Уравнения мелкой воды

редактировать
набор дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают поток под поверхностью давления в жидкости Выходные данные из модели уравнения мелкой воды воды в ванне. Вода подвергается пяти брызгам, которые создают поверхностные гравитационные волны, которые распространяются вдали от мест брызг и отражаются от стен ванны.

Уравнения мелкой воды представляют собой набор уравнений в частных производных гиперболического типа (или параболический, если рассматривается вязкий сдвиг), которые описывают течение ниже поверхности давления в жидкости (иногда, но не обязательно, свободной поверхности ). Уравнения мелкой воды в однонаправленной форме также называются уравнениями Сен-Венана после Адемара Жан-Клод Барре де Сен-Венана (см. Раздел, связанный с ниже).

Уравнения получены интегрированием по глубине уравнений Навье – Стокса в случае, когда горизонтальный масштаб длины намного больше, чем вертикальный масштаб длины. При этом условии сохранение массы означает, что масштаб вертикальной скорости жидкости мал по сравнению с масштабом горизонтальной скорости. Из уравнения импульса можно показать, что вертикальные градиенты давления почти гидростатические, а горизонтальные градиенты давления возникают из-за смещения поверхности давления, что подразумевает, что поле горизонтальной скорости постоянно на всей глубине жидкость. Вертикальное интегрирование позволяет исключить вертикальную скорость из уравнений. Таким образом выводятся уравнения мелкой воды.

Хотя член вертикальной скорости не присутствует в уравнениях мелкой воды, обратите внимание, что эта скорость не обязательно равна нулю. Это важное различие, потому что, например, вертикальная скорость не может быть равна нулю, когда пол меняет глубину, и, таким образом, если бы она была равна нулю, с уравнениями мелкой воды можно было бы использовать только плоские полы. Как только решение (т.е. горизонтальные скорости и смещение свободной поверхности) найдено, вертикальная скорость может быть восстановлена ​​с помощью уравнения неразрывности.

Ситуации в гидродинамике, где горизонтальный масштаб намного больше, чем вертикальный масштаб, являются обычными, поэтому уравнения мелкой воды широко применимы. Они используются с силами Кориолиса в атмосферном и океаническом моделировании, как упрощение примитивных уравнений атмосферного потока.

Модели уравнений мелкой воды имеют только один вертикальный уровень, поэтому они не могут напрямую охватывать какой-либо фактор, который изменяется с высотой. Однако в случаях, когда среднее состояние достаточно простое, вертикальные вариации могут быть отделены от горизонтальных, и несколько наборов уравнений мелкой воды могут описывать состояние.

Содержание

  • 1 Уравнения
    • 1.1 Консервативная форма
    • 1.2 Неконсервативная форма
  • 2 Одномерные уравнения Сен-Венана
    • 2.1 Уравнения
    • 2.2 Сохранение импульса
    • 2.3 Характеристики
    • 2.4 Производное моделирование
      • 2.4.1 Динамическая волна
      • 2.4.2 Диффузионная волна
      • 2.4.3 Кинематическая волна
    • 2.5 Вывод из уравнений Навье – Стокса
  • 3 Моделирование волн на мелководье уравнения
  • 4 Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды
  • 5 Примечания
  • 6 Дополнительная литература
  • 7 Внешние ссылки

Уравнения

Консервативная форма

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранения массы и сохранения количества движения (уравнения Навье – Стокса ), которые выполняются даже при предположениях о мелководье разрушение воды, например, при гидравлическом прыжке. В случае горизонтального слоя, отсутствия сил Кориолиса, сил трения или вязких сил уравнения мелкой воды имеют следующий вид:

