3-многообразие - 3-manifold

редактировать

Пространство, которое локально выглядит как евклидово 3-мерное пространство

Изображение изнутри 3-мерного тора. Все кубы на изображении - один и тот же куб, поскольку свет в коллекторе образует замкнутые петли, в результате куб покрывает все пространство мозаикой. Это пространство имеет конечный объем и не имеет границ.

В математике 3-многообразие - это пространство, которое локально выглядит как евклидово трехмерное пространство. Трехмерное многообразие можно рассматривать как возможную форму вселенной. Так же, как сфера выглядит как плоскость для достаточно маленького наблюдателя, все 3-многообразия выглядят так, как наша Вселенная для достаточно маленького наблюдателя. Это уточняется в приведенном ниже определении.

Содержание

1 Введение
- 1.1 Определение
- 1.2 Математическая теория 3-многообразий
2 Важные примеры 3-многообразий
- 2.1 Евклидово 3-пространство
- 2.2 3-сфера
- 2.3 Вещественное проективное 3-пространство
- 2.4 3-тор
- 2.5 Гиперболическое 3-пространство
- 2.6 Додекаэдральное пространство Пуанкаре
- 2.7 Пространство Зейферта – Вебера
- 2.8 Многообразие Гизекинга
3 Некоторые важные классы 3-многообразий
- 3.1 Гиперболические зацепления
4 Некоторые важные структуры на 3-многообразиях
- 4.1 Контактная геометрия
- 4.2 Многообразие Хакена
- 4.3 Существенная слоистость
- 4.4 Расщепление Хегора
- 4.5 Тугое слоение
5 Основные результаты
- 5.1 Теорема Моиса
- 5.2 Теорема о разложении на простые числа
- 5.3 Конечность Кнезера – Хакена
- 5.4 Теоремы о петле и сфере
- 5.5 Теоремы о кольце и торе
- 5.6 Разложение JSJ
- 5.7 Основная теорема Скотта
- 5.8 Теорема Ликориша – Уоллеса
- 5.9 Теоремы Вальдхаузена о топологической жесткости
- 5.10 Гипотеза Вальдхаузена о расщеплениях Хегора
- 5.11 Теорема Смита cture
- 5.12 Теорема о циклической перестройке
- 5.13 Теорема Терстона о гиперболической перестройке Дена и теорема Йоргенсена – Терстона
- 5.14 Теорема Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена
- 5.15 Гипотеза о приручении, также называемая гипотезой Мардена или гипотезой о ручном конце 561>5.16 Гипотеза о прекращении расслоения
- 5.17 Гипотеза Пуанкаре
- 5.18 Гипотеза Терстона о геометризации
- 5.19 Виртуально расслоенная гипотеза и гипотеза виртуально Хакена
- 5.20 Гипотеза простой петли
- 5.21 Гипотеза о поверхностных подгруппах
6 Важные гипотезы
- 6.1 Гипотеза о кабелях
- 6.2 Гипотеза Любоцкого-Сарнака
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

Введение

Определение

A топологическое пространство X является 3-многообразием, если это счетное пространство Хаусдорфа и если каждая точка в X имеет окрестность, которая гомеоморфна to Евклидово трехмерное пространство.

Математическая теория трехмерных многообразий

Топологическая, часть ise-linear, а гладкие категории все эквивалентны в трех измерениях, поэтому мало различий в том, имеем ли мы дело, скажем, с топологическими 3-многообразиями или гладкими 3-многообразиями.

Явления в трех измерениях могут разительно отличаться от явлений в других измерениях, поэтому преобладают очень специализированные методы, которые не распространяются на измерения больше трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля, калибровочная теория, гомология Флоера и частичная дифференциальные уравнения. Теория трехмерных многообразий считается частью низкоразмерной топологии или геометрической топологии.

Ключевой идеей теории является изучение трехмерного многообразия путем рассмотрения специальных поверхностей В него встроен. Можно выбрать поверхность, которая будет хорошо помещена в 3-многообразие, что приводит к идее несжимаемой поверхности и теории многообразий Хакена, или можно выбрать дополнительные части чтобы быть как можно более точным, приводя к таким структурам, как разбиения по Хигарду, которые полезны даже в случае не-Хакена.

