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mu ^ {2})}$

${\ displaystyle 2 \, {\ frac {\ Theta '} {\ Theta}} + {\ frac {b'} {b}} + {\ tfrac {1} {2}} \, {\ frac {h ' } {h}} = 0.}$

У этого есть решение:

${\ displaystyle \ Theta (X) = \ alpha \, b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \, h ^ {- {\ tfrac {1} {4}}}.}$

Используя уравнение. ( 3 ) и преобразование из в, приближенное решение для отметки поверхности есть ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ eta (х, т)}$

${\ displaystyle \ eta (x, t) = b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} (x) \; h ^ {- {\ tfrac {1} {4}}} (x) \ ; F \ left (t- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h (s)}}} \; \ mathrm {d} s \ right) + {\ mathcal {O}} (\ mu ^ {2}),}$

( 4 )

где константа была установлена ​​равной единице, без потери общности. Волны, движущиеся в отрицательном направлении, имеют знак минус в аргументе функции, обращенный к знаку плюс. Поскольку теория линейна, решения могут добавляться из-за принципа суперпозиции. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F}$

Синусоидальные волны и закон Грина

Рассмотрены волны, изменяющиеся во времени синусоидальными с периодом. То есть ${\ displaystyle T,}$

${\ displaystyle \ eta (x, t) = a (x) \, \ sin (\ omega \, t- \ phi (x)) = {\ tfrac {1} {2}} \, H (x) \, \ sin (\ omega \, t- \ phi (x)),}$

где это амплитуда, является высотой волны, является угловой частотой, и это фаза волны. Следовательно, также в формуле. ( 4) должна быть синусоидальной волной, например, с постоянной. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle H = 2a}$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}$ ${\ Displaystyle \ фи (х)}$ ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F = \ бета \ грех (\ omega t- \ phi (x))}$${\ displaystyle \ beta}$

Применяя эти формы и в формуле. ( 4) дает: ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle H \, b ^ {\ tfrac {1} {2}} \, h ^ {\ tfrac {1} {4}} = \ beta,}$

что является законом Грина.

Скорость потока

Горизонтальная скорость потока в -направлении следует непосредственно из подстановки решения для возвышения поверхности из уравнения. ( 4) в выражение для в формуле. ( 1): ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ eta (х, т)}$${\ Displaystyle и (х, т)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} u (x, t) amp; = g ^ {\ tfrac {1} {2}} \; b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} (x) \ ; h ^ {- {\ tfrac {3} {4}}} (x) \; F \ left (t- \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt { g \, h (s)}}} \; \ mathrm {d} s \ right) \\ amp; + \ mu \, {\ tfrac {1} {2}} \, g \, b ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} (x) \; h ^ {- {\ tfrac {1} {4}}} (x) \; {\ frac {(b \, {\ sqrt {h}}) '} {b \, {\ sqrt {h}}}} \, \ Phi (x, t) + {\ frac {Q} {b (x) \, h (x)}} + {\ mathcal {O }} \ left (\ mu ^ {2} \ right), \\ amp; \ qquad {\ text {with}} \ qquad \ Phi (x, t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} F \ left (\ sigma - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {g \, h (s)}}} \; \ mathrm {d} s \ right) \; \ mathrm {d} \ sigma \ end {align}}}$

и дополнительный постоянный разряд. ${\ displaystyle Q}$

Обратите внимание, что - когда ширина и глубина не являются постоянными - термин «пропорциональный» подразумевает (небольшую) разность фаз между углом места и скоростью. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle \ Phi (х, т)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ му)}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle u}$

Для синусоидальных волн с амплитудой скорости скорости потока мелкие в первом порядке, как ${\ displaystyle V,}$

${\ displaystyle V \, b ^ {\ tfrac {1} {2}} \, h ^ {\ tfrac {3} {4}} = {\ text {constant}}.}$

Этого можно было ожидать, так как для горизонтального пласта с амплитудой волны. ${\ displaystyle V = {\ sqrt {g \, h}} \, (a / h) = {\ sqrt {g / h}} \, a}$${\ displaystyle a}$