∂ (ρ η) ∂ t + ∂ (ρ η u) ∂ x + ∂ (ρ η v) ∂ y = 0, ∂ (ρ η u) ∂ t + ∂ ∂ x (ρ η u 2 + 1 2 ρ g η 2) + ∂ (ρ η uv) ∂ y = 0, ∂ (ρ η v) ∂ t + ∂ (ρ η uv) ∂ x + ∂ ∂ y (ρ η v 2 + 1 2 ρ g η 2) Знак равно 0. {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial (\ rho \ eta)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta u)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta v)} {\ partial y}} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial (\ rho \ eta u)} {\ partial t }} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (\ rho \ eta u ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ rho g \ eta ^ {2} \ справа) + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta uv)} {\ partial y}} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial (\ rho \ eta v)} {\ partial t} } + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta uv)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left (\ rho \ eta v ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ rho g \ eta ^ {2} \ right) = 0. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial (\ rho \ eta)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta u)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta v)} {\ partial y}} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial (\ rho \ eta u)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (\ rho \ eta u ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ rho g \ eta ^ {2} \ right) + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta uv)} {\ partial y}} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial (\ rho \ eta v)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial (\ rho \ eta uv)} {\ partial x}} + {\ frac {\ pa rtial} {\ partial y}} \ left (\ rho \ eta v ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ rho g \ eta ^ {2} \ right) = 0. \ end {выровнено }}}

Здесь η - общая высота столба жидкости (мгновенная жидкость d epth как функция от x, y и t), а двумерный вектор (u, v) - это горизонтальная скорость потока жидкости, усредненная по вертикальному столбцу. Далее g - ускорение свободного падения, а ρ - плотность жидкости. Первое уравнение получено из сохранения массы, вторые два - из сохранения количества движения.

Неконсервативная форма

Расширяя производные в приведенном выше примере с использованием правила произведения, получена неконсервативная форма уравнений мелкой воды. Поскольку скорости не подчиняются фундаментальному уравнению сохранения, неконсервативные формы не сохраняются при ударе или гидравлическом прыжке. Также включены соответствующие термины для Кориолиса, сил трения и вязкости, чтобы получить (для постоянной плотности жидкости):

∂ h ∂ t + ∂ ∂ x ((H + h) u) + ∂ ∂ y ((H + h) v) = 0, ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y - fv = - g ∂ h ∂ x - bu + ν (∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2), ∂ v ∂ T + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + fu = - g ∂ h ∂ y - bv + ν (∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2), {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ Bigl (} (H + h) u {\ Bigr) } + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ Bigl (} (H + h) v {\ Bigr)} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} - fv = -g {\ frac {\ partial h} { \ partial x}} - bu + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} \ right), \\ [3pt] {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v { \ frac {\ partial v} {\ partial y}} + fu = -g {\ frac {\ partial h} {\ partial y}} - bv + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v } {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial y ^ {2}}} \ right), \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ частичное h} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ Bigl (} (H + h) u {\ Bigr)} + ​​{\ frac {\ partial} {\ частичный y}} {\ Bigl (} (H + h) v {\ Bigr)} = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} - fv = -g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} - bu + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} \ right), \\ [3pt] {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y }} + fu = -g {\ frac {\ partial h} {\ partial y}} - bv + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial y ^ {2}}} \ right), \ end {align}}}

где

u- это скорость в направлении x, или зональная скорость
v- скорость в направлении y, или меридиональная скорость
h- отклонение по высоте горизонтальной поверхности давления от ее среднего значения высота H: η = H + h
H- средняя высота горизонтальной поверхности давления
g- ускорение, вызванное силой тяжести
f- коэффициент Кориолиса, связанный с силой Кориолиса. На Земле f равно 2Ω sin (φ), где Ω - угловая скорость вращения Земли (π / 12 радиан / час), а φ - широта,
b- вязкое сопротивление коэффициент
ν- это кинематическая вязкость
Файл: уравнения мелкой воды - один splash.webm Play media Анимация линеаризованных уравнений мелкой воды для прямоугольного бассейна без трения и силы Кориолиса. Вода подвергается брызгам, которые генерируют поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от места брызг и отражаются от стенок бассейна. Анимация создается с использованием точного решения Карриера и Йе (2005) для осесимметричных волн.