Вклад Терстона в теорию позволяет во многих случаях также учитывать дополнительную структуру, заданную конкретной геометрией модели Терстона (которых восемь). Наиболее распространенной геометрией является гиперболическая геометрия. Часто полезно использовать геометрию в дополнение к специальным поверхностям.

фундаментальные группы трехмерных многообразий сильно отражают геометрическую и топологическую информацию, принадлежащую трехмерному многообразию. Таким образом, существует взаимосвязь между теорией групп и топологическими методами.

Важные примеры 3-многообразий

3-мерное евклидово пространство

3-мерное евклидово пространство является наиболее важным примером 3-многообразия, поскольку все остальные определены в соотношении к нему. Это просто стандартное трехмерное векторное пространство над действительными числами.

3-сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красный), меридианов (синий) и гипермеридианов (зеленый). Поскольку эта проекция конформна, кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой окружности: кривые, которые пересекают <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

Трехмерная сфера - это многомерный аналог сферы сферы. Он состоит из множества точек, равноудаленных от фиксированной центральной точки в 4-мерном евклидовом пространстве. Так же, как обычная сфера (или 2-сфера) - это двумерная поверхность , которая образует границу шара в трех измерениях, 3-сфера - это объект с тремя размеры, образующие границу шара в четырех измерениях.

Реальное проективное 3-пространство

Реальное проективное 3-пространство, или RP, это топологическое пространство линий, проходящих через начало 0 в R . Это компактное, гладкое многообразие размерности 3 и является частным случаем Gr (1, R ) из Грассманово пространство.

RP(диффеоморфен к) SO (3), следовательно, допускает групповую структуру; покрывающее отображение S → RP - это отображение групп Spin (3) → SO (3), где Spin (3) - это группа Ли, которая является универсальная крышка SO (3).

3-тор

Трехмерный тор - это произведение 3-х окружностей. То есть:

T 3 = S 1 × S 1 × S 1. {\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {3} = S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times S ^ {1}.}

\mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.

Трехмерный тор, T может описывается как частное от R при целых сдвигах по любой координате. То есть 3-тор представляет собой R по модулю действия целочисленной решетки Z(при этом действие выполняется как сложение векторов). Эквивалентно 3-тор получается из 3-мерного куба путем склеивания противоположных граней вместе.

Трехмерный тор в этом смысле является примером трехмерного компактного многообразия. Это также пример компактной абелевой группы Ли. Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Тогда групповое умножение на торе определяется покоординатным умножением.

Гиперболическое 3-мерное пространство

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H.. Четыре додекаэдра встречаются на каждом краю, и восемь пересекаются в каждой вершине, Подобно кубам кубической мозаики в E

гиперболическое пространство - это однородное пространство, которое может характеризоваться константой отрицательной кривизной. Это модель гиперболической геометрии. Он отличается от евклидовых пространств с нулевой кривизной, которые определяют евклидову геометрию, и моделей эллиптической геометрии (например, 3-сфера ) с постоянной положительной кривизной. При вложении в евклидово пространство (более высокого измерения) каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой. Другим отличительным свойством является количество пространства, покрываемое 3-шаром в гиперболическом 3-пространстве: оно увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара, а не полиномиально.

Додекаэдрическое пространство Пуанкаре

Гомологическая сфера Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером гомологической сферы. Будучи сферическим 3-многообразием, это единственная гомологическая 3-сфера (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой. Его фундаментальная группа известна как бинарная группа икосаэдра и имеет порядок 120. Это показывает, что гипотеза Пуанкаре не может быть сформулирована только в терминах гомологии.

В 2003 г. отсутствие структуры в самых больших масштабах (выше 60 градусов) в космическом микроволновом фоне, которое наблюдалось в течение одного года космическим кораблем WMAP, привело к предположение Жан-Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег, что форма Вселенной является сферой Пуанкаре. В 2008 году астрономы нашли лучшую ориентацию на небе для модели и подтвердили некоторые предсказания модели, используя трехлетние наблюдения с помощью космического корабля WMAP. Однако пока нет убедительных подтверждений правильности этой модели.

Пространство Зейферта – Вебера

В математике, пространство Зейферта – Вебера (введено Гербертом Зайфертом и Константином Вебером) является замкнутым трехмерным гиперболическим многообразием. Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта – Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство . Это один из первых открытых примеров замкнутых трехмерных гиперболических многообразий.

Он создается путем приклеивания каждой грани додекаэдра к его противоположности таким образом, чтобы получить замкнутое 3-многообразие. Есть три способа сделать это приклеивание последовательно. Противоположные грани смещены на 1/10 оборота, поэтому, чтобы соответствовать им, они должны быть повернуты на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; поворот на 3/10 дает пространство Зейферта – Вебера. Вращение на 1/10 дает сферу гомологии Пуанкаре, а поворот на 5/10 дает 3-мерное реальное проективное пространство.

При склейке на 3/10 витка края Оригинальные додекаэдры склеены друг с другом группами по пять штук. Таким образом, в пространстве Зейферта – Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72 °. Это не соответствует двугранному углу 117 ° правильного додекаэдра в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом от 60 ° до 117 ° и гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72 ° можно использовать для придания пространству Зейферта – Вебера геометрической структуры как гиперболического многообразия. Это частное пространство додекаэдрической соты 5-го порядка, регулярное тесселяция гиперболического 3-пространства Додекаэдрами с этим двугранным углом.

Многообразие Гизекинга

В математике многообразие Гизекинга является гиперболическим 3-многообразием конечного объема с каспами. Оно неориентируемое и имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических многообразий, имея объем примерно 1,01494161. Его открыл Хуго Гизекинг (1912).

Многообразие Гизекинга можно построить, удалив вершины из тетраэдра, а затем склеив грани попарно с помощью аффинно-линейных отображений. Обозначьте вершины 0, 1, 2, 3. Приклейте грань с вершинами 0,1,2 к грани с вершинами 3,1,0 в указанном порядке. Приклейте грань 0,2,3 к лицу 3,2,1 в таком порядке. В гиперболической структуре многообразия Гизекинга этот идеальный тетраэдр является каноническим полиэдральным разложением Дэвида Б. А. Эпштейна и Роберта К. Пеннера. Кроме того, угол между гранями равен $π / 3 {\ displaystyle \ pi / 3}$ $\pi /3$ . У триангуляции один тетраэдр, две грани, одно ребро и нет вершин, поэтому все ребра исходного тетраэдра склеены.

Некоторые важные классы 3-многообразий

Гиперболические звенья дополняют

кольца Борромео - гиперболическая ссылка.

A гиперболическая ссылка - это ссылка в 3-сфере с дополнением, которая имеет полный Риманова метрика постоянной отрицательной кривизны, т.е. имеет гиперболическую геометрию. гиперболический узел - это гиперболическое звено с одним компонентом.

. Следующие ниже примеры особенно хорошо известны и изучены.

Классы не обязательно являются взаимоисключающими.

Некоторые важные структуры на 3-многообразиях

Контактная геометрия

Контактная геометрия - это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях, заданных гиперплоскостью распределения в касательном пучке и задаются одноформой, оба из которых удовлетворяют условию «максимальной невырожденности», называемому «полная неинтегрируемость». Из теоремы Фробениуса можно признать, что это условие противоположно тому, что распределение определяется слоением коразмерности один слоением на многообразии («полная интегрируемость»).

Контактная геометрия во многих отношениях является нечетно-мерным аналогом симплектической геометрии, которая принадлежит четномерному миру. Как контактная, так и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики, где можно рассматривать либо четное фазовое пространство механической системы, либо нечетномерное, которое включает переменная времени.

Многообразие Хакена

A Многообразие Хакена представляет собой компактное, P²-неприводимое 3-многообразие, которое является достаточно большим, что означает что он содержит правильно внедренную двухстороннюю несжимаемую поверхность. Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, и в этом случае многообразие Хакена является компактным ориентируемым неприводимым трехмерным многообразием, содержащим ориентируемую несжимаемую поверхность.

Трехмерное многообразие, конечно покрытое многообразием Хакена, называется виртуально Хакеном . Гипотеза виртуального Хакена утверждает, что каждое компактное неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном.