Часто бывает, что члены, квадратичные по u и v, которые представляют эффект объемной адвекции мал по сравнению с другими условиями. Это называется геострофическим балансом и эквивалентно тому, что число Россби мало. Предполагая также, что высота волны очень мала по сравнению со средней высотой (h ≪ H), мы имеем (без боковых вязких сил):

∂ h ∂ t + H (∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y) = 0, ∂ u ∂ t - fv = - g ∂ h ∂ x - bu, ∂ v ∂ t + fu = - g ∂ h ∂ y - bv. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} + H \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ right) = 0, \\ [3pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - fv = -g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} - bu, \\ [3pt] {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + fu = -g {\ frac {\ partial h} {\ partial y}} - bv. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {\partial h}{\partial t}}+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\ right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-bu,\\[ 3pt] {\frac {\partial v}{\partial t}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-bv.\end{aligned}}}

Одномерные уравнения Сен-Венана

Одномерные (1-D) уравнения Сен-Венана были получены Адемаром Жан-Клодом Барре de Saint-Venant, и обычно используются для моделирования переходного потока в открытом канале и поверхностного стока. Их можно рассматривать как сжатие двумерных (2-D) уравнений мелкой воды, которые также известны как двумерные уравнения Сен-Венана. Одномерные уравнения Сен-Венана в определенной степени содержат основные характеристики формы поперечного сечения канала.

Одномерные уравнения широко используются в компьютерных моделях, например, Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS, SWMM5, ISIS, InfoWorks, Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIKE 11 и MIKE SHE, потому что их значительно легче решить, чем полное уравнение мелкой воды. Общие применения одномерных уравнений Сен-Венана включают маршрутизацию паводков вдоль рек (включая оценку мер по снижению рисков наводнений), анализ прорыва плотин, штормовые импульсы в открытом русле, а также шторм сток в сухопутном потоке.

Уравнения

Поперечное сечение открытого канала.

Система дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают 1-D несжимаемый поток в открытый канал произвольного поперечного сечения - как выведено и сформулировано Сен-Венаном в его статье 1871 года (уравнения 19 и 20) - это:

∂ A ∂ t + ∂ (A u) ∂ Икс знак равно 0 {\ Displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ left (Au \ right)} {\ partial x}} = 0}{\ displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ left (Au \ right)} {\ partial x}} = 0} и

(1)

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + g ∂ ζ ∂ x = - PA τ ρ, {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t} } + u \, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + g \, {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial x}} = - {\ frac {P} {A}} \, {\ frac {\ tau} {\ rho}},}{\ displaystyle {\ frac {\ partial u }{\partial t}}+u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+g\,{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}=-{\frac { P}{A}}\,{\frac {\tau }{\rho }},}

(2)

где x - пространственная координата вдоль оси канала, t - время, A (x, t) - поперечный сечение площадь потока в точке x, u (x, t) - это скорость потока, ζ (x, t) - высота свободной поверхности и τ (x, t) - напряжение сдвига стенки вдоль смоченного периметра P (x, t) поперечного сечения в точке x. Кроме того, ρ - (постоянная) плотность жидкости, а g - ускорение свободного падения.

Замыкание гиперболической системы уравнений (1) - (2) получается из геометрии поперечных сечений - путем обеспечения функциональной зависимости между площадью поперечного сечения A и высотой поверхности ζ в каждой позиции x. Например, для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной канала B и высотой дна канала z b площадь поперечного сечения будет: A = B (ζ - z b) = B час Мгновенная глубина воды равна h (x, t) = ζ (x, t) - z b (x), где z b (x) - уровень дна (т.е. самая низкая точка в пласте выше точки, см. рисунок в разрезе). Для неподвижных стенок канала площадь поперечного сечения A в уравнении (1) может быть записана как:

A (x, t) = ∫ 0 h (x, t) b (x, h ′) dh ′, {\ Displaystyle A (x, t) = \ int _ {0} ^ {h (x, t)} b (x, h ') \; {\ t_dv {d}} h',}{\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\;{\t_dv{d}}h',}

где b (x, h) - эффективная ширина поперечного сечения канала в точке x, когда глубина жидкости равна h - так что b (x, h) = B (x) для прямоугольных каналов.

Сдвиг стенки напряжение τ зависит от скорости потока u, их можно связать с помощью, например, уравнение Дарси – Вайсбаха, формула Мэннинга или формула Чези.

Кроме того, уравнение (1) является уравнением неразрывности, выражающим сохранение объема воды для этой несжимаемой однородной жидкости. Уравнение (2) - это уравнение импульса, дающее баланс между силами и скоростями изменения количества движения.