Многообразия Хакена были введены Вольфгангом Хакеном. Хакен доказал, что многообразия Хакена имеют иерархию, в которой они могут быть разбиты на 3-шары по несжимаемым поверхностям. Хакен также показал, что существует конечная процедура нахождения несжимаемой поверхности, если она имеется в трехмерном многообразии. Жако и Эртель предложили алгоритм определения того, является ли 3-многообразие Хакеном.

Существенное ламинирование

Существенное ламинирование - это ламинирование, при котором каждый лист является несжимаемым, а конец - несжимаемым, если дополнительные области ламинирования не восстанавливаются., а если нет шаровидных листьев.

Существенные слоистые слои обобщают несжимаемые поверхности, обнаруженные в многообразиях Хакена.

Разделение Хегора

A Разделение Хегора ( слушайте ) представляет собой разложение компактного ориентированного 3-многообразия, которое получается в результате разделения его на два руля.

Каждое закрытое, ориентируемое трехмерное многообразие может быть получено таким образом; это следует из глубоких результатов о триангулируемости трехмерных многообразий, полученных в результате Моиза. Это сильно контрастирует с многомерными многообразиями, которые не должны допускать гладких или кусочно-линейных структур. В предположении гладкости существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о разложении ручек из теории Морса.

Тугое слоение

A тугое слоение - это коразмерность 1 слоение трехмерного многообразия, обладающее тем свойством, что существует единственная поперечная окружность, пересекающая каждую лист. Под поперечной окружностью понимается замкнутая петля, которая всегда поперечна касательному полю слоения. Эквивалентно, согласно результату Денниса Салливана, слоение коразмерности 1 является тугим, если существует риманова метрика, которая делает каждый лист минимальной поверхностью.

Были приведены тугие слоения на известность благодаря работам Уильяма Терстона и Дэвида Габая.

Основные результаты

Некоторые результаты названы гипотезами, основанными на исторических артефактах.

Начнем с чисто топологической:

теоремы Моиса

В геометрической топологии, теоремы Моиса, доказанной с помощью Эдвин Э. Моис in, утверждает, что любое топологическое 3-многообразие имеет по существу единственную кусочно-линейную структуру и гладкую структуру.

Как следствие, каждое компактное трехмерное многообразие имеет Расщепление Хегора.

Теорема разложения на простые числа

Теорема разложения на простые числа для 3-многообразий утверждает, что каждое компактное, ориентируемое 3 -многообразие - это связная сумма единственного (от до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий.

Многообразие является простым, если оно не может быть представлена как связная сумма более чем одного многообразия, ни одно из которых не является сферой одного измерения.

Конечность Кнезера-Хакена

Конечность Кнезера-Хакена говорит, что для каждого 3-многообразия существует константа C такая, что любой набор поверхностей мощности больше C должен содержать параллельные элементы.

Теоремы о петле и сфере

Теорема о петле является обобщением леммы Дена, и ее правильнее называть «теоремой о диске». Впервые это было доказано Христосом Папакириакопулосом в 1956 году вместе с леммой Дена и теоремой о сфере.

. Простая и полезная версия теоремы о петле утверждает, что если существует отображение

f : (D 2, ∂ D 2) → (M, ∂ M) {\ displaystyle f \ двоеточие (D ^ {2}, \ partial D ^ {2}) \ to (M, \ partial M) \,}

f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,

с $f | ∂ D 2 {\ displaystyle f | \ partial D ^ {2}}$ $f|\partial D^{2}$ не нулевой гомотопный в $∂ M {\ displaystyle \ partial M}$ $\partial M$ , то есть вложение с такое же свойство.

теорема о сфере из Папакириакопулоса (1957) дает условия, при которых элементы второй гомотопической группы трехмерного многообразия могут быть представлены встроенные сферы.

Один из примеров:

Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ будет ориентируемым 3-многообразием таким, что $π 2 (M) {\ displaystyle \ pi _ {2} (M)}$ $\pi _{2}(M)$ не является тривиальной группой. Тогда существует ненулевой элемент $π 2 (M) {\ displaystyle \ pi _ {2} (M)}$ $\pi _{2}(M)$ , имеющий представителя, который является вложением $S 2 → M {\ displaystyle S ^ {2} \ to M}$ $S^{2}\to M$ .

Теоремы о кольце и торе

Теорема о кольце утверждает, что если пара непересекающихся простых замкнутых кривых на границе трехмерного многообразия свободно гомотопны, то они сужают собственно вложенное кольцо. Это не следует путать с одноименной теоремой о многомерности.

Теорема о торе заключается в следующем: пусть M - компактное неприводимое 3-многообразие с непустым краем. Если M допускает существенное отображение тора, то M допускает существенное вложение тора или кольца

JSJ-разложение

JSJ-разложение, также известное как торальное разложение, это топологическая конструкция, заданная следующей теоремой:

Несводимый ориентируемый замкнутый (т. е. компактный и без границ) 3 -многообразия имеют уникальный (до изотопии ) минимальный набор дизъюнктно встроенных несжимаемых торов таких, что каждая компонента 3-многообразия полученный разрезанием вдоль торов, является либо аториоидальным, либо расслоенным по Зейферту.

. Аббревиатура JSJ означает Уильям Джако, Питер Шелен и. Первые два работали вместе, а третий работал независимо.

Основная теорема Скотта

Основная теорема Скотта - это теорема о конечной представимости фундаментальных групп 3-многообразий из-за G. Питер Скотт. Точное утверждение выглядит следующим образом:

Для трехмерного многообразия (не обязательно компактного ) с конечно порожденной фундаментальной группой, существует компактная трехмерная подмногообразие, называемое компактным ядром или ядром Скотта, такое, что его отображение включения индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. В частности, это означает, что конечно порожденная группа 3-многообразий конечно представима..

Упрощенное доказательство приведено в, а более сильное утверждение единственности доказано в.

Теорема Ликориша – Уоллеса

Теорема Ликориша – Уоллеса утверждает, что любое замкнутое, ориентируемое связное 3-многообразие может быть получено путем выполнения операции Дена на обрамленной ссылке в 3-сфере с $± 1 {\ displaystyle \ pm 1}$ $\pm 1$ хирургическими коэффициентами. Кроме того, можно предположить, что каждый компонент связи не имеет узлов.

Теоремы Вальдхаузена о топологической жесткости

Теоремы Фридхельма Вальдхаузена о топологической жесткости говорят, что некоторые трехмерные многообразия (например, с несжимаемой поверхностью) гомеоморфны, если существует изоморфизм фундаментальных групп который уважает границы.

Гипотеза Вальдхаузена о расщеплениях Хегора

Вальдхаузен предположил, что каждое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие имеет только конечное число расщеплений Хегора (с точностью до гомеоморфизма) любого данного рода.

Гипотеза Смита

Гипотеза Смита (теперь доказанная) утверждает, что если f является диффеоморфизмом 3-сферы конечного порядка, то множество фиксированных точек f не может быть нетривиальным узлом.

Теорема о циклической хирургии

циклическая операция Теорема утверждает, что для компактного, связного, ориентируемого, неприводимого трехмерного многообразия M, граница которого является тор T, если M не является расслоенным пространством Зейферта и r, s являются наклонами на T, так что их заполнения Дена имеют циклическую фундаментальную группу, тогда расстояние между r и s (минимальное количество раз, когда две простые замкнутые кривые в T, представляющие r и s, должны пересекаться) не больше 1. Следовательно, существует не более трех заполнений Дена M с циклической фундаментальной группой.

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена и теорема Йоргенсена – Терстона

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена утверждает: $M (u 1, u 2,…, un) {\ displaystyle M ( u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {n})}$ $M(u_{1},u_{2},\dots,u_{n})$ является гиперболическим до тех пор, пока конечный набор исключительных наклонов $E i {\ displaystyle E_ {i}}$ $E_{i}$ исключается для i-го куспида для каждого i. Кроме того, $M (u 1, u 2,…, un) {\ displaystyle M (u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {n})}$ $M(u_{1},u_{2},\dots,u_{n})$ сходится к M в H как все $pi 2 + qi 2 → ∞ {\ displaystyle p_ {i} ^ {2} + q_ {i} ^ {2} \ rightarrow \ infty}$ $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ для всех $pi / qi {\ displaystyle p_ {i} / q_ {i}}$ $p_{i}/q_{i}$ соответствует непустым заполнениям Дена $ui {\ displaystyle u_ {i}}$ $u_{i}$ .