Наклон пласта S (x), уклон трения S f (x, t) и гидравлический радиус R (x, t) определяются как:

S = - dzbdx, {\ displaystyle S = - {\ frac {\ mathrm {d} z _ {\ mathrm {b}}} {\ mathrm {d} x}},}{\ displaystyle S = - {\ frac {\ mathrm {d} z _ {\ mathrm {b}}} {\ mathrm {d} x}},} S f = τ ρ g R {\ displaystyle S _ {\ mathrm {f}} = {\ frac {\ tau} {\ rho gR}}}{\ displaystyle S _ {\ mathrm {f}} = {\ frac {\ tau} {\ rho gR}}} и R = AP. {\ displaystyle R = {\ frac {A} {P}}.}{\ displaystyle R = {\ frac {A} {P}}.}

Следовательно, уравнение количества движения (2) можно записать как

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + g ∂ час ∂ Икс + г (S е - S) = 0. {\ Displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u \, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + g \, {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} + g \, \ left (S _ {\ mathrm {f}} -S \ right) = 0.}{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u \, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + g \, {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} + g \, \ left (S _ {\ mathrm {f}} -S \ right) = 0.}

(3)

Сохранение количества движения

Уравнение количества движения (3) также может быть преобразовано в так называемую форму сохранения посредством некоторых алгебраических манипуляций с уравнениями Сен-Венана, (1) и (3). В терминах разряда Q = Au:

∂ Q ∂ t + ∂ ∂ x (Q 2 A + g I 1) + g A (S f - S) - g I 2 = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {Q ^ {2}} {A}} + g \, I_ {1} \ right) + g \, A \, \ left (S_ {f} -S \ right) -g \, I_ {2} = 0,}{\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {Q^{2}}{A}}+g\,I_{1}\right)+g\,A\,\left(S_{f}-S\right)-g\,I_{2}=0,}

(4)

где A, I 1 и I 2 являются функциями геометрии канала, описанной в терминах ширины канала B (σ, x). Здесь σ - высота над самой низкой точкой поперечного сечения в точке x, см. Рисунок поперечного сечения. Итак, σ - высота над уровнем дна z b (x) (самой низкой точки в поперечном сечении):

A (σ, x) = ∫ 0 σ B (σ ′, x) d σ ′, I 1 (σ, x) = ∫ 0 σ (σ - σ ′) B (σ ′, x) d σ ′ и I 2 (σ, x) = ∫ 0 σ (σ - σ ′) ∂ B (σ ′, x) ∂ xd σ ′. {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} A (\ sigma, x) = \ int _ {0} ^ {\ sigma} B (\ sigma ^ {\ prime}, x) \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime}, \\ I_ {1} (\ sigma, x) = \ int _ {0} ^ {\ sigma} (\ sigma - \ sigma ^ {\ prime}) \, B (\ sigma ^ {\ prime}, x) \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime} \ qquad {\ text {and}} \\ I_ {2} (\ sigma, x) = \ int _ {0} ^ {\ sigma} (\ sigma - \ sigma ^ {\ prime}) \, {\ frac {\ partial B (\ sigma ^ {\ prime}, x)} {\ partial x}} \; \ mathrm {d } \ sigma ^ {\ prime}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} A (\ sigma, x) = \ int _ {0 } ^ {\ sigma} B (\ sigma ^ {\ prime}, x) \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime}, \\ I_ {1} (\ sigma, x) = \ int _ {0} ^ {\ sigma} (\ sigma - \ sigma ^ {\ prime}) \, B (\ sigma ^ {\ prime}, x) \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime} \ qquad {\ text {and}} \\ I_ {2} (\ sigma, x) = \ int _ {0} ^ {\ sigma} (\ sigma - \ sigma ^ {\ prime}) \, {\ frac { \ partial B (\ sigma ^ {\ prime}, x)} {\ partial x}} \; \ mathrm {d} \ sigma ^ {\ prime}. \ end {align}}}

Вверху - в уравнении импульса (4) в форме сохранения - A, I 1 и I 2 оцениваются при σ = h (x, t). Термин g I 1 описывает гидростатическую силу в определенном поперечном сечении. И для непризматического канала g I 2 дает эффекты изменений геометрии вдоль оси x канала.