Эта теорема связана с Уильям Терстон и фундамент теории трехмерных гиперболических многообразий. Это показывает, что нетривиальные пределы существуют в исследовании геометрической топологии Х. Трэлса. Йоргенсен далее показывает, что все нетривиальные пределы возникают при заполнении Дена, как в теореме.

Еще один важный результат Терстона - уменьшение объема при гиперболическом заполнении Дена. Фактически, теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, конечно, предполагая, что заполненное Деном многообразие является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова.

. Йоргенсен также показал, что функция объема в этом пространстве является непрерывной, собственной функцией. Таким образом, согласно предыдущим результатам, нетривиальные пределы в H сводятся к нетривиальным пределам в наборе объемов. Фактически, можно в дальнейшем заключить, как это сделал Терстон, что множество объемов трехмерных гиперболических многообразий конечного объема имеет порядковый тип $ω ω {\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ $\omega ^{\omega }$ . Этот результат известен как теорема Терстона-Йоргенсена . Дальнейшая работа, характеризующая это множество, была проведена Громовым.

. Кроме того, Габай, Мейерхофф и Милли показали, что многообразие Уикса имеет наименьший объем среди всех замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий.

Теорема Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена

Одна из форм теоремы о геометризации Терстона гласит: если M - компактное неприводимое атороидальное многообразие Хакена, граница которого имеет нулевую эйлерову характеристику, то внутренность M имеет полную гиперболическая структура конечного объема.

Теорема жесткости Мостова подразумевает, что если многообразие размерности не менее 3 имеет гиперболическую структуру конечного объема, то оно по существу уникально.

Условия неприводимости и атороидальности многообразия M необходимы, поскольку гиперболические многообразия обладают этими свойствами. Однако условие, что многообразие должно быть Хакеном, является излишне строгим. Гипотеза Терстона о гиперболизации утверждает, что замкнутое неприводимое атороидальное 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является гиперболическим, и это следует из доказательства Перельмана гипотезы о геометризации Терстона.

Гипотеза о приручении, также называемая гипотезой Мардена или гипотезой о приручении

теорема о приручении утверждает, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденным фундаментальная группа топологически ручная, другими словами гомеоморфна внутренности компактного 3-многообразия.

Теорема о приручении была высказана Марденом. Это было доказано Аголом и, независимо, Дэнни Калегари и Дэвидом Габаи. Это одно из фундаментальных свойств геометрически бесконечных трехмерных гиперболических многообразий, вместе с теоремой о плотности для клейновых групп и конечной теоремой о расслоении. Это также подразумевает гипотезу меры Альфорса.

Гипотезу о прекращении расслоения

теорему о прекращении расслоения, первоначально высказанную Уильямом Терстоном, а затем доказанную Джеффри Броком, Ричард Кэнэри и Яир Мински, заявляют, что трехмерные гиперболические многообразия с конечно порожденными фундаментальными группами определяются их топологией вместе с некоторые "концевые инварианты", которые представляют собой геодезические слоистые поверхности на границе многообразия.

Гипотеза Пуанкаре

Трехмерная сфера является особенно важным трехмерным многообразием из-за теперь доказанной гипотезы Пуанкаре. Первоначально предположенная Анри Пуанкаре, теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ (замкнутое 3-многообразие). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать в точку, то это обязательно трехмерная сфера. Аналогичный результат уже некоторое время известен в более высоких измерениях.

После почти столетних усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство своей гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv. Доказательство последовало за программой Ричарда С. Гамильтона, в которой использовался поток Риччи для решения проблемы. Перельман представил модификацию стандартного потока Риччи, названного потоком Риччи, с операцией по систематическому иссечению особых областей по мере их развития контролируемым образом. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.

Гипотеза Тёрстона о геометризации

Гипотеза Тёрстона о геометризации утверждает, что каждое из некоторых трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть связана с ними. Это аналог теоремы об униформизации для двумерных поверхностей, который утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности может быть задана одна трех геометрий (евклидова, сферической или гиперболической ). В трех измерениях не всегда возможно назначить одну геометрию целому топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое 3-многообразие может быть разложено каноническим способом на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном (1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона об эллиптизации.

теорема Терстона о гиперболизации. означает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.

Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о полной геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с операцией. Сейчас есть несколько разных рукописей (см. Ниже) с подробностями доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза сферической пространственной формы являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Виртуально расслоенная гипотеза и виртуально расслоенная гипотеза

виртуально расслоенная гипотеза, сформулированная американцем математиком Уильямом Терстон утверждает, что каждое замкнутое, неприводимое, атороидальное 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой имеет конечное крышка, которая является расслоением поверхностей по окружности.

. виртуальная гипотеза Хакена утверждает, что каждый компактный, ориентируемый, неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном. То есть у него есть конечное покрытие (накрывающее пространство с отображением покрытия, равное конечному к одному), которое является многообразием Хакена.

. В публикации на ArXiv от 25 августа 2009 г. Дэниел Уайз неявно подразумевал (ссылаясь на неопубликованную более длинную рукопись), что он доказал гипотезу о виртуально расслоении для случая, когда 3-многообразие замкнуто, гиперболично и Хакен. За этим последовала обзорная статья в Electronic Research Announcements в области математических наук. За этим последовало еще несколько препринтов, включая вышеупомянутую более длинную рукопись Wise. В марте 2012 года во время конференции в Institut Henri Poincaré в Париже Ян Агол объявил, что может доказать виртуально гипотезу Хакена для замкнутых трехмерных гиперболических многообразий. Доказательство основано на результатах Кана и Марковича в их доказательстве гипотезы о поверхностных подгруппах и на результатах Уайза при доказательстве малонормальной теоремы о специальных факторах и результатов Бержерона и Вайза для кубуляции групп. Вместе с результатами Вайза это влечет гипотезу о виртуальном расслоении для всех замкнутых трехмерных гиперболических многообразий.

Гипотеза простого цикла

Если $f: S → T {\ displaystyle f \ двоеточие S \ rightarrow T}$ $f\colon S\rightarrow T$ - это карта замкнутых связанных поверхностей, такая что $е ⋆: π 1 (S) → π 1 (T) {\ displaystyle f _ {\ star} \ двоеточие \ pi _ {1} (S) \ rightarrow \ pi _ {1} (T)}$ $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ не инъективен, тогда существует несжимаемая простая замкнутая кривая $α ⊂ S {\ displaystyle \ alpha \ subset S}$ $\alpha \subset S$ такая, что $f | a {\displaystyle f|_{a}}$ $f|_{a}$ is homotopically trivial. This conjecture was proven by David Gabai.

Surface subgroup conjecture

The surface subgroup conjectureof Friedhelm Waldhausen states that the fundamental group of every closed, irreducible 3-manifold with infinite fundamental group has a surface subgroup. By "surface subgroup" we mean the fundamental group of a closed surface not the 2-sphere. This problem is listed as Problem 3.75 in Robion Kirby 's problem list.

Assuming the geometrization conjecture, the only open case was that of closed hyperbolic 3-manifolds. A proof of this case was announced in the Summer of 2009 by Jeremy Kahn and Vladimir Markovic and outlined in a talk August 4, 2009 at the FRG (Focused Research Group) Conference hosted by the University of Utah. A preprint appeared on the arxiv in October 2009. Their paper was published in the Annals of Mathematics in 2012. In June 2012, Kahn and Markovic were given the Clay Research Awards by the Clay Mathematics Institute at a ceremony in Oxford.

Important conjectures

Cabling conjecture

The cabling conjecture states that if Dehn surgery on a knot in the 3-sphere yields a reducible 3-manifold, then that knot is a $( p, q) {\displaystyle (p,q)}$ $(p,q)$ -cable on some other knot, and the surgery must have been performed using the slope $p q {\displaystyle pq}$ $pq$ .

Lubotzky—Sarnak conjecture

The fundamental group of any finite volume hyperbolic n-manifold does not have Property τ.

References