В приложениях, в зависимости от рассматриваемой проблемы, часто предпочтение отдается использованию либо уравнения количества движения в форме без сохранения (2) или (3), либо формы сохранения ( 4). Например, в случае описания гидравлических прыжков форма сохранения предпочтительна, поскольку поток импульса непрерывен через скачок.

Характеристики

Характеристики, область зависимости и область влияния, связанные с местоположением P = (x P,tP) в пространстве x и времени t.

Уравнения Сен-Венана (1) - (2) можно проанализировать с помощью метода характеристик. Две скорости dx / dt на характеристических кривых:

dxdt = u ± c, {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u \ pm c,}{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}с c = g AB. {\ displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {gA} {B}}}.}{\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}

Число Фруда F = | u | / c определяет, является ли поток докритическим (F < 1) or сверхкритическим (F>1).

Для прямоугольного и призматического канала постоянной ширины B, т. е. с A = B h и c = √gh, инварианты Римана равны:

r + = u + 2 gh {\ displaystyle r _ {+} = u + 2 {\ sqrt {gh}}}{\ displaystyle r _ {+} = u + 2 {\ sqrt {gh}}} и r - = u - 2 gh, {\ displaystyle r _ {-} = u-2 {\ sqrt {gh}},}{\ displaystyle r_ {-} = u-2 {\ sqrt {gh}},}

, поэтому уравнения в характеристической форме:

ddt (u + 2 gh) = g (S - S f) вдоль dxdt = u + gh и ddt (u - 2 gh) = g (S - S f) вдоль dxdt = u - gh. {\ displaystyle {\ begin {выровнено} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (u + 2 {\ sqrt {gh}} \ right) = g \ left (S-S_ {f} \ right) {\ text {along}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u + {\ sqrt {gh}} \ quad {\ text {и} } \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (u-2 {\ sqrt {gh}} \ right) = g \ left (S-S_ {f} \ right) {\ text {along}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u - {\ sqrt {gh}}. \ end {выравнивается}} }{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (u + 2 {\ sqrt {gh}} \ right) = g \ left (S-S_ {f} \ right) {\ text {along}} \ quad { \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u + {\ sqrt {gh}} \ quad {\ text {and}} \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (u-2 {\ sqrt {gh}} \ right) = g \ left (S-S_ {f} \ right) {\ text {along}} \ quad { \ гидроразрыва {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = u - {\ sqrt {gh}}. \ end {align}}}

Инварианты Римана и метод характеристик для призматический канал произвольного поперечного сечения описан Диденкуловой и Пелиновским (2011).

Характеристики и инварианты Римана дают важную информацию о поведении потока, а также о том, что они могут быть использованы в процессе получение (аналитических или численных) решений.

Производное моделирование

Динамическая волна

Динамическая волна - это полное одномерное уравнение Сен-Венана. Численно решить эту задачу сложно, но она действительна для всех сценариев руслового потока. Динамическая волна используется для моделирования переходных штормов в программах моделирования, включая Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS, InfoWorks_ICM, MIKE 11, Wash 123d и SWMM5.

В порядке увеличения упрощений, удалив некоторые члены полных одномерных уравнений Сен-Венана (также известных как динамическое волновое уравнение), мы получаем также классическое диффузионное волновое уравнение и кинематическое волновое уравнение.

Диффузионная волна

Для диффузной волны предполагается, что инерционные составляющие меньше, чем составляющие силы тяжести, трения и давления. Поэтому диффузионную волну можно более точно описать как неинерционную волну, и ее можно записать как:

g ∂ h ∂ x + g (S f - S) = 0. {\ displaystyle g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0.}{\ displaystyle g {\ frac {\ partial h} { \ partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0.}

Рассеивающая волна действительна, когда инерционное ускорение намного меньше, чем все другие формы ускорения, или, другими словами, когда есть преимущественно докритический поток с низкими значениями Фруда. Модели, в которых используется допущение диффузной волны, включают MIKE SHE и LISFLOOD-FP. В программном обеспечении SIC (Irstea) эта опция также доступна, поскольку 2 члена инерции (или любой из их) можно удалить в опции из интерфейса.

Кинематическая волна

Для кинематической волны предполагается, что поток однороден, и что наклон трения приблизительно равен наклону канала. Это упрощает полное уравнение Сен-Венана до кинематической волны:

S f - S = 0. {\ displaystyle S_ {f} -S = 0.}{\ displaystyle S_ {f} -S = 0.}

Кинематическая волна действительна, когда изменение высоты волны по расстоянию и скорости по расстоянию и времени пренебрежимо мало относительно наклона пласта, например для мелководья на крутых склонах. Кинематическая волна используется в HEC-HMS.

Вывод из уравнений Навье – Стокса

Одномерное уравнение импульса Сен-Венана может быть получено из уравнений Навье – Стокса, которые описывают движение жидкости. Компонента x уравнений Навье – Стокса, выраженная в декартовых координатах в направлении x, может быть записана как

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ Y + вес ∂ U ∂ Z знак равно - ∂ p ∂ x 1 ρ + ν (∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ Y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2) + fx, {\ displaystyle {\ frac { \ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} {\ frac {1} {\ rho}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2 } u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial z ^ {2}}} \ right) + f_ {x},}{\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u } {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} {\ frac {1} {\ rho}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial ^ {2}} } + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + f_ {x},

где u - скорость в направлении x, v - скорость в направлении y, w - скорость в z -направление, t - время, p - давление, ρ - плотность воды, ν - кинематическая вязкость, и f x - объемная сила в x-направлении.

1.Если предположить, что трение учитывается как объемная сила, то ν {\ displaystyle \ nu}\ nu можно принять равным нулю, поэтому:
ν (∂ 2 u ∂ Икс 2 + ∂ 2 u ∂ Y 2 + ∂ 2 u ∂ Z 2) = 0. {\ Displaystyle \ Nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} } + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) = 0.}\ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ { 2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) = 0.
2.Предполагая одномерный поток в направлении x, следует, что:
v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = 0 {\ displaystyle v {\ frac {\ partial u} { \ partial y}} + w {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} = 0}v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0
3.Предполагая также, что распределение давления является приблизительно гидростатическим, следует, что:
p = ρ gh {\ displaystyle p = \ rho gh}п = \ rho gh

или в дифференциальной форме:

∂ p = ρ g (∂ h). {\ displaystyle \ partial p = \ rho g (\ partial h).}{\ displaystyle \ partial p = \ rho g (\ partial h).}

И когда эти допущения применяются к x-компоненту уравнений Навье – Стокса:

- ∂ p ∂ x 1 ρ = - 1 ρ ρ g (∂ h) ∂ x = - g ∂ h ∂ x. {\ displaystyle - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} {\ frac {1} {\ rho}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ rho g \ left (\ partial h \ right)} {\ partial x}} = - g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}}.}- {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} {\ frac {1} {\ rho}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ rho g \ left (\ partial h \ right)} {\ partial x}} = - g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}}.
4.На жидкость в канале действуют две объемные силы, а именно: гравитация и трение:
fx = fx, g + fx, f {\ displaystyle f_ {x} = f_ {x, g} + f_ {x, f}}f_ {x} = f _ {{x, g}} + f _ {{x, f}}

где f x, g - это объемная сила, вызванная гравитацией, и f x, f - объемная сила, обусловленная трением.

5.fx, g можно вычислить, используя основы физики и тригонометрии:
F g = (sin ⁡ θ) g M {\ displaystyle F_ {g} = (\ sin \ theta) gM}F _ {{g}} = (\ sin \ theta) gM

где F g - сила тяжести в направлении оси x, θ - угол, а M - масса.

Рисунок 1: Схема блока, движущегося вниз по наклонной плоскости.

Выражение для sin θ можно упростить с помощью тригонометрии:

sin ⁡ θ = opp hyp. {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}}}.}{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}}}.}

Для малых θ (приемлемых почти для всех потоков) можно предположить, что:

грех ⁡ θ = загар ⁡ θ = opp adj = S {\ displaystyle \ sin \ theta = \ tan \ theta = {\ frac {\ text {opp}} {\ text {adj}}} = S}{\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}

и учитывая, что f x представляет силу на единицу массы, выражение становится следующим:

fx, g = g S. {\ displaystyle f_ {x, g} = gS.}f _ {{x, g}} = gS.
6.Если предположить, что линия энергетической ценности не совпадает с наклоном канала, а для достижения постоянного наклона есть постоянные потери на трение, то из этого следует, что:
fx, f = S fg. {\ displaystyle f_ {x, f} = S_ {f} g.}f _ {{x, f}} = S_ {f} g.
7.Все эти предположения вместе приводят к одномерному уравнению Сен-Венана в направлении x:
∂ u ∂ t + u ∂ U ∂ Икс + г ∂ час ∂ Икс + г (S е - S) знак равно 0, {\ Displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + U {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0,}{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac { \ partial u} {\ partial x}} + g {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0,}
(a) (b) (c) (d) ( е) {\ displaystyle (a) \ quad \ \ (b) \ quad \ \ \ (c) \ qquad \ \ \ (d) \ quad (e) \}{\ displaystyle (a) \ quad \ \ (b) \ quad \ \ \ (c) \ qquad \ \ \ (d) \ quad (e) \}

где (a) - термин локального ускорения, (b) - член конвективного ускорения, (c) - член градиента давления, (d) - член трения, и (e) - член силы тяжести.

Термины

Локальное ускорение (a) также можно рассматривать как «неустойчивый термин», поскольку он описывает некоторое изменение скорости во времени. Конвективное ускорение (b) - это ускорение, вызванное некоторым изменением скорости в зависимости от положения, например ускорением или замедлением жидкости, попадающей в сужение или отверстие, соответственно. Оба эти члена составляют члены инерции одномерного уравнения Сен-Венана.

Член градиента давления (c) описывает, как давление изменяется в зависимости от положения, и, поскольку давление предполагается гидростатическим, это изменение напора над положением. Член трения (d) учитывает потери энергии из-за трения, а член силы тяжести (e) представляет собой ускорение из-за уклона пласта.

Моделирование волн с помощью уравнений мелкой воды

Уравнения мелкой воды можно использовать для моделирования волн Россби и Кельвина в атмосфере, реках, озерах и океаны, а также гравитационные волны в меньшей области (например, поверхностные волны в ванне). Чтобы уравнения мелкой воды были справедливыми, длина волны явления, которое они должны моделировать, должна быть намного больше, чем глубина бассейна, в котором это явление имеет место. Несколько меньшие длины волн могут быть обработаны путем расширения уравнений мелкой воды с использованием приближения Буссинеска для включения эффектов дисперсии. Уравнения мелкой воды особенно подходят для моделирования приливов с очень большим масштабом длины (более сотни километров). Что касается приливного движения, даже очень глубокий океан можно считать мелким, поскольку его глубина всегда будет намного меньше длины волны прилива.

Генерация и распространение цунами, вычисленные с помощью уравнений мелкой воды (красная линия; без частотной дисперсии)) и с помощью модели типа Буссинеска (синяя линия; с частотной дисперсией). Обратите внимание, что модель типа Буссинеска (синяя линия) образует солитон с остающимся позади колеблющимся хвостом. Уравнения мелкой воды (красная линия) образуют крутой фронт, который позже приведет к образованию ствола . Глубина воды составляет 100 метров.

Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды

Снимок моделирования уравнений мелкой воды, в которых присутствуют ударные волны.

Уравнения мелкой воды в нелинейной форме, является очевидным кандидатом для моделирования турбулентности в атмосфере и океанах, то есть геофизической турбулентности. Преимущество этого по сравнению с квазигеострофическими уравнениями заключается в том, что оно позволяет принимать решения, подобные гравитационным волнам, при этом сохраняя энергию и потенциальную завихренность <208.>. Однако есть и некоторые недостатки в том, что касается геофизических приложений - он имеет неквадратичное выражение для полной энергии и склонность волн становиться ударными волнами. Было предложено несколько альтернативных моделей, предотвращающих образование толчков. Одна альтернатива - изменить «член давления» в уравнении количества движения, но это приводит к сложному выражению для кинетической энергии. Другой вариант - изменить нелинейные члены во всех уравнениях, что дает квадратичное выражение для кинетической энергии, избегает образования ударной волны, но сохраняет только линеаризованную потенциальную завихренность.

.

Примечания

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-08 03:11:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте